第六章 直线与方程
考试内容
考纲要求
考点1 直线的倾斜角与斜率(包括斜率公式)
理解
考点2 两条直线平行与垂直的判定
掌握
考点3 直线的点斜式、两点式和一般式方程(包括直线的斜截式、截距式方程)
掌握
考点4 两直线的交点坐标
理解
考点5 两点间的距离
理解
考点6 点到直线的距离
理解
考点7 两条平行直线之间的距离
识记
考点8 对称问题
理解
一、直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角与斜率:
(1)倾斜角:
①定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴______与直线l__________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.?
②规定:当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为__________;?
③范围:倾斜角的范围为______________.?
(2)斜率:
①当直线的倾斜角θ≠90°时,直
线的斜率存在,且斜率k=______;?
②经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=____________.?
(3)倾斜角α的范围与斜率k的范围之间的关系:
①α=0°?k=0;
②0°<α<90°?k>0,k随α的增大而增大;
③90°<α<180°?k<0,k随α的增大而增大.
2.两直线平行或垂直的判定方法:
斜率
两直线的位置关系
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在
相等
平行
积为-1
垂直
二、直线的方程
形式
方程
局限
点斜式
____________
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
____________
不能表示斜率不存在的直线
两点式
=
____________________
截距式
+=1
不能表示____________________________
一般式
____________
无
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两直线的交点坐标:
已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.
若两直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线______,交点坐标为____________________.?
2.距离公式:
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式:
|P1P2|=________________________.?
(2)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=__________________________.?
(3)平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离为d=______________.?
热点一 直线的倾斜角与斜率
【例1】(1)直线2x·sin
210°-y-2=0的倾斜角是( )
A.45°
B.135°
C.30°
D.150°
(2)已知A(1,a),B(2,4),直线AB的斜率为3,则a=________.?
热点二 两直线平行与垂直的判定及应用
【例2】(1)(2020·湖南学业水平考试真题)已知直线l1:y=x,l2:y=kx.若l1⊥l2,则k=________.?
(2)(2019·湖南学业水平考试真题)已知直线l1:y=3x+2,l2:y=kx+1,若l1∥l2,则k=________.?
两条直线的斜率相等,两直线不一定平行,一定要注意它们的截距是否相等.
热点三 直线的方程
【例3】直线y=-2x+6的斜率为( )
A.2
B.-2
C.
D.-
热点四 两直线的交点坐标
【例4】若直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0相交于一点,则k的值是____________.?
热点五 距离公式的应用
【例5】(1)过点A(4,a),B(5,b)的直线与斜率为1的直线l平行,则|AB|=( )
A.6
B.
C.2
D.不能确定
(2)若两条直线l1:x+2y-6=0与l2:x+ay-7=0平行,则l1与l2间的距离是( )
A.
B.2
C.
D.
一、选择题
1.直线x=1的倾斜角为( )
A.不存在
B.90°
C.0°
D.180°
2.直线2x-y+1=0与直线y=2x+3的位置关系是( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.重合
3.倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是( )
A.x-y+1=0
B.x-y-=0
C.x+y-=0
D.x+y+=0
4.直线x+2y+2=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是( )
A.(2,-2)
B.(-2,2)
C.(-2,1)
D.(3,-4)
5.过两点(-2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A.y=x+3
B.y=-x+1
C.y=x+2
D.y=-x-2
6.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+),则此直线的倾斜角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
7.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=( )
A.-4
B.-1
C.1
D.4
8.P点在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为( )
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1)
D.(2,1)或(-1,2)
9.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8,若l1⊥l2,则实数m的值是( )
A.-1或-7
B.-7
C.-
D.
10.已知点M(-1,3),N(5,1),点P(x,y)到M,N两点的距离相等,则点P(x,y)所满足的方程为( )
A.x+3y-8=0
B.3x-y-4=0
C.x-3y+9=0
D.x-3y+8=0
11.已知直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离
是( )
A.
B.
C.
D.4
二、填空题
12.已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若l1∥l2,则a=______.?
13.(2018·湖南学业水平考试真题)直线y=x+3在y轴上的截距为______.?
14.设直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点______________.?
15.已知m∈R,A(3,2),直线l:mx+y+3=0.点A到直线l的最大距离为______;若两点A和B(-1,4)到直线l的距离相等,则实数m等于______.
?
三、解答题
16.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
17.过点(3,5)作直线4x+3y-2=0的垂线,求垂足坐标.
18.已知△ABC的三个顶点A(2,0),B(0,1),C(3,2).
(1)求BC边所在直线的方程;
(2)求BC边上的高所在直线l的方程.
19.(1)已知点A(a,6)到直线3x-4y=2的距离d=4,求a的值;
(2)在直线x+3y=0上求一点P,使它到原点的距离与到直线x+3y-2=0的距离相等.
PAGE第六章 直线与方程
核心速记·必考点夯基
一、
1.(1)①正向 向上方向
②0° ③0°≤α<180°
(2)①tan
θ ②
二、
y-y0=k(x-x0)
y=kx+b x1≠x2,y1≠y2
与坐标轴平行及过原点的直线
Ax+By+C=0
三、
1.相交 (x0,y0)
2.(1)
(2)
(3)
典题突破·热考点精练
【例1】(1)B (2)1
【例2】(1)-1 (2)3
【例3】B
【例4】-
【例5】(1)B (2)D
达标训练·合格考通关
1.B 2.A 3.D 4.A 5.A 6.A
7.C 8.C 9.C 10.B 11.A 12.-1
13.3 14.(2,-2) 15. 或-6
16.【解析】方法一:(1)l的方程可化为y=-x+3,所以l的斜率为-.
因为l′与l平行,所以l′的斜率为-.
又因为l′过点(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.
(2)因为l′与l垂直,所以l′的斜率为,
又l′过点(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0.
方法二:(1)由l′与l平行,可设l′的方程为3x+4y+m=0(m≠-12).
将(-1,3)代入上式得m=-9.
所以所求直线的方程为3x+4y-9=0.
(2)由l′与l垂直,可设l′的方程为4x-3y+n=0.
将(-1,3)代入上式得n=13.所以所求直线的方程为4x-3y+13=0.
17.【解析】设与4x+3y-2=0垂直的直线方程为3x-4y+C=0,
又因为直线过点(3,5),所以3×3-4×5+C=0,所以C=11,
所以过点(3,5)与4x+3y-2=0垂直的直线方程为3x-4y+11=0.
解方程组得垂足坐标为(-1,2).
18.【解析】(1)因为B(0,1),C(3,2),
所以BC边所在直线方程为=,即x-3y+3=0.
(2)因为kBC==,所以kl=-3.
又因为l过点A(2,0),
所以直线l的方程为y=-3(x-2).
即3x+y-6=0.
19.【解析】(1)d==4,解得a=2或a=.
(2)设点P的坐标为(-3t,t),
则=,解得t=±.
所以点P的坐标为或.
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