【2012优化方案 精品课件】苏教版 数学 必修5：第二章2.2.2

(共27张PPT)
2．2.2　等差数列的通项公式
课标要求：1.掌握并熟练应用等差数列的通项公式；
2．掌握等差数列的性质并能灵活应用．
重点难点：本节重点：等差数列的性质的应用；
本节难点：等差数列的通项公式的推导过程的理解和掌握．
课标定位
基础知识梳理
1．等差数列的通项公式
(1)通项公式为an＝____________.
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，可变形为an＝nd＋(a1－d)．从函数角度来认识等差数列的通项公式：
①当d≠0时，an是关于n的一次函数的一系列孤立的函数值；②当d＝0时，an是关于n的常数函数的一系列孤立的函数值．
a1＋(n－1)d
(2)通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d.
(3)通项公式的应用：
①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；
②已知等差数列的任意两项，就可以确定等差数列中的任意一项．
2．等差数列的四个常用性质
(1)单调性：d＞0时为递增数列，d＜0时为递减数列，d＝0时为常数列；
(2)若m＋n＝p＋q，则______________(m，n，p，q∈N*)．特别地，当m＋n＝2p时，有___________；
am＋an＝2ap
am＋an＝ap＋aq
md
课堂互动讲练
题型一
等差数列的通项公式
1．从函数知识的角度考查等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝d·n＋a1－d，当d≠0时，an是关于n的一次式(n∈N*)．所以等差数列的通项公式也可以表示为an＝pn＋q(设p＝d，q＝a1－d)．
2．从图象上看，表示这个数列的各点(n，an)均匀排列在一次函数y＝px＋q的图象上，其首项为p＋q，公差是p.由两个点确定一条直线，不难得出，任意两项可以确定一个等差数列．
3．等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数．
已知{an}为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式．
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为：a,2a－1,3－a.
【分析】　欲求出等差数列的通项公式，只需确定它的首项a1与公差d，代入an＝a1＋(n－1)d即得．
例1
1．等差数列{an}中，已知a59＝70，a80＝112，求a101.
变式训练
已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.
【分析】　由题目可获取以下主要信息：
①2＋10＝3＋9＝2×6；
②a2＋a10＝a3＋a9＝2a6.
解答本题既可以用等差数列的性质，也可以用等差数列的通项公式．
题型二
等差数列的性质及应用
例2
【点评】　法一运用了等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算属于通法．两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
2．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________.
解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
答案：28
变式训练
数列在实践中有着广泛的应用，解相关数列应用问题的关键是建立适当的数列模型，然后用数列的知识解决问题．解答时需遵循如下四步：
第一步，读题理解．首先要认真阅读领悟，学会从冗长的文字中精简出数量及关系，把文字语言翻译为数学语言．
题型三
用等差数列解决实际应用题
第二步，建模转化．用熟悉的知识建立合适的数学模型，注意抓住相关量之间的变化关系，确定数列各特征量的已知和待求．
第三步，求解问题．运用所得到的数列模型，结合相关数学知识和思想方法，求解出实际问题的答案．
第四步，检验作答．检验所求的解是否符合实际情况，并对实际问题给出答案．
某地区2000年底的林地面积为100万公顷，由于各种原因林地面积不断减少，每年底的统计结果如下表：
例3
时间 该林区原有林地减少后的面积
2001年底 99.8000万公顷
2002年底 99.6000万公顷
2003年底 99.4001万公顷
2004年底 99.1999万公顷
2005年底 99.0002万公顷
试根据此表所给数据进行预测(表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑)．
(1)如果不采取任何措施，那么到2010年底，该林区原有林地减少后的面积大约为多少万公顷？
(2)如果从2001年底开始坚持每年植树造林0.3万公顷，但原来的林地面积仍按原有速度减少，那么到哪一年底，该林区的林地总面积达102万公顷？
【分析】　根据表中所给数据可以发现，该林区原有林地减少后的面积基本成等差数列递减，公差约为－0.2，从而构造出等差数列模型．
【解】　(1)记2001年底该林区原有林地减少后的面积为a1，则到2010年底为a10，从表中看出各年底原有林地减少后的面积an构成等差数列，公差d约为－0.2.
故a10＝99.8＋(10－1)×(－0.2)＝98.0.
所以到2010年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为98.0万公顷．
(2)依题意，得99.8＋(n－1)(－0.2)＋(n－1)×0.3＝102，解得n＝23.
所以到2023年底，该林区的林地总面积达102万公顷．
【点评】　本题将文字语言与图表语言相结合，表述形式较为新颖．解此题的关键是构造出等差数列模型．
规律方法总结
1．等差数列是一重要数列，它的一切性质都可以回到定义中去，在解决有关等差数列的问题时，一定要把握等差数列定义的本质．
2．涉及到等差数列的基本概念的问题，常用基本量a1，d来处理．
3．若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．
4．数列是特殊的函数，很多问题都可以用函数的方法来处理．
随堂即时巩固
课时活页训练