(共23张PPT)
2.3.3 等比数列的前n项和
第一课时
课标要求：1.掌握等比数列前n项和公式及推导方法(错位相减法)．
2．会运用等比数列前n项和公式进行基本量的计算，并能进行简单应用．
重点难点：本节重点：推导并掌握等比数列的前n项和公式；
本节难点：错位相减法的应用．
课标定位
基础知识梳理
1．等比数列的前n项和公式
课堂互动讲练
题型一
等比数列前n项和公式的基本运算
求数列前n项和，应抓住其核心——通项．
例1
设等比数列{an}的公比q＜1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
【分析】 解答本题应当建立a1与q的方程组求解．
【点评】 运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
变式训练
错位相减法适合求一个等差数列与一个等比数列相应项相乘得到的新数列的前n项和，即已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，利用错位相减法可求数列{anbn}的前n项和，因而具有一般性，其它方法求和可使学生进一步认识q≠1时，等比数列前n项和的特征，也能进一步开拓求和思路．
题型二
“错位相减法”及其应用
例2
【点评】 要注意本题特点．它是形如{anbn}数列的前n项的和．其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列．具体解法是：乘等比数列的公比或倒数然后错位相减，使其转化为等比数列问题来解．
变式训练
求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)·xn－1(x≠0)．
【分析】 由题可知通项{(2n－1)xn－1}是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn－1} 的通项之积．
例3
【点评】 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，即错位相减法求和．
规律方法总结
1．等比数列的前n项和给出了数列求和的一种常用的方法——错位相减法，这种方法对解决数列{anbn}的前n项和(其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列)是相当有效的．
2．应用求和公式时q≠1，必要时应讨论q＝1的情况．即：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，前n项和必须具备形式Sn＝A(qn－1)(A≠0)．
随堂即时巩固
课时活页训练(共4张PPT)
第二章 数 列
知识综览
数列内容既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，是高考考查数学思想、方法、能力的重要载体．
本部分内容考查的重点是：
(1)数列的有关概念；
(2)等差、等比数列的定义及性质．考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，多以填空题的形式出现，一般是中、低档难度题，但解题方法灵活多样，技巧性较强；
(3)等差数列与等比数列的混合问题．此类问题综合性强，用到的数学思想方法较多；
(4)给出新情景，定义新概念．考查用学过的知识解决问题的能力；
(5)基本的思想方法：函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想等．
重点难点
本章重点：1.数列的概念；
2．等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公式．
本章难点：1.数列概念的理解；
2．等差数列与等比数列的性质、通项公式及前n项和公式的灵活应用；
3．数列的通项公式和前n项和的求法；
4．数列在实际问题中的应用．(共27张PPT)
2．2.2 等差数列的通项公式
课标要求：1.掌握并熟练应用等差数列的通项公式；
2．掌握等差数列的性质并能灵活应用．
重点难点：本节重点：等差数列的性质的应用；
本节难点：等差数列的通项公式的推导过程的理解和掌握．
课标定位
基础知识梳理
1．等差数列的通项公式
(1)通项公式为an＝____________.
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，可变形为an＝nd＋(a1－d)．从函数角度来认识等差数列的通项公式：
①当d≠0时，an是关于n的一次函数的一系列孤立的函数值；②当d＝0时，an是关于n的常数函数的一系列孤立的函数值．
a1＋(n－1)d
(2)通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d.
(3)通项公式的应用：
①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；
②已知等差数列的任意两项，就可以确定等差数列中的任意一项．
2．等差数列的四个常用性质
(1)单调性：d＞0时为递增数列，d＜0时为递减数列，d＝0时为常数列；
(2)若m＋n＝p＋q，则______________(m，n，p，q∈N*)．特别地，当m＋n＝2p时，有___________；
am＋an＝2ap
am＋an＝ap＋aq
md
课堂互动讲练
题型一
等差数列的通项公式
1．从函数知识的角度考查等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝d·n＋a1－d，当d≠0时，an是关于n的一次式(n∈N*)．所以等差数列的通项公式也可以表示为an＝pn＋q(设p＝d，q＝a1－d)．
2．从图象上看，表示这个数列的各点(n，an)均匀排列在一次函数y＝px＋q的图象上，其首项为p＋q，公差是p.由两个点确定一条直线，不难得出，任意两项可以确定一个等差数列．
3．等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数．
已知{an}为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式．
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为：a,2a－1,3－a.
