(共31张PPT)
2.3.2 等比数列的通项公式
课标要求：1.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单的问题．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
3．了解等比数列与指数函数的关系．
课标定位
重点难点：本节重点：等比数列的通项公式的推导和应用．
本节难点：1.等比数列的通项公式的推导过程的理解和掌握．
2．与等比数列的通项公式相关的性质的灵活运用．
基础知识梳理
1．等比数列的通项公式
(1)通项公式：设数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则数列{an}的通项公式为___________.
说明：在an＝a1qn－1中有a1，q，n，an四个量，知道三个可求一个．
(2)通项公式的两个变形
an＝a1qn－1
qn－m
2．等比数列的性质
(1)设数列{an}为等比数列，且m，n，s，t∈N*.
①若m＋n＝s＋t，则am·an＝as·at；
②若m＋n＝2s，则__________.
(2)设数列{an}为等比数列，公比q≠±1，且m，n，s, t∈N*.
①若aman＝asat，则m＋n＝s＋t；
②若aman＝a，则m＋n＝2s.
课堂互动讲练
题型一
等比数列的通项公式
已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【分析】 解答本题时，可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1与q后，再表示其他量．
例1
【点评】 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，也是常见的方法．
变式训练
例2
【点评】 观察数列的递推公式，并对它进行适当的变形，构造辅助数列，使问题转化为熟悉的等比数列问题．
变式训练
证明：(1)an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
∴bn＝2bn－1(n≥2)．
又b1＝a2－2a1＝S2－3a1＝a1＋2＝3，
∴{bn}是以首项为3，公比为2的等比数列．
题型二
等比数列的判定
例3
【分析】 可先求出an，再利用等比数列的定义证明
【证明】 ∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1， ①
∴a1＝1且a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1. ②
①－②，得an＝2n－1(n≥2)．
又a1＝1，
【点评】 本题中的条件a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即为Sn＝2n－1，利用an＝Sn－Sn－1可求an，但要注意验证n＝1的情况．由于能先求出通项公式，因而可用定义证明．
变式训练
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋2an－1＋3＝0(n≥2).
(1)判断数列{an＋1}是否为等比数列？并说明理由．
(2)求an.
解：(1)数列{an＋1}是等比数列，证明如下：
∵a1＝1，an＋2an－1＋3＝0，∴an＋1＝－2(an－1＋1).
∴数列{an＋1}是首项为2，公比为－2的等比数列.
(2)由(1)可知an＋1＝2·(－2)n－1＝－(－2)n.
∴an＝－(－2)n－1.
题型三
等比数列的性质及应用
例4
已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9.
【分析】 解答本题可以运用等比数列下标与项的运算关系，也可以利用通项公式计算．
【点评】 等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题,应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共44张PPT)
2．1 数 列
课标要求：1.理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．
2．了解数列的分类，探索并掌握数列的几种简单表示法．
3．了解数列的通项公式，能用函数观点认识数列，会根据通项公式写出数列中的任意一项．
重点难点：本节重点：数列概念的理解及数列的通项公式．
本节难点：用函数的观点认识数列．
课标定位
基础知识梳理
1．数列及其有关概念
(1)数列：按照一定____排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的______都叫做这个数列的项，第1项通常也叫做____，若是有穷数列，最后一项也叫做____．
2．数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为____，这里n是______．
3．数列的分类
次序
每个数
首项
末项
{an}
正整数
(1)按项的个数分类
类别 含义
______数列 项数有限的数列
______数列 项数无限的数列
有穷
无穷
(2)按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列
常数列 各项____的数列
摆动数列 从第2项起，有些项____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
大于
小于
相等
大于
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_________．
通项公式
5．数列的前n项和
设数列{an}：a1，a2，…，an，…，则______________叫做数列{an}的前n项和，记作___.
a1＋a2＋…＋an
Sn
课堂互动讲练
题型一
数列的有关概念
解决这类问题首先应了解数列与集合的区别，数列的分类等相关知识．
例1
【分析】 判断是否为数列关键看是否符合数列的定义．
【解】 (1)能构成数列，且是有穷数列；
(2)能构成数列，且是无穷数列，形式如：0,1,2,3，…；
(3)当x，y代表数时表示数列，此时是有穷数列，当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定顺序排列组成的．
【点评】 (1)数列中的数不一定必须是有理数，只要是数就可以．
(2)在(3)中当x，y代表数时，是否一定需要x＝3且y＝9才能表示数列呢？(不一定)
变式训练
答案：(1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6)(4)(5) (5)
题型二
由数列的前几项写数列的通项公式
由数列的前几项写出一个通项公式要尽量避免盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现其规律．首先要观察哪些因素与序号无关而保持不变，哪些因素随序号的变化而变化．其次要分析变化的因素与序号n的联系．再次是写出通项后进行验证或调整．
例2
【分析】 根据数列的前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律，依据此规律便可写出一个相应的通项公式．
【点评】 给出的数列前几项都是一些具体值，为了突出显现数列的构成规律，要找出an与n的关系．对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易被发现，要连续几次地进行类比，有时还需要将它们统一成相同的形式，通过化归的方法才能写出其通项公式．
变式训练
数列的通项公式是给出数列的主要形式．如果已知数列{an}的通项公式an＝f(n)，只要用1,2,3，…代换公式中的n，就可以求出这个数列的各项与指定项．另外，根据通项公式，结合函数的性质，可以进一步探讨数列的增减性，数列的项的最大值或最小值．
题型三
通项公式的应用
例3
【点评】 把an看做以n为自变量的函数，求某一确定的项，即求当n取某一正整数时的函数值．也可以用通项公式判定某一个数是否是数列中的项．
3．已知数列an＝n2－5n＋11.
(1)写出该数列的前5项；
(2)35是否是该数列的项？
(3)求该数列的最小项．
变式训练
题型四
Sn与an的关系
例4
【点评】 an＝Sn－Sn－1并非对所有的n(n∈N*)都成立，而只对当n≥2且n为正整数时成立，因此由Sn求an时必须分n＝1和n≥2两种情况进行讨论．当a1不符合an＝Sn－Sn－1表达式时，通项公式必须分段表示．
4．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－n，求an；
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，求an.
变式训练
规律方法总结
1．数列是特殊的函数，是建立在N*或N*的子集上的函数，所以，处理数列问题时，要注意运用函数的有关性质．
2．由数列{an}的前n项和Sn求an时，要注意分n＝1和n≥2讨论，然后将n＝1代入n≥2所得的通项公式，看结果是否符合n＝1的情况，若不符合则需要写成分段形式．
3．数列的通项公式与递推公式都是表示数列的重要方法，很多数列都可以用这两种方法来表示，特别是根据数列的递推公式求数列的通项公式既是高考的重点也是难点，同时要注意两者的转化．
随堂即时巩固
课时活页训练(共4张PPT)
第二章 数 列
知识综览
数列内容既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，是高考考查数学思想、方法、能力的重要载体．
本部分内容考查的重点是：
(1)数列的有关概念；
(2)等差、等比数列的定义及性质．考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，多以填空题的形式出现，一般是中、低档难度题，但解题方法灵活多样，技巧性较强；
(3)等差数列与等比数列的混合问题．此类问题综合性强，用到的数学思想方法较多；
(4)给出新情景，定义新概念．考查用学过的知识解决问题的能力；
(5)基本的思想方法：函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想等．
重点难点
本章重点：1.数列的概念；
2．等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公式．
本章难点：1.数列概念的理解；
2．等差数列与等比数列的性质、通项公式及前n项和公式的灵活应用；
3．数列的通项公式和前n项和的求法；
4．数列在实际问题中的应用．(共25张PPT)
3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式表示的平面区域
课标要求：了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式．
重点难点：：本节重点：1.了解二元一次不等式的几何意义；
2．会画二元一次不等式表示的平面区域和由平面区域得出相应的二元一次不等式．
本节难点：二元一次方程和二元一次不等式之间的关系，以及二元一次不等式和平面区域间的对应关系．
课标定位
基础知识梳理
1
实线
虚线
相同
课堂互动讲练
题型一
画出二元一次不等式表示的平面区域
例1
【分析】 解答此题可先画出直线，再取具体点分析．
变式训练
先求边界直线，再由阴影部分确定不等式．
在由平面区域确定不等式时，我们可以选用测试点进行判断．把测试点代入，根据测试点与平面区域是否在直线的同侧进行判断．
题型二
由平面区域写不等式
将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来
例2
【分析】 先求边界直线，再由阴影部分确定不等式．
变式训练
2．在下列各图中，写出对应于图中阴影区域的不等式．
题型三
由平面区域求参数的范围
例3
此类问题实际上是确定二元一次不等式表示的平面区域的逆应用．
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共27张PPT)
2．2.2 等差数列的通项公式
课标要求：1.掌握并熟练应用等差数列的通项公式；
2．掌握等差数列的性质并能灵活应用．
重点难点：本节重点：等差数列的性质的应用；
本节难点：等差数列的通项公式的推导过程的理解和掌握．
课标定位
基础知识梳理
1．等差数列的通项公式
(1)通项公式为an＝____________.
