第七章 圆
与
方
程
核心速记·必考点夯基
一、
1.(x-a)2+(y-b)2=r2
2.D2+E2-4F>0
二、
1.2 1 0 dr
Δ>0 Δ=0 Δ<0
三、
1.(1)(x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
(2)(x,y,0) (x,0,z) (0,y,z)
2.
典题突破·热考点精练
【例1】(1)C (2)2
【例2】(1)C (2)B
【例3】【解析】易求得两圆圆心分别为C1(m,-2),C2(-1,m),两圆半径分别为r1=3,r2=2.
(1)两圆外切?|C1C2|=r1+r2,
即=5,
解得m=-5或m=2.
(2)两圆内切?|C1C2|=r1-r2,
即=1,
解得m=-1或m=-2.
(3)两圆相离?|C1C2|>r1+r2,
即>5,
解得m<-5或m>2.
【例4】【解析】(1)①因为P在圆M上,所以由点和圆的位置关系,(1,)满足圆M的方程.即12+()2-4×1+a×+1=0,所以a=0.
②圆M:(x-2)2+y2=3,M(2,0).
lOP:x-y=0.
设l:x-y+c=0过(2,0),
所以c=-2,
所以所求直线为x-y-2=0.
③设l1:y=kx,则l2:y=-x,
记A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
D(x4,y4),
M到l1的距离d=,
|AB|=2=,
同理|CD|=,
所以|AB|·|CD|
=
=,
令k2+=t≥2,则|AB|·|CD|==4
=4.
当t取最小值2时,有最大值为4.
(2)如图所示,设M(x,y)在圆C:(x+2)2+y2=1上,令Q(1,2),
设k=,即kx-y-k+2=0.
过点Q作圆C的两条切线QA,QB,
则直线QM夹在两切线QA,QB之间,所以kQA≤kQM≤kQB.
又由C(-2,0)到直线kx-y-k+2=0的距离为1,
得=1,即k=.
所以的最大值为,
最小值为.
【例5】C
达标训练·合格考通关
1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 7.C
8.C 9.3 10.10 11. 12.2
13.
14.【解析】设圆C的半径长为r,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5=r2,圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0,因为该直线过点(5,-2),所以r2=4,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
15.【解析】(1)x2+(y+2)2=25,故圆心的坐标是(0,-2),半径r=5.
(2)弦心距d=
=.
所以==2.
故直线l被圆C所截得的弦长为2=4.
16.【解析】(1)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由题意,
得
解得
即△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,
因为点M(a,2)在△ABC的外接圆上,
所以a2+22-8a-2×2+12=0,
即a2-8a+12=0,解得a=2或6.
17.【解析】(1)因为圆心在直线y=2x上,
故可设圆心C(a,2a),半径为r.
则圆C的标准方程为(x-a)2+(y-2a)2=r2.
因为圆C经过A(3,2),B(1,6),
所以
解得a=2,r=.
所以圆C的标准方程为
(x-2)2+(y-4)2=5.
(2)由(1)知,圆C的圆心为C(2,4),半径r=.
直线l经过点P(-1,3),
①若直线斜率不存在,则直线l:x=-1.
圆心C(2,4)到直线l的距离
d=3>r=,故直线与圆相离,不符合题意.
②若直线斜率存在,设斜率为k,
则直线l:y-3=k(x+1),
即kx-y+k+3=0.
圆心C(2,4)到直线l的距离
d==.
因为直线与圆相切,
所以d=r,即=.
所以(3k-1)2=5+5k2,
解得k=2或k=-.
所以直线l的方程为2x-y+5=0或x+2y-5=0.
PAGE第七章 圆
与
方
程
考试内容
考纲要求
考点1 圆的标准方程
理解
考点2 圆的一般方程
理解
考点3 直线与圆的位置关系
应用
考点4 圆与圆的位置关系
理解
考点5 直线与圆的方程的应用
掌握
考点6 空间直角坐标系
识记
考点7 空间两点间的距离公式
识记
一、圆的方程
1.圆的标准方程:
圆心坐标是(a,b),半径是r的圆的标准方程是____________________.?
2.圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(____________),圆心坐标为________________,半径为______________.?