【分析】 欲求出等差数列的通项公式，只需确定它的首项a1与公差d，代入an＝a1＋(n－1)d即得．
例1
1．等差数列{an}中，已知a59＝70，a80＝112，求a101.
变式训练
已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①2＋10＝3＋9＝2×6；
②a2＋a10＝a3＋a9＝2a6.
解答本题既可以用等差数列的性质，也可以用等差数列的通项公式．
题型二
等差数列的性质及应用
例2
【点评】 法一运用了等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算属于通法．两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
2．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________.
解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
答案：28
变式训练
数列在实践中有着广泛的应用，解相关数列应用问题的关键是建立适当的数列模型，然后用数列的知识解决问题．解答时需遵循如下四步：
第一步，读题理解．首先要认真阅读领悟，学会从冗长的文字中精简出数量及关系，把文字语言翻译为数学语言．
题型三
用等差数列解决实际应用题
第二步，建模转化．用熟悉的知识建立合适的数学模型，注意抓住相关量之间的变化关系，确定数列各特征量的已知和待求．
第三步，求解问题．运用所得到的数列模型，结合相关数学知识和思想方法，求解出实际问题的答案．
第四步，检验作答．检验所求的解是否符合实际情况，并对实际问题给出答案．
某地区2000年底的林地面积为100万公顷，由于各种原因林地面积不断减少，每年底的统计结果如下表：
例3
时间 该林区原有林地减少后的面积
2001年底 99.8000万公顷
2002年底 99.6000万公顷
2003年底 99.4001万公顷
2004年底 99.1999万公顷
2005年底 99.0002万公顷
试根据此表所给数据进行预测(表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑)．
(1)如果不采取任何措施，那么到2010年底，该林区原有林地减少后的面积大约为多少万公顷？
(2)如果从2001年底开始坚持每年植树造林0.3万公顷，但原来的林地面积仍按原有速度减少，那么到哪一年底，该林区的林地总面积达102万公顷？
【分析】 根据表中所给数据可以发现，该林区原有林地减少后的面积基本成等差数列递减，公差约为－0.2，从而构造出等差数列模型．
【解】 (1)记2001年底该林区原有林地减少后的面积为a1，则到2010年底为a10，从表中看出各年底原有林地减少后的面积an构成等差数列，公差d约为－0.2.
故a10＝99.8＋(10－1)×(－0.2)＝98.0.
所以到2010年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为98.0万公顷．
(2)依题意，得99.8＋(n－1)(－0.2)＋(n－1)×0.3＝102，解得n＝23.
