(共29张PPT)
1．2 余弦定理
第一课时
课标要求：1.理解并掌握余弦定理．
2．掌握用向量的数量积证明余弦定理的方法．
3．余弦定理的简单应用．
重点难点：本节重点：余弦定理及其应用．
本节难点：用向量的数量积证明余弦定理．
课标定位
基础知识梳理
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边_____________减去这两边与它们夹角的余弦的___________，
即a2＝__________________，
b2＝____________________，
c2＝_____________________.
平方的和
积的两倍
b2＋c2－2bccosA
a2＋c2－2accosB
a2＋b2－2abcosC
2．余弦定理的推论
cosA＝________________，
cosB＝_________________，
cosC＝__________________.
说明：(1)将余弦定理中的a，b，c，分别换成2RsinA,2RsinB,2RsinC，
可得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，
sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，
sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC.
(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况．
3．运用余弦定理可以解决两类解三角形问题
(1)已知______________，求第三边和____________；
(2)已知三边，求_______________．
两边及其夹角
其他两个角
三个角
课堂互动讲练
题型一
已知三角形的两边及其夹角解三角形
这类题目的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．
例1
【分析】 注意根与系数的关系的运用及公式cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)．
变式训练
题型二
已知三角形三边解三角形
这类问题的基本解法是先用余弦定理求出两个角，再用三角形内角和定理求出第三个角．
例2
【分析】 由比例的性质可以引入一个字母k，用k表示a、b、c，再由余弦定理求解各角．
变式训练
题型三
已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形
解决此类问题有两种方法，比较下列两种解法，从中体会各自的优点．
例3
【分析】 解答本题可先由正弦定理求出角A，然后再求边c；也可由余弦定理列出关于边长c的方程．
变式训练
规律方法总结
解三角形可以分成以下四种类型：(1)已知三边，求三角(可以利用余弦定理的推论)．(2)已知两边及夹角，求另两角和另一边(可以先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求其余两角)．(3)已知两边及其中一边的对角，求另一边和其余两角(可以先用正弦定理求出另一角，再求其余边角，或者先用余弦定理求出第三边，再求其余两角)．(4)已知两角及一边，求另一角和其余两边(先由三角形内角和为180°，求出另一角，再用正弦定理或余弦定理求出其余两边)．
由以上四种情况可知，要解一个三角形至少需要一边.
随堂即时巩固
课时活页训练
即时突破
例1
题型一
导数定义的应用(共29张PPT)
第二课时
课标要求：1.理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式．
2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A＋B＋C＝π解决三角形中的计算和证明问题．
重点难点：本节重点：熟练应用正、余弦定理解决三角形中的相关问题．
本节难点：三角形中的边角关系的建立．
课标定位
基础知识梳理
2．三角形内角和定理：_________________________.
说明：(1)正弦定理和余弦定理的主要作用：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③证明三角形中的恒等式．
(2)正弦定理和余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．
三角形的内角和是180°
课堂互动讲练
题型一
三角形的面积问题
在不同的已知条件下，求三角形面积的问题与解三角形有密切的关系，通常我们要根据已知条件，利用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，从而求出三角形的面积．
例1
变式训练
求解最值问题，一般要把要求最值的量用一个变量表示出来，并且要确定变量的取值范围，对于三角形中的最值问题，要充分利用正、余弦定理及面积公式，运用三角函数的性质求最值．
题型二
三角形中的最值问题
已知△ABC内接于半径为R的圆中，且满足关系式2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，求△ABC面积的最大值．
【分析】 求面积的最值，应先根据条件写出面积的表达式，再根据表达式求最值．
例2
【点评】 本题综合运用正、余弦定理，把边化成角，再利用三角函数的有界性解决．
2．在△ABC中，a＋b＝10，且cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．
变式训练
在几何中有关三角函数计算、证明，平面图形的边长、面积等求解经常用到正、余弦定理．
题型三
正、余弦定理在几何计算中的应用
例3
【分析】 由条件知可以由余弦定理求出cosA的值，而要求的式子中含有sinA、tanA，故只要由sin2A＋cos2A＝1求出sinA即可．
【点评】 本题将余弦定理与三角求值结合在一起，解题的关键是求出cosA.
