4.5.1函数的零点与方程的解
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.函数f(x)=x+的零点的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:A
2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为
( )
A.,0
B.-2,0
C.
D.0
答案:D
3.函数f(x)=ln
x-的零点所在的区间是( )
A.(1,2)
B.(1,e)
C.(e,3)
D.(0,1)
答案:C
4.若f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为1和1+.
5.判断函数f(x)=-()x是否存在零点,并求零点的个数.
解:方法1(单调性法) 因为y=在区间[0,+∞)上单调递增,y=()x在R上单调递减,所以f(x)=-()x在区间[0,+∞)上单调递增.又因为f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以f(x)=-()x在定义域内只有一个零点.
方法2(数形结合法) 令f(x)=-()x=0,所以
=()x,在同一平面直角坐标系中作出y=和y=()x的图象,如图所示.
由图象可知两个函数的图象只有一个交点,故函数f(x)=-()x只有一个零点.
B级 能力提升
6.若函数f(x)=ln
x+x-4有零点的区间为(k,k+1),k∈Z,则k=2.
解析:方法1(应用零点存在定理求解)
易知函数f(x)=ln
x+x-4在定义域内为增函数,且f(2)=ln
2-2<0,f(3)=ln
3-1>0,
所以f(2)f(3)<0,所以函数f(x)在区间(2,3)上有零点.所以k=2.
方法2(转化为函数图象交点问题)
令y1=4-x,y2=ln
x.
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图所示.
当x=2时,y1=2,y2=ln
2<2,
当x=3时,y1=1,y2=ln
3>1,
所以函数f(x)的零点在区间(2,3)上.故k=2.
7.已知a∈R,当x>0时,f(x)=log2+a.
(1)若函数f(x)的图象过点(1,1),求此时函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,求实数a的值.
解:(1)因为a∈R,当x>0时,f(x)=log2(+a),
函数f(x)的图象过点(1,1),
所以f(1)=log2(1+a)=1,解得a=1,
此时函数f(x)=log2(+1).
(2)g(x)=f(x)+2log2x=log2(+a)+2log2x=
log2(x+ax2).
因为函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,
所以ax2+x=1只有一个解,
所以当a=0时,x=1,满足题意;
当a≠0时,ax2+x-1=0只有一个根,则Δ=12-4a×(-1)=0,解得a=-.
综上所述,a=0或a=-.
8.已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(2)讨论f(x)的零点个数.
解:(1)当a=1时,函数f(x)=,该函数为奇函数.
证明如下:
依题意,得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)===-=
-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
(2)对f(x)进行化简,得f(x)=a-,所以f(x)=0等价于a=.因为函数y=2x在R上单调递增且值域为(0,+∞),所以y=在R上单调递减且值域为(0,2),所以当a≤0或a≥2时,函数f(x)无零点;当0
C级 挑战创新
9.多选题已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线,有如下的x,f(x)的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
-8
2
-3
5
6
8
则函数f(x)一定存在零点的区间有
( )
A.(2,3)和(3,4)
B.(3,4)和(5,6)
C.(1,2)
D.(5,6)
解析:由题中表格可知f(1)f(2)<0,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,根据零点存在定理可知函数f(x)在区间(1,2),(2,3),(3,4)上一定存在零点.
答案:AC
10.多空题已知函数f(x)=
(1)当m=0时,函数f(x)的零点个数为3;
解析:当m=0时,
函数f(x)=
当x≤0时,令-x2-2x=0,解得x=0或x=-2;
当x>0时,令x-4=0,解得x=4
所以当m=0时,函数f(x)有三个零点.
(2)如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为[-2,0)∪[4,+∞).
解析:作出函数y=-x2-2x和y=x-4的图象,如图所示.
要使函数f(x)恰有两个零点,则-2≤m<0或m≥4,
即实数m的取值范围是[-2,0)∪[4,+∞).4.5.2用二分法求方程的近似解
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)·f()>0,则
( )
A.f(x)在区间a,上有零点
B.f(x)在区间,b上有零点
C.f(x)在区间a,上无零点
D.f(x)在区间,b上无零点
答案:B
2.如果函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点的附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-
0.260
f(1.437
5)≈
0.162
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为
( )
A.1.2
B.1.3
C.1.4
D.1.5
答案:C
3.用二分法求方程2x+3x-9=0在区间[1,3]上的近似根时,取中点2,则下一个有根区间是(1,2).
4.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687
5)<0,即得出方程的一个近似解为0.687
5(答案不唯一).(精确度为0.1)?