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，可变形为an＝nd＋(a1－d)．从函数角度来认识等差数列的通项公式：
①当d≠0时，an是关于n的一次函数的一系列孤立的函数值；②当d＝0时，an是关于n的常数函数的一系列孤立的函数值．
a1＋(n－1)d
(2)通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d.
(3)通项公式的应用：
①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；
②已知等差数列的任意两项，就可以确定等差数列中的任意一项．
2．等差数列的四个常用性质
(1)单调性：d＞0时为递增数列，d＜0时为递减数列，d＝0时为常数列；
(2)若m＋n＝p＋q，则______________(m，n，p，q∈N*)．特别地，当m＋n＝2p时，有___________；
am＋an＝2ap
am＋an＝ap＋aq
md
课堂互动讲练
题型一
等差数列的通项公式
1．从函数知识的角度考查等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝d·n＋a1－d，当d≠0时，an是关于n的一次式(n∈N*)．所以等差数列的通项公式也可以表示为an＝pn＋q(设p＝d，q＝a1－d)．
2．从图象上看，表示这个数列的各点(n，an)均匀排列在一次函数y＝px＋q的图象上，其首项为p＋q，公差是p.由两个点确定一条直线，不难得出，任意两项可以确定一个等差数列．
3．等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数．
已知{an}为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式．
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为：a,2a－1,3－a.
【分析】 欲求出等差数列的通项公式，只需确定它的首项a1与公差d，代入an＝a1＋(n－1)d即得．
例1
1．等差数列{an}中，已知a59＝70，a80＝112，求a101.
变式训练
已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①2＋10＝3＋9＝2×6；
②a2＋a10＝a3＋a9＝2a6.
解答本题既可以用等差数列的性质，也可以用等差数列的通项公式．
题型二
等差数列的性质及应用
例2
【点评】 法一运用了等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算属于通法．两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
2．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________.
解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
答案：28
变式训练
数列在实践中有着广泛的应用，解相关数列应用问题的关键是建立适当的数列模型，然后用数列的知识解决问题．解答时需遵循如下四步：
第一步，读题理解．首先要认真阅读领悟，学会从冗长的文字中精简出数量及关系，把文字语言翻译为数学语言．
题型三
用等差数列解决实际应用题
第二步，建模转化．用熟悉的知识建立合适的数学模型，注意抓住相关量之间的变化关系，确定数列各特征量的已知和待求．
第三步，求解问题．运用所得到的数列模型，结合相关数学知识和思想方法，求解出实际问题的答案．
第四步，检验作答．检验所求的解是否符合实际情况，并对实际问题给出答案．
某地区2000年底的林地面积为100万公顷，由于各种原因林地面积不断减少，每年底的统计结果如下表：
例3
时间 该林区原有林地减少后的面积
2001年底 99.8000万公顷
2002年底 99.6000万公顷
2003年底 99.4001万公顷
2004年底 99.1999万公顷
2005年底 99.0002万公顷
试根据此表所给数据进行预测(表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑)．
(1)如果不采取任何措施，那么到2010年底，该林区原有林地减少后的面积大约为多少万公顷？
(2)如果从2001年底开始坚持每年植树造林0.3万公顷，但原来的林地面积仍按原有速度减少，那么到哪一年底，该林区的林地总面积达102万公顷？
【分析】 根据表中所给数据可以发现，该林区原有林地减少后的面积基本成等差数列递减，公差约为－0.2，从而构造出等差数列模型．
【解】 (1)记2001年底该林区原有林地减少后的面积为a1，则到2010年底为a10，从表中看出各年底原有林地减少后的面积an构成等差数列，公差d约为－0.2.
故a10＝99.8＋(10－1)×(－0.2)＝98.0.
所以到2010年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为98.0万公顷．
(2)依题意，得99.8＋(n－1)(－0.2)＋(n－1)×0.3＝102，解得n＝23.
所以到2023年底，该林区的林地总面积达102万公顷．
【点评】 本题将文字语言与图表语言相结合，表述形式较为新颖．解此题的关键是构造出等差数列模型．
规律方法总结
1．等差数列是一重要数列，它的一切性质都可以回到定义中去，在解决有关等差数列的问题时，一定要把握等差数列定义的本质．
2．涉及到等差数列的基本概念的问题，常用基本量a1，d来处理．
3．若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．
4．数列是特殊的函数，很多问题都可以用函数的方法来处理．
随堂即时巩固
课时活页训练(共27张PPT)
2.3 等比数列
2.3.1 等比数列的概念
课标要求：理解等比数列的概念．
重点难点：本节重点：等比数列的定义和等比中项.
本节难点：对等比数列定义的理解和应用．
课标定位
基础知识梳理
1．等比数列的有关概念
定义：一般地，如果一个数列从_______起，每一项与它的_______的___都等于_______常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母__表示．
说明：(1)注意定义中“从第2项起”这一条件的双层含义．
第2项
前一项
比
同一个
公比
q
其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；
其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个．其一，强调作商的顺序,即后面的项比前面的项；其二，强调这两项必须相邻.
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列．
注意：等差数列的项an与公差d可以是任意实数，而等比数列的项an与公比q都是非零实数．
2．等比中项
定义：如果a，G，b这三个数成_________，则G叫做a和b的等比中项．
等比数列
课堂互动讲练
题型一
等比数列的概念
对等比数列定义的理解要注意：
1．等比数列中：(1)当公比q＝1时该数列既是等比数列也是等差数列；(2)“a1≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件；
例1
【分析】 利用等比数列的定义判断．
【点评】 等比数列的公比是一个与n无关的常数，它可以是正数，也可以是负数，但不能为零．
变式训练
答案：0
题型二
等比中项
在等比数列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8.
【分析】 由所给的项的下标与所求项的下标，可知这三项的关系．
【解】 ∵a5是a2与a8的等比中项，∴542＝a8×(－2),
∴a8＝－1458.
【点评】 平常经常用到的结论，首先应该保证我们所记忆的结论的严密性和正确性，这是做快做对题目的前提．
例2
变式训练
2．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜logm(ab)＜1，求m的取值范围．
解：由a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列得，
2b＝a＋(a＋b)，b2＝a·ab，
解得a＝2，b＝4，由0＜logm8＜1，解得m＞8，
即m的取值范围为(8，＋∞)．
题型三
等比数列中的基本运算
合理设未知量，可以简化运算．
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
【分析】 由题目可获取以下主要信息：四个数分段成两种数列．解答本题可先按性质设其一种再推得其余.
例3
互动探究
3．若例3中条件改为：已知四个数，前3个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为16，前后两数之积为－128，则如何求这四个数？
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共38张PPT)
1．3 正弦定理、余弦定理的应用
第一课时
课标要求：1.掌握利用正弦定理和余弦定理解任意三角形的基本类型和方法．
2．了解任意三角形的知识在实际中的广泛应用，能在实际问题中抽象或构造出三角形，并根据各量间的关系确定解三角形的方法．
3．初步掌握用解三角形知识解应用题的步骤和方法．
重点难点：本节重点：利用解三角形的知识解决数学建模问题．
本节难点：实际问题的数学化(建模)．
课标定位
基础知识梳理
1．解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将____________转化为解三角形问题来解决，所以首先将实际问题抽象转化为数学问题(解三角形问题)，然后利用正余弦定理对三角形进行求解，最后再回到实际问题中作答．
实际问题
2．解三角形应用问题的一般步骤
(1)准确理解题意，分清已知与所求；
(2)根据题意画出示意图或准确地理解图形；
(3)建立数学模型，
合理运用______________________________________正确求解，并作答；
(4)再根据实际问题的意义和精确度的要求给出答案．
正余弦定理和其它三角与平面几何知识
3．实际问题中的有关术语、名称
(1)仰角和俯角
测量时，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做____________；视线在水平线下方所成的角叫做________．(如图)
仰角
俯角
(2)方向角与方位角
①指北或指南的方向线与目标方向线所成的水平角(一般指锐角)叫做___________．目标方向线的方向一般用“________________”来表示．前一个“某”是“北”或“南”，后一个“某”是“东”或“西”．如图，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示：北偏东60°，北偏西75°，南偏西15°，南偏东40°.
