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本章优化总结
专题探究精讲
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专题探究精讲
随机事件发生的基本事件数的计算
人们在生活中常遇到一些随机现象．概率就是研究随机现象规律的科学．由概率的意义可知，随机事件的概率是一个比值，而列表法与树状图法是求出这个比值的基本方法．
1．树状图
为了解基本事件，我们也可利用树状图将它们之间的关系列出来．一般需要分步完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举．
口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率．
【思路点拨】 我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数，为此考虑用列举法列出所有可能结果．
例1
【解】 法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号3,4，于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图直观地表示出来，如图所示.
法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况，前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来，如图所示．
【名师点评】 (1)从上面的3种解法可以看出，我们从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单．
(2)法一列出了试验的所有可能结果，利用这个模型可以计算出4个人依次摸球的任何一个事件的概率，比如“第一个人和第四个人中有一个摸到2号白球”的概率，而这个事件的概率利用法二和法三建立的模型就求不出来．
2．列表法
用图表的形式把古典概型的某次试验的所有等可能的基本事件都呈现出来，并从图表中找出某事件所包含的基本事件个数，从而利用古典概型的概率公式，可得该事件的概率．
例2
抛掷两粒骰子，求：
(1)点数和为5的概率；
(2)点数和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率．
【思路点拨】 先利用“有序实数对”列出所有的基本事件，分别从中找到所求三个事件包含的基本事件，算出各事件的概率．
【解】 在抛掷两粒骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应．则所有的基本事件包括:
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
【名师点评】 把对问题的思考分析归结到“有序实数对”中，能形象直观地列出基本事件，而且能做到不重不漏．
互斥事件与对立事件的区别与联系
判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断．当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件．
例3
【名师点评】 求复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
古典概型及其应用
例4
在毕业班年级联欢会上设计了一种摸球表演节目的游戏，在一个盒子中装有编号分别为1,2,3,
4,5的5个球，这些球除了编号外完全相同，主持人规定：每次每班先后摸2个球，摸到的2个球编号相邻的，获得一次表演的机会，否则本次没有机会，等待下一次摸球．
(1)若摸球是无放回的，求该年级某班在一次摸球中获得表演机会的概率；
(2)若摸球是有放回的，求该年级某班在一次摸球中获得表演机会的概率．
【思路点拨】 把摸球的号码视为一个数组，列举所有结果，求其概率．
【名师点评】 有放回抽样与无放回抽样的结果总数不同．
本部分内容讲解结束
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§2 古典概型
2．1 古典概型的特征和概率计算公式
2．2 建立概率模型
学习目标
1．通过实例理解古典概型的两个特征及古典概型的定义．
2．掌握古典概型的概率计算公式．
3．能建立概率模型解决一些实际问题，理解概率模型的特点及应用．
课堂互动讲练
知能优化训练
2.2
建立概率模型
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
1.从事件发生的可能性上来分，可分为_________、___________、_________．
2．任一事件的概率的取值范围为_____．
3．对于给定的随机事件A，在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上，这个常数称为事件A的_____，记为P(A)．因此可以用_________来估计概率P(A)．
必然事件
不可能事件
随机事件
[0,1]
概率
频率fn(A)
知新益能
1．古典概型
具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
(1)______ 性：即试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
(2)_______ 性：即每一个试验结果出现的可能性相同．
有限
等可能
几个
基本事件
所有可能结果
基本事件数
列举
问题探究
1．什么是基本事件？其具有什么特点？
提示：(1)基本事件的定义
一次试验中，可能出现的每一个基本结果称为一个基本事件．例如：投掷硬币出现2种结果叫2个基本事件，通常试验中的某一事件A由n个基本事件组成．
(2)基本事件的特点
①任何两个基本事件是不可能同时发生的；
②任何事件都可表示成基本事件的和．
2．怎样计算古典概型的基本事件总数？
提示：计算古典概型中基本事件的总数时，通常利用列举法．列举法就是把所有的基本事件一一列举出来，再逐个数出．
例如：把从4个球中任取两个看成一次试验，那么这次试验共有多少个基本事件？为了表述方便，对这四个球编号为1,2,3,4.把每次取出的两个球的号码写在一个括号内，则有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3),
(2,4)，(3,4)，所以共有6个基本事件．
课堂互动讲练
基本事件数的计算
考点突破
一次试验连同其可能出现的一种结果称为一个基本事件，一次试验中只能出现一个基本事件．
一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)两只都是白球包含几个基本事件？
【思路点拨】 先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白球的基本事件数．
例1
【解】 (1)法一：采用列举法
分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，有以下基本事件：(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)
(3,5)(4,5)共10个．
法二：采用列表法
设5只球的编号为：a、b、c、d、e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．
a b c d e
a (a，b) (a，c) (a，d) (a，e)
b (b，a) (b，c) (b，d) (b，e)
c (c，a) (c，b) (c，d) (c，e)
d (d，a) (d，b) (d，c) (d，e)
e (e，a) (e，b) (e，c) (e，d)
列表如下：
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件.
