(共32张PPT)
3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3.3.2 二元一次不等式组表示的平面区域
课标要求：1.体验并学会从实际问题的不等关系中抽象出二元一次不等式或二元一次不等式组的过程和方法．
2．会用直角坐标系中的平面区域表示二元一次不等式组的解集．
课标定位
重点难点：本节重点：1.理解二元一次不等式组表示的平面区域，能准确地画出这个平面区域．
2．能根据平面区域写出相应的二元一次不等式组．
本节难点：正确地理解二元一次不等式组表示的平面区域的意义和对“数形结合”思想的理解及应用．
基础知识梳理
1．二元一次不等式组
(1)由________________组成的不等式组，称为二元一次不等式组．
(2)满足二元一次不等式组的x和y的取值，构成有序实数对_______，所有这样的有序实数对_______构成的集合称为二元一次不等式组的解集．
2．判断二元一次不等式组表示的平面区域
(1)不等式组表示的区域是各个不等式表示的区域的公共部分．
(2)三个或三个以上不等式构成的不等式组画平面区域时，可先画出两个不等式的公共区域，再与第三个找公共区域，依次类推找下去，即可画出不等式组的平面区域．
二元一次不等式
(x，y)
(x，y)
课堂互动讲练
题型一
画出二元一次不等式组表示的平面区域
在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
例1
【分析】 解答本题可先分别画出三个不等式所表示的平面区域，再找它们的公共部分．
【解】 如图所示．不等式x－y＋5≥0
表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的
集合，不等式x＋y＋1＞0表示直线
x＋y＋1＝0右上方的点的集合
(不含边界)，不等式x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．
【点评】 注意含边界的画成实线，不含边界的画成虚线．
变式训练
解：不等式x＜3表示直线x＝3左侧的区域．
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方的区域．
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方的区域．
不等式3y＜x＋9，即x－3y＋9＞0表示直线x－3y＋9＝0右下方的区域．
综上可得，不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
题型二
由平面区域写不等式组
已知平面区域，用不等式(组)表示，其方法是：分别在所有直线外任取一点(如原点(0,0))，将其坐标代入Ax＋By＋C，判断正负即可．
例2
在△ABC中，A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
【分析】 先求出直线AB、AC、BC的方程，然后根据区域写出不等式组．
【解】 由A(3，－1)，C(1,3)，得直线AC的方程为2x＋y－5＝0；由B(－1,1)，C(1,3)，得直线BC的方程为x－y＋2＝0；由A(3，－1)，B(－1,1)，得直线AB方程为x＋2y－1＝0.
【点评】 (1)根据区域写不等式组，要求交集与不等式组等价；(2)注意边界的虚实(是否有等号)．
2．用不等式组表示下图中的阴影部分(含边界)，已知A(－3,3)，B(－2，－3)，C(4,0)，D(3,2)．
变式训练
解：首先求出各条边所在的直线方程．
AB：6x＋y＋15＝0；BC：x－2y－4＝0；
CD：2x＋y－8＝0；DA：x＋6y－15＝0.
原点(0,0)在直线AB的右方，将(0,0)代入直线AB，得6·0＋0＋15>0，
所以，直线AB的右半平面区域为：6x＋y＋15≥0.
同理，直线BC的上半平面区域为：x－2y－4≤0，
直线CD的左半平面区域为：2x＋y－8≤0，
直线DA的下半平面区域为：x＋6y－15≤0.
