基本不等式的应用
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.当x>0时,f(x)=的最大值为
( )
A.
B.1
C.2
D.4
答案:B
2.若x>0,则函数y=-x-
( )
A.有最大值-2
B.有最小值-2
C.有最大值2
D.有最小值2
答案:A
3.用篱笆围一个面积为100
m2的矩形菜园,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆长度是
( )
A.30
m
B.36
m
C.40
m
D.50
m
答案:C
4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为2.
5.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值;
(2)设x>-1,求函数y=x++6的最小值.
解:(1)因为x>0,y>0,所以x+2y≥2,
即8≥2,
两边平方整理,得xy≤8,
当且仅当x=4,y=2时,xy取得最大值8.
(2)因为x>-1,所以x+1>0.
所以y=x++6=x+1++5≥
2+5=9,
当且仅当x+1=,即x=1时取等号,
所以当x=1时,原函数有最小值9.
B级 能力提升
6.若正实数x,y满足+=1,且x+>a-3恒成立,则实数a的取值范围为a<7.
解析:由题意,知x+=(x+)(+)=2+
+.
因为x>0,y>0,所以>0,>0,
所以+≥2=2,当且仅当=,即
4x=y时取等号,
所以x+≥4,所以a-3<4,解得a<7.
7.设a,b为正实数,且+=2.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.
解:(1)由2=+≥2,得ab≥,
当且仅当a=b=时取等号.
故a2+b2≥2ab≥1,当且仅当a=b=时取等号.
所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=取得最小值.
(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得≥4ab,
即-≥4ab,从而ab+≤2.
又因为ab+≥2,当且仅当ab=1时取等号,
所以ab+=2,所以ab=1.
8.某市准备建一个综合性休闲广场,其示意图如图所示.已知矩形广场的总面积为2
000
m2,其中阴影部分为通道,通道的宽均为1
m,中间的两个小矩形完全相同.
(1)用矩形的宽x(单位:m)表示中间的三个矩形的总面积S(单位:m2)的函数解析式,并给出定义域;
(2)当矩形的宽x为何值时,S取得最大值,并求出最大值.
解:(1)因为矩形广场的总面积为2
000
m2,
所以xy=2
000,即y=.
因为2a+2=y,所以2a=y-2=-2,
所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(-1)=
2
005-(+2x),3
000.
(2)S=2
005-(+2x)≤2
005-2=1
805.
当且仅当2x=,即x=50时,等号成立,此时S取得最大值1
805
m2.
C级 挑战创新
9.多选题一个矩形的周长为l,面积为S,其中可作为(l,S)的取值的实数对是
( )
A.(4,1)
B.(8,6)
C.(10,8)
D.3,
解析:依题意设矩形的长、宽分别为a,b,
则有即l=2(a+b)≥4=4,
所以≥4.对于选项A,=4;对于选项B,<=4;对于选项C,=<=4;对于选项D,=
3>4.
因此,其中可作为(l,S)的取值的实数对是选项A和D.
答案:AD
10.多空题已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值为2;如果a+b=1,那么ab的最大值为.
解析:因为a>0,b>0,所以≥,
所以a+b≥2=2.
故当ab=1时,a+b取得最小值2,此时a=b=1.
因为当a+b=1时,≤=,所以ab≤,此时a=b=.(共20张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2
S2
提示:由基本不等式,得x+y≥2=2,当x=y时,x+y取最小值2,所以x+y≥2.
提示:由基本不等式S=x+y≥2,得xy≤S2,当x=y时,xy取得最大值S2.又因为x>0,y>0,所以0提示:①一正:各项必须为正.
②二定:各项之和或各项之积为定值.
③三相等:必须验证取等号时条件是否具备.
?
答案:×
答案:×
答案:√
答案:√
解析:因为正数a,b满足3a+4b=ab,
所以a+b=(a+b)(+)=3+4++≥7+4,当且仅当即时取等号.
答案:C
解析:由+=,知a>0,b>0,
所以=+≥2,即ab≥2,
当且仅当即a=,b=2时取等号,所以ab的最小值为2.
2
解析:因为00,1-4x>0,
所以x(1-4x)=×4x(1-4x)
≤=.
当且仅当4x=1-4x,即x=时,等号成立.
答案:C
解析:因为任意的正数a,b满足a+3b-1=0,
所以a+3b=1,
所以+=(+)(a+3b)=++6.
