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本章优化总结
专题探究精讲
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知识体系网络
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专题探究精讲
随机事件发生的基本事件数的计算
人们在生活中常遇到一些随机现象．概率就是研究随机现象规律的科学．由概率的意义可知，随机事件的概率是一个比值，而列表法与树状图法是求出这个比值的基本方法．
1．树状图
为了解基本事件，我们也可利用树状图将它们之间的关系列出来．一般需要分步完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举．
口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率．
【思路点拨】 我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数，为此考虑用列举法列出所有可能结果．
例1
【解】 法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号3,4，于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图直观地表示出来，如图所示.
法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况，前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来，如图所示．
【名师点评】 (1)从上面的3种解法可以看出，我们从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单．
(2)法一列出了试验的所有可能结果，利用这个模型可以计算出4个人依次摸球的任何一个事件的概率，比如“第一个人和第四个人中有一个摸到2号白球”的概率，而这个事件的概率利用法二和法三建立的模型就求不出来．
2．列表法
用图表的形式把古典概型的某次试验的所有等可能的基本事件都呈现出来，并从图表中找出某事件所包含的基本事件个数，从而利用古典概型的概率公式，可得该事件的概率．
例2
抛掷两粒骰子，求：
(1)点数和为5的概率；
(2)点数和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率．
【思路点拨】 先利用“有序实数对”列出所有的基本事件，分别从中找到所求三个事件包含的基本事件，算出各事件的概率．
【解】 在抛掷两粒骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应．则所有的基本事件包括:
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
【名师点评】 把对问题的思考分析归结到“有序实数对”中，能形象直观地列出基本事件，而且能做到不重不漏．
互斥事件与对立事件的区别与联系
判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断．当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件．
例3
【名师点评】 求复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
古典概型及其应用
例4
在毕业班年级联欢会上设计了一种摸球表演节目的游戏，在一个盒子中装有编号分别为1,2,3,
4,5的5个球，这些球除了编号外完全相同，主持人规定：每次每班先后摸2个球，摸到的2个球编号相邻的，获得一次表演的机会，否则本次没有机会，等待下一次摸球．
(1)若摸球是无放回的，求该年级某班在一次摸球中获得表演机会的概率；
(2)若摸球是有放回的，求该年级某班在一次摸球中获得表演机会的概率．
【思路点拨】 把摸球的号码视为一个数组，列举所有结果，求其概率．
【名师点评】 有放回抽样与无放回抽样的结果总数不同．
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§5 用样本估计总体
5.1 估计总体的分布
5.2 估计总体的数字特征
5.2
估计总体的数字特征
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.理解频率分布直方图、频率折线图的概念．
2.会用样本频率分布去估计总体分布．
3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．
4.体会统计问题的基本思想.
课前自主学案
1．初中学过的众数、中位数、平均数，其定义分别是
(1)在一组数据中________________的数据叫作这组数据的众数．
(2)将一组数据按大小顺序依次排列，把处在______________的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．
温故夯基
出现次数最多
最中间位置
2．反映数据的离散程度的量有_________、__________等．
方差
标准差
方差：s2＝
_______________________________________
标准差s＝______=
_______________________________________
知新益能
1．频率分布直方图和频率折线图
频率分布直方图 频率折线图
定义 频率分布直方图由一些小矩形来表示，每个小矩形的宽度为Δxi(分组的宽度)，高为_________，小矩形的面积恰为相应的__________，图中所有小矩形的面积之和为______. 在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的________开始，用线段依次连接各个矩形的
_____________，直至右边所加区间的________，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．
fi/Δxi
频率fi
1
中点
顶端中点
中点
频率分布直方图 频率折线图
当样
本容
量很大时 样本中落在每个区间内的_________________会稳定于总体在相应区间内取值的_________，因此我们就可以用样本的
______________________来估计总体在任意区间内取值的__________. 所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应___________，相应的频率折线图就会越来越接近于
_____________________
作用 用样本分布去______________________情况
样本数的频率
概率
频率分布直方图
概率
随之减小
一条光滑曲线．
估计总体分布
3．估计总体的数字特征
样本平均数和样本标准差可分别用来估计________________和__________，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，从样本中所得到的有关总体的估计可能互不相同，这一现象是由抽样的___________引起的，当
_____________很大时，样本数据确实反映了总体的信息．
总体的平均数
标准差
随机性
样本容量
1．如何绘制频率分布直方图？
提示：
问题探究
2．如何把握样本的平均数、标准差二者在估计总体中的作用？
提示：(1)样本的标准差描述了总体数据围绕平均数波动的大小程度，样本的标准差越大，总体数据估计越分散；样本的标准差越小，总体估计越集中．特别地，当样本的标准差为0时，则标明总体数据估计没有波动，估计数据全相等．
(2)样本的平均数和标准差是两个重要的数字特征，在应用平均数和标准差解决问题时，若平均数不同，则直接应用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由标准差研究其与平均数的偏离程度．
课堂互动讲练
频率直方图和频率折线图的绘制
考点突破
频率分布表是反映总体频率分布的表格，一般内容有数据的分组、频率的统计、频数和频率等内容．根据这个表格，就可以在坐标系中画频率分布直方图．
例1
为了了解某所中学男生身高情况，对该中学同龄的50名男生的身高进行了测量，结果如下(单位：cm)：
175 168 170 176 167 181 162 173 171 177
171 171 174 173 174 175 177 166 163 160
166 166 163 169 174 165 175 165 170 158
167 174 172 166 172 167 172 175 161 173
184 170 178 165 157 172 173 166 177 169
(1)列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图和频率折线图；
(2)估算该中学男生身高在[164.5,176.5)的频率．
【思路点拨】 依据绘制频率分布表、频率分布直方图、频率折线图的步骤，首先合理分组，确定组距，然后列频率分布表，绘频率分布直方图、频率折线图．
【解】 (1)步骤：
①求极差，在这个样本中，最大值是184，最小值是157，
所以极差等于184－157＝27.
②决定组距与组数：可以取组距为4，分成7组．
③将数据分组：[156.5,160.5)，[160.5,164.5)，[164.5,168.5)，[168.5,172.5)，[172.5,176.5)，[176.5,180.5)，[180.5,184.5)．
④列频率分布表：
分组 频数 频率
[156.5,160.5) 3 0.06
[160.5,164.5) 4 0.08
[164.5,168.5) 12 0.24
[168.5,172.5) 12 0.24
[172.5,176.5) 13 0.26
[176.5,180.5) 4 0.08
[180.5,184.5) 2 0.04
合计 50 1.00
⑤画频率分布直方图，如图．
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，得频率折线图，如图．
(2)根据频率分布表和频率分布直方图可得，样本中男生身高落在[164.5,176.5)的频率为0.24＋0.24＋0.26＝0.74.