二、直线、圆的位置关系
1.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断:
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
____个?
____个?
____个?
判定方法
几何法:设圆心到直线的距离为d=
____?
____?
____?
代数法:由消元得到一元二次方程,可得方程的判别式Δ
____?
____?
____?
2.圆与圆的位置关系:
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2.
(1)两圆相离?|O1O2|>r1+r2
(2)两圆相外切?|O1O2|=r1+r2
(3)两圆相交?|r2-r1|<|O1O2|(4)两圆相内切?|O1O2|=|r1-r2|
(5)两圆内含?0<|O1O2|<|r1-r2|
三、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系:
空间直角坐标系中特殊点的坐标:
(1)x轴上的点________,y轴上的点________,z轴上的点__________.?
(2)xOy平面内的点________,xOz平面内的点________,yOz平面内的点________.?
2.空间两点间的距离公式:
在空间中,P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)的距离|P1P2|=______________________.?
3.中点坐标公式:
已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2).P1P2的中点P的坐标为.
热点一 圆的方程
【例1】(1)(2020·湖南学业水平考试真题)圆C:x2+y2=1的面积是( )
A.
B.
C.π
D.2π
(2)圆x2+y2-ax=0的圆心的横坐标为1,则a=______.?
热点二 直线与圆的位置关系
【例2】(1)圆x2+y2+2x+4y-3=0到直线x+y+1=0距离等于的点共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(2)(2019·湖南学业水平考试真题)已知直线x+y+4=0与圆心在(2,0)的圆C相切,则圆C的方程为( )
A.(x-2)2+y2=3
B.(x-2)2+y2=9
C.(x+2)2+y2=3
D.(x+2)2+y2=9
热点三 圆与圆的位置关系
【例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.
(1)当m为何值时,圆C1与C2相外切?
(2)当m为何值时,圆C1与C2相内切?
(3)当m为何值时,圆C1与C2相离?
与两圆相切有关问题的处理方法
在处理两圆相切问题时,首先必须准确把握是内切还是外切,若只告诉两圆相切,则必须分两圆外切和两圆内切两种情况讨论;其次,将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)来解决.
热点四 直线与圆的方程的综合应用
【例4】(1)已知O为坐标原点,点P(1,)在圆M:x2+y2-4x+ay+1=0上.
①求实数a的值;
②求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程;
③过点O作互相垂直的直线l1,l2,l1与圆M交于A,B两点,l2与圆M交于C,D两点,求|AB|·|CD|的最大值.
(2)已知实数x,y满足x2+y2+4x+3=0,求的最大值与最小值.
热点五 空间直角坐标系
【例5】△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示,则BC边上的中线的长是( )
A.
B.2
C.
D.3
一、选择题
1.圆(x-3)2+(y+2)2=16的圆心坐标是( )
A.(-3,2)
B.(2,-3)
C.(-2,3)
D.(3,-2)
2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
3.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为( )
A.8π
B.4π
C.2π
D.π
4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆,则m的取值范围为( )
A.B.m<或m>1
C.m<
D.m>1
5.(2018·湖南学业水平考试真题)过点M(2,1)作圆C:(x-1)2+y2=2的切线,则切线条数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
6.直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于( )
A.
B.2
C.2
D.4
7.圆x2+y2=1与圆(x+1)2+(y+4)2=16的位置关系是( )
A.相外切
B.相内切
C.相交
D.相离
8.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为( )
A.(x-2)2+(y+1)2=3
B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x-2)2+(y+1)2=9
D.(x+2)2+(y-1)2=9
二、填空题
9.已知圆(x-a)2+y2=4的圆心坐标为(3,0),则实数a=__________.?
10.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy面的对称点,则|AB|=__________.?
11.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为______.?
12.已知圆C:x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切,则圆C的半径r=________.?
13.两圆x2+y2+2x-4y+3=0与x2+y2-4x+2y+3=0上的点之间的最短距离是________.?
三、解答题
14.已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆O:x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5,-2),求圆C的方程.
15.已知圆C:x2+y2+4y-21=0.
(1)将圆C的方程化为标准方程,并指出圆心坐标和半径;
(2)求直线l:2x-y+3=0被圆C所截得的弦长.
16.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).
(1)求△ABC的外接圆的方程;
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.
17.已知圆C经过A(3,2),B(1,6),且圆心在直线y=2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l经过点P(-1,3)且与圆C相切,求直线l的方程.
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