【2012优化方案 精品课件】苏教版 数学 必修5：第二章2.2.1

(共19张PPT)
2．2　等差数列

2．2.1　等差数列的概念
课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是否为等差数列．
2．掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单问题．
重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项．
本节难点：对等差数列定义的理解和应用．
课标定位
基础知识梳理
1．等差数列的有关概念
定义：一般地，如果一个数列从第___项起，每一项减去它的______所得的差都等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，公差通常用__表示．
说明：(1)由定义可知，如果an－an－1(n≥2)是同一个常数，那么数列{an}就是等差数列．
(2)对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差(从第2项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒．
二
前一项
同一个
公差
d
2．等差中项
定义：如果a，A，b这三个数成_________，则A叫做a和b的等差中项．
说明：(1)a，A，b成等差数列 A是a与b的等差中项 A－a＝b－A 2A＝a＋b A＝.
(2)等差数列从第二项起，每一项是它前一项与后一项的等差中项，一个等差数列至少有三项．
(3)三个数成等差数列，可依次设为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列，可依次设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
等差数列
课堂互动讲练
1．在等差数列中要强调“从第2项起”和“同一个常数”，也就是说，若一个数列不是从第2项起，而是从第3或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，则该数列不是等差数列；若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是个常数，但这个常数不相同，则这个数列一定不是等差数列．
题型一
等差数列有关概念的理解
2．虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一个常数，但它不是公差，而是公差的相反数．
已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q为常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是，求其首项与公差．
【分析】　根据等差数列的定义可知，要证明一个数列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)即可．
【解】　取数列{an}的任两项an和an－1(n≥2)，则an－an－1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.
例1
∵p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p.
【点评】　深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个常数与n无关．如an－an－1＝n(n≥2)，数列{an}就不是等差数列．
判断一个数列(可以是三项、多项、无限项)是等差数列或不是等差数列，要回归到原始定义中去，这是最基本、最常用的方法．
题型二
等差数列的判定
已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．
例2
【解】　(1)欲使{an}是等差数列，
则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，
所以只有2p＝0，所以p＝0.
即p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．
(2)因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，
所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.
而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，
所以{an＋1－an}是等差数列．
变式训练
在等差数列中，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…(公差为2d)．
题型三
等差数列中的基本运算
已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数．
【分析】　三个数成等差数列，可根据定义设出这三个数，设法要尽量利用题中条件，使解答简化．
例3
【解】　设这三个数依次是a－d，a，a＋d，则由题意可知，(a－d)＋a＋(a＋d)＝12，得a＝4.
由(a－d)·a·(a＋d)＝48，得d＝±2，
∴所求的三个数是2,4,6或6,4,2.
【点评】　此种设法比较巧妙，应仔细体会并熟练掌握．
规律方法总结
等差数列的判定或证明是考查的重点，通常有以下方法：
(1)定义法：an＋1－an＝常数(n∈N*) {an}为等差数列；
(2)通项公式法(此法将在下一节学到)：an＝kn＋b(n∈N*) {an}为等差数列；
(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
随堂即时巩固
课时活页训练