第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.函数y=1-2cos2x的最小正周期是
( )
A.
B.
C.π
D.2π
答案:C
2.若α为第二象限角,sin
α=,则sin
2α=
( )
A.-
B.-
C.
D.
答案:A
3.若tan
θ=-,则cos
2θ=
( )
A.-
B.-
C.
D.
答案:D
4.若x∈-,0,cos
x=,则tan
2x等于
( )
A.
B.-
C.
D.-
答案:D
5.已知<α<π,cos
α=-.
(1)求tan
α的值;
(2)求sin
2α+cos
2α的值.
解:(1)因为cos
α=-,<α<π,所以sin
α=,
所以tan
α==-.
(2)由(1)易得sin
2α=2sin
αcos
α=-,
cos
2α=2cos2α-1=,
所以sin
2α+cos
2α=-+=-.
B级 能力提升
6.化简1+tan
x·tan
=
( )
A.cos
x
B.tan
x
C.sin
x
D.sin
2x
解析:原式=1+·=
sin
x·=sin
x·==tan
x.
答案:B
7.若θ为锐角,cos(θ+15°)=,则cos(2θ-15°)=.
解析:因为θ为锐角,cos(θ+15°)=,
所以sin(θ+15°)=.
所以sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=,
cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×-1=-.
所以cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)
=cos(2θ+30°)cos
45°+sin(2θ+30°)sin
45°
=-×+×=.
8.已知函数f(x)=cos2x+sin
xcos
x,x∈R.
(1)求f的值;
(2)若sin
α=,且α∈,π,求f+.
解:(1)f()=cos2+sin
cos
=
()2+×=.
(2)因为f(x)=cos2x+sin
xcos
x=+sin
2x=+(sin
2x+cos
2x)=+sin(2x+),
所以f(+)=+sin(α++)=
+sin(α+)=+(sin
α+cos
α).
又因为sin
α=,且α∈(,π),所以cos
α=-.
所以f(+)=+(×-×)=.
C级 挑战创新
9.多空题已知sin
α=,α∈,π,则tan
2α=-,
cos
2α=.
解析:因为sin
α=,α∈(,π),
所以cos
α=-=-,
所以tan
α==-,tan
2α==-,
cos
2α=2cos2α-1=.
10.开放探究题某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin
13°cos
17°;
②sin215°+cos215°-sin
15°cos
15°;
③sin218°+cos212°-sin
18°cos
12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos
48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos
55°.
(1)请根据②式求出这个常数.
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
解:(1)sin215°+cos215°-sin
15°cos
15°=1-sin
30°=1-=.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin
αcos(30°-α)=.
证法1:sin2α+cos2(30°-α)-sin
αcos(30°-α)=sin2α+(cos
30°cos
α+sin
30°sin
α)2-sin
α(cos
30°·cos
α+sin
30°sin
α)=sin2α+cos2α+sin
αcos
α+
sin2α-sin
αcos
α-sin2α=sin2α+cos2α=.
证法2:sin2α+cos2(30°-α)-sin
αcos(30°-α)
=+-sin
α(cos
30°cos
α+
sin
30°sin
α)
=-cos
2α++(cos
60°cos
2α+sin
60°sin
2α)-sin
αcos
α-sin2α
=-cos
2α++cos
2α+sin
2α-sin
2α-(1-cos
2α)
=1-cos
2α-+cos
2α=.(共17张PPT)
第五章 三角函数第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.计算sin
47°cos
17°+cos
47°cos
107°的结果等于
( )
A.-
B.
C.
D.
答案:D
2.若sin(α+β)cos
β-cos(α+β)sin
β=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于
( )
A.1
B.-1
C.0
D.±1
答案:C
3.(1+tan
18°)(1+tan
27°)的值是
( )
A.
B.1+
C.2
D.2(tan
18°+tan
27°)
答案:C
4.函数f(x)=cos
x(1+tan
x)的最小正周期为2π.
5.已知α∈0,,β∈,π,且sin(α+β)=,cos
β=-,求sin
α.
解:因为β∈(,π),cos
β=-,所以sin
β=.
又因为0<α<,<β<π,
所以<α+β<.
又因为sin(α+β)=,
所以cos(α+β)=-=-=-,
所以sin
α=sin
[(α+β)-β]=sin(α+β)cos
β-cos(α+β)sin
β=×(-)-(-)×=.
B级 能力提升
6.在△ABC中,tan
A+tan
B+tan
C=3,tan2B=tan
Atan
C,则B等于
( )
A.30°
B.45°
C.120°
D.60°
解析:由公式变形得tan
A+tan
B=tan(A+B)(1-tan
A·tan
B)=tan(180°-C)(1-tan
Atan
B)=-tan
C(1-tan
Atan
B)=-tan
C+tan
Atan
Btan
C.
