第2课时函数概念的综合应用
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.函数y=的值域为
( )
A.[-1,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,0]
D.(-∞,-1]
答案:B
2.与函数y=x+1是同一个函数的是
( )
A.y=
B.y=t+1
C.y=
D.y=()2
答案:B
3.下列函数中,值域为(0,+∞)的是
( )
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=x2+1
答案:B
4.函数y=的值域是[0,4].
5.求下列函数的定义域与值域.
(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)f(x)=(x-1)2+1;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=x-.
解:
(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},则f(-1)=[(-1)-1]2+1=5,同理可得f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.
(2)函数的定义域为R.因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞).
(3)函数的定义域为{x|x≠1}.因为f(x)==5+,所以函数的值域为(-∞,5)∪(5,+∞).
(4)要使函数有意义,需x+1≥0,即x≥-1,
故函数的定义域是{x|x≥-1}.
设t=,则x=t2-1(t≥0),
于是f(t)=t2-1-t=(t-)2-.
又因为t≥0,所以f(t)≥-.
所以函数的值域是[-,+∞)
B级 能力提升
6.函数y=的值域是
( )
A.(0,]
B.(0,)
C.(0,+∞)
D.(-∞,]
解析:因为x2≥0,所以3x2≥0,2+3x2≥2,所以0<≤.所以值域为(0,],故选A.
答案:A
7.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-,-4],则m的取值范围是
( )
A.(0,4]
B.[-,-4]
C.[,3]
D.[,+∞)
解析:由题意,知二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=,且当x=0或x=3时,y=-4,
当x=时,y=-.
所以m∈[,3],故选C.
答案:C
8.(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求f(x2+1)的定义域;
(2)已知f()的定义域为[0,3],求f(x)的定义域.
解:(1)因为函数f(x2+1)中的x2+1相当于函数f(x)中的x,所以0≤x2+1≤1,
所以-1≤x2≤0,所以x=0,
所以f(x2+1)的定义域为{0}.
(2)因为f()的定义域为[0,3],
所以0≤x≤3,所以1≤≤2,
所以f(x)的定义域为[1,2].
C级 挑战创新
9.多选题下列各组函数不是表示同一个函数的是( )
A.f(x)=与g(x)=|x|
B.f(x)=2x+1与g(x)=
C.f(x)=|x2-1|与g(t)=
D.f(x)=与g(x)=x
解析:A项中f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的定义域是R,定义域不同.
B项中f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是{x|x≠0},定义域不同.
C项中f(x)=|x2-1|,g(t)=|t2-1|,虽然表示自变量的字母不同,但定义域与对应关系都相同.
D项中f(x)=|x|,g(x)=x,对应关系不相同.
答案:ABD
10.多选题给出定义:若m-( )
A.f(-)=
B.f(3.4)=-0.4
C.f(-)=f()
D.y=f(x)的定义域为R,值域是[-,]
解析:由题意得f(-)==
=,A项正确;
f(3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4,B项错误;
f(-)===,
f()===,
所以f(-)=f(),C项正确;
y=f(x)的定义域为R,值域为[0,],D项错误.
答案:AC(共22张PPT)
第三章
函数的概念与性质
提示:没有影响.理由:自变量和对应关系用什么字母表示与函数无关.
答案:×
答案:√
答案:×
答案:A
③⑤
解析:
(分离常数法)y=
=
=2+
,显然
≠0,所以y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(-∞,2)∪(2,+∞)
解析:因为y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,所以当x=-1时,y取得最大值6,所以函数y=-x2-2x+5的值域为(-∞,6].
(-∞,6]
{6,5,2,-3}
[-3,6]
解析:因为x2≥0,1+x2≥1,所以0<
≤1.
答案:B
解析:作出函数f(x)=x2-2x,x∈[0,b]的图象,如图所示.
由图可知,区间右端点必为函数最大值的对应点,所以f(b)=3,即b2-2b=3,
所以b=-1或b=3.
又因为-1?[0,b],
所以b=3.
3
解析:因为x∈[-2,3],
所以2x-3∈[-7,3],
即函数y=f(x)的定义域为[-7,3].
令-7≤x+2≤3,
解得-9≤x≤1,
所以函数y=f(x+2)的定义域为[-9,1].