方向角
某偏某多少度
②指北的方向线_____时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．
(3)水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角．
如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．
顺
课堂互动讲练
题型一
测量距离问题
测量距离问题：这类问题一般属于“测量有障碍物相隔的两点之间的距离”，在测量过程中一般要根据实际情况选取合适的基线，测量工具要有较高的精确度．
例1
【分析】 根据图中的已知条件求出一些点与点之间的距离，结合图形和计算出的距离作出判断，然后把B、D间距离的计算转化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之间的距离．
【解】 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
【点评】 要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点．
变式训练
测量高度问题：这类问题属于“测量底部或顶部不能到达的物体的高度”．测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度．
题型二
测量高度问题
在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南偏西25°距离A 300米的地方．在A测得山顶的仰角是30°，求山高(精确到1米)．
【分析】 题中A、B、C、D不在同一平面内，首先要正确画出空间图形，将东南方向画成45°夹角．
例2
【点评】 解决上述问题首先要正确画出符合题意的示意图，然后将问题转化为解三角形的问题，即将实际问题转化为“数学模型”，这是我们解决这类问题的关键之所在．
2．为测量建造中的上海东方明珠电视塔已到达的高度，李明在学校操场的某一直线上选择A、B、C三点，AB＝BC＝60米，且在A、B、C三点观察塔的最高点，测得仰角分别为45°、54.2°、60°.已知李明身高1.5米，试问建造中的电视塔已到达的高度．(结果保留一位小数)
变式训练
解：根据题意画出示意图，设DE＝x，则h＝x＋1.5.
在Rt△AED、Rt△BED、
Rt△CED中，
AE＝DE·cot45°＝x，
BE＝DE·cot54.2°＝x·cot54.2°，
测量角度问题：这类问题属于“根据需要，对某些物体定位”，测量的数据越精确，定位的精度越高．
题型三
测量角度问题
甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以什么速度、向何方向航行？
【分析】 解答本题可先画出示意图，将问题转化为解三角形，再应用余弦定理、正弦定理求解．
例3
变式训练
规律方法总结
1．解三角形的实质是研究三角形的边角关系，涉及的知识有三角形边、角、内切圆与外接圆半径、面积，还经常联系一元二次方程、方程组及最值等．
2．将某些实际问题转化为解三角形问题，是常遇到的应用问题，解这类问题，关键是如何将实际问题转化为数学问题，画出示意图，有助于将抽象问题具体化、形象化．
3．解斜三角形在实际中的应用是很广泛的，如测量、航海、机械设计、几何、物理等方面都要运用到解三角形．
4．由于在实际测量过程中有一些误差，为了将误差控制在允许范围内，我们往往要对同一对象测量多次，然后取它们的平均值作为所得的测量数据，在实际问题的计算中，有一定的精度要求，要注意近似计算法则，以严谨细致的科学态度求出测量结果．
随堂即时巩固
课时活页训练(共32张PPT)
3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3.3.2 二元一次不等式组表示的平面区域
课标要求：1.体验并学会从实际问题的不等关系中抽象出二元一次不等式或二元一次不等式组的过程和方法．
2．会用直角坐标系中的平面区域表示二元一次不等式组的解集．
课标定位
重点难点：本节重点：1.理解二元一次不等式组表示的平面区域，能准确地画出这个平面区域．
2．能根据平面区域写出相应的二元一次不等式组．
本节难点：正确地理解二元一次不等式组表示的平面区域的意义和对“数形结合”思想的理解及应用．
基础知识梳理
1．二元一次不等式组
(1)由________________组成的不等式组，称为二元一次不等式组．
(2)满足二元一次不等式组的x和y的取值，构成有序实数对_______，所有这样的有序实数对_______构成的集合称为二元一次不等式组的解集．
2．判断二元一次不等式组表示的平面区域
(1)不等式组表示的区域是各个不等式表示的区域的公共部分．
(2)三个或三个以上不等式构成的不等式组画平面区域时，可先画出两个不等式的公共区域，再与第三个找公共区域，依次类推找下去，即可画出不等式组的平面区域．
二元一次不等式
(x，y)
(x，y)
课堂互动讲练
题型一
画出二元一次不等式组表示的平面区域
在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
例1
【分析】 解答本题可先分别画出三个不等式所表示的平面区域，再找它们的公共部分．
【解】 如图所示．不等式x－y＋5≥0
表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的
集合，不等式x＋y＋1＞0表示直线
x＋y＋1＝0右上方的点的集合
(不含边界)，不等式x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．
【点评】 注意含边界的画成实线，不含边界的画成虚线．
变式训练
解：不等式x＜3表示直线x＝3左侧的区域．
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方的区域．
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方的区域．
不等式3y＜x＋9，即x－3y＋9＞0表示直线x－3y＋9＝0右下方的区域．
综上可得，不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
题型二
由平面区域写不等式组
已知平面区域，用不等式(组)表示，其方法是：分别在所有直线外任取一点(如原点(0,0))，将其坐标代入Ax＋By＋C，判断正负即可．
例2
在△ABC中，A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
【分析】 先求出直线AB、AC、BC的方程，然后根据区域写出不等式组．
【解】 由A(3，－1)，C(1,3)，得直线AC的方程为2x＋y－5＝0；由B(－1,1)，C(1,3)，得直线BC的方程为x－y＋2＝0；由A(3，－1)，B(－1,1)，得直线AB方程为x＋2y－1＝0.
【点评】 (1)根据区域写不等式组，要求交集与不等式组等价；(2)注意边界的虚实(是否有等号)．
2．用不等式组表示下图中的阴影部分(含边界)，已知A(－3,3)，B(－2，－3)，C(4,0)，D(3,2)．
变式训练
解：首先求出各条边所在的直线方程．
AB：6x＋y＋15＝0；BC：x－2y－4＝0；
CD：2x＋y－8＝0；DA：x＋6y－15＝0.
原点(0,0)在直线AB的右方，将(0,0)代入直线AB，得6·0＋0＋15>0，
所以，直线AB的右半平面区域为：6x＋y＋15≥0.
同理，直线BC的上半平面区域为：x－2y－4≤0，
直线CD的左半平面区域为：2x＋y－8≤0，
直线DA的下半平面区域为：x＋6y－15≤0.
