(共22张PPT)
第三章
函数的概念与性质
f(x0)=M
提示:不一定.反例:f(x)=x既无最大值,也无最小值.
2
-1
1
5
答案:C
3
-2
2
-7
8
-2
-4(共28张PPT)
第三章
函数的概念与性质
f(x1)
f(x1)>f(x2)
单调递增
单调递减
增函数
减函数
提示:定义中的x1,x2有以下3个特征:
①任意性,即x1,x2是任意选取的,证明时不能以特殊代替一般;
②有大小,通常规定x1③属于同一个单调区间.
提示:若函数f(x)是其定义域上的增函数,
则当f(a)>f(b)时,a>b;
若函数f(x)是其定义域上的减函数,
则当f(a)>f(b)时,a解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大,函数值也越大,而不是个别的自变量.
答案:×
答案:×
答案:×
单调递增或单调递减
单调区间
提示:不能确定.由特殊值的大小不能判定函数的单调性.
答案:C
答案:D
解析:因为f(x)=x2-2x+3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为直线x=1,所以函数f(x)的单调减区间是(-∞,1).
?
(-∞,1)
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2],
[-2,1],[1,3],[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是增函数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
[-2,1]
[3,5]
[-5,-2]
[1,3]
(-∞,1),(1,+∞)
解析:因为函数f(x)是开口向下的二次函数,
其对称轴为直线x=a,
所以f(x)的单调递减区间为(a,+∞).
(a,+∞)
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,
所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a.
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a].
因为f(x)在(-∞,4]上是减函数,
所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合,
所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范围为(-∞,-3].
(-∞,-3]
解:由例题知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a],所以1-a=4,解得a=-3.
解析:因为y=f(x)在R上单调递增,且f(m2)>f(-m),所以m2>-m,即m2+m>0.解得m<-1或m>0,即m的取值范围是(-∞,
-1)∪(0,+∞).故选D.
答案:D第2课时
函数的最大(小)值
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.下列函数在区间[1,4]上的最大值为3的是( )
A.y=+2
B.y=3x-2
C.y=x2
D.y=1-x
答案:A
2.函数f(x)=|x+1|在区间[-2,2]上的最小值为
( )
A.5
B.2
C.1
D.0
答案:D
3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为
( )
A.90万元
B.60万元
C.120万元
D.120.25万元
答案:C
4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是[1,2].
5.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间(,+∞)上的单调性;
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最值.
解:(1)设x1,x2是区间(,+∞)上的任意两个实数,且x2>x1>,
f(x1)-f(x2)=-=.
因为x2>x1>,所以x2-x1>0,
且(2x1-1)(2x2-1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=在区间(,+∞)上是减函数.
(2)由(1)知,函数f(x)在[1,5]上是减函数,因此,函数f(x)=在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值,即最大值为f(1)=3,最小值为f(5)=.
B级 能力提升
6.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有>0成立,且f(-3)=m,f(-1)=n,则f(x)在区间[-3,-1]上的最大值是n.
解析:由>0,且a,b是任意的,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在区间[-3,-1]上的最大值是f(-1)=n.
7.某厂借助网络平台,推出品牌为“土豆”的新产品,生产“土豆”的固定成本为20
000元,每生产一件“土豆”需要增加投入100元,根据初步测算,总收益(单位:元)满足分段函数φ(x),其中φ(x)=
x是“土豆”的月产量(单位:件),总收益=成本+利润.
(1)试将利润y表示为月产量x的函数.
(2)当月产量为多少件时利润最大?最大利润是多少?
解:(1)依题意,知总成本为20
000+100x,则y=
(2)当0000,
则当x=300时,ymax=25
000;
当x>400时,y=60
000-100x是减函数,
因为x∈N,所以当x=401时,ymax=60
000-100×401=19
900,
所以当月产量为300件时,利润最大,最大利润是25
000元.
8.已知函数f(x)=x2-x+a+1.
(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的解析式.
解:(1)由f(x)≥0对一切实数x恒成立,
知x2-x+a+1≥0对x∈R恒成立,
所以Δ=1-4(a+1)≤0,解得a≥-,
所以实数a的取值范围为[-,+∞).
(2)因为f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+(x≤a),
①当a<时,g(a)=f(x)min=f(a)=a2+1;
②当a≥时,g(a)=f(x)min=f()=a+.
所以g(a)=
C级 挑战创新
9.多空题若函数f(x)=,则x∈[3,5]的最大值为2,最小值为1.
解析:f(x)=在区间[3,5]上为减函数,当x=3时,f(x)max=2,当x=5时,f(x)min=1.
10.多空题函数y=g(x)=2x-的定义域为[-1,+∞),值域为[-,+∞).
解析:因为x+1≥0,所以x≥-1,
所以函数的定义域为[-1,+∞).
设=t(t≥0),则x+1=t2,即x=t2-1,
所以y=2t2-t-2=2(t-)2-,t≥0,
所以当t=时,ymin=-,
所以函数g(x)的值域为[-,+∞).第1课时函数的单调性
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的说法错误的是
( )
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[1,4]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
答案:C
2.若x1,x2∈(-∞,0),且x1f(x1)与f(x2)的大小关系是
( )
A.f(x1)>f(x2)
B.f(x1)C.f(x1)=f(x2)
D.以上都有可能
答案:B
3.下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞)都有>0”的是
( )
A.f(x)=
B.f(x)=-3x+1
C.f(x)=x2+4x+3
D.f(x)=x+
答案:C
4.函数f(x)=|x-1|+2的单调递增区间为[1,+∞).
5.已知函数f(x)=.
(1)设f(x)的定义域为A,求集合A;
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.
解:
(1)由x2-1≠0,得x≠±1,所以函数f(x)=的定义域为A={x|x∈R,且x≠±1}.
(2)函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减.
证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1f(x2)-f(x1)=-=.
因为x1>1,x2>1,
所以-1>0,-1>0,x1+x2>0.
又因为x1因此,函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减.
B级 能力提升
6.已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是
( )
A.(0,3)
B.(0,3]
C.(0,2)
D.(0,2]
解析:由题意,得实数a满足
解得0答案:D
7.已知函数f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,则f(a2-a+1)与f()的大小关系是f(a2-a+1)≤f().
解析:因为a2-a+1=(a-)2+≥>0,且f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,所以f(a2-a+1)≤f().
8.讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.
解:f(x)=x+(a>0).
因为定义域为{x|x∈R,且x≠0},
所以可分开证明,设x1>x2>0,
则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·
(1-).
当01,则1-<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
故f(x)在区间(0,]上是减函数;
当x1>x2>时,恒有0<<1,则1->0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
故f(x)在区间(,+∞)上是增函数.
同理可证f(x)在区间(-∞,-)上是增函数,在区间[-,0)上是减函数.
综上所述,f(x)在区间(-∞,-),(,+∞)上是增函数,在区间[-,0),(0,]上是减函数.
C级 挑战创新
9.多选题已知函数f(x)=8+2x-x2,则下列结论不正确的是
( )
A.f(x)在区间(-∞,1]上是减函数
B.f(x)在区间(-∞,1]上是增函数
C.f(x)在区间[-1,+∞)上是减函数
D.f(x)在区间[-1,+∞)上是增函数
解析:f(x)=8+2x-x2=-(x-1)2+9,结合它的图象(图略)知B项正确,A,C,D项错误,故选A、C、D.
答案:ACD
10.多选题下列有关函数单调性的说法,正确的是
( )
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数
解析:若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的增减性不确定.
例如:f(x)=x+2为R上的增函数,
当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数.所以不能确定f(x)+g(x)的单调性.
答案:ABD