因为+≥2=6,
所以++6≥12,
即+的最小值为12,当且仅当=,
即a=,b=时,等号成立.
答案:C
解:由x+≤a恒成立,得
x+的最大值小于或等于a.因为x<1,所以x+=-[(1-x)+]+1≤-2+1=-1.
所以a≥-1.
解析:x+2y=(x+2y)(+)=2+++2≥4+2=8,
当且仅当=,即4y2=x2时,等号成立.
由x+2y>2m-1恒成立,知2m-1<8,即m<.
m<
解:由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0.
所以原不等式等价于+≥m.
要使原不等式恒成立,只需+的最小值不小于m即可.
因为+=+=2++≥
2+2=4
当且仅当=,即2b=a+c时,等号成立,
所以m≤4.
.
解析:设直角三角形的两直角边长分别为x,y,则xy=1,即xy=2.周长l=x+y+≥2+=(1+)×2≈4.83(m),当且仅当x=y时取等号.故选C.
答案:C(共16张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
≤
,
【思考】
如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能根据图形对基本不等式作出几何解释吗?
答案:√
答案:×
解析:因为0,所以>.
又因为≤,所以>,
所以b>a,故选D.
答案:D
解析:因为a>0,b>0,a+b=4,
所以≤=2,所以0所以+==≥1,故选项A,B,C均错,故选D.
答案:D
解析:因为a,b为正数,且a+b≥2,
所以ab≤()2≤4,当且仅当a=b=2时取等号.
答案:C
解析:因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以=≥,
当且仅当a-b=b-c,
即2b=a+c时,等号成立.
≤
证明:因为
a,b,c都是正数,且abc=1,所以+≥2=2,+≥2=2,+≥2=2,
以上三个不等式相加,得
2(++)≥2(++),即++≤++.当且仅当a=b=c=1时等号
成立
证明:因为a,b,c均为大于0的实数,所以,,均大于0.又因为+b≥2=2a,+c≥2=2b,
+a≥2=2c(当且仅当a=b=c时,等号成立),
三式相加,得+b++c++a≥2a+2b+2c,所以++≥a+b+c.
证明:因为a>0,b>0,且a+b=1,
所以(1+)(1+)=(1+)(1+)=
(2+)(2+)=5+2(+)≥5+4=9.
当且仅当=,即a=b=时,等号成立.
所以(1+)(1+)≥9.基本不等式
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为
( )
A.x≥2y
B.x>2y
C.x≤2y
D.x<2y
答案:B
2.下列不等式一定成立的是
( )
A.x+≥2(x≠0)
B.x2+≥1(x∈R)
C.x2+1≤2x(x∈R)
D.x2+5x+6≥0(x∈R)
答案:B
3.若0( )
A.a2+b2
B.2
C.2ab
D.a+b
答案:D
4.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是ab≥9.
5.已知a,b,c都是正数.
求证:++≥a+b+c.
证明:因为a,b,c都是正数,所以+≥2c,+≥2a,+≥2b,
三式相加,得2(++)≥2(a+b+c),
所以++≥a+b+c,
当且仅当a=b=c时取等号.
B级 能力提升
6.若0( )
A.aB.a<<C.a<D.解析:若取a=2,b=8,则=4,=5,
所以a<<答案:B
7.若0解析:因为0①
2ab②
下面寻找②中数值在①中的位置.
因为a2+b2>2()2=,
a2+b2=a·a+b2所以又因为2ab<2()2=,2ab>2×a=a,
所以a<2ab<.
所以a<2ab<8.已知x>0,y>0,且
x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
解:因为x>0,y>0,所以30=x+2y+xy≥2+xy,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时,等号成立.所以xy+2-30≤0.
令t=,则t>0,t2+2t-30≤0,
(t+5)(t-3)≤0,所以-5≤t≤3.
又因为t>0,所以0<≤3,所以0C级 挑战创新
9.多选题下列条件中能使+≥2成立的条件是
( )
A.ab>0
B.ab<0
C.a>0,b>0
D.a<0,b<0
解析:要使+≥2,只要>0,且>0,即a,b不为0且同号即可,故选项A,C,D都符合.
答案:ACD
10.数学文化题《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图,在AB上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交半圆周于点D,连接OD.作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为
( )
A.≥(a>0,b>0)
B.≥(a>0,b>0)
C.≥(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
解析:由三角形相似,知CD2=DE·OD=AC·BC,即DE===,
由CD≥DE,得≥,故选A.
答案:A