所以该中学男生身高在[164.5,176.5)的频率是0.74.
【名师点评】 将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，左、右两端点分别向外延伸半个组距，并取此组距上在x轴上的点与折线的首、尾分别连接，可得到频率折线图，也可以直接用频率表作出频率折线图，其方法为：用每组中点的数作横坐标，相应频率除以
组距所得的数作纵坐标描点，然后用折线依次连接起来即可．其中，频率折线图与横轴相连，是为了看图方便，横轴上的左右两端点没有实际的意义．
自我挑战1 (2011年锦州质检)有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本数据的分组及各组的频数如下：
起始
月薪
(百元) 13～14 14～15 15～16 16～17 17～18 18～19 19～20 20～21
频数 7 11 26 23 15 8 4 6
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率折线图；
(3)根据频率分布估计该校毕业生起始月薪低于2000元的频率．
解：(1)样本频率分布表
起始月薪分组(Δxi) 频数(ni) 频率(fi)
13～14 7 0.07 0.07
14～15 11 0.11 0.11
15～16 26 0.26 0.26
16～17 23 0.23 0.23
17～18 15 0.15 0.15
18～19 8 0.08 0.08
19～20 4 0.04 0.04
20～21 6 0.06 0.06
(2)频率分布直方图和频率
折线图如图：
(3)起始月薪低于2000元
的频率为0.07＋0.11＋…
＋0.04＝0.94，
故起始月薪低于2000元的频率估计为0.94.
利用图形信息，解决实际问题
列频率分布表和画出频率分布直方图的最终目的是通过样本分布估计总体分布．在估计时，只需要求出相应的样本分布中的
有关数据即可推知总体分布的情况．
为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”．共有900名学生参加了这次竞赛．
为了解本次竞赛成绩情况，从中
抽取了部分学生的成绩(得分均为
整数，满分为100分)进行统计．
请你根据尚未完成并有局部污损
的频率分布表和频率分布直方图，
解答下列问题：
例2
宽度分组(Δxi) 频数(ni) 频率(fi)
50.5～60.5 4 0.08 0.008
60.5～70.5 0.16
70.5～80.5 10
80.5～90.5 16 0.32
90.5～100.5
合计 50
(1)填充频率分布表的空格；
(2)补全频率分布直方图；
(3)若成绩在75.5分～85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？
【解】 (1)频率分布表如下：
宽度分组(Δxi) 频数(ni) 频率(fi)
50.5～60.5 4 0.08 0.008
60.5～70.5 8 0.16 0.016
70.5～80.5 10 0.20 0.020
80.5～90.5 16 0.32 0.032
90.5～100.5 12 0.24 0.024
合计 50 1.00 0.100
(2)频率分布直方图如图所示：
因为成绩在80.5分～90.5分的学生频率为0.32，
所以成绩在80.5分～85.5分的学生频率为0.16，所以成绩在75.5分～85.5分的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234(人)．
【名师点评】 (1)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到题意中看不清楚的信息和数据模式．
(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性，利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
自我挑战2 为了解某校初中毕业男生的体能状况，从该校初中毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试，把所得数据(精确到0.01米)进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)该校参加这次铅球测试的男生有多少人？
(3)若成绩在8.0米以上(含8.0米)的为合格，试求这次铅球测试的成绩的合格率．
解：(1)由频率分布直方图的意义可知，各小组频率之和为1，故第6小组的频率为：
1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，易知第6小组与第3小组的频率相等，故两个小长方形等高，图略．
(2)由(1)知，第6小组的频率是0.14.
(3)由图可知，第4、5、6小组成绩在8.0米以上(含8.0米)，其频率之和为：0.28＋0.30＋0.14＝0.72，故合格率为72%.
从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．
根据频率分布直方图求统计量
例3
【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．
因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10
＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为0.3.
而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，
0．3＋0.3>0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，
令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应为70＋6.7＝76.7.
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．
∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74.
综上，(1)众数是75，中位数约为76.7；
(2)平均成绩约为74.
【名师点评】 (1)利用频率分布直方图求数字特征：
①众数是最高的矩形的底边的中点；
②中位数左右两侧直方图的面积相等；
③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标．
(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．
平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
用样本数字特征估计总体数字特征
甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．
例4
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
【名师点评】 当总体容量较大时，用样本的数字特征去估计总体的数字特征，方差和标准差都是刻画数据的离散程度的，但在实际问题中多采用标准差，如生产中当样本的平均数或标准差超过了规定界限时，说明这批产品质量距生产要求有了较大偏离，应及时进行检查解决．
方法感悟
1．分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，图形不仅可以帮助我们从数据中获取有用的信息，还可以帮助我们直观、准确地理解相应的结果．
2．现实生活中我们经常需要用三数两差来比较两组数据所反映的总体的稳定性，判断谁更优秀．但是一定要慎重应用这三数两差，灵活分析，避免出错．
3．分析数据的一种基本方法是用图画出来，或用表格改变数据的排列方式，常见的有列频率分布表，绘频率分布直方图、频率折线图等．
知能优化训练
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3．2 循环语句
学习目标
1．理解两种结构的循环语句——For语句和Do Loop语句．
2．掌握两种循环语句的一般形式并会应用．
3．通过具体实例使学生明确两种循环语句的区别和联系．
课堂互动讲练
知能优化训练
3.2
循环语句
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
1．用算法语句描述算法时，选择结构需要用__________来描述．
2．条件语句主要用来实现算法中的选择结构，一般有两种格式，一种是______________格式；另一种是_________格式．
条件语句
If—Then—Else
If—Then
知新益能
循环语句的两种形式
适用范围 一般形式
For语句 For语句是表达循环结构最常见的语句之一，它适用于__________循环次数的循环结构 For循环变量＝_____________
_______
_____
预先知道
初始值To终值
循环体
Next
适用范围 一般形式
Do Loop语句 在一些循环结构中，___________循环的次数，要根据其他形式的终止条件停止循环，在这种情况下，一般用_________语句来描述. Do
_______
Loop While_____
_____
预先不知道
Do Loop
循环体
条件
为真
问题探究
1．如何理解两种循环语句？
提示：(1)对For语句的理解
当程序执行时，遇到For语句，首先初始值赋给循环变量，记下终值，并比较初始值和终值，如果初始值不超过终值，开始执行循环体，执行到Next语句时循环变量加1并且与终值比较，若不超过终值，则继续执行循环体，否则退出循环．一直这样运行,直到循环变量超过终值．
程序中的Next是结束循环，并不是将所有的程序结束．
(2)对Do Loop语句的理解
当程序执行到Do Loop循环语句时，先执行一次循环体，再检查是否满足While后的条件，如果条件满足则继续执行，如果条件不满足则退出循环，即Do Loop循环语句至少执行一次循环体，这与For语句不同，因为For语句先检查循环条件，再执行循环体，因而它有可能完全不执行循环体．
在执行循环语句时，循环条件起着关键作用，因而在确定循环条件时，一定要仔细，防止出现与要求相反的错误．
2．循环语句与条件语句有什么关系？
提示：循环语句中一定会有条件语句，条件语句是循环语句的一部分，离开条件语句，循环语句无法循环．但条件语句可以脱离循环语句单独存在，可以不依赖循环语句独立地解决问题．
课堂互动讲练
For语句的应用
考点突破
使用For语句设计程序的一般思路：(1)确定循环次数；(2)把反复要做的工作，作为循环体放在For与Next之间．
例1
编写一个计算1＋2＋3＋…＋10000的值的一个算法，画出算法框图，并用For语句描述这个算法.