所以到2023年底，该林区的林地总面积达102万公顷．
【点评】 本题将文字语言与图表语言相结合，表述形式较为新颖．解此题的关键是构造出等差数列模型．
规律方法总结
1．等差数列是一重要数列，它的一切性质都可以回到定义中去，在解决有关等差数列的问题时，一定要把握等差数列定义的本质．
2．涉及到等差数列的基本概念的问题，常用基本量a1，d来处理．
3．若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．
4．数列是特殊的函数，很多问题都可以用函数的方法来处理．
随堂即时巩固
课时活页训练(共29张PPT)
2.3.3 等比数列的前n项和
第二课时
课标要求：1.掌握求等比数列通项公式、前n项和公式的常用方法．
2．利用等比数列有关知识解决数学应用问题．
重点难点：本节重点：求等比数列前n项和的常用方法及前n项和的基本性质．
本节难点：等比数列前n项和性质的应用．
课标定位
基础知识梳理
课堂互动讲练
题型一
利用前n项和性质解题
解决此类问题，要灵活运用前n项和的性质，简化运算．
例1
已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．
【点评】 本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧．
变式训练
对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其实质，从而转化为等比数列的基本问题．
题型二
有关等比数列前n项和的综合问题
例2
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而解．
变式训练
题型三
等比数列前n项和的综合应用
对于数列应用题，解题的关键在于认真阅读理解题意，抓住“题眼”建立恰当的等差、等比数列模型．
某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本利共多少元(结果保留到个位)
例3
【分析】 解答本题可先建立数学模型，用数列知识求解后再回归实际问题．
【点评】 此题是复利问题，问题的关键是每够一年将前面的本息和作为整体自动转存．
3．某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)
变式训练
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共28张PPT)
2．2.3 等差数列的前n项和
第一课时
课标要求：1.掌握等差数列前n项和公式及推导方法．
2．能熟练运用等差数列的前n项和公式解决等差数列的有关问题．
重点难点：本节重点：等差数列的前n项和公式及应用．
本节难点：公式的推导方法．
课标定位
基础知识梳理
课堂互动讲练
题型一
前n项和公式的基本运算
分别按等差数列{an}的下列要求计算：
(1)已知a1005＝，求S2009；
(2)已知d＝2，S100＝10000，求an.
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①a1＋a2009＝2a1005；②an＝a1＋(n－1)d.
解答本题要紧扣等差数列的前n项和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
例1
【点评】 一般地，对于等差数列{an}的五个基本量a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个量，通过方程组可以求得另外两个量，即“知三求二”，对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程．
变式训练
对于首尾相加的可以求和的数列，可考虑采用倒序相加法．
题型二
倒序相加法
例2
【分析】 先由重心坐标公式求得x1＋x2＝1，再进行f(x1)＋f(x2)值的计算，在此基础上利用倒序求和求解．
【点评】 第一问是函数求值问题，在x1＋x2＝1的条件下，求f(x1)＋f(x2)，关键是指数式的运算．第二问是数列求和问题，求和的基本原则是化简，其方法有两种：一种是利用等差数列前n项和公式求解；另一种是消元法，如倒序相加、错位相减、裂项相消等．
变式训练
题型三
an与Sn的关系
例3
【分析】 已知an与Sn的关系，求an一般有两种解题思路，一是用n＋1和n－1代替式子中的n，得到一个结构相同的式子，两式作差消Sn，再由{an}的递推公式判断用哪个方法求an.另一思路是用Sn－Sn－1来代替an，先求Sn，再由Sn求an.
【点评】 本例an与Sn的关系式中，只含有一项an.所以很快能想到要用Sn－Sn－1表示an.
变式训练
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共44张PPT)
2．1 数 列
课标要求：1.理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．
2．了解数列的分类，探索并掌握数列的几种简单表示法．
3．了解数列的通项公式，能用函数观点认识数列，会根据通项公式写出数列中的任意一项．
重点难点：本节重点：数列概念的理解及数列的通项公式．
本节难点：用函数的观点认识数列．
课标定位
基础知识梳理
1．数列及其有关概念
(1)数列：按照一定____排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的______都叫做这个数列的项，第1项通常也叫做____，若是有穷数列，最后一项也叫做____．
2．数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为____，这里n是______．
3．数列的分类
次序
每个数
首项
末项
{an}
正整数
(1)按项的个数分类
类别 含义
______数列 项数有限的数列
______数列 项数无限的数列
有穷
无穷
(2)按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列
常数列 各项____的数列
摆动数列 从第2项起，有些项____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
大于
小于
相等
大于
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_________．
通项公式
5．数列的前n项和
设数列{an}：a1，a2，…，an，…，则______________叫做数列{an}的前n项和，记作___.
