(共19张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
logax
x
(0,+∞)
提示:对数函数的解析式满足两个条件:
(1)底数a满足a>0,且a≠1.
(2)真数仅含有自变量x,且x>0.
解析:设函数y=f(x)=logax(x>0,a>0且a≠1).
因为对数函数y=f(x)的图象过点M(9,2),
所以2=loga9,所以a2=9.因为a>0,所以a=3.
所以此对数函数的解析式为y=log3x.
故选B.
答案:B
解析:依题意,知log4(α+3)=2,
则α+3=16,故α=13.
13
解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
则f(4)=loga4=-2,所以a-2=4.
又因为a>0,所以a==,即f(x)=lox,
所以f(8)=lo8=-3.
-3
4
-1
解析:A项中,y=ln
x2的定义域为{x|x∈R,且x≠0},y=2ln
x的定义域为(0,+∞);
B项中,y=lg(x-1)+lg(x+1)的定义域为(1,+∞),y=lg(x+1)(x-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞);
C项中,y=10lg
x的定义域为(0,+∞),y=lg
10x的定义域为R;
D项中,两个函数的定义域均为(0,+∞).
答案:D
(-1,0)∪(0,2]
解析:A={x|2x>2}={x|x>1}.
由m-x>0,得x
因为A∪B=R,所以m>1,则m的值可以是2.
答案:D4.4.1对数函数的概念
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.如果函数y=log2x的图象经过点A(4,y0),那么y0=
( )
A.4
B.2
C.1
D.
答案:B
2.函数f(x)=+lg(x+1)的定义域为
( )
A.[-1,2]
B.[-1,2)
C.(-1,2]
D.(-1,2)
答案:C
3.已知函数f(x)=log2(x+1),若f(a)=1,则a=
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
4.若对数函数f(x)的图象过点(8,-3),则f(2)=-.
5.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1),若函数的定义域为R,求实数a的取值范围.
解:由题意,知关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,则有解得a>1.所以a的取值范围为(1,+∞).
B级 能力提升
6.满足“对定义域内任意实数x,y,f(x·y)=f(x)+f(y)”的函数可以是
( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=2x
C.f(x)=log2x
D.f(x)=eln
x
解析:因为由对数运算性质,得logaM+logaN=loga(MN),所以f(x)=log2x满足“对定义域内任意实数x,y,f(x·y)=f(x)+f(y)”.故选C.
答案:C
7.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1·x2·x3·…·x2
020)=8,则f()+f()+f()+…+f()=16.
解析:由题意,知f()+f()+f()+…+f()
=loga+loga+loga+…+loga
=loga(x1x2x3·…·x2
020)2
=2loga(x1x2x3·…·x2
020)
=2f(x1x2x3·…·x2
020),
=2×8=16.
8.已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数的奇偶性.
解:(1)要使函数有意义,则有>0,即
或解得x>1或x<-1,
所以此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)由于f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=
loga=loga=-loga=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
C级 挑战创新
9.多选题若点(a,b)满足函数f(x)=ln
x的解析式,则下列点中也满足函数f(x)的解析式的是( )
A.(,-b)
B.(a+e,1+b)
C.(,1-b)
D.(a2,2b)
解析:由题意,知b=ln
a,则-b=-ln
a=ln,
1-b=1-ln
a=ln
.2b=2ln
a=ln
a2,1+b=
1+ln
a=ln(ae),故选A、C、D.
答案:ACD
10.多空题若f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则函数f(x)的定义域为(-1,1),函数f(x)是奇(填“奇”或“偶”)函数.
解析:因为所以-1又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),所以f(x)是奇函数.(共34张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
x轴
解析:题中两个对数函数的底数互为倒数,因此它们的图象关于x轴对称.
x轴
(0,+∞)
(1,0)
1
0
减函数
增函数
提示:底数越大,图象越靠右边.
提示:根据loga1=0,知无论a(a>0,且a≠1)取何值,对数函数y=logax的图象恒过定点(1,0).令x-1=1,则x=2,所以函数y=loga(x-1)的图象恒过定点(2,0).
解析:根据对数函数的性质,知0(0,1)
解析:令x+1=1,得x=0,
则函数y=loga(x+1)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,0).
(0,0)
提示:根据反函数的定义,知对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过点(3,1).
解析:根据反函数的定义,知y=ln
x的反函数是y=ex.
y=ex
解析:根据反函数的定义,知y=10x的反函数是y=lg
x.
y=lg
x
解析:根据对数函数y=log0.7x,y=log1.1x的图象(图略)和性质,知01,所以b答案:C
答案:D
解析:因为函数y=log4x是增函数,
所以log23=log49>log46>1.