【思路点拨】 每次加的数都比前一个大1，这是该问题的规律，由此，我们可以在计算机上使用For语句，把循环变量的增量设为1，这样就实现了每次加的数比前一个大1.
【解】 算法步骤如下：
(1)S＝0；
(2)i＝1；
(3)S＝S＋i；
(4)i＝i＋1；
(5)如果i≤10000，那么转(3)，否则输出S.
算法框图如图所示．
For语句描述算法为：
S＝0
For i＝1 To 10000
S＝S＋i
Next
输出S
【名师点评】 解决此类问题，应从确定循环的次数以及循环变量的初值、步长以及终值入手进行分析，只有确定了循环次数，才能利用For循环，同时要注意设定好循环变量的初值、步长和终值，避免出现多一次循环或少一次循环的情况．
自我挑战1 使用For语句设计算法，计算1＋3＋5＋…＋999的值．
解：用For语句描述为：
S＝0
For i＝1 To 1000 Step 2
S＝S＋i
Next
输出S
用Do Loop语句编写程序时，一定要注意表达式的写法，当表达式为真时执行循环体，表达式为假时结束循环，以防出现表达式正好相反的错误．
Do Loop语句的应用
例2
求平方值小于1000的最大整数，画出算法框图，并用Do Loop语句描述这个算法．
【思路点拨】 解答本题我们可以从最小的正整数1开始进行检验其平方值是否超过1000，若不超过将其增加1再进行检验，直到平方超过1000，结束检验，因此可用循环结构设计算法．
【解】 算法框图如下：
用Do Loop语句描述算法为：
i＝1
Do
S＝i*i
i＝i＋1
Loop While S<1000
i＝i－2
输出i
【名师点评】 (1)由于本例中事先无法确定循环次数，故采用了Do Loop语句，特别应注意输出的应是i－2，注意举例体会，如本例中当i＝31时，S＝31×31＝961，i＝i＋1＝32.∵961<1000继续循环，∴S＝32×32＝1024，i＝i＋1＝33.
∵1024>1000，∴停止循环，此时i＝33，但是我们要找的是i＝31，所以输出i－2.
(2)计算机执行Do Loop语句，先执行一次循环体，若符合条件，继续执行循环体；当不符合条件时，跳出循环，执行Do Loop语句后的语句．
(3)在解答本题的过程中，易出现S＝i*i与i＝i＋1顺序颠倒的错误，导致这种错误的原因是对程序执行的顺序没有搞清．
自我挑战2 根据以下程序，画出相应的程序框图,并指明该算法的功能．
n＝1
s＝1
Do s＝s*n
n＝n＋1
Loop While s<5000
n＝n－1
输出n
解：该算法的程序框图如图所示，该算法的功能为求使1×2×…×n<5000的最大整数．
For语句和Do Loop语句的比较
判断含有循环语句的算法的执行结果关键是明确循环终止条件．在Do Loop语句中，当条件不满足时终止循环；而在For语句中，当循环变量取终值时，再执行一次循环体才终止循环．
编写算法语句计算12＋22＋32＋…＋9992，并画出相应的算法框图．
例3
【解】 法一：用For语句描述为：
s＝0
For i＝1 To 999
s＝s＋i2
Next
输出s
算法框图如图所示：
法二：Do Loop语句如下：
s＝0
i＝1
Do
s＝s＋i2
i＝i＋1
Loop While i≤999
输出s
算法框图如下：
方法感悟
1．遇到For语句，首先把初始值赋给循环变量，记下终值，并比较初始值和终值，如果初始值不超过终值，开始执行循环体．
2．For循环语句描述算法的步骤如下：
(1)选择一个变量S，并赋给初始值0，再选一个循环变量，并赋值为初始值，确定循环终止条件为终值．
(2)设计循环体S＝S＋i，注意要使每一步的循环能够进行下去，变量的赋值不能搞错，如写为T＝S＋i，S＝T＋i等结果，将导致结果出现错误．
如果循环变量的改变量不为1而为a，则需要利用Step说明步长．
(3)按照要求输出所要求的结果．
3．Do Loop循环语句的执行流程：先进入循环体,执行循环体语句，检查是否适合条件，如果否，继续执行循环体，一直重复至满足条件为止．
知能优化训练
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第3章 概 率
课标领航
本章概述
本章从知识内容上看，有随机事件的概率、古典概型和几何概型．
1.概率是反映随机事件可能性大小的一个数量，概率在[0,1]中取值．
2.概率的统计定义适合更广泛的概率模型，通过多次重复试验，可以用频率得到概率的近似值；几何概型适合试验结果有无限多个，并可以用长度、面积、角度等几何量度量基本空间和事件的随机试验.
本章的重点是通过对随机事件的概率知识的学习，正确理解概率的定义和性质，理解古典概型，初步体会几何概型；学习通过试验、计算器或计算机模拟估计简单随机事件发生的概率的方法．本章的难点是理解频率与概率的关系，设计和运用模拟方法近似计算概率，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.