a1＋a2＋…＋an
Sn
课堂互动讲练
题型一
数列的有关概念
解决这类问题首先应了解数列与集合的区别，数列的分类等相关知识．
例1
【分析】 判断是否为数列关键看是否符合数列的定义．
【解】 (1)能构成数列，且是有穷数列；
(2)能构成数列，且是无穷数列，形式如：0,1,2,3，…；
(3)当x，y代表数时表示数列，此时是有穷数列，当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定顺序排列组成的．
【点评】 (1)数列中的数不一定必须是有理数，只要是数就可以．
(2)在(3)中当x，y代表数时，是否一定需要x＝3且y＝9才能表示数列呢？(不一定)
变式训练
答案：(1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6)(4)(5) (5)
题型二
由数列的前几项写数列的通项公式
由数列的前几项写出一个通项公式要尽量避免盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现其规律．首先要观察哪些因素与序号无关而保持不变，哪些因素随序号的变化而变化．其次要分析变化的因素与序号n的联系．再次是写出通项后进行验证或调整．
例2
【分析】 根据数列的前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律，依据此规律便可写出一个相应的通项公式．
【点评】 给出的数列前几项都是一些具体值，为了突出显现数列的构成规律，要找出an与n的关系．对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易被发现，要连续几次地进行类比，有时还需要将它们统一成相同的形式，通过化归的方法才能写出其通项公式．
变式训练
数列的通项公式是给出数列的主要形式．如果已知数列{an}的通项公式an＝f(n)，只要用1,2,3，…代换公式中的n，就可以求出这个数列的各项与指定项．另外，根据通项公式，结合函数的性质，可以进一步探讨数列的增减性，数列的项的最大值或最小值．
题型三
通项公式的应用
例3
【点评】 把an看做以n为自变量的函数，求某一确定的项，即求当n取某一正整数时的函数值．也可以用通项公式判定某一个数是否是数列中的项．
3．已知数列an＝n2－5n＋11.
(1)写出该数列的前5项；
(2)35是否是该数列的项？
(3)求该数列的最小项．
变式训练
题型四
Sn与an的关系
例4
【点评】 an＝Sn－Sn－1并非对所有的n(n∈N*)都成立，而只对当n≥2且n为正整数时成立，因此由Sn求an时必须分n＝1和n≥2两种情况进行讨论．当a1不符合an＝Sn－Sn－1表达式时，通项公式必须分段表示．
4．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－n，求an；
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，求an.
变式训练
规律方法总结
1．数列是特殊的函数，是建立在N*或N*的子集上的函数，所以，处理数列问题时，要注意运用函数的有关性质．
2．由数列{an}的前n项和Sn求an时，要注意分n＝1和n≥2讨论，然后将n＝1代入n≥2所得的通项公式，看结果是否符合n＝1的情况，若不符合则需要写成分段形式．
3．数列的通项公式与递推公式都是表示数列的重要方法，很多数列都可以用这两种方法来表示，特别是根据数列的递推公式求数列的通项公式既是高考的重点也是难点，同时要注意两者的转化．
随堂即时巩固
课时活页训练(共53张PPT)
本章优化总结
知识体系网络
专题探究精讲
专题一
数列的通项公式的求法
例1
【分析】 用观察法．
【点评】 通过观察数列前n项的规律，给出数列的一个通项公式．
2．公式法
等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是从第二项起先分析每一项与前一项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．
例2
【点评】 准确应用公式，计算出首项和公差，然后写出通项公式，要求计算准确．
例3
【分析】 逆推关系式表明可以用叠加法．
例4
【分析】 转化条件，构造出用累乘法的结构解之．
【点评】 累乘法的应用与递推关系式的结构是分不开的，但要注意适当转化．
(3)构造新数列法：有些数列直观上不符合以上各种形式，这时，可对其结构进行变形，以利于使用以上方法．
例5
【点评】 构造新数列的方法是多种多样的，要从平时解题中记忆和掌握常见的几类，例如本题就是一例典型的构造新数列的题．
例6
专题二
数列的前n项和的求法
例7
【分析】 观察式子分组求和
【点评】 转化为求两个等比数列的和的问题．
2．倒序相加法
对于首尾相加的可以求和的数列，可考虑采用倒序相加法．
例8
例9
【分析】 用错位相减法．
例10
【点评】 裂项法往往是针对分式结构的数列通项的，因而变形通项，转化结构以符合裂项法的特点是解题关键．
【分析】 由通项的形式分析，可用分组求和法
例11
【点评】 像这类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将它适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
专题三
数列与其它知识点的综合问题
数列、函数、不等式和方程等有关知识的综合是高考命题中出现频率最多的题型，这类题目有一定的难度，具有较强的考查运算能力和逻辑思维能力的功能，这类综合题型是考查的热点．
例12
章末综合检测(共27张PPT)
2.3 等比数列
2.3.1 等比数列的概念
课标要求：理解等比数列的概念．
重点难点：本节重点：等比数列的定义和等比中项.
