【2012优化方案 精品课件】苏教版 数学 必修5：第二章2.3.2

(共31张PPT)
2.3.2　等比数列的通项公式
课标要求：1.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单的问题．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
3．了解等比数列与指数函数的关系．
课标定位
重点难点：本节重点：等比数列的通项公式的推导和应用．
本节难点：1.等比数列的通项公式的推导过程的理解和掌握．
2．与等比数列的通项公式相关的性质的灵活运用．
基础知识梳理
1．等比数列的通项公式
(1)通项公式：设数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则数列{an}的通项公式为___________.
说明：在an＝a1qn－1中有a1，q，n，an四个量，知道三个可求一个．
(2)通项公式的两个变形
an＝a1qn－1
qn－m
2．等比数列的性质
(1)设数列{an}为等比数列，且m，n，s，t∈N*.
①若m＋n＝s＋t，则am·an＝as·at；
②若m＋n＝2s，则__________.
(2)设数列{an}为等比数列，公比q≠±1，且m，n，s, t∈N*.
①若aman＝asat，则m＋n＝s＋t；
②若aman＝a，则m＋n＝2s.
课堂互动讲练
题型一
等比数列的通项公式
已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【分析】　解答本题时，可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1与q后，再表示其他量．
例1
【点评】　a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，也是常见的方法．
变式训练
例2
【点评】　观察数列的递推公式，并对它进行适当的变形，构造辅助数列，使问题转化为熟悉的等比数列问题．
变式训练
证明：(1)an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
∴bn＝2bn－1(n≥2)．
又b1＝a2－2a1＝S2－3a1＝a1＋2＝3，
∴{bn}是以首项为3，公比为2的等比数列．
题型二
等比数列的判定
例3
【分析】　可先求出an，再利用等比数列的定义证明
【证明】　∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1， ①
∴a1＝1且a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1. ②
①－②，得an＝2n－1(n≥2)．
又a1＝1，
【点评】　本题中的条件a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即为Sn＝2n－1，利用an＝Sn－Sn－1可求an，但要注意验证n＝1的情况．由于能先求出通项公式，因而可用定义证明．
变式训练
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋2an－1＋3＝0(n≥2).
(1)判断数列{an＋1}是否为等比数列？并说明理由．
(2)求an.
解：(1)数列{an＋1}是等比数列，证明如下：
∵a1＝1，an＋2an－1＋3＝0，∴an＋1＝－2(an－1＋1).
∴数列{an＋1}是首项为2，公比为－2的等比数列.
(2)由(1)可知an＋1＝2·(－2)n－1＝－(－2)n.
∴an＝－(－2)n－1.
题型三
等比数列的性质及应用
例4
已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9.
【分析】　解答本题可以运用等比数列下标与项的运算关系，也可以利用通项公式计算．
【点评】　等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题,应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练