5.用二分法求函数f(x)=x2-5的零点的近似值(精确度为0.1).
解:因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,
所以f(2.2)f(2.4)<0,
说明这个函数在区间(2.2,2.4)上有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,则f(2.3)=0.29.
因为f(2.2)f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3).
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,
f(2.25)=0.062
5.
因为f(2.2)f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25).
因为|2.25-2.2|=0.05<0.1,所以函数f(x)=x2-5的零点的近似值可取为2.25.
B级 能力提升
6.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,若用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:设等分的最少次数为n,则由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.
答案:B
7.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,至少4次就一定可以发现这枚假币.
解析:将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,至少称4次就一定可以发现这枚假币.
8.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间(0,1)上有两个实根.
证明:因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
因为a+b+c=0,所以a=-b-c,因为-b-2c>0,
所以-b-c>c,即a>c.
因为f(0)>0,所以c>0,所以a>0.
取区间(0,1)的中点,
则f()=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
因为f(0)>0,f(1)>0,
所以函数f(x)在区间(0,)上和区间(,1)上各有一个零点.
又因为f(x)为二次函数,最多有两个零点,所以方程f(x)=0在区间(0,1)上有两个实根.
C级 挑战创新
9.多选题下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是
( )
A.y=+1
B.y=
C.y=x2+4x+8
D.y=|x|
解析:对于选项C,y=x2+4x+8=(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.易知选项A,B有零点,且可用二分法求零点的近似值.
答案:CD
10.多空题某同学在借助计算器求方程lg
x=2-x的近似解(精确度为0.1)时,设f(x)=lg
x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0.在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是1.5,1.75,1.875,1.812
5.?
解析:第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812
5).(共34张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
提示:人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来解决.
提示:地震震级的变化规律、溶液pH值的变化规律等可以用对数函数模型来解决.
解析:将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验证即可.
答案:C
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
答案:D
提示:分析和理解实际问题的增长情况,根据增长情况选择函数类型构建函数模型.
解析:对于一个实际问题,可以选择不同的函数模型,只是模拟效果有所差别.
答案:×
解析:数据越多,模拟效果越好.
答案:√
解析:根据散点图选择函数模型,针对性较强,得到的函数模型的模拟效果较好.?
答案:√
答案:D
24
④4.5.3函数模型的应用
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2
(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到
( )
A.300只 B.400只 C.600只 D.700只
答案:A
2.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低,则现在价格为8
100元的计算机经过15年的价格为
( )
A.2
300元
B.2
800元
C.2
400元
D.2
000元
答案:C
3.某种细胞在正常培养过程中,时刻t(单位:min)与细胞数n(单位:个)的部分数据如下表:
t/min
0
20
60
140
n/个
1
2
8
128
根据表中数据,推测繁殖到1
000个细胞时的时刻t最接近于
( )
A.200
min
B.220
min
C.240
min
D.260
min
答案:A
4.设在海拔x
m处的大气压强为y
kPa,y与x的函数关系可近似地表示为y=100eax.若在海拔1
000
m处的大气压强为90
kPa,则根据函数解析式,在海拔2
000
m处的大气压强为81
kPa.
5.某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验,经检测,病毒细胞的个数与天数的记录如下表:
天数
1
2
3
4
5
6
病毒细胞的个数
1
2
4
8
6
2
已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡,但注射某种药物,可杀死其体内该病毒细胞的98%.为了使小白鼠在试验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天,lg
2≈0.301
0)?
解:由题意,知第一次注射药物前病毒细胞个数y关于天数n(n∈N
)的函数解析式为y=2n-1(n∈N
).为了使小白鼠在试验过程中不死亡,则2n-1≤108,两边取对数,得n≤27.578,即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
B级 能力提升
6.有浓度为90%的溶液100
g,从中倒出10
g后再倒入10
g水称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg
2≈0.301
0,lg
3≈0.477
1)
( )
A.19
B.20
C.21
D.22
解析:操作次数为n时的浓度为n+1,由n+1<10%,得n+1>=≈21.8,所以n≥21.
答案:C
7.某科技股份有限公司为激励创新,打破发达国家的芯片垄断,计划逐年增加研发资金投入,若该公司2017年全年投入的研发资金为100万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg
1.1≈0.041,lg
2≈0.301)
( )
A.2023年
B.2024年
C.2025年
D.2026年
解析:设从2017年后,第n(n∈N
)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由题意可得100×(1+10%)n>200,即1.1n>2,两边取对数可得n>≈≈7.3,则n≥8,即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2025年.