又因为log32<1,所以b答案:D
答案:C
答案:D
(-2,1)
答案:(1,1.7)
答案:A
答案:C
解析:由对数函数底数大小与图象位置的关系,知b>a>1>d>c.
b>a>1>d>c
解析:选项A中,由y=x+a的图象,知a>1,
由y=logax的图象知0选项B中,由y=x+a的图象,知0由y=logax的图象知a>1,选项B不符合题意;
选项C中,由y=x+a的图象,知0由y=logax的图象知0选项D中,由y=x+a的图象,知a<0,
由y=logax的图象知a>1,选项D不符合题意.
答案:C
解析:令2x+1=1,得x=0,
此时f(0)=2,
即原函数的图象过定点(0,2).
(0,2)
±1
[-2,+∞)
(4,+∞)
答案:A
(-∞,-1]
(2,+∞)4.4.3不同函数增长的差异
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.下列函数中函数值随x的增大而增大,且增长速度越来越快的是
( )
A.y=ex
B.y=100ln
x
C.y=x100
D.y=100x
答案:A
2.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是
( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
答案:D
3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系如图所示.
以下四种说法:
①前三年产量增长的速度越来越快;
②前三年产量增长的速度越来越慢;
③第三年后这种产品停止生产;
④第三年后产量保持不变.
其中正确说法的序号是②③.
4.一个居民小区收取冬季供暖费,住户可以从以下两种方案中任选其一:(1)按照使用面积缴纳,每平方米25元;(2)按照建筑面积缴纳,每平方米20元.李华家的住房使用面积是90
m2,如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费较少,那么他家的建筑面积最多不超过112.5m2.
5.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(单位:m)与生长时间t(单位:年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个比较合适?并预测第8年的松树高度.
t/年
1
2
3
4
5
6
h/m
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
解:据表中数据作出图象,如图所示.
由图可以看出用一次函数模型不合适,选用对数型函数比较合适.
将(2,1)代入h=loga
(t+1),得1=loga3,解得a=3,即h=log3
(t+1).
当t=8时,h=log3(8+1)=2,
故可预测第8年的松树高度为2
m.
B级 能力提升
6.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x万元(4≤x≤10)时,奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过销售利润的,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg
2≈0.3,lg
3≈0.48,lg
5≈0.7)( )
A.y=0.4x
B.y=lg
x+1
C.y=
D.y=1.125x
解析:由题意,知符合公司要求的模型只需满足:
当x∈[4,10]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过2;③y≤x.
选项A中,y=0.4x满足①,但当x>5时,y>2,不满足②;
选项B中,y=lg
x+1满足①,当x≥10时,y取得最大值2,作出函数y=lg
x+1和函数y=x的图象(图略),可知该函数满足③,故B项满足公司要求;
选项C中,y=满足①,但当x>4时,y>2,不满足②;
选项D中,y=1.125x满足①,但当x>lo2时y>2,不满足②.故选B.
答案:B
7.某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1)的图象如图所示.
有以下说法:
①第4个月时,剩留量就会低于;
②每月减少的有害物质的量都相等;
③当剩留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确说法的序号是①③.
解析:由于函数的图象经过点(2,),故函数的解析式为y=()t.
当t=4时,y=<,故①正确;
当t=1时,y=,相比开始减少了,当t=2时,y=,相比上月减少了,故每月减少的有害物质的量不相等,故②不正确;
分别令y=,,,代入y=()t,解得t1=lo,t2=lo,t3=lo,所以t1+t2=t3,故③正确.
8.有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计算,一个月中30
h
以内(含30
h)90元,超过30
h的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15
h,也不超过40
h.
(1)设在甲健身中心活动x
h的收费为f(x),在乙健身中心活动x
h的收费为g(x),试求f(x)和g(x);
(2)选择哪家健身中心比较合算?为什么?
解:(1)f(x)=5x,15≤x≤40,
g(x)=
(2)当5x=90时,x=18,
即当15≤x<18时,f(x)当x=18时,f(x)=g(x).
当18g(x).
所以当15≤x<18时,选甲健身中心比较合算;当x=18时,两家健身中心一样合算;当18C级 挑战创新
9.多选题下列说法中正确的是
( )
A.当自变量x越来越大时,一次函数y=kx(k>0)的增长速度大于对数函数y=logax(a>1)的增长速度
B.对任意x>0,kx>logax(k>0,a>1)
C.对任意x>0,ax>logax
D.当a>1,k>0时,一定存在x0,当x>x0时,总有ax>kx>logax
解析:易知选项A,D正确,对于选项B,可能存在x0,使得kx0答案:AD
10.多空题生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在图①②③④中请选择与容器相匹配的图象,A对应④;B对应①;C对应③;D对应②.
A
B
C
D
②
③
④
解析:A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与图④对应;B容器由下到上,先变粗,再变细,水的高度变化为快—慢—快,应与图①对应;C,D容器上下一样粗的,水的高度的变化图象都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水的高度的变化速度快的为C容器,与图③对应,变化速度慢的为D容器,与图②对应.(共22张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
越来越快
ax>kx
提示:“指数爆炸”是比喻指数函数当自变量越来越大时,函数值的增长速度越来越快,像爆炸一样.