学法指导
1.学习概率要结合具体的实例，理解概率的涵义，即概率大小的实际意义．
2.求概率的大小要尽量用列举法得出基本事件的个数．
3.结合现代工具用模拟的方法体会概率在生活中的应用.
§1 随机事件的概率
1．1 频率与概率
1．2 生活中的概率
学习目标
1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念及随机事件发生的不确定性．
2．正确理解概率的含义，理解频率与概率的区别与联系．
3．会初步列举出重复试验的结果．
课堂互动讲练
知能优化训练
1.2
生活中的概率
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
概率
不发生
知新益能
1．随机事件的频率
(1)频率是一个变化的量，在大量重复试验时，它又会呈现出_______，在_________附近摆动，但随着试验次数的增加，摆动的幅度具有__________的趋势．
(2)随机事件的频率也可能出现偏离“常数”_____ 的情形，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性就会_____．
稳定性
一个常数
越来越小
较大
减少
2．随机事件的概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的______会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________，这时，这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．P(A)的范围是____________.
频率
稳定性
0≤P(A)≤1
问题探究
1．如何理解随机事件的概率的定义？
提示：概率表示事件发生的可能性的大小，并不说明一个事件一定发生或一定不发生，概率越大，事件发生的可能性越大．概率意义下的可能性是大量随机现象的客观规律，即单独一次结果的不确定性和大量试验结果的有规律性．事件A的概率是事件A的属性．某个事件A发生的概率为p%，是指在大量重复试验中事件A发生的可能性大小为p%，而不是指在100次试验中一定发生p次，因为随机事件的发生有其随机性．
2．概率和频率有何关系？
n次重复试验必须在相同条件下进行，否则，某事件的概率也会随之改变．
由此可见：(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
课堂互动讲练
频率与概率的关系
考点突破
随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性．概率是频率的稳定值，是频率的科学抽象，不会随试验次数的变化而变化.
在2004年雅典奥运会上，中国射击运动员王义夫在决赛中以0.2环的微弱优势战胜了俄罗斯运动员内斯特鲁耶夫，摘得该项目的金牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计.
例1
射击次数n 10 20 50 100 200 500
王义夫击中10环以上的次数 9 17 44 92 179 450
击中10环以上的频率
射击次数n 10 20 50 100 200 500
内斯特鲁耶夫击中10环以上的次数 8 19 44 93 177 453
击中10环以上的频率
请根据以上表格中的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员每次击中10环以上的概率．
(2)由(1)中的数据可知两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以两人击中10环以上的概率约为0.9，也就是说两人的实力相当.
【名师点评】 解决此类问题的关键是抓住概率的本质，即概率可以通过频率来“测量”，通过计算频率来估算概率，概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值．
自我挑战1 某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每题10分，然后做了统计，下表是统计结果：
贫困地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保留到小数点后三位)；
(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解：(1)贫困地区的频率依次为：0.533,0.540,0.520,
0.520,0.512,0.503.
发达地区的频率依次为：0.567,0.580,0.560,0.555，0.552，0.550.
(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550.
概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种．
概率的意义
例2
【思路点拨】 解答本题的关键是理解某一个事件发生的概率大小的意义．
【名师点评】 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，认识了这种随机中的规律性，可以帮助我们预测事件发生的可能性大小．但对一定数量的试验来说 ，事件A发生与否并不一定与概率完全相同．
概率的简单应用
概率是对随机事件发生的可能性大小的度量，它在理论上反应了随机事件发生的可能性的大小．可根据概率的大小来估计总体的情况．
有一个转盘游戏，转盘被平均分
成10等份．如图所示，转动转盘，当转
盘停止后，指针指向的数字即为转出的
数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案；甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种．
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
例3
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
【思路点拨】 利用游戏的公平性，分别计算出双方获胜的概率，然后比较得出结论．
(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．
【名师点评】 尽管随机事件发生的可能具有随机性．但当大量重复这一过程时，它又呈现一定的规律性，故利用概率知识可以判断一些游戏规则是否公平．
自我挑战2 为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼做上记号(不影响其存活)，然后放回水库．经过适当时间，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中做记号的鱼的数量，设有40尾．试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数.
方法感悟
1．概率可以看做频率在理论上的期望值，而随机事件的频率可以看做是其概率的随机表现，随机事件的概率是固有的、客观存在的，可以在相同条件下通过大量重复试验予以识别和检验，而不能以一次或少数次的试验结果作判断．
2．正确理解随机事件概率的意义，掌握日常生活中偶然事件发生的规律，用概率的意义来解释一些日常偶然事件即随机事件发生的概率，可以澄清日
常生活中的一些错误认识．在用概率思想指导实践活动时，要注意概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并不说明一个事件一定发生或一定不发生．
3．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此人们常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．
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§2 算法框图的基本结构及设计
2．1 顺序结构与选择结构
学习目标
1.掌握算法框图中的两种算法结构——顺序结构、选择结构及其特点．
2．通过具体的实例体会用算法框图表示算法的优点．
3．会用算法框图表示简单的算法．
课堂互动讲练
知能优化训练
2.1 顺序结构与选择结构
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
1．在数学中，算法通常是按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的______．
2．有序列插入排序的常见算法有______________
和_______________．
步骤
直接插入排序
折半插入排序
知新益能
1．算法框图
在算法设计中，算法框图可以______、______、______地表达解决问题的思路和步骤．
准确
清晰
直观
2．算法的两种结构
顺序结构 选择结构
定义 按照步骤__________的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为________________. 在算法流程中，需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．
图形
表示
依次执行
算法的顺序结构
3.基本框图及其表示的功能
图形符号 名称 功能
终端框(起止框) 表示一个算法的起始和结束
输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息
处理框 赋值、计算
判断框 判断某一个条件是否成立，成立时在出口处标明“是”;不成立时标明“否”
流程线 连接框图
提示:顺序结构是最简单的算法结构，语句与
语句之间，框与框之间按从上到下(或从左到
右)的顺序进行，它由若干个依次执行的步骤
组成，它是任何一个算法都离不开的一种算法结构,如图所示，虚线框内表示一个顺序结构，其中A和B两个框是依次执行的，只有执行完A框所指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作．
问题探究
1．如何理解算法框图中的顺序结构？
2．算法框图中的选择结构应注意哪些问题，它的主要作用是什么？
提示：
课堂互动讲练
顺序结构的算法框图
考点突破
顺序结构是从上而下依次执行命令，每步只执行一次，不会引起程序步骤的跳转．它只能解决一些简单的问题，步骤之间不能随便调换，调换可能会使算法不运行，或出现错误．单独的顺序结构一般出现在这样几种题目中：根据公式求值、求一般函数(非分段函数)的函数值等；再者顺序结构是其他结构的基础，会出现在其他结构运行的前后，是算法必需的一个基本结构．
一次考试中，某同学的语文，数学，英语，物理，化学的成绩分别是a，b，c，d，e，设计一个计算该同学的总分和平均分的算法，并画出算法框图.