答案:C
8.某食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数解析式t=且该食品在4
℃的保鲜时间是16
h.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化的图象如图所示.
给出以下四个结论:
①该食品在储藏温度为6
℃的保鲜时间是8
h;
②当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着储藏温度x的增大而逐渐减少;
③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内.
其中,所有正确结论的序号是①.
解析:由题意,知当x=4时,t=16,
所以24k+6=16=24,所以4k+6=4,所以k=-,
所以当x>0时,t=.
当x=6时,t=23=8(h),故①正确.
因为当x≤0时,t=64,故②不正确.
由题图,知此日13时储藏温度为10
℃,
当x=10时,t=2,已过保鲜时间,故③不正确.
综上,正确答案为①.
9.国际视力表值(又叫小数视力值,用V表示,范围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值,由缪天容创立,用L表示,范围是[4.0,5.2])的换算解析式为L=5.0+lg
V.
(1)请根据此解析式将下面视力对照表补充完整.
V
1.5
②
0.4
④
L
①
5.0
③
4.0
(2)甲、乙两位同学检查视力,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍,求乙的对数视力值.(所求值均精确到小数点后面一位数字,参考数据:lg
2≈0.301
0,lg
3≈0.477
1)
解:(1)因为5.0+lg
1.5=5.0+lg=5.0+lg=5.0+
lg
3-lg
2≈5.0+0.477
1-0.301
0≈5.2,
所以①处应填5.2.因为5.0=5.0+lg
V,
所以V=1,②处应填1.0.
因为5.0+lg
0.4=5.0+lg=5.0+lg
4-1=5.0+2lg
2-1≈5.0+2×0.301
0-1≈4.6,所以③处应填4.6.
因为4.0=5.0+lg
V,所以lg
V=-1,所以V=0.1.
所以④处应填0.1.
对照表补充完整如下:
V
1.5
1.0
0.4
0.1
L
5.2
5.0
4.6
4.0
(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值,则有4.5=5.0+lg
V甲,所以V甲=10-0.5,则V乙=2×10-0.5.
所以乙的对数视力值L乙=5.0+lg(2×10-0.5)=5.0+lg
2-0.5≈5.0+0.301
0-0.5≈4.8.
C级 挑战创新
10.多空题某个细菌经30
min数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:h),y表示繁殖后细菌总个数,则k=2ln
2,经过5
h,1个细菌通过繁殖,个数变为1
024.?
解析:由题意,知当t=时,y=2,
即2=,所以k=2ln
2,所以y=e2tln
2.
当t=5时,y=e2×5×ln
2=210=1
024.
即经过5
h,1个细菌通过繁殖,个数变为1
024.(共26张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
f(x)=0
实数解
零点
与x轴有公共点
提示:函数的零点不是一个点,而是一个实数.
解析:由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故选D.
答案:D
连续不断
f(a)f(b)<0
提示:增加函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调函数,则只有一个零点.
解析:可能有零点.
答案:×
解析:也可能f(a)f(b)>0.
答案:×
解析:至少有一个零点.
答案:×
1和2
e,0和-2
0
3
1
答案:B
答案:C(共23张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
f(a)f(b)<0
一分为二
逐步逼近
f(a)f(b)<0
b=c
a=c
提示:不是.零点两侧函数值符号相反的零点可用二分法求近似值,零点两侧函数值符号相同的零点无法用二分法求解.
解析:不一定,例如:函数x-2=0用二分法求出的解就是精确解,故说法错误.
答案:×
解析:对于函数f(x)=|x|,不存在区间(a,b),使f(a)f(b)<0,所以不能用二分法求其零点.
答案:×
解析:函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内,故说法错误.
答案:×
解析:题图中图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;零点左、右两侧函数值异号的有3个,所以可以用二分法求解的个数为3.
答案:D
解析:设f(x)=2x+x-5,f(1)=-2<0,f(3)=6>0,f(2)=1>0,
f(x)零点所在的区间为(1,2),
所以方程2x+x-5=0下一个有根的区间是(1,2).
(1,2)
解析:在选项A和选项D中,函数虽然有零点,但它们在零点两侧的函数值同号,因此它们都不能用二分法求零点;
在选项B中,函数无零点;
在选项C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且在零点两侧的函数值异号,所以选项C中的函数能用二分法求其零点.
答案:C
答案:D
答案:C
解析:由题表,知f(1.312
5)·f(1.375)<0,
且1.375-1.3125=0.062
5<0.1,
所以方程的一个近似解可取1.32.
答案:A