本节难点：对等比数列定义的理解和应用．
课标定位
基础知识梳理
1．等比数列的有关概念
定义：一般地，如果一个数列从_______起，每一项与它的_______的___都等于_______常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母__表示．
说明：(1)注意定义中“从第2项起”这一条件的双层含义．
第2项
前一项
比
同一个
公比
q
其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；
其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个．其一，强调作商的顺序,即后面的项比前面的项；其二，强调这两项必须相邻.
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列．
注意：等差数列的项an与公差d可以是任意实数，而等比数列的项an与公比q都是非零实数．
2．等比中项
定义：如果a，G，b这三个数成_________，则G叫做a和b的等比中项．
等比数列
课堂互动讲练
题型一
等比数列的概念
对等比数列定义的理解要注意：
1．等比数列中：(1)当公比q＝1时该数列既是等比数列也是等差数列；(2)“a1≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件；
例1
【分析】 利用等比数列的定义判断．
【点评】 等比数列的公比是一个与n无关的常数，它可以是正数，也可以是负数，但不能为零．
变式训练
答案：0
题型二
等比中项
在等比数列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8.
【分析】 由所给的项的下标与所求项的下标，可知这三项的关系．
【解】 ∵a5是a2与a8的等比中项，∴542＝a8×(－2),
∴a8＝－1458.
【点评】 平常经常用到的结论，首先应该保证我们所记忆的结论的严密性和正确性，这是做快做对题目的前提．
例2
变式训练
2．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜logm(ab)＜1，求m的取值范围．
解：由a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列得，
2b＝a＋(a＋b)，b2＝a·ab，
解得a＝2，b＝4，由0＜logm8＜1，解得m＞8，
即m的取值范围为(8，＋∞)．
题型三
等比数列中的基本运算
合理设未知量，可以简化运算．
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
【分析】 由题目可获取以下主要信息：四个数分段成两种数列．解答本题可先按性质设其一种再推得其余.
例3
互动探究
3．若例3中条件改为：已知四个数，前3个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为16，前后两数之积为－128，则如何求这四个数？
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共19张PPT)
2．2 等差数列
2．2.1 等差数列的概念
课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是否为等差数列．
2．掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单问题．
重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项．
本节难点：对等差数列定义的理解和应用．
课标定位
基础知识梳理
1．等差数列的有关概念
定义：一般地，如果一个数列从第___项起，每一项减去它的______所得的差都等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，公差通常用__表示．
说明：(1)由定义可知，如果an－an－1(n≥2)是同一个常数，那么数列{an}就是等差数列．
(2)对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差(从第2项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒．
二
前一项
同一个
公差
d
2．等差中项
定义：如果a，A，b这三个数成_________，则A叫做a和b的等差中项．
说明：(1)a，A，b成等差数列 A是a与b的等差中项 A－a＝b－A 2A＝a＋b A＝.
