【2012优化方案 精品课件】苏教版 数学 必修5：第三章3.4.2

(共31张PPT)
3．4.2　基本不等式的应用
课标定位
基础知识梳理
1．基本不等式与最值
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得
____________.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得
____________.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
2．利用基本不等式求最值时，应注意的问题
(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断．
(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值．
(3)确保等号成立．
以上三个条件缺一不可．可概括为“一正、二定、三相等”．
(4)连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值．
课堂互动讲练
题型一
利用基本不等式求函数的最值
1．运用该不等式求最值时，要注意三个条件：
(1)一“正”(使用基本不等式时，各项必须为正数)；
【分析】　由题目可获取以下主要信息：
①函数解析式为分式且分子的次数高于分母；
②由x＞1得x－1＞0.
解答本题可先对分子添项凑出因式x－1，将分子中变量分离出来，再添项凑出乘积为定值的形式，用基本不等式求最值．
例1
【点评】　(1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判
变式训练
在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．
题型二
含条件的最值的求法
已知x＞0，y＞0，且xy＝4x＋y＋12，求xy的最小值．
【分析】　解答本题可先通过不等式的放缩把方程转化为不等式，然后通过解不等式求范围．
例2
【点评】　 对于通过方程求条件的最值，一般有两种思路：一是通过不等式的放缩将其变为不等式；二是转化为函数问题．比较来看，法一运算量小，但对x、y的范围有限制，且要求取到“＝”；法二的适用范围更广，更好地体现了函数的思想．
互动探究
求实际问题的步骤：
(1)设变量，建立目标函数，注意实际意义对变量范围的影响．
(2)利用基本不等式，求函数的最值．
(3)得出实际问题的解．
题型三
利用基本不等式解应用题
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
例3
【分析】　由题目可知，问题(1)中材料一定，问题(2)中虎笼面积为定值．
解答本题可设每间虎笼长x m，宽y m，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值，所以可用基本不等式求解．
【解】　(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，
则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
【点评】　在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
变式训练
规律方法总结
1．要注意应用过程中基本不等式成立的条件，尤其是取等号的条件是否具备，否则可能会出现错解．
2．用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等时取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．
随堂即时巩固
课时活页训练