【思路点拨】 先算出总分，再算平均分，最后输出结果，因此只用顺序结构就能表达出算法．
例1
【名师点评】 初次学习画算法框图，首先应写出算法步骤，再用相应的框图表示出来，待熟练后，可不写出算法步骤，直接画出算法框图．
选择结构不同于顺序结构的地方：它不是依次执行操作指令进行运算，而是依据条件作出逻辑判断，选择执行不同指令中的一个．一般地，这里的判断主要是判断“是”或“否”，即判断是否符合条件的要求，因而它有一个入口和两个出口，但最后只有一个终结口．
选择结构的算法框图
例2
【思路点拨】 因为分段函数的自变量在不同范围内时函数关系式不同，因而当给出一个自变量x的值求它对应的函数值时，必须先判断x的范围，然后确定该范围内的函数关系式，计算相应的函数值，该例仅用顺序结构是办不到的，算法中要加入判断框,应用选择结构才能解决．
【解】 算法分析：用变量x，y分别表示自变量和函数值．步骤如下：
1．输入x的值．
2．判断x的范围，若x≥0，
则用函数y＝x2－1求函数值，
否则，用y＝2x2－5求函数值．
3．输出y的值．
算法框图如图所示．
【名师点评】 凡先由条件作出判断，然后再决定进行哪一个步骤的问题，在画框图时，必须用到选择结构．求分段函数的函数值的框图的画法，如果是分两段的函数，只需引入一个判断框，如果是分三段的函数，需引入两个判断框，四段的函数需引入三个判断框，依此类推．
自我挑战1 某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出算法框图.
算法步骤如下：
第一步 输入x；
第二步 若x≤3，则y＝5；
否则，执行y＝5＋1.2(x－3)；
第三步 输出y.
算法框图如图．
框图的应用
已知算法框图的函数问题，将框图所表示的算法翻译成自然语言，是由用自然语言表达的算法画出算法框图的逆向过程．对这两种语言的互译有助于熟练掌握算法的设计，而将算法框图翻译成自然语言相对而言比较陌生，是一个难点．
如图所示是解决某个问题而绘制的框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
(1)该框图解决的是怎样的一个问题？
(2)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2，当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大？为什么？
例3
(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果ax＋b等于0
【思路点拨】 解答本题可先分析框图的功能，然后根据函数关系式中变量间的关系依次解答，同时还要注意框图中不同形式的框图表示的功能．
【解】 (1)该框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
(2)y1＝3，即2a＋b＝3， ①
y2＝－2，即－3a＋b＝－2. ②
由①②得a＝1，b＝1.∴f(x)＝x＋1.
∴当x取5时，5a＋b＝f(5)＝5×1＋1＝6.
(3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．
(4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，因而当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.
【名师点评】 对于基本算法语句的阅读题，先分析语句的类型，再分析语句所表示的具体含义，才能顺利地进行解答．
自我挑战2 (2010年高考湖南卷)如图是求实数x绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填________．
解析：根据非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，以及0的特殊性，可知填x>0或x≥0.
答案：x>0或x≥0
方法感悟
1．顺序结构是从上到下依次执行的框图，不会引起程序步骤的跳转．
2．在一个算法中，若含有条件判断，画算法框图时，一般用选择结构．
3．画算法框图的规则：
(1)使用标准的框图符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框外，大多数算法框图中的程序框只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
(4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．
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本章优化总结
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专题探究精讲
知识体系网络
知识体系网络
专题探究精讲
抽样方法
考点突破
根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种方法的共同点、适用范围和各自特点，恰当地选取抽样方法从总体中抽取样本，掌握这三种抽样方法抽取样本的步骤．
学习抽样方法应注意以下几点．
1．用随机数法抽样时，对个体所编的号码位数要相等．当题目中所给编号位数不等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．
3．应用三种抽样方法时需搞清楚它们的使用原则．
(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．
(2)当总体容量较大，样本容量较小时可用随机数法．
(3)当总体容量较大，样本容量也较大时可用系统抽样法．
(4)当总体由明显差异的几部分构成时，采用分层抽样法．
某班共有60名学生，领到10张电影票，请你采用适当方式把这10张电影票分下去．
【思路点拨】 因人数较少，可采用简单随机抽样，用抽签法和随机数表法均可．
【解】 法一：抽签法
第一步 先将60名学生编号．编号为1,2,3，…，60；
第二步 准备抽签工具．把号码写在形状、大小相同的号签上，将这些号签放在同一个箱子里；
例1
第三步 实施抽签．抽签前先将放在箱子里的号签搅拌均匀，抽签时每次从中抽出一个号签，连续抽10次，根据抽到的10个号码对应10名学生，10张电影票就分给10名被抽到的学生．
法二：随机数表法
第一步 先将60名学生编号，分别为00,01,02,03，…，59；
第二步 由于总体的编号为两位数，在随机数表中选取两列组成两位数．从随机数表中的任意一个位置，按一定顺序开始读数．
如果读到的数小于59，则将它取出；若读到的数大于59，则舍去；重复的数字只取一个，直到取满10个不超过59的数为止．将10张电影票分给抽到的10名相应编号的学生．
【名师点评】 注意三种抽样方法的使用条件．
统计的基本思想
统计学的基本思想是用样本的特征去估计总体，它采取的方式有两种：一是用样本的频率分布去估计总体的频率分布；二是用样本的数字特征去估计总体的数字特征．
1．用样本的频率分布估计总体分布
利用样本的频率表和频率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率折线图和茎叶图对总体作出估计．
直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布，我们可以大致估计出总体的分布．但是，当总体的个体数较多时，所需抽样的样本容量也不能太小，随着样本容量的增加，频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条曲线为总体密度曲线，它能给我们提供更加精细的信息．在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，这给数据的记录和表示都能带来方便．
(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与画频率分布直方图时要注意其方法步骤．