解析:指数函数的增长速度大于一次函数的增长速度,故选C.
答案:C
越来越慢
logax提示:“直线上升”是指增长速度保持不变,“对数增长”是指增长速度越来越慢.
提示:随着自变量x的越来越大,指数函数y=bx(b>1)的增长速度越来越快,一次函数y=kx(k>0)的增长速度保持不变,对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0,当x>x0时,恒有bx>kx>logax.
解析:一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度,所以函数y=100x的增长速度最快.
答案:A
解析:当x越来越大时,对数函数的增长速度最慢,根据对数函数的图象,知函数y=ln
x的增长速度比y=log2x的增长速度还慢,故选C.
答案:C
解析:题表中数据y随x的变化趋势为y随x的增大增长得越来越快.因为选项A中函数是线性增加的函数,选项C中函数是比线性增加缓慢的函数,选项D中函数是减函数,所以排除A,C,D选项,故选B.
答案:B
解析:对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数型函数的增长速度越来越快,y2随x的变化符合此规律;易知y1随x变化的关系为y1=4x+1,符合一次函数模型.
y3,y2,y1
解析:指数型函数模型的增长速度最快,故选C.
答案:C
解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg
x.
(2)当0f(x);当x1g(x);
当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).4.4.2对数函数的图象和性质
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则
( )
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
答案:B
2.下列关于函数f(x)=lo(x-4)的单调性叙述正确的是
( )
A.在R上为增函数
B.在R上为减函数
C.在区间(4,+∞)上为增函数
D.在区间(4,+∞)上为减函数
答案:D
3.函数f(x)=4+loga(x-1)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标是(2,4).
4.函数f(x)=的定义域是(,1].
5.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0(1)求f(x)的定义域;
(2)当a=时,求f(x)的最小值.
解:(1)欲使函数有意义,则有
解得-3(2)因为当a=时,f(x)=lo[(1-x)(x+3)],所以f(x)=lo(-x2-2x+3)=lo[-(x+1)2+4].因为-3B级 能力提升
6.若a=log36,b=log510,c=log714,则
( )
A.c>b>a
B.b>c>a
C.a>c>b
D.a>b>c
解析:a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72.因为log27>log25>log23>0,所以<<,
即log72b>c,故选D.
答案:D
7.设不等式2(lox)2-3lox+1≤0的解集为M,求当x∈M时,函数f(x)=log2×log2的最大值和最小值.
解:由2(lox)2-3lox+1≤0,得(2lox-1)·
(lox-1)≤0,解得≤lox≤1,
所以≤x≤,所以M=.
f(x)=log2×log2=(-1+log2x)(-3+log2x)=(log2x)2-4log2x+3.令t=log2x,由log2x=-lox,得t∈,
所以f(t)=t2-4t+3=(t-2)2-1.
因为f(t)=(t-2)2-1在t∈上单调递减,所以当t=-,即log2x=-,x=时,y取得最小值,为;
当t=-1,即log2x=-1,x=时,y取得最大值,为8.
8.已知函数f(x)=loga(ax2-x).
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=时,f(x)=lo(x2-x).易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),且y=x2-x在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
故函数f(x)=lo(x2-x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.
(2)令g(x)=ax2-x,则g(x)图象的对称轴为直线x=.又因为f(x)在区间[2,4]上是增函数,
则有:①当a>1时,≤2,所以a>1.
又因为g(x)在区间[2,4]上恒大于0,
所以g(2)>0,所以4a-2>0,解得a>,所以a>1.
②当0又因为g(x)在区间[2,4]上恒大于0,
所以g(4)>0,所以16a-4>0,解得a>,与01.
C级 挑战创新
9.多选题已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3-x),下列说法正确的是
( )
A.函数f(x)的定义域为(-3,3)
B.函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
C.函数f(x)是在定义域上的减函数
D.函数f(x)的最大值是ln
9
解析:由得-3由f(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,故选项B错误;
由f(x)=ln(9-x2),知f(x)不是单调函数,故选项C错误;
由f(x)=ln(9-x2)≤ln
9,知f(x)的最大值为ln
9,故选项D正确.
答案:AD
10.多空题若函数f(x)=log2为奇函数(f(x)不是常数函数),则a=-1.f(x)>0的解集为(0,1).
解析:由题意,知f(-x)=-f(x),即
log2+log2=0,
所以log2=0,即=1,
所以1-a2x2=1-x2,所以a2=1,即a=±1,当a=1时,f(x)=0不合题意,故a=-1.
由f(x)=log2>0,得>1,即-1>0,
所以>0,所以x(1-x)>0,解得0