所以tan
A+tan
B+tan
C=-tan
C+tan
Atan
Btan
C+
tan
C=tan
Atan
Btan
C=3.
又因为tan2B=tan
Atan
C,所以tan3B=3,
所以tan
B=,所以B=60°.
答案:D
7.的运算法则为=ad-bc,则的值是0.
解析:=cos
cos
-sin
sin
=
Cos(+)=cos
=0.
8.如图,在平面直角坐标系中,以x轴非负半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
解:由条件得cos
α=,cos
β=.
因为α,β均为锐角,所以sin
α==,
sin
β==.
因此tan
α==7,tan
β==.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)因为tan
2β=tan(β+β)==
=,
所以tan(α+2β)===-1.
又因为α,β均为锐角,所以0<α+2β<,
所以α+2β=.
9.已知函数f(x)=2cos+,x∈R.若α,β∈0,,f4α+=-,
f4β-=,求cos(α+β)的值.
解:因为f(4α+)=-,
所以2cos[(4α+)+]=2cos(α+)=-,
所以sin
α=.
又因为f(4β-)=,
所以2cos[(4β-)+]=2cos
β=,
所以cos
β=.
又因为α,β∈[0,],所以cos
α=,sin
β=,
所以cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β=×-×=-.
C级 挑战创新
10.多空题已知函数f(x)=sinx+-sinx-,则此函数的周期T=2π;
若-≤x≤,则此函数的值域是[,].
解析:因为f(x)=sin(x+)-sin(x-)=sin
x·cos
+cos
xsin
-sin
xcos
+cos
xsin
=cos
x,所以函数f(x)的最小正周期为=2π.又因为-≤x≤,所以≤f(x)≤.(共30张PPT)
第五章 三角函数
-1
-1第1课时两角差的余弦公式
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.化简sin(x+y)sin(y-x)-cos(x+y)cos(x-y)的结果
为
( )
A.sin
2y
B.cos
2y
C.-cos
2y
D.-sin
2y
答案:C
2.若α∈[0,π],sin
sin
+cos
cos
=0,则α的值是
( )
A.
B.
C.
D.
答案:D
3.在平面直角坐标系中,角α与角β均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin
α=,则cos(α-β)=-.
4.若cos
α=,cos(α-β)=-,<α<2π,<α-β<π,则cos
β=-1.
5.若x∈,π,且sin
x=,求2cosx-+2cos
x的值.
解:因为x∈[,π],sin
x=,所以cos
x=-.
于是2cos(x-)+2cos
x=2(cos
xcos
+sin
x·
sin
)+2cos
x=2(-cos
x+sin
x)+2cos
x=
sin
x+cos
x=-=.
B级 能力提升
6.若cosθ+=,0<θ<,则cos
θ等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为θ∈(0,),所以θ+∈(,).
又因为cos(θ+)=,
所以sin(θ+)=,所以cos
θ=cos[(θ+)-
]=cos(θ+)cos
+sin(θ+)sin
=×
+×=.
答案:A
7.若cos(α-)+sin
α=,则cos
(α-)的值是.
解析:因为cos(α-)+sin
α=cos
α+sin
α=,所以cos
α+sin
α=,
所以cos(α-)=cos
α+sin
α=.
8.若sin
α+sin
β+sin
γ=0,cos
α+cos
β+cos
γ=0,则cos(α-β)的值是-.
解析:由题意,得sin
α+sin
β=-sin
γ,
①
cos
α+cos
β=-cos
γ,
②
①2+②2,得2+2(sin
αsin
β+cos
αcos
β)=1,
所以cos(α-β)=-.
9.如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.
(1)如果A,B两点的纵坐标分别为,,求cos
α和sin
β;
(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值.
解:(1)因为☉O为单位圆,且点A,B的纵坐标分别为,,
所以sin
α=,sin
β=.
因为α为锐角,所以cos
α=.
(2)因为β为钝角,且结合(1)知cos
β=-,
所以cos(β-α)=cos
βcos
α+sin
βsin
α=-×+×=.
C级 挑战创新
10.多空题已知点P(1,)是角α终边上一点,则
sin
α·
cos
α=,cos
(-α)=.
解析:由题意可得sin
α=,cos
α=,
所以sin
αcos
α=×=,
Cos(-α)=cos
cos
α+sin
sin
α=×+×=.(共18张PPT)
第五章 三角函数
α
α-1
