4.2.1指数函数的概念
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,则a的值是
( )
A.4
B.1或3
C.3
D.1
答案:C
2.若点(a,27)在函数y=()x的图象上,则的值为
( )
A.
B.1
C.2
D.0
答案:A
3.若指数函数f(x)=ax的图象经过点,8,则底数a的值是
( )
A.2
B.4
C.
D.
答案:B
4.函数f(x)=的定义域为[1,+∞).
5.在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过10天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(参考数据:1.062
510≈1.834)
解:设湖泊中蓝藻的原有数量为a,则经过x天后,蓝藻的数量为y=a×1.062
5x,经过10天,蓝藻的数量为a×1.062
510
≈1.834a,即经过10天,该湖泊的蓝藻会变为原来的1.834倍.
B级 能力提升
6.某城市房价(均价)经过6年时间从1
200元/m2增加到了4
800元/m2,则这6年间平均每年的增长率是
( )
A.-1
B.+1
C.50%
D.600元
解析:设这6年间平均每年的增长率为x,则
1
200(1+x)6=4
800,解得x=-1=-1.
答案:A
7.若函数f(x)=(a2-2a+1)(a+1)x为指数函数,则a=2.
解析:由题意,知解得a=2.
8.据报道,某湖的水量在最近50年内减少了10%.如果按此规律,设2019年的湖水量为m,写出从2019年起,经过x年后湖水量y与x之间的函数解析式.
解:由题意可设每年湖水量是上一年的P%,则(P%)50=0.9,所以P%=0.,
所以从2019年起,经过x年后,湖水量y与x之间的函数解析式为y=m·0..
C级 挑战创新
9.多选题下列各函数中,定义域为R的函数是
( )
A.y=x3
B.y=5x+1
C.y=
D.y=
解析:函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其他函数的定义域均为R.
答案:ACD
10.多空题已知指数函数f(x)的图象过点,,则f(x)=,[f(2)]2的值为.
解析:设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),
把点(,)代入可得=,解得a=.
所以f(x)=()x,
所以[f(2)]2=[()2]2=.(共24张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
y=ax(a>0,且a≠1)
指数x
R
提示:
①底数是大于0,且不等于1的常数.
②指数是自变量x.
③ax的系数必须是1.
解析:因为函数y=(a-2)ax是指数函数,
所以a-2=1,解得a=3,故选C.
答案:C
y=N(1+p)x(x∈N)
增长
衰减
提示:
当a>1时为指数增长型函数,当0
1%
10%
答案:C
解析:因为函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,
所以2a-3=1,解得a=2.
所以f(x)=2x,所以f(1)=2.故选D.
答案:D
64
729
y=a·0.85x(x∈N
)
解析:设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积为y=a·2x(x∈N
),
根据题意,令2(a·2x)=a·220,解得x=19.
答案:C4.2.2指数函数的图象和性质
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.若x+1>1,则x的取值范围是
( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)
答案:D
2.若1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为
( )
A
B
C
D
答案:C
3.函数f(x)=2x在区间[-1,3]上的最小值是.
4.函数f(x)=的定义域是(-∞,-2].
5.已知指数函数f(x)的图象经过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)若g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围.
解:(1)设f(x)=ax(a>0,且a≠1),
因为函数f(x)的图象过点(3,8),所以a3=8,得a=2,
所以f(x)=2x,
所以f(x)关于y轴对称的函数g(x)=x.
(2)因为g(x)在R上是减函数,
由g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),可得
2x2-3x+1解得2B级 能力提升
6.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=x的图象可能为
( )
A
B
C
D
解析:因为y=()x是指数函数,所以>0,即a,b同号.所以二次函数y=ax2+bx图象的对称轴
x=-<0,排除选项B,D;由A,C项中指数函数的图象,得0<<1,则-<-<0,即二次函数的顶点的横坐标在区间(-,0)上,显然选项C错误,故选A.
答案:A
7.若f(x)=+m是奇函数,则常数m的值为1.
解析:f(x)=+m的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),
因为f(x)为奇函数,所以对于定义域上任意的实数x,
都有f(x)+f(-x)=0,
即(+m)+(+m)=0,
所以m=--=-+=1.
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=()x-1.
(1)求函数f(x)的解析式,并作出函数f(x)的图象;
(2)当x∈[2,4]时,不等式f(2-5x)解:(1)当x<0时,-x>0,
f(-x)=()-x-1=3x-1.
又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),故当x<0时,f(x)=-3x+1.
当x=0时,f(0)=0,满足x>0时的解析式.
故f(x)=
f(x)的图象如下:
(2)由(1)可知f(x)在R上单调递减,故由f(2-5x)<
f(2x2-mx+20)可得2-5x>2x2-mx+20,
即m>2(x+)+5对x∈[2,4]恒成立,只需要m>[2(x+)+5]max即可.当x∈[2,4]时,[2(x+)+5]max=18,故m的取值范围为(18,+∞).
C级 挑战创新
9.多选题下列大小关系正确的是
( )
A.0.65<π0<50.6
B.40.9<-1.5<80.48
C.<0.40.2<20.4
D.<<
解析:选项A,0.65<1,50.6>1,故选项A正确;
选项B,40.9=21.8,()-1.5=21.5,80.48=21.44,因此40.9>()-1.5>80.48,故选项B错误;
选项C,=0.40.5<0.40.2<1,而20.4>1,故选项C正确;
选项D,()>()>(),故选项D错误.
答案:AC
10.多空题已知函数f(x)=(a∈R),若f(f(-1))=1,则a=,f(f(-2))=4.
解析:由题意,得f(-1)=2,f(f(-1))=f(2)=4a=1,解得a=,即f(x)=
则f(f(-2))=f(4)=×24=4.(共31张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
y轴
提示:横坐标一定,底数越大,图象越高.
y=10x
R
(0,+∞)
减函数
提示:
指数函数的图象与x轴无限靠近,但不相交,一定在x轴的上方.
答案:A
解析:由2x>0,得2x+1>1,所以函数y=2x+1的值域为(1,+∞).
(1,+∞)
解析:
因为指数函数y=0.6x在R上为减函数,
且0.6<1.5,所以0.60.6>0.61.5,即a>b.
答案:C
答案:A
解析:因为原不等式可化为3x-2>30,即x-2>0,
解得x>2,则原不等式的解集为(2,+∞).
(2,+∞)
解:①当a>1时,由原不等式可得x2-2x>x+4,
即x2-3x-4>0,所以(x-4)(x+1)>0,
所以x>4或x<-1.
②当0即(x-4)(x+1)<0,所以-1综上所述,当a>1时,x的取值范围为{x|x>4,或x<-1};
当0{x|x<0,或x>4}
答案:D
(2,2)
解析:y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象可看成是由y=ax的图象向上或向下平移得到的.因其图象不经过第一象限,所以a∈(0,1).又因为y=ax+b-1的图象经过第二、三、四象限,所以1+b-1<0,即b<0.故选C.
答案:C
解析:令x+3=0,得x=-3,此时y=1-4=-3,
即函数y=ax+3-4(a>0,且a≠1)的图象一定经过点(-3,-3).
(-3,-3)
答案:C