变式训练
答案：30°
规律方法总结
在解三角形问题时，一定要根据具体情况，恰当地选用正弦定理或余弦定理，公式选择得当、方法运用巧妙是简化问题的必要手段，同时还要注意与三角形的其他知识的综合运用．如：三角形内角和定理，大边对大角，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三角形的面积公式等．
随堂即时巩固
课时活页训练(共26张PPT)
本章优化总结
知识体系网络
专题探究精讲
专题一
直接利用正余弦定理求解三角形
值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不确定，可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数．
余弦定理有两方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他两角；二是已知三角形的三边，求三个角．在初中已经学过的勾股定理，它是余弦定理的特例，而余弦定理又可看做是勾股定理的推广，应用中要注意，定理的变式要能够灵活应用．
例1
【分析】 已知两边及其中一边的对角，用正、余弦定理均能解题．
专题二
三角形形状的判定
例2
【分析】 转化为角或边之间的关系，进而判断．
专题三
正、余弦定理的综合应用
例3
【分析】 由已知条件直接应用余弦定理与正弦定理．
专题四
解三角形在实际问题中的应用
某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
【分析】 构造出三角形，用正、余弦定理和三角形的相关知识求解．
例4
章末综合检测
两角和一边问题
应用
正弦定理
两边和其中一边对角问题
变形式
推论「已知三边问题
解三角形
余弦定理
应用
两边和夹角问题
两边和其中一边对角问题
几何问题
距离问题
应用举例
高度问题
角度问题
击链接(共38张PPT)
1．3 正弦定理、余弦定理的应用
第一课时
课标要求：1.掌握利用正弦定理和余弦定理解任意三角形的基本类型和方法．
2．了解任意三角形的知识在实际中的广泛应用，能在实际问题中抽象或构造出三角形，并根据各量间的关系确定解三角形的方法．
3．初步掌握用解三角形知识解应用题的步骤和方法．
重点难点：本节重点：利用解三角形的知识解决数学建模问题．
本节难点：实际问题的数学化(建模)．
课标定位
基础知识梳理
1．解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将____________转化为解三角形问题来解决，所以首先将实际问题抽象转化为数学问题(解三角形问题)，然后利用正余弦定理对三角形进行求解，最后再回到实际问题中作答．
实际问题
2．解三角形应用问题的一般步骤
(1)准确理解题意，分清已知与所求；
(2)根据题意画出示意图或准确地理解图形；
(3)建立数学模型，
合理运用______________________________________正确求解，并作答；
(4)再根据实际问题的意义和精确度的要求给出答案．
正余弦定理和其它三角与平面几何知识
3．实际问题中的有关术语、名称
(1)仰角和俯角
测量时，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做____________；视线在水平线下方所成的角叫做________．(如图)
仰角
俯角
(2)方向角与方位角
①指北或指南的方向线与目标方向线所成的水平角(一般指锐角)叫做___________．目标方向线的方向一般用“________________”来表示．前一个“某”是“北”或“南”，后一个“某”是“东”或“西”．如图，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示：北偏东60°，北偏西75°，南偏西15°，南偏东40°.