题型三
不等式组表示的平面区域的面积
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后再求解．
例3
(2)求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积．
【分析】 本题的两个小题的解题关键在于正确地描绘出边界直线，然后根据给出的不等式，判断出所表示的平面区域．
【解】 (1)如图①所示，其中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域．
【点评】 本例(2)中也可先画出函数y＝|x|和y＝|x|＋1的图象，再考虑围成的区域．
变式训练
3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为________．
答案：1
题型四
求平面区域内的整数点
解决此类问题，应先画出平面区域，再在平面区域内找出整数解，常用的方法有：(1)打方格法；(2)代入比较法．
例4
【分析】 画出平面区域，观察区域内点的横、纵坐标的变化．
【解】 画出直线y－2x＝0(画成实线)，不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0上及右下方的平面区域；
画出直线x＋2y＋3＝0(画成虚线)，不等式x＋2y＋3＞0表示直线x＋2y＋3＝0右上方的平面区域；
画出直线5x＋3y－5＝0(画成虚线)，不等式5x＋3y－5＜0表示直线5x＋3y－5＝0左下方的平面区域 ；
显然，满足条件的平面区域中的整点为(1，－1)，(2，－2)，(0,0)，(0,1)共有4个整点．
【点评】 平面区域中的整点问题，在解决时，常常先画平面区域，然后再找整点．
变式训练
4．在平面直角坐标系中，满足不等式(|x|－1)2＋(|y|－1)2<2的整点(x，y)的个数是________．
解析：不等式(|x|－1)2＋(|y|－1)2<2表示的平面区域分别关于x轴、y轴对称，也关于原点对称．因此可以先求(x－1)2＋(y－1)2<2所对应的区域中的整点，共有5个点分别为(1,0)、(0,1)、(1,1)、(2,1)、(1,2)，关于x轴对称的点有4个(0，－1)、(1，－1)、(2，－1)、(1，－2)；关于y轴对称的点有4个(－1,0)、(－1,1)、(－2,1)、(－1,2)；关于原点对称的点有3个(－1，－1)、(－2，－1)、(－1，－2)，所以共有整点5＋4＋4＋3＝16(个)．
答案：16
题型五
二元一次不等式组表示平面区域的实际应用
解答二元一次不等式(组)所表示的平面区域的应用问题时，建立恰当的数学模型，把实际问题转化为数学问题是关键，它所表示的平面区域是各个不等式所表示平面区域的公共部分．
例5
某工厂有甲、乙两种产品，计划每天产量都不少于15 t，已知生产甲产品1 t需煤9 t，电力4 kW·h，劳力3个；生产乙产品1 t需煤4 t，电力5 kW·h，劳力10个，但每天用煤不超过300 t，电力不超过200 kW·h，劳力只有300个，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
【分析】 将题中数据列表如下：
产品
消耗量
资源 甲产品 乙产品 资源限额
煤(t) 9 4 300
电力(kW·h) 4 5 200
劳力(个) 3 10 300
【点评】 对于比较复杂的实际问题，通常借助于表格来分析．
变式训练
5．某公司从银行贷款不足250万元，分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造．已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润；乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润．若该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元，请列出甲、乙两厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式，并画出相应的平面区域．
规律方法总结
1．画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．
2．多以数形结合思想考虑问题．
随堂即时巩固
课时活页训练(共53张PPT)
本章优化总结
知识体系网络
专题探究精讲
专题一
数列的通项公式的求法
例1
【分析】 用观察法．
【点评】 通过观察数列前n项的规律，给出数列的一个通项公式．
2．公式法
等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是从第二项起先分析每一项与前一项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．
例2
【点评】 准确应用公式，计算出首项和公差，然后写出通项公式，要求计算准确．
例3
【分析】 逆推关系式表明可以用叠加法．
例4
【分析】 转化条件，构造出用累乘法的结构解之．
【点评】 累乘法的应用与递推关系式的结构是分不开的，但要注意适当转化．
(3)构造新数列法：有些数列直观上不符合以上各种形式，这时，可对其结构进行变形，以利于使用以上方法．
例5
【点评】 构造新数列的方法是多种多样的，要从平时解题中记忆和掌握常见的几类，例如本题就是一例典型的构造新数列的题．
例6
专题二
数列的前n项和的求法
例7
【分析】 观察式子分组求和
【点评】 转化为求两个等比数列的和的问题．
2．倒序相加法
对于首尾相加的可以求和的数列，可考虑采用倒序相加法．
例8
例9
【分析】 用错位相减法．
例10
【点评】 裂项法往往是针对分式结构的数列通项的，因而变形通项，转化结构以符合裂项法的特点是解题关键．
【分析】 由通项的形式分析，可用分组求和法
例11
【点评】 像这类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将它适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
专题三
数列与其它知识点的综合问题
数列、函数、不等式和方程等有关知识的综合是高考命题中出现频率最多的题型，这类题目有一定的难度，具有较强的考查运算能力和逻辑思维能力的功能，这类综合题型是考查的热点．
例12
章末综合检测(共23张PPT)
2.3.3 等比数列的前n项和
第一课时
课标要求：1.掌握等比数列前n项和公式及推导方法(错位相减法)．
2．会运用等比数列前n项和公式进行基本量的计算，并能进行简单应用．
重点难点：本节重点：推导并掌握等比数列的前n项和公式；
本节难点：错位相减法的应用．
课标定位
基础知识梳理
1．等比数列的前n项和公式
课堂互动讲练
题型一
等比数列前n项和公式的基本运算
求数列前n项和，应抓住其核心——通项．
例1
设等比数列{an}的公比q＜1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
【分析】 解答本题应当建立a1与q的方程组求解．
【点评】 运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
变式训练
错位相减法适合求一个等差数列与一个等比数列相应项相乘得到的新数列的前n项和，即已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，利用错位相减法可求数列{anbn}的前n项和，因而具有一般性，其它方法求和可使学生进一步认识q≠1时，等比数列前n项和的特征，也能进一步开拓求和思路．
题型二
“错位相减法”及其应用
例2
【点评】 要注意本题特点．它是形如{anbn}数列的前n项的和．其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列．具体解法是：乘等比数列的公比或倒数然后错位相减，使其转化为等比数列问题来解．
变式训练
求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)·xn－1(x≠0)．
【分析】 由题可知通项{(2n－1)xn－1}是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn－1} 的通项之积．
例3
【点评】 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，即错位相减法求和．
规律方法总结
1．等比数列的前n项和给出了数列求和的一种常用的方法——错位相减法，这种方法对解决数列{anbn}的前n项和(其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列)是相当有效的．
2．应用求和公式时q≠1，必要时应讨论q＝1的情况．即：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，前n项和必须具备形式Sn＝A(qn－1)(A≠0)．
随堂即时巩固
课时活页训练(共29张PPT)
2.3.3 等比数列的前n项和
第二课时
课标要求：1.掌握求等比数列通项公式、前n项和公式的常用方法．
2．利用等比数列有关知识解决数学应用问题．
重点难点：本节重点：求等比数列前n项和的常用方法及前n项和的基本性质．
本节难点：等比数列前n项和性质的应用．
课标定位
基础知识梳理
课堂互动讲练
题型一
利用前n项和性质解题
解决此类问题，要灵活运用前n项和的性质，简化运算．
例1
已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．
【点评】 本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧．
变式训练
对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其实质，从而转化为等比数列的基本问题．
题型二
有关等比数列前n项和的综合问题
例2
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而解．
变式训练
题型三
等比数列前n项和的综合应用
对于数列应用题，解题的关键在于认真阅读理解题意，抓住“题眼”建立恰当的等差、等比数列模型．
某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本利共多少元(结果保留到个位)
例3
【分析】 解答本题可先建立数学模型，用数列知识求解后再回归实际问题．
【点评】 此题是复利问题，问题的关键是每够一年将前面的本息和作为整体自动转存．
3．某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)
变式训练
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共29张PPT)
1．2 余弦定理
第一课时
课标要求：1.理解并掌握余弦定理．
2．掌握用向量的数量积证明余弦定理的方法．
3．余弦定理的简单应用．
重点难点：本节重点：余弦定理及其应用．
本节难点：用向量的数量积证明余弦定理．
课标定位
基础知识梳理
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边_____________减去这两边与它们夹角的余弦的___________，
即a2＝__________________，
b2＝____________________，
c2＝_____________________.
平方的和
积的两倍
b2＋c2－2bccosA
a2＋c2－2accosB
a2＋b2－2abcosC
2．余弦定理的推论
cosA＝________________，
cosB＝_________________，
cosC＝__________________.
说明：(1)将余弦定理中的a，b，c，分别换成2RsinA,2RsinB,2RsinC，
可得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，
sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，
sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC.
(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况．
3．运用余弦定理可以解决两类解三角形问题
(1)已知______________，求第三边和____________；
(2)已知三边，求_______________．
两边及其夹角
其他两个角
三个角
课堂互动讲练
题型一
已知三角形的两边及其夹角解三角形
这类题目的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．
例1
【分析】 注意根与系数的关系的运用及公式cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)．
变式训练
题型二
已知三角形三边解三角形
这类问题的基本解法是先用余弦定理求出两个角，再用三角形内角和定理求出第三个角．
例2
【分析】 由比例的性质可以引入一个字母k，用k表示a、b、c，再由余弦定理求解各角．
变式训练
题型三
已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形
解决此类问题有两种方法，比较下列两种解法，从中体会各自的优点．
例3
【分析】 解答本题可先由正弦定理求出角A，然后再求边c；也可由余弦定理列出关于边长c的方程．
变式训练
规律方法总结
解三角形可以分成以下四种类型：(1)已知三边，求三角(可以利用余弦定理的推论)．(2)已知两边及夹角，求另两角和另一边(可以先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求其余两角)．(3)已知两边及其中一边的对角，求另一边和其余两角(可以先用正弦定理求出另一角，再求其余边角，或者先用余弦定理求出第三边，再求其余两角)．(4)已知两角及一边，求另一角和其余两边(先由三角形内角和为180°，求出另一角，再用正弦定理或余弦定理求出其余两边)．
由以上四种情况可知，要解一个三角形至少需要一边.
