【2012优化方案 精品课件】苏教版 数学 必修5：第三章3.3.3

(共36张PPT)
3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题　
3.3.3 简单的线性规划问题
课标要求：1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力．
课标定位
重点难点：本节重点：线性规划问题的图解法，关键是数形之间的转化(根据约束条件，画出可行域，并弄清目标函数所表示的几何意义)．
本节难点：将实际问题转化为线性规划问题，并给予求解，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．
基础知识梳理
1．线性规划中的基本概念
名　称 意　义
约束条件 由变量x，y组成的_________
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
不等式(组)
名　称 意　义
可行解 满足_________________的解(x，y)
可行域 所有________组成的集合
最优解 使目标函数取得______的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在_________条件下的最大值或最小值的问题
2.解决简单的线性规划问题的方法和步骤
线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题．解决这类问题最常用、最重要的一种方法就是图解法．其步骤为：①画：画出可行域；②变：把目标函数变形为斜截式方程，从纵截距的角度寻找最优解；③求：解方程组求出最优解；④答：写出目标函数的最值．
线性约束条件
可行解
最值
线性约束
3．几点说明
(1)线性规划问题可能没有最优解．
(2)当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．
(3)整点可行解就是可行域中横坐标和纵坐标都是整数的点．
课堂互动讲练
题型一
求线性目标函数的最值
线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问题的关键是画好平面区域，找到目标点．
例1
【分析】　解答本题可先画出可行域，采用图解法，平行移动直线求解．
【点评】　利用线性规划求最值
①准确画出可行域是解答此类问题的前提条件．
②把目标函数与过可行域内点的一组平行直线建立对应关系．
③理解好线性目标函数的几何意义是关键．
从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．
变式训练
解：目标函数为z＝3x＋5y，可行域如图所示，作出直线z＝3x＋5y，可知，直线经过点B时，z取得最大值，直线经过点A时，z取得最小值．
题型二
求非线性目标函数的最值
若目标函数不是线性函数，我们可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
【解】　作出可行域，如图所示，求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
【点评】　(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．
变式训练
题型三
已知目标函数的最值求参数
此类题目为线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．
例3
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，
－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_______．
【分析】　解答本题可先作出可行域，利用数形结合求解．
【解析】　由约束条件作出可行域(如图)．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax＋z时使直线在y轴上的截距最大，
∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1.
【答案】　a＞1
【点评】　解答此类问题必须要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．
题型四
线性规划应用问题
应用线性规划处理实际问题时应注意：
(1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美．
(2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加注意．
(3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
例4
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
【分析】　将已知数据列成下表：
原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位
甲 5 10
乙 7 4
费用 3 2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，则需要的费用为z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x＋7y≥35；同理，对铁质的要求可以表示为10x＋4y≥40，
【点评】　解决此类问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言，此题通过表格将数据进行整理，使问题难度大大降低．
变式训练
3．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．
某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测， 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
规律方法总结
1．用图解法解线性规划问题时要注意线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．
2．在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，然后列出正确的不等式组．
随堂即时巩固
课时活页训练