(共22张PPT)
第五章 三角函数
A
ωx+φ
φ
提示:三角函数模型.
答案:B
解析:不妨设水深y的最大值为M,
由题意结合题图可得3+k=M,k-3=2,解得M=8.
答案:C5.7三角函数的应用
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.一个大风车的半径为6
m,12
min旋转一周,它的最低点P0离地面2
m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数解析式
( )
A.h(t)=-6sin
t+6
B.h(t)=-6cos
t+6
C.h(t)=-6sin
t+8
D.h(t)=-6cos
t+8
答案:D
2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球作上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由下列两式确定:s1=5sin2t+,s2=10cos
2t.当t=时,s1与s2的大小关系是( )
A.s1>s2
B.s1C.s1=s2
D.不能确定
答案:C
3.若某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin
160πt+110,其中f(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),则此人每分钟心跳次数为80.
4.如图所示,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω(单位:rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为y=rsin(ωt+φ).
5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7
000元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9
000元,9月份价格最低,为5
000元,根据以上条件,确定f(x)的解析式.
解:作出函数简图,如图所示.
已知三角函数模型为f(x)=Asin(ωx+φ)+B,
由题意,知A=2
000,B=7
000,T=2×(9-3)=12,
所以ω==.
将(3,9
000)看成函数图象的第二个特殊点,
则有×3+φ=,所以φ=0.
故f(x)=2
000sin
x+7
000(1≤x≤12,x∈N
).
B级 能力提升
6.发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数:IA=Isin
ωt,IB=Isin(ωt+120°),IC=Isin(ωt+240°),则IA+IB+IC的值为
( )
A.I
B.I
C.0
D.不能确定
解析:IA+IB+IC=Isin
ωt+Isin(ωt+120°)+Isin(ωt+240°)=I(sin
ωt+sin
ωtcos
120°+cos
ωt·sin
120°+sin
ωtcos
240°+cos
ωtsin
240°)=I(sin
ωt-sin
ωt+cos
ωt-sin
ωt-cos
ωt)=0.
答案:C
7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为
5
cm,秒针绕点O匀速旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成t(单位:s)的函数,则d=10sin?,其中t∈[0,60].
解析:经过t
s秒针转了t
rad.如图,知θ=×t=,则sin
θ=sin
=,所以d=10sin
,其中t∈[0,60].
8.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asinωπt++60(P的单位为美元,t的单位为天,A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价为80美元,当t=150天时达到最低油价,则ω的最小值为.
解析:因为Asin(ωπt+)+60的最大值为80,
Sin(ωπt+)≤1,所以A=20.当t=150时达到最低油价,即sin(150ωπ+)=-1,此时150ωπ+=2kπ-,k∈Z,因为ω>0,所以当k=1时,ω取最小值,所以150ωπ+=π,解得ω=.
9.当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰
x/月份
1
2
3
4
5
6
T/℃
17.3
17.9
17.3
15.8
13.7
11.6
x/月份
7
8
9
10
11
12
T/℃
10.06
9.5
10.06
11.6
13.7
15.8
的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,上面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.
(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型;
(2)当气温不低于13.7
℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.
解:(1)以月份x为横轴,温度T为纵轴作出图象,并以光滑的曲线连接各点,如图所示.
由于该地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数,依散点图所绘制的图象,我们可以考虑用T=Acos(ωx+φ)+k来描述.由最高气温为17.9
℃,最低气温为9.5
℃,
得A==4.2,k==13.7.
由于=12,故ω=.又因为当x=2时T取得最大值,由ωx+φ=0,得φ=-ωx=-×2=-.
所以T=4.2cos(-)+13.7为惠灵顿市的月平均气温模型的函数解析式.
(2)如图所示,作直线T=13.7,与函数图象交于两点(5,13.7),(11,13.7).
这说明在每年的11月初至第二年的4月末气温不低于13.7
℃,这是惠灵顿市的最佳旅游时间.
C级 挑战创新
10.多空题一个单摆的平面图如图所示.设小球偏离铅锤方向的角为α(单位:rad),并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间t(单位:s)的函数,近似满足解析式α=Asinωt+,其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)时,α=,且每经过π
s小球回到初始位置,那么A=;α关于t的函数解析式是α=sin(2t+),t∈[0,+∞).
解析:因为当t=0时,α=,所以=Asin
,
所以A=.
又因为周期T=π,所以=π,解得ω=2.故所求的函数解析式是α=sin(2t+),t∈[0,+∞).