随堂即时巩固
课时活页训练
即时突破
例1
题型一
导数定义的应用(共36张PPT)
3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3.3.3 简单的线性规划问题
课标要求：1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力．
课标定位
重点难点：本节重点：线性规划问题的图解法，关键是数形之间的转化(根据约束条件，画出可行域，并弄清目标函数所表示的几何意义)．
本节难点：将实际问题转化为线性规划问题，并给予求解，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．
基础知识梳理
1．线性规划中的基本概念
名 称 意 义
约束条件 由变量x，y组成的_________
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
不等式(组)
名 称 意 义
可行解 满足_________________的解(x，y)
可行域 所有________组成的集合
最优解 使目标函数取得______的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在_________条件下的最大值或最小值的问题
2.解决简单的线性规划问题的方法和步骤
线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题．解决这类问题最常用、最重要的一种方法就是图解法．其步骤为：①画：画出可行域；②变：把目标函数变形为斜截式方程，从纵截距的角度寻找最优解；③求：解方程组求出最优解；④答：写出目标函数的最值．
线性约束条件
可行解
最值
线性约束
3．几点说明
(1)线性规划问题可能没有最优解．
(2)当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．
(3)整点可行解就是可行域中横坐标和纵坐标都是整数的点．
课堂互动讲练
题型一
求线性目标函数的最值
线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问题的关键是画好平面区域，找到目标点．
例1
【分析】 解答本题可先画出可行域，采用图解法，平行移动直线求解．
【点评】 利用线性规划求最值
①准确画出可行域是解答此类问题的前提条件．
②把目标函数与过可行域内点的一组平行直线建立对应关系．
③理解好线性目标函数的几何意义是关键．
从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．
变式训练
解：目标函数为z＝3x＋5y，可行域如图所示，作出直线z＝3x＋5y，可知，直线经过点B时，z取得最大值，直线经过点A时，z取得最小值．
题型二
求非线性目标函数的最值
若目标函数不是线性函数，我们可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
【解】 作出可行域，如图所示，求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
【点评】 (1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．
变式训练
题型三
已知目标函数的最值求参数
此类题目为线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．
例3
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，
－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_______．
【分析】 解答本题可先作出可行域，利用数形结合求解．
【解析】 由约束条件作出可行域(如图)．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax＋z时使直线在y轴上的截距最大，
∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1.
【答案】 a＞1
【点评】 解答此类问题必须要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．
题型四
线性规划应用问题
应用线性规划处理实际问题时应注意：
(1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美．
(2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加注意．
(3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
例4
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
【分析】 将已知数据列成下表：
原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位
甲 5 10
乙 7 4
费用 3 2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，则需要的费用为z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x＋7y≥35；同理，对铁质的要求可以表示为10x＋4y≥40，
【点评】 解决此类问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言，此题通过表格将数据进行整理，使问题难度大大降低．
变式训练
3．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．
某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测， 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
规律方法总结
1．用图解法解线性规划问题时要注意线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．
2．在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，然后列出正确的不等式组．
随堂即时巩固
课时活页训练(共4张PPT)
第三章 不等式
知识综览
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容．建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的．在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；
掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用一元二次不等式组表示平面区域，并尝试解决简单的二元线性规划问题，认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系．
重点难点
本章重点：一元二次不等式的解法，线性规划问题的处理和用基本不等式处理函数的最值问题等．
本章难点：一元二次不等式与相应的函数和方程的联系与线性约束条件和目标函数的几何意义的理解，基本不等式的灵活运用等．(共19张PPT)
2．2 等差数列
2．2.1 等差数列的概念
课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是否为等差数列．
2．掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单问题．
重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项．
本节难点：对等差数列定义的理解和应用．
课标定位
基础知识梳理
1．等差数列的有关概念
定义：一般地，如果一个数列从第___项起，每一项减去它的______所得的差都等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，公差通常用__表示．
说明：(1)由定义可知，如果an－an－1(n≥2)是同一个常数，那么数列{an}就是等差数列．
(2)对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差(从第2项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒．
二
前一项
同一个
公差
d
2．等差中项
定义：如果a，A，b这三个数成_________，则A叫做a和b的等差中项．
说明：(1)a，A，b成等差数列 A是a与b的等差中项 A－a＝b－A 2A＝a＋b A＝.
(2)等差数列从第二项起，每一项是它前一项与后一项的等差中项，一个等差数列至少有三项．
(3)三个数成等差数列，可依次设为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列，可依次设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
等差数列
课堂互动讲练
1．在等差数列中要强调“从第2项起”和“同一个常数”，也就是说，若一个数列不是从第2项起，而是从第3或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，则该数列不是等差数列；若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是个常数，但这个常数不相同，则这个数列一定不是等差数列．
题型一
等差数列有关概念的理解
2．虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一个常数，但它不是公差，而是公差的相反数．
已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q为常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是，求其首项与公差．
【分析】 根据等差数列的定义可知，要证明一个数列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)即可．
【解】 取数列{an}的任两项an和an－1(n≥2)，则an－an－1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.
例1
∵p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p.
【点评】 深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个常数与n无关．如an－an－1＝n(n≥2)，数列{an}就不是等差数列．
判断一个数列(可以是三项、多项、无限项)是等差数列或不是等差数列，要回归到原始定义中去，这是最基本、最常用的方法．
题型二
等差数列的判定
已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．
例2
【解】 (1)欲使{an}是等差数列，
则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，
所以只有2p＝0，所以p＝0.
即p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．
(2)因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，
所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.
而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，
所以{an＋1－an}是等差数列．
变式训练
在等差数列中，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…(公差为2d)．
题型三
等差数列中的基本运算
已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数．
【分析】 三个数成等差数列，可根据定义设出这三个数，设法要尽量利用题中条件，使解答简化．
例3
【解】 设这三个数依次是a－d，a，a＋d，则由题意可知，(a－d)＋a＋(a＋d)＝12，得a＝4.
由(a－d)·a·(a＋d)＝48，得d＝±2，
∴所求的三个数是2,4,6或6,4,2.
【点评】 此种设法比较巧妙，应仔细体会并熟练掌握．
规律方法总结
等差数列的判定或证明是考查的重点，通常有以下方法：
(1)定义法：an＋1－an＝常数(n∈N*) {an}为等差数列；
(2)通项公式法(此法将在下一节学到)：an＝kn＋b(n∈N*) {an}为等差数列；
(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
随堂即时巩固
课时活页训练(共32张PPT)
本章优化总结
知识体系网络
专题探究精讲
专题一
不等式与函数、方程、数列的综合问题
1．利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等．
2．利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布问题．
3．不等式与数列的综合题经常出现在高考压轴题中，主要体现在比较数列中两项的大小等．
例1
m为何值时，关于x的方程8x2－(m－1)x＋(m－7)＝0的两根：(1)为正根；(2)为异号根且负根绝对值大于正根；(3)都大于1；(4)一根大于2，一根小于2.
【分析】 本题看似考查二次方程根的问题，细看是考查不等式问题，再分析可见是考查三个“二次”(即一元二次方程、一元二次不等式、二次函数)的问题，找出这一本质是解决本题的关键．
【点评】 三个“二次”之间的关系是实现它们之间相互转化的桥梁．联系三个“二次”的纽带是二次函数的图象，利用图象的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关系，牢固地记忆相关结论．同时，在分析、解决具体问题时，利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解题方法．
例2
【分析】 应先求和再放缩．
【点评】 如果数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比数列前n项和公式，或者利用分组、裂项、倒序相加等方法．
专题二
不等式恒成立问题
对于不等式恒成立求参数范围问题的常见类型及解法有以下几种
1．变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．
2．分离参数法：
若f(a)＜g(x)恒成立，则f(a)＜g(x)min.
若f(a)＞g(x)恒成立，则f(a)＞g(x)max.
3．数形结合法：
利用不等式与函数的关系，将恒成立问题通过函数图象直观化．
例3
设f(x)＝mx2－mx－6＋m，
(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围．
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】 (1)知道m的范围，所以应用变更主元法；
(2)应用分离参数法．
专题三
解含参数的不等式
解含参数的不等式，解答过程中的不确定因素常需进行分类讨论，如一元二次不等式的二次项系数含参数时分系数等于0、不等于0两类讨论；不等式两边同乘以(或除以)一个数时，要讨论这个数的符号；一元二次不等式对应方程根的情况不定或有实根但大小不定时要讨论．
例4
解关于x的不等式ax2＋ax－1＜0.(*)
【分析】 当a≠0时，不等式(*)为二次不等式，解二次不等式的关键是看二次项系数及判别式的正负，抓住这两条也就自然找到了分类的关键点．
【点评】 解含参数的一元二次不等式的关键是确定相应方程的两个根的大小．参数的分界点常按以下方法确定：(1)令最高项的系数等于0；(2)令两个根相等；(3)令判别式等于0.找到分界点后，可结合二次函数的图象在每一部分的特点写出相应不等式的解集．
专题四
利用基本不等式求最值
例5
当0＜x＜4时，求y＝x(8－2x)的最大值．
【分析】 由0＜x＜4得8－2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值，注意到2x＋(8－2x)＝8为定值，故只需将y＝x(8－2x)凑上一个系数即可．
【点评】 本题无法直接运用基本不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用基本不等式求得最大值．
例6
专题五
线性规划问题
求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一寻求约束条件和目标函数；二作出可行域；三在可行域内求目标函数的最优解．特别要注意目标函数z＝ax＋by＋c在直线ax＋by＝0平移过程中变化的规律和与图中直线斜率的关系，现实生活中简单的线性规划应用题也是高考的热点．
例7
【分析】 (1)为线性目标函数，是常规题型；
(2)应转化为求可行域内的点与原点的距离的平方求解．
【解】 作出可行域，如图中的阴影部分(含边界)．
(1)令z＝4x－3y＝0得直线l：4x－3y＝0.由图形可知当直线l平移至顶点C、B时z分别取最小值、最大值．
(2)设u＝x2＋y2，则u就是点(x，y)与原点之间的距离的平方，由图可知，B点到原点的距离最大，而当(x，y)在原点时，距离最小，为0.