(2)用茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到；二是便于记录和表示，但数据位数较多时不方便．
从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)
40～50,2；50～60,3；60～70,10；70～80,15；
80～90,12；90～100,8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在60～90分的学生比例；
(4)估计成绩在85分以下的学生比例．
例2
【解】 (1)频率分布表如下：
成绩分组(Δxi) 频数(ni) 频率(fi)
40～50 2 0.04 0.004
50～60 3 0.06 0.006
60～70 10 0.2 0.02
70～80 15 0.3 0.03
80～90 12 0.24 0.024
90～100 8 0.16 0.016
(2)频率分布直方图如图所示．
【名师点评】 (1)掌握画频率分布直方图的步骤，频率分布直方图的处理与坐标系的单位长度有关，为了图形的直观性，要注意单位长度．
(2)要掌握频率分布直方图的特点，尤其是面积表示频率．
(3)由频率分布直方图得到的频率是不准确的，只能估计出可能性，它把原始数据特征丢失了，只能分析出哪部分数据出现的较多或较少，分析不出具体的数据．
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计．众数是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数把样本数据分成相同数目的两部分，其中一部分比这个数小或等于这个数，另一部分比这个数大或等于这个数；
甲、乙两人同时生产内径为25.40的一种零件，为了对两个人生产的机器零件的质量进行评比，现在从他们生产的零件中各抽取一个容量为20的样本，量得零件的内径尺寸如下(单位：mm)：
甲：25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34
25．42 25.45 25.38 25.42
25．39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40
25．42 25.35 25.41 25.39
乙：25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47
例3
25．49 25.49 25.36 25.34
25．33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31
25．32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件的内径来看，甲乙两人谁生产的零件的质量较高？
【思路点拨】 零件质量的高低问题，转化为对所抽取的样本的零件内径尺寸的平均数和方差的大小比较；根据公式计算出平均数和标准差，再比较大小即可得出结论．
从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙生产的零件内径更接近内径标准，但是差异很小；从样本标准差看，由于s甲【名师点评】 像这类“选拔或区分”问题，通常利用平均数和方差等样本数据的数字特征来解决，只需比较他们的平均数和方差的大小即可．
除了函数关系这种确定性的关系之外，还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量，它们之间的关系是相关关系．
在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立线性回归方程就可以根据其部分观测值获得对这两个变量之间的整体关系的了解，主要是作出散点图和写出线性回归方程．(说明：在处理数据时，计算量大，因此要学会应用科学计算器)
线性回归分析
某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据.
例4
广告支出x(单位：万元) 1 2 3 4
销售收入y(单位：万元) 12 28 42 56
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
【思路点拨】 由散点图判断y与x的相关关系，利用公式求出回归直线方程．
【解】 (1)散点图如图：
(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a、b.
i xi yi x xiyi
1 1 12 1 12
2 2 28 4 56
3 3 42 9 126
4 4 56 16 224
【名师点评】 计算要细心、准确，注意中间结果的保留．
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§3 几种基本语句
3．1 条件语句
学习目标
1．掌握条件语句的含义、格式．
2．会用条件语句将具体问题的框图转化为算法语句．
3．会利用条件语句解决实际生活中的应用问题．
课堂互动讲练
知能优化训练
3.1
条件语句
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
1．画算法框图时，经常用到选择结构，即根据_______中的条件是否成立，从而执行不同的步骤．
2．算法中的三种基本逻辑结构是__________、_________、_________．
3．赋值语句是算法程序设计中的基本语句．
判断框
顺序结构
选择结构
循环结构
知新益能
1．条件语句
条件语句是表达_________最常用的语句．
2．两种条件语句的算法框图及格式
选择结构
If语句 复合If语句
算法框图
If语句 复合If语句
语句格式 If _____Then
_______
Else
_______
End If If _______Then
_______
Else
If _______Then
_______
Else
_______
End If
End If
条件
语句1
语句2
条件1
语句1
条件2
语句2
语句3
问题探究
1．如何理解条件语句的执行步骤？
提示：(1)条件语句是选择结构的
一种表现形式．计算机执行这种
形式的条件语句时，首先对If后
的条件进行判断，如果条件符合，就执行Then后的语句1，若条件不符合，就执行Else后的语句2，然后结束这一条件语句．
(2)If语句的变形
在条件语句中，“Else 语句2”部分是选择项，可以缺省，此时条件语句变成：
If 条件 Then
语句
End If
计算机执行此类条件语句时，对表
达式结果进行判断，若表达式结果
为真，则执行表达式后面的语句，
否则直接跳过语句，执行后面的其他语句．其对应的框图如图．
(3)在有些较为复杂的算法中，有时需要对按条件执行的某一语句特别是Else后的语句2继续按照另一个条件进行判断，这时可以再利用另一个条件语句进行判断，这就形成了条件语句的嵌套．一般形式如下：
框图如下：
2．何时使用“If—Then”语句与“If—Then—Else”语句？
提示：当判断语句的两个出口语句都需要执行时，使用“If—Then—Else”语句；当判断语句的两个出口语句只有一个需要执行时，使用“If—Then”语句．
课堂互动讲练
对条件语句的理解
考点突破
条件语句必须以If开始，在语句中，语句1，语句2,不一定是一个语句，也可以是多个；在编写复合If语句中的条件时，“If”与“End If”是配对的，一般有几个If，就有几个“End If”．
例1
以下给出的是用条件语句编写的一个算法，根据该算法回答问题．
(1)若输入－3，则输出结果是________；
(2)若输入4，则输出结果是________；
(3)该算法的功能是求函数________的值．
【解析】 (1)中，若输入－3，则条件1为真，所以执行Then后的语句1，输出y＝3x＝3×(－3)＝－9.
(2)中，若输入4，则条件2为假，所以执行语句3，输出y＝3.