(2)等差数列从第二项起，每一项是它前一项与后一项的等差中项，一个等差数列至少有三项．
(3)三个数成等差数列，可依次设为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列，可依次设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
等差数列
课堂互动讲练
1．在等差数列中要强调“从第2项起”和“同一个常数”，也就是说，若一个数列不是从第2项起，而是从第3或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，则该数列不是等差数列；若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是个常数，但这个常数不相同，则这个数列一定不是等差数列．
题型一
等差数列有关概念的理解
2．虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一个常数，但它不是公差，而是公差的相反数．
已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q为常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是，求其首项与公差．
【分析】 根据等差数列的定义可知，要证明一个数列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)即可．
【解】 取数列{an}的任两项an和an－1(n≥2)，则an－an－1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.
例1
∵p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p.
【点评】 深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个常数与n无关．如an－an－1＝n(n≥2)，数列{an}就不是等差数列．
判断一个数列(可以是三项、多项、无限项)是等差数列或不是等差数列，要回归到原始定义中去，这是最基本、最常用的方法．
题型二
等差数列的判定
已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．
例2
【解】 (1)欲使{an}是等差数列，
则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，
所以只有2p＝0，所以p＝0.
即p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．
(2)因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，
所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.
而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，
所以{an＋1－an}是等差数列．
变式训练
在等差数列中，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…(公差为2d)．
题型三
等差数列中的基本运算
已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数．
【分析】 三个数成等差数列，可根据定义设出这三个数，设法要尽量利用题中条件，使解答简化．
例3
【解】 设这三个数依次是a－d，a，a＋d，则由题意可知，(a－d)＋a＋(a＋d)＝12，得a＝4.
由(a－d)·a·(a＋d)＝48，得d＝±2，
∴所求的三个数是2,4,6或6,4,2.
【点评】 此种设法比较巧妙，应仔细体会并熟练掌握．
规律方法总结
等差数列的判定或证明是考查的重点，通常有以下方法：
(1)定义法：an＋1－an＝常数(n∈N*) {an}为等差数列；
(2)通项公式法(此法将在下一节学到)：an＝kn＋b(n∈N*) {an}为等差数列；
(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
随堂即时巩固
课时活页训练(共32张PPT)
第二课时
课标要求：1.掌握与和有关的等差数列的一些常用性质．
2．应用通项公式及求和公式等解决一些等差数列的问题，提高综合能力．
重点难点：本节重点：等差数列求和的有关性质及应用．
本节难点：等差数列的性质与公式的综合运用及变形技巧．
课标定位
基础知识梳理
n2d
课堂互动讲练
题型一
等差数列前n项和公式的性质
此类问题考察的主要是等差数列前n项和公式的性质的灵活应用．
等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
【分析】 可由等差数列的前n项和公式求解，也可由等差数列前n项和的性质，即等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解．
【点评】 由本题可得到求等差数列前n项和的常用方法：(1)直接代入公式，列方程组求解；(2)灵活运用等差数列前n项和的性质；(3)利用前n项和的二次函数性质．
1．一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27，求公差d.