方向角
某偏某多少度
②指北的方向线_____时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．
(3)水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角．
如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．
顺
课堂互动讲练
题型一
测量距离问题
测量距离问题：这类问题一般属于“测量有障碍物相隔的两点之间的距离”，在测量过程中一般要根据实际情况选取合适的基线，测量工具要有较高的精确度．
例1
【分析】 根据图中的已知条件求出一些点与点之间的距离，结合图形和计算出的距离作出判断，然后把B、D间距离的计算转化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之间的距离．
【解】 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
【点评】 要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点．
变式训练
测量高度问题：这类问题属于“测量底部或顶部不能到达的物体的高度”．测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度．
题型二
测量高度问题
在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南偏西25°距离A 300米的地方．在A测得山顶的仰角是30°，求山高(精确到1米)．
【分析】 题中A、B、C、D不在同一平面内，首先要正确画出空间图形，将东南方向画成45°夹角．
例2
【点评】 解决上述问题首先要正确画出符合题意的示意图，然后将问题转化为解三角形的问题，即将实际问题转化为“数学模型”，这是我们解决这类问题的关键之所在．
2．为测量建造中的上海东方明珠电视塔已到达的高度，李明在学校操场的某一直线上选择A、B、C三点，AB＝BC＝60米，且在A、B、C三点观察塔的最高点，测得仰角分别为45°、54.2°、60°.已知李明身高1.5米，试问建造中的电视塔已到达的高度．(结果保留一位小数)
变式训练
解：根据题意画出示意图，设DE＝x，则h＝x＋1.5.
在Rt△AED、Rt△BED、
Rt△CED中，
AE＝DE·cot45°＝x，
BE＝DE·cot54.2°＝x·cot54.2°，
测量角度问题：这类问题属于“根据需要，对某些物体定位”，测量的数据越精确，定位的精度越高．
题型三
测量角度问题
甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以什么速度、向何方向航行？
【分析】 解答本题可先画出示意图，将问题转化为解三角形，再应用余弦定理、正弦定理求解．
例3
变式训练
规律方法总结
1．解三角形的实质是研究三角形的边角关系，涉及的知识有三角形边、角、内切圆与外接圆半径、面积，还经常联系一元二次方程、方程组及最值等．
2．将某些实际问题转化为解三角形问题，是常遇到的应用问题，解这类问题，关键是如何将实际问题转化为数学问题，画出示意图，有助于将抽象问题具体化、形象化．
3．解斜三角形在实际中的应用是很广泛的，如测量、航海、机械设计、几何、物理等方面都要运用到解三角形．
4．由于在实际测量过程中有一些误差，为了将误差控制在允许范围内，我们往往要对同一对象测量多次，然后取它们的平均值作为所得的测量数据，在实际问题的计算中，有一定的精度要求，要注意近似计算法则，以严谨细致的科学态度求出测量结果．
随堂即时巩固
课时活页训练(共33张PPT)
第二课时
课标要求：1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解各类三角形中的应用．
2．提高学生对正、余弦定理应用范围的认识，处理问题时能选择较为简捷的方法．
3．通过训练培养学生的分类讨论、数形结合、优化选择等思想．
重点难点：本节重点：综合应用正、余弦定理解有关三角形的问题．
本节难点：合理运用正、余弦定理．
课标定位
基础知识梳理
2R
sinA
sinB
sinC
sinA
sinB
sinC
a2＋b2－2abcosC
课堂互动讲练
题型一
三角形形状的判定
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对应边，且满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab,2cosAsinB＝sinC，试判断△ABC的形状．
【分析】 由于已知条件中既有边的关系又有角的关系，因此可以化边为角，或者化角为边来判断．
例1
∴C＝60°.
又2cosAsinB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sinAcosB－cosAsinB＝0，
即sin(A－B)＝0，
∴A＝B，∴A＝B＝C＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状．
1．在△ABC中，若a＝2bcosC，那么它是什么三角形？
变式训练
题型二
三角形中边角关系的运算
解决这类问题，要把三角形中常见的结论和正余弦定理结合起来使用．
例2
【点评】 本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查基本运算能力．
2．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且满足(sinA＋sinB)2－sin2C＝3sinAsinB.求证：A＋B＝120°.
证明：由(sinA＋sinB)2－sin2C＝3sinAsinB可得
sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB.