所以umax＝(－1)2＋(－6)2＝37，umin＝0.
【点评】 解决线性规划问题，要准确画出可行域，然后分析出目标函数是否是线性的．不是线性的一般可转化为求斜率、求最值等．
章末综合检测(共28张PPT)
第三章 不等式
3．1 不等关系
课标要求：1.通过实际问题感受现实世界中的相等关系和不等关系，理解不等关系是普遍存在的．
2．会用不等式(组)表示一些简单的不等关系，掌握不等式的常用性质．
重点难点：本节重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题．
本节难点：通过具体情境建立不等式模型．
课标定位
基础知识梳理
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课堂互动讲练
题型一
用不等式(组)表示不等关系
用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，首先应读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式(组)解决实际问题的最基本的一步．
例1
某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买两盒，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．
【分析】 假设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片、y盒，根据题意，应有下列不等关系：
(1)总费用不超过500元；
(2)软件至少买3片；
(3)磁盘至少买两盒．
用关于x、y的不等式(组)表示上述不等关系即可．
【点评】 将实际问题通过数学建模，用不等式(组)刻画不等关系首先要设出未知数，把文字语言用不等式语言表示即可．
变式训练
比较大小问题，通常用作差法来解决，步骤可归纳为：作差、变形、判定符号、得出结论．如需分类讨论，分类讨论后要作出总结结论．
已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
【分析】 解答本题可先作差，然后再因式分解进行变形．
题型二
比较大小问题
例2
【点评】 作差法比较两个数的大小，变形是关键，一般变形越彻底越有利于下一步的判断，常用知识有因式分解，配方，通分，对数的运算性质等，另外还要注意分类讨论．
变式训练
题型三
实际应用题
注意实际应用题数学模型的建立方法，求解出数据后，要善于用这些数据对问题作出合理的解释．
某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
例3
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①单位职工人数未知，是变量；
②全票价未知，是常量．
解答本题可先正确建立函数模型，再运用作差法加以比较即可．
【点评】 解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
3．一群女生住若干间宿舍，若每间住4人，剩19人无房住；若每间住6人，有一间宿舍住不满，问可能有多少间宿舍？多少名学生？
变式训练
题型四
不等式的性质及应用
例4
使用不等式性质时，一定要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
【分析】 解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解．
变式训练
规律方法总结
1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．
2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数(或非正数)之和，然后判断差式的符号．
3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A≥B(或B≤A)”．
随堂即时巩固
课时活页训练(共29张PPT)
第二课时
课标要求：1.掌握正弦定理及其变式的结构特征和功能，明确应用正弦定理解斜三角形的可解类型，能熟练地运用正弦定理解斜三角形，会用计算器求三角形的近似解．
2．探究三角形面积公式的表现形式，会结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题．
重点难点：本节重点：三角形面积公式的理解及应用．
本节难点：三角形解的个数的判定．
课标定位
基础知识梳理
1．三角形面积公式
(1)S△＝________＝____________＝__________.
(2)S△＝________＝_________＝___________(其中ha，hb，hc分别表示三边a，b，c上的高)
2．已知两边a，b和一边的对角B，求角A时的解的情况
已知a、b和B，用正弦定理求A时，由于已知三角形的两边和其中一条边所对的角不能确定惟一的三角形，因此，解答此类题目时常常出现无解、一解、两解三种情况，具体解的情况如下：
(1)当角B为锐角时
①当b＝asinB时，如图1，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA相切，只有一个交点，此时三角形只有一解；
②当b＜asinB时，如图2，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA相离，无交点，此时三角形无解；
③当asinB＜b＜a时，如图3，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA有两个交点，此时三角形有两解；
④当b＞a时，如图4，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA只有一个交点，此时三角形只有一解；
⑤当b＝a时，显然只有一解．
(2)当角B为钝角时
①当b＜a时，如图，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA无交点，此时三角形无解；
②当b＞a时，
如图，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA只有一个交点，此时三角形只有一解；
③当b＝a时，无解．
(3)当角B为直角时
①当b＞a时，显然一解；
②当b＜a时或当b＝a时，无解．
课堂互动讲练
题型一
三角形解的情况的判定
已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其它的边与角．由于三角形的形状不能惟一确定，因而会出现一解、两解和无解三种情况．可结合示意图进行判断．
例1
【分析】 画出示意图，由草图判定解的个数．
若sinA≤sinB，无解．
②a＝b时，一解．
③a若sinA≥sinB，无解．
若sinA变式训练
题型二
利用三角形面积公式解决问题
例2
【点评】 本题主要考查三角形的边角关系和面积计算，灵活运用三角变换公式是解决问题的关键．
变式训练
题型三
正弦定理及其变形的简单应用
例3
【分析】 由结构a∶b∶c＝1∶3∶5想到正弦定理的变式．
【点评】 利用比例性质可使问题简化．
规律方法总结
1．正弦定理表达了三角形的边和角的关系，其作用是解三角形，而且正弦定理有若干变形形式，应用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的互相转换．通过应用还应发现它与三角函数、平面向量知识在解三角形中有密切的联系．
2．应用正弦定理，要明确角化边或边化角的方向，正确判断解的个数，特别注意对已知两边及一边对角时三角形解的个数的讨论，防止出现漏解或增解．
3．涉及求三角形中的边、面积等最值时，应注意使用正弦定理、面积公式等建立函数关系式，通过求三角函数的最值来解决问题．
4．在解三角形中，以下公式应记熟，记准，并能灵活运用：
A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC.
随堂即时巩固
课时活页训练
即时突破
例1
题型一
导数定义的应用(共25张PPT)
1．1 正弦定理
第一课时
课标要求：1.通过对三角形中边角关系的探索，掌握正弦定理的推导过程．
2．理解正弦定理及适用范围，会用正弦定理及其变式解决一些简单的解三角形问题．
重点难点：本节重点：对正弦定理的推理的理解及正弦定理的掌握．
本节难点：正弦定理的推理．
课标定位
基础知识梳理
1．正弦定理
在一个三角形中，各_____和它所对角的_____的_____相等，即__________________.
说明：(1)各边和它所对角的正弦之比为一个定值，这个定值为该三角形的外接圆直径；
(2)定理的变式(R为△ABC外接圆的半径)：
边
正弦
比
2．解斜三角形
解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求出其余三个未知元素的过程．
3．正弦定理在解三角形中的作用
(1)如果已知三角形的任意两个____与一____，由三角形________________，可以计算出三角形的另一____，并由正弦定理计算出三角形的另两____．
(2)如果已知三角形的任意_______与其中一边的_____，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角，进而确定这个三角形其他的__________．
角
边
内角和为180°
角
边
两边
对角
边和角
课堂互动讲练
题型一
已知两角及一边解三角形
如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．
已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.
【分析】 已知两角及一边，先利用内角和为180°，求出B，再利用正弦定理求解．
例1
【点评】 在运算过程中，要用到三角函数中的公式，此题中对75°角作了“拆角”变换．
1．在△ABC中， a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
变式训练
已知三角形中两边和其中一边的对角解三角形问题，首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况讨论是否有解，如果有解，是一解还是两解．
题型二
已知两边和其中一边的对角解三角形
例2
【分析】 △ABC中已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求出另一边对角的正弦值，然后再求解其他边角．
【点评】 在△ABC中，已知两边a、b和边b的对角B，解三角形时可先用正弦定理求出角A的正弦值，确定角A时解不确定，应注意讨论，往往利用已知边a、b的大小关系，得到角A与B的大小关系，从而确定角A的解的个数．
互动探究
判断三角形的形状主要有两条途径：①化边为角；②化角为边．
题型三
利用正弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，若acosA＝bcosB，求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【分析】 观察已知条件，可以应用正弦定理把边化为角，再利用三角公式求解．
【证明】 由正弦定理的变式得a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∵acosA＝bcosB，
∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
例3
【点评】 利用正弦定理判断三角形的形状，关键是将已知条件中的边角关系转化为角或边的关系．本题应利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边角统一后，再利用两角和与差的正弦公式进行化简、判断，但由sin2A＝sin2B，得角A和B的关系时容易漏掉2A＝π－2B.
3．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
变式训练
规律方法总结
常用的公式、结论
△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c.
