函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.若函数y=Asin(ωx+φ)+k的部分图象如图所示,则A与最小正周期T分别是
( )
A.A=3,T=
B.A=3,T=
C.A=,T=
D.A=,T=
答案:D
2.若某函数图象的一部分如图所示,则这个函数的解析式是
( )
A.y=sinx+
B.y=sin2x-
C.y=cos4x-
D.y=cos2x-
答案:D
3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立平面直角坐标系,如图(示意图)所示,设秒针位置为P(t,y).若初始位置为P0,,当秒针从P0(注:此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是
( )
A.y=sint+
B.y=sin-t-
C.y=sin-t+
D.y=sin-t-
答案:C
4.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发,在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是
( )
A
B
C
D
答案:C
5.已知函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象的一个最高点为(2,2),从这个最高点到相邻最低点之间的图象与x轴交于点(6,0),求这个函数的解析式.
解:已知函数图象的一个最高点为(2,2),
所以A=2.
又因为从此最高点到相邻最低点之间的图象与x轴交于点(6,0),
所以=6-2=4,所以T=16,所以ω==,
所以y=2sin(x+φ).
将最高点坐标(2,2)代入,得
2=2sin(×2+φ),所以sin(+φ)=1.又因为
|φ|<,所以φ=,
所以函数的解析式为y=2sin(x+).
B级 能力提升
6.如图,一个半径为3
m的水轮,水轮圆心O距离水面2
m,已知水轮自点A开始1
min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(单位:m)与时间x(单位:s)满足函数关系:y=Asin(ωx+φ)+2,则有
( )
A.ω=,A=3
B.ω=,A=3
C.ω=,A=5
D.ω=,A=5
解析:由题目可知y的最大值为5
m,所以5=A×1+2,所以A=3.由题意可得T=15
s,则ω=.故选A.
答案:A
7.一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32
m(即OM的长),巨轮的半径长为30
m,AM=BP=2
m,巨轮逆时针旋转且每12
min转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过
t
min,该吊舱P距离地面的高度为h
m,则h等于
( )
A.30sint-+30
B.30sint-+30
C.30sint-+32
D.30sint-
解析:如图,过点O作地面的平行线,作为x轴,过点O作x轴的垂线,作为y轴,过点B作x轴的垂线BN交x轴于点N.由题意可知OA=OM-AM=30
m.点A在圆O上逆时针运动的周期为12
min,所以t
min转过的弧度数为t=t.设θ=t,当θ>时,
∠BON=θ-,h=OA+BN=30+30sin(θ-),当0<θ<时,上述关系式也适合.故h=30+30sin(θ-)=30sin(t-)+30.
答案:B
8.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108
m,直径长是98
m,逆时针匀速旋转一圈需要18
min.某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时.
(1)当此人第四次距离地面
m时用了多少分钟?
(2)当此人距离地面不低于59+m时可以看到游乐园的全貌,摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌?
解:(1)如图,建立平面直角坐标系,设此人登上摩天轮t
min时距地面y
m,则t
min转过的弧度数α=t=t.
由y=108--cos
t=-49cos
t+59(t≥0).
令-49cos
t+59=,得cos
t=,
所以t=2kπ±,k∈Z,
故t=18k±3,k∈Z,当k=0时,t=3,当k=1时,t=15或21,当k=2时,t=33或39.
故当此人第四次距离地面
m时用了33
min.
(2)由题意,得-49cos
t+59≥59+,
即cos
t≤-.
故不妨在第一个周期内求,得≤t≤,解得≤t≤,故-=3.
因此摩天轮旋转一圈中有3
min可以看到游乐园的全貌.
C级 挑战创新
9.多选题若函数f(x)=cosx+,则下列结论正确的是
( )
A.f(x)的一个周期为2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在区间,π上单调递减
解析:函数f(x)=cos(x+)的图象可由y=cos
x的图象向左平移个单位长度得到,如图,f(x)在区间(,π)上先减后增,D项错误,其余选项均正确.