变式训练
题型三
有关边、角的范围或最值问题
已知钝角△ABC的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．
【分析】 先判断哪个角最大，再用余弦定理限制为钝角．
例3
规律方法总结
1．利用余弦定理解三角形时，要注意根据题意恰当地选取公式．一般地，求边长时，使用余弦定理；求角时，使用其推论．
2．要重视正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，特别是两者在实现边角转化中的作用不可忽视．
3．在判断三角形的形状时，要根据题目本身的特点，决定是将边转化成角还是将角转化成边的关系，此时要特别注意正弦定理、余弦定理及三角公式的灵活应用．
4．求三角形的面积或与面积有关的三角形问题时，一要注意灵活选用面积公式，二要注意如何正确利用正弦定理和余弦定理．
随堂即时巩固
课时活页训练(共25张PPT)
1．1 正弦定理
第一课时
课标要求：1.通过对三角形中边角关系的探索，掌握正弦定理的推导过程．
2．理解正弦定理及适用范围，会用正弦定理及其变式解决一些简单的解三角形问题．
重点难点：本节重点：对正弦定理的推理的理解及正弦定理的掌握．
本节难点：正弦定理的推理．
课标定位
基础知识梳理
1．正弦定理
在一个三角形中，各_____和它所对角的_____的_____相等，即__________________.
说明：(1)各边和它所对角的正弦之比为一个定值，这个定值为该三角形的外接圆直径；
(2)定理的变式(R为△ABC外接圆的半径)：
边
正弦
比
2．解斜三角形
解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求出其余三个未知元素的过程．
3．正弦定理在解三角形中的作用
(1)如果已知三角形的任意两个____与一____，由三角形________________，可以计算出三角形的另一____，并由正弦定理计算出三角形的另两____．
(2)如果已知三角形的任意_______与其中一边的_____，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角，进而确定这个三角形其他的__________．
角
边
内角和为180°
角
边
两边
对角
边和角
课堂互动讲练
题型一
已知两角及一边解三角形
如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．
已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.
【分析】 已知两角及一边，先利用内角和为180°，求出B，再利用正弦定理求解．
例1
【点评】 在运算过程中，要用到三角函数中的公式，此题中对75°角作了“拆角”变换．
1．在△ABC中， a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
变式训练
已知三角形中两边和其中一边的对角解三角形问题，首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况讨论是否有解，如果有解，是一解还是两解．
题型二
已知两边和其中一边的对角解三角形
例2
【分析】 △ABC中已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求出另一边对角的正弦值，然后再求解其他边角．
【点评】 在△ABC中，已知两边a、b和边b的对角B，解三角形时可先用正弦定理求出角A的正弦值，确定角A时解不确定，应注意讨论，往往利用已知边a、b的大小关系，得到角A与B的大小关系，从而确定角A的解的个数．
互动探究
判断三角形的形状主要有两条途径：①化边为角；②化角为边．
题型三
利用正弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，若acosA＝bcosB，求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【分析】 观察已知条件，可以应用正弦定理把边化为角，再利用三角公式求解．
【证明】 由正弦定理的变式得a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∵acosA＝bcosB，
∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
例3
【点评】 利用正弦定理判断三角形的形状，关键是将已知条件中的边角关系转化为角或边的关系．本题应利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边角统一后，再利用两角和与差的正弦公式进行化简、判断，但由sin2A＝sin2B，得角A和B的关系时容易漏掉2A＝π－2B.
3．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
变式训练
规律方法总结
常用的公式、结论
△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c.
(1)A＋B＋C＝180°；
(2)a＜b A＜B 2RsinA＜2RsinB sinA＜sinB；
(3)若角A为最小角，则0°＜A＜60°；若角A为最大角，则A＞60°；
(4)勾股定理：
△ABC是以角C为直角的直角三角形 a2＋b2＝c2 sin2A＋sin2B＝sin2C C＝90°.
△ABC是以角A为直角的直角三角形 b2＋c2＝a2 sin2B＋sin2C＝sin2A A＝90°.
△ABC是以角B为直角的直角三角形 a2＋c2＝b2 sin2A＋sin2C＝sin2B B＝90°.