(1)A＋B＋C＝180°；
(2)a＜b A＜B 2RsinA＜2RsinB sinA＜sinB；
(3)若角A为最小角，则0°＜A＜60°；若角A为最大角，则A＞60°；
(4)勾股定理：
△ABC是以角C为直角的直角三角形 a2＋b2＝c2 sin2A＋sin2B＝sin2C C＝90°.
△ABC是以角A为直角的直角三角形 b2＋c2＝a2 sin2B＋sin2C＝sin2A A＝90°.
△ABC是以角B为直角的直角三角形 a2＋c2＝b2 sin2A＋sin2C＝sin2B B＝90°.
随堂即时巩固
课时活页训练(共26张PPT)
本章优化总结
知识体系网络
专题探究精讲
专题一
直接利用正余弦定理求解三角形
值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不确定，可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数．
余弦定理有两方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他两角；二是已知三角形的三边，求三个角．在初中已经学过的勾股定理，它是余弦定理的特例，而余弦定理又可看做是勾股定理的推广，应用中要注意，定理的变式要能够灵活应用．
例1
【分析】 已知两边及其中一边的对角，用正、余弦定理均能解题．
专题二
三角形形状的判定
例2
【分析】 转化为角或边之间的关系，进而判断．
专题三
正、余弦定理的综合应用
例3
【分析】 由已知条件直接应用余弦定理与正弦定理．
专题四
解三角形在实际问题中的应用
某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
【分析】 构造出三角形，用正、余弦定理和三角形的相关知识求解．
例4
章末综合检测
两角和一边问题
应用
正弦定理
两边和其中一边对角问题
变形式
推论「已知三边问题
解三角形
余弦定理
应用
两边和夹角问题
两边和其中一边对角问题
几何问题
距离问题
应用举例
高度问题
角度问题
击链接(共31张PPT)
3．4.2 基本不等式的应用
课标定位
基础知识梳理
1．基本不等式与最值
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得
____________.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得
____________.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
2．利用基本不等式求最值时，应注意的问题
(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断．
(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值．
(3)确保等号成立．
以上三个条件缺一不可．可概括为“一正、二定、三相等”．
(4)连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值．
课堂互动讲练
题型一
利用基本不等式求函数的最值
1．运用该不等式求最值时，要注意三个条件：
(1)一“正”(使用基本不等式时，各项必须为正数)；
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①函数解析式为分式且分子的次数高于分母；
②由x＞1得x－1＞0.
解答本题可先对分子添项凑出因式x－1，将分子中变量分离出来，再添项凑出乘积为定值的形式，用基本不等式求最值．
例1
【点评】 (1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判
变式训练
在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．
题型二
含条件的最值的求法
已知x＞0，y＞0，且xy＝4x＋y＋12，求xy的最小值．
【分析】 解答本题可先通过不等式的放缩把方程转化为不等式，然后通过解不等式求范围．
例2
【点评】 对于通过方程求条件的最值，一般有两种思路：一是通过不等式的放缩将其变为不等式；二是转化为函数问题．比较来看，法一运算量小，但对x、y的范围有限制，且要求取到“＝”；法二的适用范围更广，更好地体现了函数的思想．
互动探究
求实际问题的步骤：
(1)设变量，建立目标函数，注意实际意义对变量范围的影响．
(2)利用基本不等式，求函数的最值．
(3)得出实际问题的解．
题型三
利用基本不等式解应用题
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
例3
【分析】 由题目可知，问题(1)中材料一定，问题(2)中虎笼面积为定值．
解答本题可设每间虎笼长x m，宽y m，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值，所以可用基本不等式求解．
【解】 (1)设每间虎笼长x m，宽为y m，
则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
【点评】 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
变式训练
规律方法总结
1．要注意应用过程中基本不等式成立的条件，尤其是取等号的条件是否具备，否则可能会出现错解．
2．用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等时取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．
随堂即时巩固
课时活页训练(共29张PPT)
第二课时
课标要求：1.理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式．
2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A＋B＋C＝π解决三角形中的计算和证明问题．
重点难点：本节重点：熟练应用正、余弦定理解决三角形中的相关问题．
本节难点：三角形中的边角关系的建立．
课标定位
基础知识梳理
2．三角形内角和定理：_________________________.
说明：(1)正弦定理和余弦定理的主要作用：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③证明三角形中的恒等式．
(2)正弦定理和余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．
三角形的内角和是180°
课堂互动讲练
题型一
三角形的面积问题
在不同的已知条件下，求三角形面积的问题与解三角形有密切的关系，通常我们要根据已知条件，利用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，从而求出三角形的面积．
例1
变式训练
求解最值问题，一般要把要求最值的量用一个变量表示出来，并且要确定变量的取值范围，对于三角形中的最值问题，要充分利用正、余弦定理及面积公式，运用三角函数的性质求最值．
题型二
三角形中的最值问题
已知△ABC内接于半径为R的圆中，且满足关系式2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，求△ABC面积的最大值．
【分析】 求面积的最值，应先根据条件写出面积的表达式，再根据表达式求最值．
例2
【点评】 本题综合运用正、余弦定理，把边化成角，再利用三角函数的有界性解决．
2．在△ABC中，a＋b＝10，且cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．
变式训练
在几何中有关三角函数计算、证明，平面图形的边长、面积等求解经常用到正、余弦定理．
题型三
正、余弦定理在几何计算中的应用
例3
【分析】 由条件知可以由余弦定理求出cosA的值，而要求的式子中含有sinA、tanA，故只要由sin2A＋cos2A＝1求出sinA即可．
【点评】 本题将余弦定理与三角求值结合在一起，解题的关键是求出cosA.
变式训练
答案：30°
规律方法总结
在解三角形问题时，一定要根据具体情况，恰当地选用正弦定理或余弦定理，公式选择得当、方法运用巧妙是简化问题的必要手段，同时还要注意与三角形的其他知识的综合运用．如：三角形内角和定理，大边对大角，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三角形的面积公式等．
随堂即时巩固
课时活页训练(共28张PPT)
2．2.3 等差数列的前n项和
第一课时
课标要求：1.掌握等差数列前n项和公式及推导方法．
2．能熟练运用等差数列的前n项和公式解决等差数列的有关问题．
重点难点：本节重点：等差数列的前n项和公式及应用．
本节难点：公式的推导方法．
课标定位
基础知识梳理
课堂互动讲练
题型一
前n项和公式的基本运算
分别按等差数列{an}的下列要求计算：
(1)已知a1005＝，求S2009；
(2)已知d＝2，S100＝10000，求an.
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①a1＋a2009＝2a1005；②an＝a1＋(n－1)d.
解答本题要紧扣等差数列的前n项和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
例1
【点评】 一般地，对于等差数列{an}的五个基本量a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个量，通过方程组可以求得另外两个量，即“知三求二”，对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程．
变式训练
对于首尾相加的可以求和的数列，可考虑采用倒序相加法．
题型二
倒序相加法
例2
【分析】 先由重心坐标公式求得x1＋x2＝1，再进行f(x1)＋f(x2)值的计算，在此基础上利用倒序求和求解．
【点评】 第一问是函数求值问题，在x1＋x2＝1的条件下，求f(x1)＋f(x2)，关键是指数式的运算．第二问是数列求和问题，求和的基本原则是化简，其方法有两种：一种是利用等差数列前n项和公式求解；另一种是消元法，如倒序相加、错位相减、裂项相消等．
变式训练
题型三
an与Sn的关系
例3
【分析】 已知an与Sn的关系，求an一般有两种解题思路，一是用n＋1和n－1代替式子中的n，得到一个结构相同的式子，两式作差消Sn，再由{an}的递推公式判断用哪个方法求an.另一思路是用Sn－Sn－1来代替an，先求Sn，再由Sn求an.
【点评】 本例an与Sn的关系式中，只含有一项an.所以很快能想到要用Sn－Sn－1表示an.
变式训练
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共4张PPT)
第一章 解三角形
知识综览
本章将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．本章先由特殊的直角三角形的边角关系得出正弦定理，猜想对任意三角形该结论成立，再引导学生按不同的思路和方法加以证明，培养学生的“数学探究”能力，体现数学思维中的由特殊到一般的规律；通过向量的数量积将向量等式化为数量等式，得出余弦定理，体现向量方法在解三角形中的作用；解三角形的理论被用来解决许多实际问题，通过学习可以提高同学们的数学建模能力.