题型三
不等式组表示的平面区域的面积
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后再求解．
例3
(2)求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积．
【分析】 本题的两个小题的解题关键在于正确地描绘出边界直线，然后根据给出的不等式，判断出所表示的平面区域．
【解】 (1)如图①所示，其中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域．
【点评】 本例(2)中也可先画出函数y＝|x|和y＝|x|＋1的图象，再考虑围成的区域．
变式训练
3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为________．
答案：1
题型四
求平面区域内的整数点
解决此类问题，应先画出平面区域，再在平面区域内找出整数解，常用的方法有：(1)打方格法；(2)代入比较法．
例4
【分析】 画出平面区域，观察区域内点的横、纵坐标的变化．
【解】 画出直线y－2x＝0(画成实线)，不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0上及右下方的平面区域；
画出直线x＋2y＋3＝0(画成虚线)，不等式x＋2y＋3＞0表示直线x＋2y＋3＝0右上方的平面区域；
画出直线5x＋3y－5＝0(画成虚线)，不等式5x＋3y－5＜0表示直线5x＋3y－5＝0左下方的平面区域 ；
显然，满足条件的平面区域中的整点为(1，－1)，(2，－2)，(0,0)，(0,1)共有4个整点．
【点评】 平面区域中的整点问题，在解决时，常常先画平面区域，然后再找整点．
变式训练
4．在平面直角坐标系中，满足不等式(|x|－1)2＋(|y|－1)2<2的整点(x，y)的个数是________．
解析：不等式(|x|－1)2＋(|y|－1)2<2表示的平面区域分别关于x轴、y轴对称，也关于原点对称．因此可以先求(x－1)2＋(y－1)2<2所对应的区域中的整点，共有5个点分别为(1,0)、(0,1)、(1,1)、(2,1)、(1,2)，关于x轴对称的点有4个(0，－1)、(1，－1)、(2，－1)、(1，－2)；关于y轴对称的点有4个(－1,0)、(－1,1)、(－2,1)、(－1,2)；关于原点对称的点有3个(－1，－1)、(－2，－1)、(－1，－2)，所以共有整点5＋4＋4＋3＝16(个)．
答案：16
题型五
二元一次不等式组表示平面区域的实际应用
解答二元一次不等式(组)所表示的平面区域的应用问题时，建立恰当的数学模型，把实际问题转化为数学问题是关键，它所表示的平面区域是各个不等式所表示平面区域的公共部分．
例5
某工厂有甲、乙两种产品，计划每天产量都不少于15 t，已知生产甲产品1 t需煤9 t，电力4 kW·h，劳力3个；生产乙产品1 t需煤4 t，电力5 kW·h，劳力10个，但每天用煤不超过300 t，电力不超过200 kW·h，劳力只有300个，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
【分析】 将题中数据列表如下：
产品
消耗量
资源 甲产品 乙产品 资源限额
煤(t) 9 4 300
电力(kW·h) 4 5 200
劳力(个) 3 10 300
【点评】 对于比较复杂的实际问题，通常借助于表格来分析．
变式训练
5．某公司从银行贷款不足250万元，分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造．已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润；乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润．若该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元，请列出甲、乙两厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式，并画出相应的平面区域．
规律方法总结
1．画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．
2．多以数形结合思想考虑问题．
随堂即时巩固
课时活页训练(共36张PPT)
3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3.3.3 简单的线性规划问题
课标要求：1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力．
课标定位
重点难点：本节重点：线性规划问题的图解法，关键是数形之间的转化(根据约束条件，画出可行域，并弄清目标函数所表示的几何意义)．
本节难点：将实际问题转化为线性规划问题，并给予求解，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．
基础知识梳理
1．线性规划中的基本概念
名 称 意 义
约束条件 由变量x，y组成的_________
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
不等式(组)
名 称 意 义
可行解 满足_________________的解(x，y)
可行域 所有________组成的集合
最优解 使目标函数取得______的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在_________条件下的最大值或最小值的问题
2.解决简单的线性规划问题的方法和步骤
线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题．解决这类问题最常用、最重要的一种方法就是图解法．其步骤为：①画：画出可行域；②变：把目标函数变形为斜截式方程，从纵截距的角度寻找最优解；③求：解方程组求出最优解；④答：写出目标函数的最值．
线性约束条件
可行解
最值
线性约束
3．几点说明
(1)线性规划问题可能没有最优解．
(2)当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．
(3)整点可行解就是可行域中横坐标和纵坐标都是整数的点．
课堂互动讲练
题型一
求线性目标函数的最值
线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问题的关键是画好平面区域，找到目标点．
例1
【分析】 解答本题可先画出可行域，采用图解法，平行移动直线求解．
【点评】 利用线性规划求最值
①准确画出可行域是解答此类问题的前提条件．
②把目标函数与过可行域内点的一组平行直线建立对应关系．
③理解好线性目标函数的几何意义是关键．
从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．
变式训练
解：目标函数为z＝3x＋5y，可行域如图所示，作出直线z＝3x＋5y，可知，直线经过点B时，z取得最大值，直线经过点A时，z取得最小值．
题型二
求非线性目标函数的最值
若目标函数不是线性函数，我们可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
【解】 作出可行域，如图所示，求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
【点评】 (1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．
变式训练
题型三
已知目标函数的最值求参数
此类题目为线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．
例3
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，
－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_______．
【分析】 解答本题可先作出可行域，利用数形结合求解．
【解析】 由约束条件作出可行域(如图)．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax＋z时使直线在y轴上的截距最大，
∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1.
