(共31张PPT)
第三章
函数的概念与性质第2课时奇偶性的应用
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.如果偶函数在区间[a,b]上具有最大值,那么该函数在区间[-b,-a]上
( )
A.有最大值
B.有最小值
C.没有最大值
D.没有最小值
答案:A
2.下列函数中是奇函数且在区间(0,1)上递增的函数是
( )
A.f(x)=x+
B.f(x)=x2-
C.f(x)=
D.f(x)=x3
答案:D
3.若f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是
( )
A.{x|-3
3}
B.{x|x<-3,或0C.{x|x<-3,或x>3}
D.{x|-3答案:B
4.偶函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,若x1<0,x2>0,且|x1|>|x2|,则f(x1)与f(x2)的大小关系是f(x1)>f(x2).
5.已知函数f(x)和g(x)满足f(x)=2g(x)+1,且g(x)为R上的奇函数,f(-1)=8,求f(1).
解:因为f(-1)=2g(-1)+1=8,
所以g(-1)=.
又因为g(x)为奇函数,所以g(-1)=-g(1),
所以g(1)=-g(-1)=-.
所以f(1)=2g(1)+1=2×(-)+1=-6.
B级 能力提升
6.(2020年新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是
( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
答案:D
7.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b是常数)是偶函数,值域为(-∞,4],则该函数的解析式为f(x)=-2x2+4.
解析:由于f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(ab+2a)·x+2a2,
所以f(-x)=bx2-(ab+2a)x+2a2,
由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x).
所以ab+2a=0,所以a=0或b=-2.
又因为f(x)有最大值4,所以b=-2,且f(0)=2a2=4,
所以f(x)=-2x2+4.
8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b∈R,当a-b≠0时,都有>0.
(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;
(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.
解:(1)因为a>b,所以a-b>0,
因为>0,
所以f(a)+f(-b)>0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-b)=-f(b),
所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).
(2)由(1)知,f(x)为R上的增函数,
因为f(1+m)+f(3-2m)≥0,
所以f(1+m)≥-f(3-2m),
即f(1+m)≥f(2m-3),
所以1+m≥2m-3,解得m≤4.
所以实数m的取值范围为(-∞,4].
C级 挑战创新
9.开放题老师给出一个函数,请三位同学各说出了这个函数的一条性质:
①此函数为偶函数;
②定义域为{x∈R|x≠0};
③在区间(0,+∞)上为增函数.
老师评价说其中有一名同学的结论错误,另两名同学的结论正确.请你写出一个(或几个)这样的函数:y=x2或y=或y=-(答案不唯一).
解析:本题为开放型题目,答案不唯一,可结合条件来找.如:y=x2或y=或y=-.
10.多空题若函数f(x)=为奇函数,则g(x)
=-x2+2x,f(g(-1))=-15.
解析:当x<0时,-x>0.
因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=(-x)2-2x=x2-2x,
所以f(x)=-x2+2x,即g(x)=-x2+2x,
因此,f(g(-1))=f(-3)=-9-6=-15.第1课时
奇偶性的概念
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是( )
A
B
C
D
答案:B
2.若f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x≤0时
( )
A.f(x)≤2
B.f(x)≥2
C.f(x)≤-2
D.f(x)∈R
答案:B
3.若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx
( )
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
答案:A
4.已知f(x)=(k-2)x2+(k-3)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间为(-∞,0].
5.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3+x5;
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
(3)f(x)=.
解:
(1)函数的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R,关于原点对称.因为f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),所以f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
B级 能力提升
6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=
( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
解析:用“-x”代替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得f(x)+g(x)=-x3+x2+1,
令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选C.
答案:C
7.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=.
解析:根据题意,知f(x)==1+,令h(x)=,则h(x)是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=.
8.已知函数f(x)=(a,b,c∈Z)是奇函数,又f(1)=2,f(2)<3,求a,b,c的值.
解:因为函数f(x)=是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
因此,有=-,所以c=-c,即c=0.
所以f(x)=.
又因为f(1)=2,所以a+1=2b,
由f(2)<3,得<3,解得-1.
因为a,b,c∈Z,所以a=0或a=1,
当a=0时,b=?Z,故舍去;当a=1时,b=1.
综上可知,a=1,b=1,c=0.
C级 挑战创新
9.多选题下列说法正确的是
( )
A.f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数
B.g(x)=既不是奇函数也不是偶函数
C.F(x)=f(x)f(-x)(x∈R)是偶函数
D.h(x)=+既是奇函数,又是偶函数
解析:对于A项,因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数,A正确;
对于B项,由1-x2≥0,得-1≤x≤1,关于原点对称.所以g(x)===,满足g(-x)=-g(x),故y=g(x)是奇函数,B项错误;
对于C项,因为F(x)=f(x)f(-x),所以F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)(x∈R),所以F(x)=f(x)·f(-x)是偶函数,C项正确;
对于D项,由解得x=±1,故函数h(x)的定义域为{-1,1},且h(x)=0,所以h(x)既是奇函数,又是偶函数,D项正确.
答案:ACD
10.多空题设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(3)=,f(5)=.
解析:因为f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),令x=-1,得f(1)=f(-1)+f(2).
又因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1).于是f(2)=2f(1)=1;令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=,于是f(5)=f(3)+f(2)=.(共21张PPT)
第三章 函数的概念与性质
答案:D
f(x)=
解析:因为奇函数f(x)在区间[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,所以函数f(x)在区间[2,6]上是减函数,且最大值是-1.
答案:C
解析:因为f(x)在R上是偶函数,
所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),
而2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,
所以f(2)答案:A
答案:B
解析:由题意,知f(-2)=f(2)=0.
当x∈(-2,0)时,f(x)由对称性,知x∈[0,2)时,f(x)为增函数,f(x)故x∈(-2,2)时,f(x)<0,因此选B.
答案:B
答案:D