重点难点
本章重点：掌握正弦定理、余弦定理，并能应用它们解决有关三角形问题和一些简单的实际应用问题．
本章难点：1.解三角形中，如何根据条件，快速正确地选择定理，寻找简捷的解题方法；
2．解三角形时解的个数的判定；
3．如何将实际问题抽象为解三角形的模型．(共44张PPT)
第三章 不等式
3．2 一元二次不等式
课标要求：1.掌握一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的密切联系．
2．运用数形结合思想，熟练掌握一元二次不等式的解法．
重点难点：：本节重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式，并求得其解集．
本节难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
课标定位
基础知识梳理
一个
2
2．二次函数、二次方程、二次不等式间的关系
课堂互动讲练
题型一
一元二次不等式的解法
求解一元二次不等式的一般步骤是：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
②计算对应方程的判别式．
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
④利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
例1
【分析】 解答本题可先将二次项系数化为正，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图象写出解集．
【点评】 解一元二次不等式时，要将二次不等式以及与其对应的二次方程、二次函数的图象联系起来，真正做到“数形结合”．
变式训练
解含参数的不等式关键是规范解题步骤并深刻理解每一步的解法原理，这样才能知道何时分类，如何分类，并做到不重不漏．
题型二
含参数的一元二次不等式的解法
例2
【分析】 解答本题可通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解．
【点评】 含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
变式训练
题型三
已知一元二次不等式解集求参数问题
例3
【分析】 本题综合考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，以及一元二次不等式的解法．
【点评】 已知不等式的解集求相应系数，此类题应转化为相应方程对应的根的问题，运用根与系数的关系求解．
变式训练
题型四
恒成立问题
例4
变式训练
题型五
一元二次不等式的实际应用
解不等式应用题，一般可按如下步骤进行：
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式；
(4)回扣实际问题．
国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
例5
【点评】 本例采用了“化整为零”的办法，对此类问题的解决中应注意把一个大问题化成若干小问题的思维习惯，不要被问题的表面形式所迷惑．
变式训练
规律方法总结
1．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图象写出不等式的解集．
2．(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．
(2)了解哪些情况需要分类讨论．
①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三种情况讨论．
②利用单调性解题时，讨论使单调性变化的参数值．
③对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．
④用不等式性质对不等式变形时，对必须具备的变形条件讨论．
⑤若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况进行讨论．
随堂即时巩固
课时活页训练(共33张PPT)
第二课时
课标要求：1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解各类三角形中的应用．
2．提高学生对正、余弦定理应用范围的认识，处理问题时能选择较为简捷的方法．
3．通过训练培养学生的分类讨论、数形结合、优化选择等思想．
重点难点：本节重点：综合应用正、余弦定理解有关三角形的问题．
本节难点：合理运用正、余弦定理．
课标定位
基础知识梳理
2R
sinA
sinB
sinC
sinA
sinB
sinC
a2＋b2－2abcosC
课堂互动讲练
题型一
三角形形状的判定
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对应边，且满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab,2cosAsinB＝sinC，试判断△ABC的形状．
【分析】 由于已知条件中既有边的关系又有角的关系，因此可以化边为角，或者化角为边来判断．
例1
∴C＝60°.
又2cosAsinB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sinAcosB－cosAsinB＝0，
即sin(A－B)＝0，
∴A＝B，∴A＝B＝C＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状．
1．在△ABC中，若a＝2bcosC，那么它是什么三角形？
变式训练
题型二
三角形中边角关系的运算
解决这类问题，要把三角形中常见的结论和正余弦定理结合起来使用．
例2
【点评】 本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查基本运算能力．
2．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且满足(sinA＋sinB)2－sin2C＝3sinAsinB.求证：A＋B＝120°.
证明：由(sinA＋sinB)2－sin2C＝3sinAsinB可得
sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB.
变式训练
题型三
有关边、角的范围或最值问题
已知钝角△ABC的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．
【分析】 先判断哪个角最大，再用余弦定理限制为钝角．
例3
规律方法总结
1．利用余弦定理解三角形时，要注意根据题意恰当地选取公式．一般地，求边长时，使用余弦定理；求角时，使用其推论．
2．要重视正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，特别是两者在实现边角转化中的作用不可忽视．
3．在判断三角形的形状时，要根据题目本身的特点，决定是将边转化成角还是将角转化成边的关系，此时要特别注意正弦定理、余弦定理及三角公式的灵活应用．
4．求三角形的面积或与面积有关的三角形问题时，一要注意灵活选用面积公式，二要注意如何正确利用正弦定理和余弦定理．
随堂即时巩固
课时活页训练(共32张PPT)
第二课时
课标要求：1.掌握与和有关的等差数列的一些常用性质．
2．应用通项公式及求和公式等解决一些等差数列的问题，提高综合能力．
重点难点：本节重点：等差数列求和的有关性质及应用．
本节难点：等差数列的性质与公式的综合运用及变形技巧．
课标定位
基础知识梳理
n2d
课堂互动讲练
题型一
等差数列前n项和公式的性质
此类问题考察的主要是等差数列前n项和公式的性质的灵活应用．
等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
【分析】 可由等差数列的前n项和公式求解，也可由等差数列前n项和的性质，即等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解．
【点评】 由本题可得到求等差数列前n项和的常用方法：(1)直接代入公式，列方程组求解；(2)灵活运用等差数列前n项和的性质；(3)利用前n项和的二次函数性质．
1．一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27，求公差d.
变式训练
题型二
等差数列前n项的和的最值问题
例2
【点评】 (1)对于本题，也可先由an≥0求得n的值，再代入前n项和公式求最值．
(2)根据项的值判断前n项和的最值有以下结论：
①当a1＞0，d＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜an＜an＋1＜…，则S1最小；
②当a1＞0，d＜0时，a1＞a2＞a3＞…＞an＞0≥an＋1＞…，则Sn最大；
③当a1＜0，d＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜an＜0≤an＋1＜…，则Sn最小；
④当a1＜0，d＜0时，a1＞a2＞a3＞…＞an＞an＋1＞…，则S1最大．
2．(2010年高考课标全国卷)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
变式训练
解决好这类应用题的关键在于找准数列模型．
某工厂从今年起，若不改善生产环境，按现状生产，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月递增2万元．如果从今年一月起投资400万元增加回收净化设备以改善生产环境(改造设备时间不计)．按测算，新设备投产后的月收入与时间的关系如图所示．
题型三
等差数列前n项和公式在实际生活中的应用
例3
(1)设g(n)表示投资改造后的前n个月的总收入，写出g(n)的函数关系式；
(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的月累计纯收入多于不改造时的月累计纯收入？
【分析】 由图形可知，投资改造后的前n个月的收入分别是(单位：万元)
101,103,105,107,109,109，…
它的前五项是公差为2的等差数列，从第六项开始是常数列，g(n)表示这个数列的前n项和，应分n≤5和n＞5两种情形讨论．而不改造时的前n个月收入分别是(单位：万元)：67,65,63，…，69－2n，…，累计纯收入即为该等差数列的前n项的和：Sn＝68n－n2，投资改造后的前n个月累计纯收入为g(n)－400，解不等式g(n)－400＞Sn＝68n－n2，求n.
【点评】 通过图象深刻考查学生对数列概念及表示法的理解和运用，检验学生对文字语言、数学符号语言、图形语言之间的阅读理解能力及其相互转换能力．
3．一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？
变式训练
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练(共22张PPT)
3.4 基本不等式
3.4.1 基本不等式的证明
课标定位
基础知识梳理
1．对于任意实数a，b，有a2＋b2___2ab，当且仅当______时等号成立．
(2)成立的前提条件：____________；
(3)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．
≥
a＝b
算术平均数
几何平均数
3．基本不等式
(1)形式：___________；
a、b是正数
a＝b
课堂互动讲练
题型一
利用基本不等式比较两数（式）大小
在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a≥0，b≥0，问题的一端出现“和式”，另一端出现“积式”，另外还应注意等号能否取到．
例1
【分析】 分析式子的特点，注意条件a＋b＝1的应用．
【答案】 ①②③
变式训练
m∈[4，＋∞)．
由b≠0，∴b2≠0，∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n＜4，
∴n∈(0,4)，∴m＞n.
答案：m＞n
题型二
利用基本不等式证明不等式
例2
【分析】 根据结构找相应的不等式作为证明的依据．
变式训练
题型三
基本不等式成立条件的应用
基本不等式成立的条件为一正二定三相等，缺一不可．
例3
【分析】 解答本题可按先判断两式的值是否为正，再判断两式的积是否为定值，最后看等号是否能取到的步骤逐一讨论．
【点评】 (1)应用基本不等式的前提条件是两个数均为正数．注意结合对数函数、三角函数、指数函数的相关知识判断符号．
(2)遇到两个负数相加时，可以先对它们的相反数用基本不等式，再用不等式的性质转化．
变式训练
答案：③
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