(3)该算法表达的功能是求分段函数
【名师点评】 这是一复合If语句的算法，要读懂题意，分清执行了哪个语句．
简单If语句主要有两种格式：If—Then格式与If—Then—Else格式，选用那种格式，由具体题目来确定，判断条件，两个出口语句只有一个需要执行时,使用“If—Then”格式，而两个出口语句都需要执行时，使用“If—Then—Else”格式．
简单If语句的应用
例2
【解】 用变量x，y分别表示自变量和函数值．步骤如下：
(1)输入x值．
(2)判断x的范围，若x≥0，则用函数y＝x－1求函数值，否则用y＝3x2＋1求函数值．
(3)输出y的值．
程序框图如左图所示，程序如右图所示．
【名师点评】 本题是已知分段函数的解析式求函数值的问题，当输入一个x值，由于x的范围不同，因而用来计算函数值的解析式也不同，因此要计算函数值必须先判断x的范围，因而要设计求函数值的算法必须用选择结构，相应程序的书写也应用条件语句书写．
自我挑战1 编写程序：输入任意一个实数，输出其绝对值．
解：程序框图如左图所示，程序如右图所示．
复合If语句的应用
在一些较为复杂的算法中，有时需要在判断的后面接着进行判断，亦即在执行语句1或语句2的过程中又需要进行条件的判断，这就形成了复合的选择结构，我们可以利用复合条件语句来描述这种类型的算法．
给出一个算法：
1．输入x；
2．若x<0，则y＝x＋1；
3．若x＝0，则y＝0；
4．若x>0，则y＝x；
5．输出y.
(1)指出该算法的功能；
(2)将该算法用框图表示出来；
(3)用基本语句写出该算法．
例3
(2)框图如图所示．
(3)用基本语句描述为：
输入x；
If x<0 Then
y＝x＋1
Else
If x＝0 Then
y＝0
Else
y＝x
End If
End If
输出y.
【失误点评】 在解答过程中易漏掉最后一个End If，导致该错误的原因是对复合If语句的格式理解不透彻．
自我挑战2 到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元一律收取50元手续费．用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取手续费为y元的过程．画出流程图并写出算法语句．
算法框图如下：
用复合If语句描述如下：
输入x；
If x>0 And x≤100 Then
y＝1
Else
If x≤5000 Then
y＝0.01x
Else
y＝50
End If
End If
输出y.
方法感悟
1．条件语句主要用来实现算法中的选择结构，如判断一个数的正负、比较两个数的大小、对一组数据排序等很多问题的解决都需要用条件语句来描述.
2．复合If语句一般用在含有两个或两个以上的选择结构中，编写程序时，要明确各种条件与相应语句之间的对应关系，最好通过框图理清判断的先后次序.
3．对于多种条件语句的嵌套，要用多个条件语句来表达，在Else语句之后，再用条件语句的形式来完成.
知能优化训练
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§2 抽样方法
2.1 简单随机抽样
2.1
简单随机抽样
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.结合具体的实际问题情景，理解随机抽样的必要性和重要性．
2．在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．
课前自主学案
1．总体：我们所要考察对象的全体叫作_________，其中每一个考察对象叫作________
2．样本：从总体中抽出的若干个个体组成的集合叫作总体的一个 ________，样本中个体的数量叫作_____________
温故夯基
总体
个体．
样本
样本容量．
1．简单随机抽样的定义
设一个总体含有N个个体，随机抽取n个个体作为________ (n知新益能
样本
概率
2．抽签法
3．随机数法
(1)可以利用转盘、摸球、计算机、科学计算器直接产生随机数，也可以利用___________来产生随机数．利用产生的随机数来抽取对应编号的个体，直至抽到预先规定的样本数的方法．
(2)利用随机数表产生随机数的实施步骤：
①将总体中个体_________
②在随机数表中_________一个数作为开始．
③规定从选定的数读取数字的_________
随机数表
编号．
任选
方向．
④开始读取数字，若不在编号中，________，若在编号中则________，依次取下去，直到取满为止，________的号只取一次．
⑤根据选定的_________抽取样本．
跳过
取出
相同
号码
1．在简单随机抽样的定义中，每个个体被抽到的可能性是多少？
问题探究
2．简单随机抽样为什么是公平的？
提示：简单随机抽样是在特定的总体中抽取样本．总体中每一个个体被抽取的可能性是等同的，而且任何个体之间彼此被抽取的机会是独立的．当总体容量和样本容量不大时，采用抽签法．抽签时，样本数据来自“搅拌均匀”的总体，抽取时不带有主观或客观的影响因素，所以每个个体有相同的机会被抽中；
当总体容量和样本容量较大时，采用随机数法．利用随机数表、随机数骰子或计算机产生随机数时，出现任何一个数字都是随机的、等可能的，且从总体中抽取任何一个个体的号码也是随机的、等可能的．故简单随机抽样是公平的．
课堂互动讲练
简单随机抽样的概念
考点突破
简单随机抽样主要有四个特点：(1)总体个数有限；(2)逐个抽取；(3)不放回；(4)公平性：每个个体被抽到的可能性相同．
下面的抽样方法是简单随机抽样吗，为什么？
(1)火箭队共有15名球员，指定个子最高的2名球员参加球迷见面；
(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验；
(3)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿出一件，连续玩了5件．
例1
【思路点拨】 抓住本题中的几个关键词“指定”“一次性”“放回”等与简单随机抽样特点对照．
【解】 (1)不是简单随机抽样．因为这不是等可能抽样．
(2)不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
(3)不是简单随机抽样．因为这是有放回抽样．
【名师点评】 判断一个抽样是否是简单随机抽样，关键看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样．同时还要注意以下两点：一是总体中的个体性质相似，无明显层次；二是用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定间距．
自我挑战1 下列抽取样本的方式是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里；
(3)从50个个体里一次性抽取5个个体作为样本．
解：(1)不是，因为个体的数目无限．
(2)不是，因为是放回抽样．
(3)不是，因为它是一次性抽取．
抽签法的应用
一般地，抽签法就是把总体的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
要从某汽车厂生产的30辆同一型号的汽车中抽取3辆进行刹车系统测试，试选择合适的抽样方法，并写出具体的操作步骤．
例2
【思路点拨】 由于本题总体容量与样本容量都较小，故宜用抽签法．
【解】 使用抽签法，操作步骤如下：
(1)将30辆汽车编号为1～30；
(2)将号码写在形状、大小完全相同的30个号签上；
(3)将号签放入一个盒子中进行均匀搅拌；
(4)从盒子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
(5)找出和所得号码相对应的3辆汽车，组成样本．
【名师点评】 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法，若总体容量非常大，那就费时、费力又不方便，搅拌不均匀有失公平性，从而产生坏样本(代表性差的样本)的可能性增加．
对于总体容量不大，即易编号时，可采用这种方法．
即：编号—选起始数—读数—取数．
有一批机器，编号为1,2,3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，问此样本若采用随机数表产生随机数的方法将如何获得？(读数从第9行第9列开始从左向右读，随机数表见教材P9)
随机数法的应用
例3
【思路点拨】 解答本题可先把编号调整为三位数，再利用随机数表读取数字．
【解】 第一步 将原来的编号调整为001,002,003，…，112.