【答案】 a＞1
【点评】 解答此类问题必须要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．
题型四
线性规划应用问题
应用线性规划处理实际问题时应注意：
(1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美．
(2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加注意．
(3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
例4
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
【分析】 将已知数据列成下表：
原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位
甲 5 10
乙 7 4
费用 3 2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，则需要的费用为z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x＋7y≥35；同理，对铁质的要求可以表示为10x＋4y≥40，
【点评】 解决此类问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言，此题通过表格将数据进行整理，使问题难度大大降低．
变式训练
3．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．
某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测， 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
规律方法总结
1．用图解法解线性规划问题时要注意线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．
2．在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，然后列出正确的不等式组．
随堂即时巩固
课时活页训练(共22张PPT)
3.4 基本不等式
3.4.1 基本不等式的证明
课标定位
基础知识梳理
1．对于任意实数a，b，有a2＋b2___2ab，当且仅当______时等号成立．
(2)成立的前提条件：____________；
(3)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．
≥
a＝b
算术平均数
几何平均数
3．基本不等式
(1)形式：___________；
a、b是正数
a＝b
课堂互动讲练
题型一
利用基本不等式比较两数（式）大小
在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a≥0，b≥0，问题的一端出现“和式”，另一端出现“积式”，另外还应注意等号能否取到．
例1
【分析】 分析式子的特点，注意条件a＋b＝1的应用．
【答案】 ①②③
变式训练
m∈[4，＋∞)．
由b≠0，∴b2≠0，∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n＜4，
∴n∈(0,4)，∴m＞n.
答案：m＞n
题型二
利用基本不等式证明不等式
例2
【分析】 根据结构找相应的不等式作为证明的依据．
变式训练
题型三
基本不等式成立条件的应用
基本不等式成立的条件为一正二定三相等，缺一不可．
例3
【分析】 解答本题可按先判断两式的值是否为正，再判断两式的积是否为定值，最后看等号是否能取到的步骤逐一讨论．
【点评】 (1)应用基本不等式的前提条件是两个数均为正数．注意结合对数函数、三角函数、指数函数的相关知识判断符号．
(2)遇到两个负数相加时，可以先对它们的相反数用基本不等式，再用不等式的性质转化．
变式训练
答案：③
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共25张PPT)
3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式表示的平面区域
课标要求：了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式．
重点难点：：本节重点：1.了解二元一次不等式的几何意义；
2．会画二元一次不等式表示的平面区域和由平面区域得出相应的二元一次不等式．
本节难点：二元一次方程和二元一次不等式之间的关系，以及二元一次不等式和平面区域间的对应关系．
课标定位
基础知识梳理
1
实线
虚线
相同
课堂互动讲练
题型一
画出二元一次不等式表示的平面区域
例1
【分析】 解答此题可先画出直线，再取具体点分析．
变式训练
先求边界直线，再由阴影部分确定不等式．
在由平面区域确定不等式时，我们可以选用测试点进行判断．把测试点代入，根据测试点与平面区域是否在直线的同侧进行判断．
题型二
由平面区域写不等式
将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来
例2
【分析】 先求边界直线，再由阴影部分确定不等式．
变式训练
2．在下列各图中，写出对应于图中阴影区域的不等式．
题型三
由平面区域求参数的范围
例3
此类问题实际上是确定二元一次不等式表示的平面区域的逆应用．
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共32张PPT)
本章优化总结
知识体系网络
专题探究精讲
专题一
不等式与函数、方程、数列的综合问题
1．利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等．
2．利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布问题．
3．不等式与数列的综合题经常出现在高考压轴题中，主要体现在比较数列中两项的大小等．
例1
m为何值时，关于x的方程8x2－(m－1)x＋(m－7)＝0的两根：(1)为正根；(2)为异号根且负根绝对值大于正根；(3)都大于1；(4)一根大于2，一根小于2.
【分析】 本题看似考查二次方程根的问题，细看是考查不等式问题，再分析可见是考查三个“二次”(即一元二次方程、一元二次不等式、二次函数)的问题，找出这一本质是解决本题的关键．
【点评】 三个“二次”之间的关系是实现它们之间相互转化的桥梁．联系三个“二次”的纽带是二次函数的图象，利用图象的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关系，牢固地记忆相关结论．同时，在分析、解决具体问题时，利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解题方法．
例2
【分析】 应先求和再放缩．
【点评】 如果数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比数列前n项和公式，或者利用分组、裂项、倒序相加等方法．
专题二
不等式恒成立问题
对于不等式恒成立求参数范围问题的常见类型及解法有以下几种
1．变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．
2．分离参数法：
若f(a)＜g(x)恒成立，则f(a)＜g(x)min.
若f(a)＞g(x)恒成立，则f(a)＞g(x)max.