(2)法一中“两只都是白球”包括(1,2)(1,3)(2,3)三种.法二中，包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三种．
【名师点评】 求基本事件个数常用列举法、列表法、树图法来解决，并且注意以下几个方面：①用列举法时要注意不重不漏；②用列表法时注意顺序问题；③树图法若是有顺序问题时，只做一个树图然后乘以元素个数．
自我挑战1 甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人(假设每个人得到球的概率相同)，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了三次．
(1)共有多少个基本事件？
(2)第三次仍传回到甲包含几个基本事件？
解：本题可用树状图进行解决，如图可知：
(1)共有27个基本事件．
(2)第三次球传回到甲的手中包含6个基本事件．
判断一个事件是否为古典概型，关键看它是否具备古典概型的两个特征：(1)在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.
古典概型的判定
袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若以球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
例2
【思路点拨】 要判断试验是否为古典概型，只需看该试验中所有可能的结果是否为有限个；每个结果出现的可能性是否相同．
【解】 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件建立的概率模型是古典概型.
【失误点评】 在解答过程中，易出现判断(2)是古典概型的错误，导致这种错误的原因是对古典概型的特征理解不透彻．
自我挑战2 试判断下列随机试验是否为古典概型，并说明理由．
(1)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量；
(2)向地面上扔一颗图钉，观察钉尖朝上还是钉帽朝上．
解：(1)不是古典概型，因为重量可能是495 g与505 g之间的任何一个值，有无限个．
(2)不是古典概型．因为两个结果出现的可能性不均等，事实上，钉尖朝上的概率远远大于钉帽朝上的概率．
古典概型概率的求法
应用古典概型的概率公式求P(A)时的步骤：
(1)判断该试验是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n；(3)算出事件A包含的基本事件的个数m；(4)代入古典概型概率公式求P(A)．
(2010年高考湖南卷)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).
(1)求x，y；
(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．
例3
高 校 相关人数 抽取人数
A 18 x
B 36 2
C 54 y
【名师点评】 在利用古典概型的概率公式求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、更准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．
自我挑战3 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球,从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
解：设4个白球的编号分别为1、2、3、4,2个红球的编号分别为5、6，从袋中的6个球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个．
方法感悟
知能优化训练
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§3 模拟方法——概率的应用
学习目标
1．初步体会模拟方法在概率方面的应用．
2．理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题．
3．了解古典概型与几何概型的区别与联系．
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
模拟方法——概率的应用
§3
课前自主学案
温故夯基
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
知新益能
几何概型
(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在____________的概率与G1的_____成正比，而与G的_____、_____无关，即
P(点M落在G1)＝___________，
则称这种模型为几何概型．
(2)几何概型中的G也可以是_______或_______的有限区域，相应的概率是_____之比或_____之比.
面积
形状
位置
空间中
直线上
体积
长度
问题探究
如何判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型？
提示：几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个，即有无限个不同的基本事件；二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的．而古典概型的特征是：一是有限性，指在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个结果出现的可能性(概率)是均等的．
因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：
①确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是均等的，如果不均等，那么既不属于古典概型又不属于几何概型；
②如果试验中每个结果出现的可能性均等时，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验的结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型．
课堂互动讲练
与长度有关的几何概型
考点突破
(2011年镇江检测)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．
【思路点拨】 蚂蚁在三角形三边上的任何位置都是一个基本事件，距离三角形的三个顶点超过1的任意点，其基本事件有无限多个，可考虑运用几何概型来计算．
例1
自我挑战1 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不少于1 m的概率有多大？
【名师点评】 解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A包含的基本事件转化为相应线段的长度，进而求解．
与角度有关的几何概型
在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<
AC的概率．
【思路点拨】 AM的长度取决于∠ACM扫过的度数，故该题型是与角度有关的几何概型，只需找出相应考查的区域角及角度大小即可．
例2
【名师点评】 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．
与面积有关的几何概型
例3
【名师点评】 解此类几何概型问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题.