答案:ABC
10.开放题若一个函数同时具有:(1)最小正周期为π;(2)图象关于直线x=对称.请列举一个满足以上两条件的函数:y=sin(2x-)(答案不唯一).
解析:不妨设该函数为y=Asin(ωx+φ),由于最小正周期为π,故ω=2.又因为图象关于直线x=对称,所以2×+φ=+kπ(k∈Z),当k=0时,φ=-,故y=sin(2x-)满足以上两个条件.(共24张PPT)
第五章 三角函数
左
右
缩短
伸长
伸长
缩短
提示:不一定,可以先平移再伸缩,也可以先伸缩再平移.
答案:×
答案:×
答案:C
答案:C
答案:C第1课时
匀速圆周运动的数学模型及函数y=Asin(ωx+φ)的图象
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.函数y=3sin
3x的图象可看成是由y=sin
x的图象按下列哪种变换得到
( )
A.横坐标不变,纵坐标变为原来的
B.横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的3倍
C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍
D.横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的
答案:B
2.为得到函数y=cosx-的图象,只需将函数y=sin
x的图象
( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案:A
3.把函数y=sin2x-的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是
( )
A.非奇非偶函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数 D.偶函数
答案:D
4.函数y=sin2x-的图象可以看成是把函数y=sin
2x的图象向右平移个单位长度得到的.
5.已知函数f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,首先将横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的图象与y=sin
x的图象相同,求f(x)的解析式.
解:y=sinx的图象y=sin(x-)的图象y=sin(2x-)的图象,即f(x)的解析式为f(x)=
sin(2x-).
B级 能力提升
6.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=,则x2+x4等于
( )
A.
B.π
C.
D.2π
解析:由五点法作图原理,知x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=,故x1与x5的中点是x3,x2与x4的中点是x3,所以x2+x4=2x3=x1+x5=.
答案:C
7.将函数f(x)=lg
x的图象记为C1;将函数y=cos2x-的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图象,记为C2.
(1)在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象.
(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.
解:(1)作出图象C1和C2,如图所示.
(2)由图象可知两个图象共有7个交点,
即方程f(x)=g(x)解的个数为7.
8.(1)利用“五点法”作出函数y=sinx+在长度为一个周期的闭区间上的简图.
(2)说明该函数图象是由y=sin
x(x∈R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的.
解:(1)先列表,然后描点作图.
x+
0
π
2π
x
-
y
0
1
0
-1
0
(2)把y=sin
x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin(x+)的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=
Sin(x+)的图象.
或把y=sin
x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin
x的图象,再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin[(x+)],即y=sin(x+)的图象.
C级 挑战创新
9.多选题将函数f(x)=sin2x+的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象,则下列判断正确的是
( )
A.函数g(x)的最小正周期是π
B.g(x)的图象关于直线x=对称
C.函数g(x)在区间-,上单调递减
D.g(x)的图象关于点,0对称
解析:函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到g(x)=sin(2x-π+)=sin(2x-)的图象.
所以函数的最小正周期为=π;
当x=时,函数的值为g()=sin(-)=1,所以g(x)的图象关于直线x=对称;
当-≤x≤时,-π≤2x-≤0,故g(x)在区间
[-,]上先减后增;
当x=时,
g()=0,所以g(x)的图象关于点(,0)对称.
综上,A、B、D项正确.
答案:ABD
10.多空题函数y=sin
2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=对称,则φ的最小值为;若得到的图象关于原点对称,则φ的最小值为.
解析:平移后函数解析式为y=sin(2x-2φ),因为图象关于直线x=对称,所以2×-2φ=kπ+(k∈Z),所以φ=--(k∈Z).又因为φ>0,所以当k=-1时,φ的最小值为;若得到的图象关于原点对称,则2×0-2φ=kπ(k∈Z),所以φ=-(k∈Z).又因为φ>0,所以当k=-1时,φ的最小值为.(共15张PPT)
第五章 三角函数
答案:B
答案:D