3．数形结合法：
利用不等式与函数的关系，将恒成立问题通过函数图象直观化．
例3
设f(x)＝mx2－mx－6＋m，
(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围．
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】 (1)知道m的范围，所以应用变更主元法；
(2)应用分离参数法．
专题三
解含参数的不等式
解含参数的不等式，解答过程中的不确定因素常需进行分类讨论，如一元二次不等式的二次项系数含参数时分系数等于0、不等于0两类讨论；不等式两边同乘以(或除以)一个数时，要讨论这个数的符号；一元二次不等式对应方程根的情况不定或有实根但大小不定时要讨论．
例4
解关于x的不等式ax2＋ax－1＜0.(*)
【分析】 当a≠0时，不等式(*)为二次不等式，解二次不等式的关键是看二次项系数及判别式的正负，抓住这两条也就自然找到了分类的关键点．
【点评】 解含参数的一元二次不等式的关键是确定相应方程的两个根的大小．参数的分界点常按以下方法确定：(1)令最高项的系数等于0；(2)令两个根相等；(3)令判别式等于0.找到分界点后，可结合二次函数的图象在每一部分的特点写出相应不等式的解集．
专题四
利用基本不等式求最值
例5
当0＜x＜4时，求y＝x(8－2x)的最大值．
【分析】 由0＜x＜4得8－2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值，注意到2x＋(8－2x)＝8为定值，故只需将y＝x(8－2x)凑上一个系数即可．
【点评】 本题无法直接运用基本不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用基本不等式求得最大值．
例6
专题五
线性规划问题
求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一寻求约束条件和目标函数；二作出可行域；三在可行域内求目标函数的最优解．特别要注意目标函数z＝ax＋by＋c在直线ax＋by＝0平移过程中变化的规律和与图中直线斜率的关系，现实生活中简单的线性规划应用题也是高考的热点．
例7
【分析】 (1)为线性目标函数，是常规题型；
(2)应转化为求可行域内的点与原点的距离的平方求解．
【解】 作出可行域，如图中的阴影部分(含边界)．
(1)令z＝4x－3y＝0得直线l：4x－3y＝0.由图形可知当直线l平移至顶点C、B时z分别取最小值、最大值．
(2)设u＝x2＋y2，则u就是点(x，y)与原点之间的距离的平方，由图可知，B点到原点的距离最大，而当(x，y)在原点时，距离最小，为0.
所以umax＝(－1)2＋(－6)2＝37，umin＝0.
【点评】 解决线性规划问题，要准确画出可行域，然后分析出目标函数是否是线性的．不是线性的一般可转化为求斜率、求最值等．
章末综合检测(共31张PPT)
3．4.2 基本不等式的应用
课标定位
基础知识梳理
1．基本不等式与最值
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得
____________.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得
____________.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
2．利用基本不等式求最值时，应注意的问题
(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断．
(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值．
(3)确保等号成立．
以上三个条件缺一不可．可概括为“一正、二定、三相等”．
(4)连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值．
课堂互动讲练
题型一
利用基本不等式求函数的最值
1．运用该不等式求最值时，要注意三个条件：
(1)一“正”(使用基本不等式时，各项必须为正数)；
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①函数解析式为分式且分子的次数高于分母；
②由x＞1得x－1＞0.
解答本题可先对分子添项凑出因式x－1，将分子中变量分离出来，再添项凑出乘积为定值的形式，用基本不等式求最值．
例1
【点评】 (1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判
变式训练
在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．
题型二
含条件的最值的求法
已知x＞0，y＞0，且xy＝4x＋y＋12，求xy的最小值．
【分析】 解答本题可先通过不等式的放缩把方程转化为不等式，然后通过解不等式求范围．
例2
【点评】 对于通过方程求条件的最值，一般有两种思路：一是通过不等式的放缩将其变为不等式；二是转化为函数问题．比较来看，法一运算量小，但对x、y的范围有限制，且要求取到“＝”；法二的适用范围更广，更好地体现了函数的思想．
互动探究
求实际问题的步骤：
(1)设变量，建立目标函数，注意实际意义对变量范围的影响．
(2)利用基本不等式，求函数的最值．
(3)得出实际问题的解．
题型三
利用基本不等式解应用题
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
例3
【分析】 由题目可知，问题(1)中材料一定，问题(2)中虎笼面积为定值．
解答本题可设每间虎笼长x m，宽y m，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值，所以可用基本不等式求解．
【解】 (1)设每间虎笼长x m，宽为y m，
则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
【点评】 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
变式训练
规律方法总结
1．要注意应用过程中基本不等式成立的条件，尤其是取等号的条件是否具备，否则可能会出现错解．
2．用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等时取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．
随堂即时巩固
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第三章 不等式
3．2 一元二次不等式
课标要求：1.掌握一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的密切联系．
2．运用数形结合思想，熟练掌握一元二次不等式的解法．
重点难点：：本节重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式，并求得其解集．
本节难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
课标定位
基础知识梳理
一个
2
2．二次函数、二次方程、二次不等式间的关系
课堂互动讲练
题型一
一元二次不等式的解法
求解一元二次不等式的一般步骤是：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
②计算对应方程的判别式．
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