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
互动探究2 如果本例中的圆变为“以(1,1)为中心，边长为1的正方形”，圆心变为“正方形的中心”．
则这个概率是多少？
与体积有关的几何概型
例4
方法感悟
1．几何概型的两个特征：(1)每次试验结果有无限多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；(2)每次试验的各种结果是等可能的．
2．在应用几何概型的概率计算公式求解时，一定要先判断概率的模型是否为几何概型，即判断它是否具备“无限性”和“等可能性”．一般而言，同学们对判断无限性较易掌握，但对于“等可能性”
的判断则难以把握，因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，并注意判断基本事件的等可能性．
3．古典概型与几何概型的主要区别是试验结果是有限个还是无限个．
知能优化训练
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2．3 互斥事件
学习目标
1．理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型．
2．掌握互斥事件的概率加法公式，并会应用．
3．正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．
课堂互动讲练
知能优化训练
2.3
互斥事件
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
1．古典概型的两个特征为_______和_________．
2．如果古典概型中，基本事件的总数为n，随机事
件A的基本事件数为m，则P(A)＝___.
有限性
等可能性
知新益能
1．事件的关系
定义 公式
互斥事件 在一个随机试验中，我们把一次试验下_____________的两个事件A与B称作互斥事件. (1)若A与B互斥，则
___________________.
(2)若A1，A2，…An中任意两个事件互斥，则
P(A1＋A2＋…＋An)＝
______________________.
不能同时发生
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
1－P(A)
逆事件
同时
发生
有一个
发生
2.事件A＋B
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指_____________________________．
事件A和事件B至少有一个发生
问题探究
1．互斥事件与对立事件有何区别与联系？
提示：(1)两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A、B都不发生．两个事件A、B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．
(2)从集合的角度来看，记事件A与B所含结果组成的集合分别是A，B，若事件A与B互斥，则集合A∩B＝ ；若事件A与B对立，则集合A∩B＝ 且A∪B＝I(全集)，即A＝ IB或B＝ IA.
2．如何求复杂事件的概率？
提示：求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
课堂互动讲练
互斥事件、对立事件的判断
考点突破
要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件.
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件,是否为对立事件？并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
例1
【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
【名师点评】 (1)判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生，若不同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．
(2)“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的．对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
自我挑战1 从装有5只白球和5只红球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；
(2)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”．
解：从袋中任意取出3只球有4种结果：3只白球；2只白球1只红球；1只白球2只红球；3只红球．
(1)因为“取出2只红球1只白球”与“取出1只红球2只白球”不能同时发生，所以它们是互斥事件．
当“取出3只白球”时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．
(2)“取出3只球中至少有1只白球”包括三种结果：1只白球2只红球；2只白球1只红球；3只白球．因此它们不能同时发生，是互斥事件，且它们必有一个发生，又是对立事件．
(3)当取出的3只球都是红球时，它们同时发生，所以它们不是互斥事件，也不是对立事件．
将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件的概率和，分别求出各事件的概率，然后用加法公式求出结果．
互斥事件的概率计算
一盒中装有各色球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机地取出1个球，求：
(1)取出的1个球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．
例2
【名师点评】 利用互斥事件的加法公式解题体现了化整为零、化难为易的思想．但要注意用此公式时，首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．
对立事件的概率计算
某战士射击一次(中靶环数为整数)，问：
(1)若事件A(中靶)的概率为0.95，则事件E(不中靶)的概率为多少？
(2)若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率为多少？若事件F(不中靶)的概率为0.03，那么事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率是多少？
【思路点拨】 本题直接求解有困难，故可考虑应用对立事件的概率公式求解．
例3
【解】 (1)因为A与E互为对立事件P(A)＝0.95，所以P(E)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)因为事件B与C是对立事件，P(B)＝0.7，
所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.
事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)＝P(C)－P(F)＝0.3－0.03＝0.27.
【名师点评】 对于用直接法难以解决的问题，特别是题目中含有“至多”“至少”等词语时，常用间接法求出其对立事件的概率，然后再求符合条件的概率．
方法感悟
3．由对立事件的定义可知，对立事件首先要是互斥事件，并且其中一个一定要发生．因此两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要搞清这两种事件的关系．
知能优化训练
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第3章 概 率
课标领航
本章概述
本章从知识内容上看，有随机事件的概率、古典概型和几何概型．
1.概率是反映随机事件可能性大小的一个数量，概率在[0,1]中取值．
2.概率的统计定义适合更广泛的概率模型，通过多次重复试验，可以用频率得到概率的近似值；几何概型适合试验结果有无限多个，并可以用长度、面积、角度等几何量度量基本空间和事件的随机试验.
本章的重点是通过对随机事件的概率知识的学习，正确理解概率的定义和性质，理解古典概型，初步体会几何概型；学习通过试验、计算器或计算机模拟估计简单随机事件发生的概率的方法．本章的难点是理解频率与概率的关系，设计和运用模拟方法近似计算概率，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.
学法指导
1.学习概率要结合具体的实例，理解概率的涵义，即概率大小的实际意义．
2.求概率的大小要尽量用列举法得出基本事件的个数．
3.结合现代工具用模拟的方法体会概率在生活中的应用.