[-9,1]
解析:由题意可得
解得3≤x≤5,
所以g(x)的定义域为[3,5].
[3,5]第1课时
函数的概念
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.下列四个区间能表示数集A={x|0≤x<5,或x>10}的是
( )
A.(0,5)∪(10,+∞)
B.[0,5)∪(10,+∞)
C.(0,5]∪[10,+∞)
D.[0,5]∪(10,+∞)
答案:B
2.下列图象中表示函数图象的是
( )
A
B
C
D
答案:C
3.f(x)=+的定义域是
( )
A.[-1,+∞)
B.(-∞,-1]
C.R
D.[-1,1)∪(1,+∞)
答案:D
4.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是(,+∞).
5.已知f(x)=,
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(a)=2,求a的值.
解:(1)由题意,知1-x2≠0,解得x≠±1,所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).
(2)由f(a)=2,即=2,解得a=±.
B级 能力提升
6.下列四个方程中表示y是x的函数的是
( )
①x-2y=6;②x2+y=1;③x+y2=1;④x=.
A.①②
B.①④
C.③④
D.①②④
解析:判断y是否为x的函数,主要是看是否满足函数的定义,①②④符合要求,故选D.
答案:D
7.函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点的个数为
( )
A.可能有无数个
B.只有一个
C.至多一个
D.至少一个
解析:根据函数的定义,一个自变量x只能对应一个函数值y,而y=f(x)的定义域中不一定含有m.因此,有可能只有一个交点,有可能没有交点,故选C.
答案:C
8.如图,用长为1的铁丝做一个下部为矩形,上部为半圆形的框架,设半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x间的函数解析式(写出定义域).
解:由题意,得AB=2x,
l=πx,
所以AD=,
所以下部矩形的面积为2x·.
又因为上部半圆的面积为.
所以y=2x·+=-x2+x.
因为2x>0,且>0,
所以0故y与x间的函数解析式为y=-x2+x,定义域为0,.
C级 挑战创新
9.多选题设集合P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤y≤2},则下图中能表示P到Q的函数的是
( )
A
B
C
D
解析:根据函数的定义,在定义域内的任何一个x值,都唯一对应一个y值,故A项、D项正确;B项中定义域内的1对应了2个函数值,C项中定义域(1,2]内的x值,没有对应的y值,故B,C项错误.故选A、D.
答案:AD
10.多空题函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];其中只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].
解析:观察函数图象可知,f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]. (共27张PPT)
第三章
函数的概念与性质
非空的实数集
任意一个数x
唯一确定的数y
f：A→B
y=f(x),x∈A
取值范围A
{f(x)|x∈A}
提示:不是任何数集都可以用区间表示,如集合{0}不可用区间表示.
提示:集合A,B都是非空的实数集.
?
解析:函数的定义域或值域也可能是有限集,如f(x)=1.
答案:×
解析:根据函数的定义,对于定义域中的任意一个x,在值域中都有唯一确定的y与之对应.
答案:×
解析:在函数的定义中,函数的值域是集合B的子集.
答案:×
[a,b]
(a,b)
[a,b)
(a,b]
[a,+∞)
(a,+∞)
(-∞,b]
(-∞,b)
提示:若a,b是区间的左右端点,则a提示:不是任何数集都可以用区间表示,如集合{0}就不可以用区间表示.
[2
021,+∞)
(-∞,2]∪(3,+∞)
答案:D
答案:D
解析:根据函数的定义,知如果y是x的函数,那么x每确定一个值,y就随之确定一个值.对照选项,可知只有B项不符合此条件.故选B.
答案:B
①④
解:
(1)f(2)=
=
,g(2)=22+2=6.
(2)f(g(2))=f(6)=
.
解析:由g(b)=18,得b2+2=18,解得b=±4.
解析:因为f(x)=x2+x+1,所以f(
)=2+
+1=3+
3+
±4
解析:因为f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,所以f(f(-1))=a(a-1)2-1=-1.
所以a(a-1)2=0,所以a=1或a=0(舍去).
答案:A
解:(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤1,且x≠-1,
即函数的定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.
(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤5,且x≠±3,
即函数的定义域为{x|x≤5,且x≠±3}.