随堂即时巩固
课时活页训练(共4张PPT)
第一章 解三角形
知识综览
本章将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．本章先由特殊的直角三角形的边角关系得出正弦定理，猜想对任意三角形该结论成立，再引导学生按不同的思路和方法加以证明，培养学生的“数学探究”能力，体现数学思维中的由特殊到一般的规律；通过向量的数量积将向量等式化为数量等式，得出余弦定理，体现向量方法在解三角形中的作用；解三角形的理论被用来解决许多实际问题，通过学习可以提高同学们的数学建模能力.
重点难点
本章重点：掌握正弦定理、余弦定理，并能应用它们解决有关三角形问题和一些简单的实际应用问题．
本章难点：1.解三角形中，如何根据条件，快速正确地选择定理，寻找简捷的解题方法；
2．解三角形时解的个数的判定；
3．如何将实际问题抽象为解三角形的模型．(共29张PPT)
第二课时
课标要求：1.掌握正弦定理及其变式的结构特征和功能，明确应用正弦定理解斜三角形的可解类型，能熟练地运用正弦定理解斜三角形，会用计算器求三角形的近似解．
2．探究三角形面积公式的表现形式，会结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题．
重点难点：本节重点：三角形面积公式的理解及应用．
本节难点：三角形解的个数的判定．
课标定位
基础知识梳理
1．三角形面积公式
(1)S△＝________＝____________＝__________.
(2)S△＝________＝_________＝___________(其中ha，hb，hc分别表示三边a，b，c上的高)
2．已知两边a，b和一边的对角B，求角A时的解的情况
已知a、b和B，用正弦定理求A时，由于已知三角形的两边和其中一条边所对的角不能确定惟一的三角形，因此，解答此类题目时常常出现无解、一解、两解三种情况，具体解的情况如下：
(1)当角B为锐角时
①当b＝asinB时，如图1，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA相切，只有一个交点，此时三角形只有一解；
②当b＜asinB时，如图2，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA相离，无交点，此时三角形无解；
③当asinB＜b＜a时，如图3，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA有两个交点，此时三角形有两解；
④当b＞a时，如图4，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA只有一个交点，此时三角形只有一解；
⑤当b＝a时，显然只有一解．
(2)当角B为钝角时
①当b＜a时，如图，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA无交点，此时三角形无解；
②当b＞a时，
如图，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA只有一个交点，此时三角形只有一解；
③当b＝a时，无解．
(3)当角B为直角时
①当b＞a时，显然一解；
②当b＜a时或当b＝a时，无解．
课堂互动讲练
题型一
三角形解的情况的判定
已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其它的边与角．由于三角形的形状不能惟一确定，因而会出现一解、两解和无解三种情况．可结合示意图进行判断．
例1
【分析】 画出示意图，由草图判定解的个数．
若sinA≤sinB，无解．
②a＝b时，一解．
③a若sinA≥sinB，无解．
若sinA变式训练
题型二
利用三角形面积公式解决问题
例2
【点评】 本题主要考查三角形的边角关系和面积计算，灵活运用三角变换公式是解决问题的关键．
变式训练
题型三
正弦定理及其变形的简单应用
例3
【分析】 由结构a∶b∶c＝1∶3∶5想到正弦定理的变式．
【点评】 利用比例性质可使问题简化．
规律方法总结
1．正弦定理表达了三角形的边和角的关系，其作用是解三角形，而且正弦定理有若干变形形式，应用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的互相转换．通过应用还应发现它与三角函数、平面向量知识在解三角形中有密切的联系．
2．应用正弦定理，要明确角化边或边化角的方向，正确判断解的个数，特别注意对已知两边及一边对角时三角形解的个数的讨论，防止出现漏解或增解．
3．涉及求三角形中的边、面积等最值时，应注意使用正弦定理、面积公式等建立函数关系式，通过求三角函数的最值来解决问题．
4．在解三角形中，以下公式应记熟，记准，并能灵活运用：
A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC.
随堂即时巩固
课时活页训练
即时突破
例1
题型一
导数定义的应用