§1 随机事件的概率
1．1 频率与概率
1．2 生活中的概率
学习目标
1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念及随机事件发生的不确定性．
2．正确理解概率的含义，理解频率与概率的区别与联系．
3．会初步列举出重复试验的结果．
课堂互动讲练
知能优化训练
1.2
生活中的概率
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
概率
不发生
知新益能
1．随机事件的频率
(1)频率是一个变化的量，在大量重复试验时，它又会呈现出_______，在_________附近摆动，但随着试验次数的增加，摆动的幅度具有__________的趋势．
(2)随机事件的频率也可能出现偏离“常数”_____ 的情形，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性就会_____．
稳定性
一个常数
越来越小
较大
减少
2．随机事件的概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的______会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________，这时，这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．P(A)的范围是____________.
频率
稳定性
0≤P(A)≤1
问题探究
1．如何理解随机事件的概率的定义？
提示：概率表示事件发生的可能性的大小，并不说明一个事件一定发生或一定不发生，概率越大，事件发生的可能性越大．概率意义下的可能性是大量随机现象的客观规律，即单独一次结果的不确定性和大量试验结果的有规律性．事件A的概率是事件A的属性．某个事件A发生的概率为p%，是指在大量重复试验中事件A发生的可能性大小为p%，而不是指在100次试验中一定发生p次，因为随机事件的发生有其随机性．
2．概率和频率有何关系？
n次重复试验必须在相同条件下进行，否则，某事件的概率也会随之改变．
由此可见：(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
课堂互动讲练
频率与概率的关系
考点突破
随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性．概率是频率的稳定值，是频率的科学抽象，不会随试验次数的变化而变化.
在2004年雅典奥运会上，中国射击运动员王义夫在决赛中以0.2环的微弱优势战胜了俄罗斯运动员内斯特鲁耶夫，摘得该项目的金牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计.
例1
射击次数n 10 20 50 100 200 500
王义夫击中10环以上的次数 9 17 44 92 179 450
击中10环以上的频率
射击次数n 10 20 50 100 200 500
内斯特鲁耶夫击中10环以上的次数 8 19 44 93 177 453
击中10环以上的频率
请根据以上表格中的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员每次击中10环以上的概率．
(2)由(1)中的数据可知两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以两人击中10环以上的概率约为0.9，也就是说两人的实力相当.
【名师点评】 解决此类问题的关键是抓住概率的本质，即概率可以通过频率来“测量”，通过计算频率来估算概率，概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值．
自我挑战1 某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每题10分，然后做了统计，下表是统计结果：
贫困地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保留到小数点后三位)；
(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解：(1)贫困地区的频率依次为：0.533,0.540,0.520,
0.520,0.512,0.503.
发达地区的频率依次为：0.567,0.580,0.560,0.555，0.552，0.550.
(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550.
概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种．
概率的意义
例2
【思路点拨】 解答本题的关键是理解某一个事件发生的概率大小的意义．
【名师点评】 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，认识了这种随机中的规律性，可以帮助我们预测事件发生的可能性大小．但对一定数量的试验来说 ，事件A发生与否并不一定与概率完全相同．
概率的简单应用
概率是对随机事件发生的可能性大小的度量，它在理论上反应了随机事件发生的可能性的大小．可根据概率的大小来估计总体的情况．
有一个转盘游戏，转盘被平均分
成10等份．如图所示，转动转盘，当转
盘停止后，指针指向的数字即为转出的
数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案；甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种．
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
例3
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
【思路点拨】 利用游戏的公平性，分别计算出双方获胜的概率，然后比较得出结论．
(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．
【名师点评】 尽管随机事件发生的可能具有随机性．但当大量重复这一过程时，它又呈现一定的规律性，故利用概率知识可以判断一些游戏规则是否公平．
自我挑战2 为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼做上记号(不影响其存活)，然后放回水库．经过适当时间，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中做记号的鱼的数量，设有40尾．试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数.
方法感悟
1．概率可以看做频率在理论上的期望值，而随机事件的频率可以看做是其概率的随机表现，随机事件的概率是固有的、客观存在的，可以在相同条件下通过大量重复试验予以识别和检验，而不能以一次或少数次的试验结果作判断．
2．正确理解随机事件概率的意义，掌握日常生活中偶然事件发生的规律，用概率的意义来解释一些日常偶然事件即随机事件发生的概率，可以澄清日
常生活中的一些错误认识．在用概率思想指导实践活动时，要注意概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并不说明一个事件一定发生或一定不发生．
3．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此人们常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．
知能优化训练
本部分内容讲解结束
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