④利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
例1
【分析】 解答本题可先将二次项系数化为正，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图象写出解集．
【点评】 解一元二次不等式时，要将二次不等式以及与其对应的二次方程、二次函数的图象联系起来，真正做到“数形结合”．
变式训练
解含参数的不等式关键是规范解题步骤并深刻理解每一步的解法原理，这样才能知道何时分类，如何分类，并做到不重不漏．
题型二
含参数的一元二次不等式的解法
例2
【分析】 解答本题可通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解．
【点评】 含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
变式训练
题型三
已知一元二次不等式解集求参数问题
例3
【分析】 本题综合考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，以及一元二次不等式的解法．
【点评】 已知不等式的解集求相应系数，此类题应转化为相应方程对应的根的问题，运用根与系数的关系求解．
变式训练
题型四
恒成立问题
例4
变式训练
题型五
一元二次不等式的实际应用
解不等式应用题，一般可按如下步骤进行：
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式；
(4)回扣实际问题．
国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
例5
【点评】 本例采用了“化整为零”的办法，对此类问题的解决中应注意把一个大问题化成若干小问题的思维习惯，不要被问题的表面形式所迷惑．
变式训练
规律方法总结
1．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图象写出不等式的解集．
2．(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．
(2)了解哪些情况需要分类讨论．
①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三种情况讨论．
②利用单调性解题时，讨论使单调性变化的参数值．
③对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．
④用不等式性质对不等式变形时，对必须具备的变形条件讨论．
⑤若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况进行讨论．
随堂即时巩固
课时活页训练(共28张PPT)
第三章 不等式
3．1 不等关系
课标要求：1.通过实际问题感受现实世界中的相等关系和不等关系，理解不等关系是普遍存在的．
2．会用不等式(组)表示一些简单的不等关系，掌握不等式的常用性质．
重点难点：本节重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题．
本节难点：通过具体情境建立不等式模型．
课标定位
基础知识梳理
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课堂互动讲练
题型一
用不等式(组)表示不等关系
用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，首先应读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式(组)解决实际问题的最基本的一步．
例1
某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买两盒，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．
【分析】 假设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片、y盒，根据题意，应有下列不等关系：
(1)总费用不超过500元；
(2)软件至少买3片；
(3)磁盘至少买两盒．
用关于x、y的不等式(组)表示上述不等关系即可．
【点评】 将实际问题通过数学建模，用不等式(组)刻画不等关系首先要设出未知数，把文字语言用不等式语言表示即可．
变式训练
比较大小问题，通常用作差法来解决，步骤可归纳为：作差、变形、判定符号、得出结论．如需分类讨论，分类讨论后要作出总结结论．
已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
【分析】 解答本题可先作差，然后再因式分解进行变形．
题型二
比较大小问题
例2
【点评】 作差法比较两个数的大小，变形是关键，一般变形越彻底越有利于下一步的判断，常用知识有因式分解，配方，通分，对数的运算性质等，另外还要注意分类讨论．
变式训练
题型三
实际应用题
注意实际应用题数学模型的建立方法，求解出数据后，要善于用这些数据对问题作出合理的解释．
某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
例3
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①单位职工人数未知，是变量；
②全票价未知，是常量．
解答本题可先正确建立函数模型，再运用作差法加以比较即可．
【点评】 解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
3．一群女生住若干间宿舍，若每间住4人，剩19人无房住；若每间住6人，有一间宿舍住不满，问可能有多少间宿舍？多少名学生？
变式训练
题型四
不等式的性质及应用
例4
使用不等式性质时，一定要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
【分析】 解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解．
变式训练
规律方法总结
1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．
2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数(或非正数)之和，然后判断差式的符号．
3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A≥B(或B≤A)”．
随堂即时巩固
课时活页训练(共4张PPT)
第三章 不等式
知识综览
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容．建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的．在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；
掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用一元二次不等式组表示平面区域，并尝试解决简单的二元线性规划问题，认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系．
重点难点
本章重点：一元二次不等式的解法，线性规划问题的处理和用基本不等式处理函数的最值问题等．
本章难点：一元二次不等式与相应的函数和方程的联系与线性约束条件和目标函数的几何意义的理解，基本不等式的灵活运用等．