变式训练
题型二
等差数列前n项的和的最值问题
例2
【点评】 (1)对于本题，也可先由an≥0求得n的值，再代入前n项和公式求最值．
(2)根据项的值判断前n项和的最值有以下结论：
①当a1＞0，d＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜an＜an＋1＜…，则S1最小；
②当a1＞0，d＜0时，a1＞a2＞a3＞…＞an＞0≥an＋1＞…，则Sn最大；
③当a1＜0，d＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜an＜0≤an＋1＜…，则Sn最小；
④当a1＜0，d＜0时，a1＞a2＞a3＞…＞an＞an＋1＞…，则S1最大．
2．(2010年高考课标全国卷)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
变式训练
解决好这类应用题的关键在于找准数列模型．
某工厂从今年起，若不改善生产环境，按现状生产，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月递增2万元．如果从今年一月起投资400万元增加回收净化设备以改善生产环境(改造设备时间不计)．按测算，新设备投产后的月收入与时间的关系如图所示．
题型三
等差数列前n项和公式在实际生活中的应用
例3
(1)设g(n)表示投资改造后的前n个月的总收入，写出g(n)的函数关系式；
(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的月累计纯收入多于不改造时的月累计纯收入？
【分析】 由图形可知，投资改造后的前n个月的收入分别是(单位：万元)
101,103,105,107,109,109，…
它的前五项是公差为2的等差数列，从第六项开始是常数列，g(n)表示这个数列的前n项和，应分n≤5和n＞5两种情形讨论．而不改造时的前n个月收入分别是(单位：万元)：67,65,63，…，69－2n，…，累计纯收入即为该等差数列的前n项的和：Sn＝68n－n2，投资改造后的前n个月累计纯收入为g(n)－400，解不等式g(n)－400＞Sn＝68n－n2，求n.
【点评】 通过图象深刻考查学生对数列概念及表示法的理解和运用，检验学生对文字语言、数学符号语言、图形语言之间的阅读理解能力及其相互转换能力．
3．一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？
变式训练
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共31张PPT)
2.3.2 等比数列的通项公式
课标要求：1.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单的问题．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
3．了解等比数列与指数函数的关系．
课标定位
重点难点：本节重点：等比数列的通项公式的推导和应用．
本节难点：1.等比数列的通项公式的推导过程的理解和掌握．
2．与等比数列的通项公式相关的性质的灵活运用．
基础知识梳理
1．等比数列的通项公式
(1)通项公式：设数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则数列{an}的通项公式为___________.
说明：在an＝a1qn－1中有a1，q，n，an四个量，知道三个可求一个．
(2)通项公式的两个变形
an＝a1qn－1
qn－m
2．等比数列的性质
(1)设数列{an}为等比数列，且m，n，s，t∈N*.
①若m＋n＝s＋t，则am·an＝as·at；
②若m＋n＝2s，则__________.
(2)设数列{an}为等比数列，公比q≠±1，且m，n，s, t∈N*.
①若aman＝asat，则m＋n＝s＋t；
②若aman＝a，则m＋n＝2s.
课堂互动讲练
题型一
等比数列的通项公式
已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【分析】 解答本题时，可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1与q后，再表示其他量．
例1
【点评】 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，也是常见的方法．
变式训练
例2
【点评】 观察数列的递推公式，并对它进行适当的变形，构造辅助数列，使问题转化为熟悉的等比数列问题．
变式训练
证明：(1)an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
∴bn＝2bn－1(n≥2)．
又b1＝a2－2a1＝S2－3a1＝a1＋2＝3，
∴{bn}是以首项为3，公比为2的等比数列．
题型二
等比数列的判定
例3
【分析】 可先求出an，再利用等比数列的定义证明
【证明】 ∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1， ①
∴a1＝1且a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1. ②
①－②，得an＝2n－1(n≥2)．
又a1＝1，
【点评】 本题中的条件a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即为Sn＝2n－1，利用an＝Sn－Sn－1可求an，但要注意验证n＝1的情况．由于能先求出通项公式，因而可用定义证明．
变式训练
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋2an－1＋3＝0(n≥2).
(1)判断数列{an＋1}是否为等比数列？并说明理由．
(2)求an.
解：(1)数列{an＋1}是等比数列，证明如下：
∵a1＝1，an＋2an－1＋3＝0，∴an＋1＝－2(an－1＋1).
∴数列{an＋1}是首项为2，公比为－2的等比数列.
(2)由(1)可知an＋1＝2·(－2)n－1＝－(－2)n.
∴an＝－(－2)n－1.
题型三
等比数列的性质及应用
例4
已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9.
【分析】 解答本题可以运用等比数列下标与项的运算关系，也可以利用通项公式计算．
【点评】 等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题,应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