第二步 从随机数表第9行第9个数“1”，向右读．
第三步 从“1”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，依次可得到024,042,019,058,005,002,054,062,004,094.
第四步 对应编号为
024,042,019,058,005,002,054,062,004,094的机器便是要抽取的对象．
【名师点评】 在用随机数法抽取样本时，注意以下几个问题：(1)如总体中个体已有号，可直接用，而无需编号．(2)本题编号时，编为001,002，…，112，以使每个号码都是三位数，一是为了方便在数表中找到，另外也要保证被抽取的概率相等，不然，有的是两位数，有的是三位数，每个个体入样的概率就不相等了．
(3)抽样时所需的随机数表可临时产生，也可以沿用已有的随机数表，本题用了教材上的一个随机数表，虽然每个个体的号码为三位数，最好是用三位数的随机数表，但也可用随便多少位的随机数表，尽管抽出的样本号码可能不同，但这些都不影响所抽取样本的代表性．
自我挑战2 某单位有老年职工30人，中年职工50人，青年职工40人．若分别从老年职工、中年职工、青年职工中随机抽取3人、5人、4人举行会议．试用随机数法进行抽样．
解：第一步：将职工编号，老年职工的编号为001,002，…，030；中年职工的编号为031,032，…，080；青年职工的编号为081，…，120；
第二步：从随机数表中任意一个位置，例如从教材表1－2中第15行的第6列，第7列和第8列开始选数，向右读；
第三步：从选定的位置开始读数，凡不在001～120中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从001～030中选3个号码．从031～080中选5个号码，从081～120中选4个号码，依次可得到071,114,058,094,003,047,013,060,024,093,034,082；
第四步：对应003,013,024找出老年职工代表；对应071,058,047,060,034找出中年职工代表；对应114,094,093,082找出青年职工代表．
1．简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，通常用抽签法与随机数法来实现．当总体的个数较少或抽取的样本个数较少时，常采用简单随机抽样的方法．
2．判断一个抽样能否用简单随机抽样法，关键要看它是否满足四个特点：(1)总体的个体数目有限；(2)从总体中逐个进行抽取；(3)是不放回抽样；(4)是等可能抽样．
方法感悟
3．抽签法与随机数法的相同点与不同点．
相同点：(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对每个个体被抽到的机会进行分析．
(2)从总体中逐个进行抽取，具有可操作性．
(3)这是一种等机会的抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的机会相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的机会都相等，从而保证了抽样的公平性．
不同点：(1)抽签法相对于随机数法简单，随机数法较抽签法稍麻烦一点．
(2)随机数法更适用于总体中的个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本与精力．
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§3 统计图表
§3
统计图表
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.进一步理解统计图表的作用与意义．
2．掌握茎叶图的概念与应用．
3．会利用合适的统计图表研究生活中的例子．
课前自主学案
1．抽样的方法有_______________、
_____________和_____________
2．为估计总体所抽的样本必须有很好的代表性．
3．在抽样过程中必须保证每个个体被抽到的概率_________
温故夯基
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样．
相等．
知新益能
1．如何制作茎叶图？
提示：茎叶图的制作过程主要分两步
(1)将所有两位数的十位数字作为“茎”，茎按从小到大同列排出，茎相同者共用一个茎，再画上竖线作为分界线．
(2)在分界线的另一侧在对应“茎”处，记录下“叶”—个位数字，一般共茎的叶按从小到大的顺序同行列出．
问题探究
2．如何选择统计图表统计所收集到的数据？
提示：在统计过程中收集到的数据量较多时，在用统计图表示之前，一般需要先将数据按一定的方式进行整理．在此基础上，再根据不同的需要选择适当的统计图进行表示．
如果只需大致判断一些数据的分布规律，了解数据中各元素所占比例的大小情况可以使用扇形统计图．例如统计一个农村种植的各种作物的比例．
如果需要根据图表了解各个数据所占的频率可以使用条形统计图．例如统计一批产品中优等品所占频率．
如果要了解数据的增减情况可以采用折线图．例如统计一个人成绩变化情况．
如果要了解数据的全部信息可以使用茎叶图．例如篮球比赛的计分．
因此要选择恰当的统计图表直观表达统计的数据，必须把各种统计图表的特点和问题中的需要结合起来，确定选择何种统计图表．
课堂互动讲练
条形统计图与扇形统计图的制作与应用
考点突破
条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来，条形统计图的特点是便于看出和比较各种数量的多少；一般分析比例变化问题用扇形统计图．
英才学校的四个年级学生分布的扇形统计图如图(1)所示，通过对全体学生暑假期间所读课外书情况的调查，制成各年级读书情况的条形统计图如图(2)，已知英才学校被调查的四个年级共有学生1500人．
(1)高一年级学生暑假期间共读课外书多少本？
(2)暑假期间读课外书总量最少的是几年级的学生？共读课外书多少本？
(3)该校暑假期间四个年级人均读课外书多少本？
例1
【思路点拨】
【解】 (1)由两图知：初二年级学生暑假期间读课外书的人数是1500×28%＝420(人)，共读课外书420×5.6＝2352(本)．初三年级学生暑假期间读课外书的人数是1500×24%＝360(人)，共读课外书360×6.6＝2376(本)．高二年级学生暑假期间读课外书的人数是1500×22%＝330(人)，共读课外书330×7.3＝2409(本)．
所以高一年级学生暑假期间读课外书的人数是1500－420－360－330＝390(人)，共读课外书390×6.2＝2418(本)．
(2)由(1)知暑假期间读课外书总量最少的是初二年级的学生，共读课外书2352本．
(3)该校暑假期间四个年级人均读课外书(2352＋2376＋2418＋2409)÷1500＝6.37(本/人)．
【名师点评】 解有关条形图问题，首先要清楚坐标系中横、纵坐标表示的意义，然后根据题意进行有关计算．
自我挑战 初中生的视力状况受到全社会的广泛关注．某市有关部门对全市
3万名初中生视力状况进行了一
次抽样调查，下图是利用所得
数据绘制的条形图，根据图
中所提供的信息回答下列问题：
(1)本次调查共抽测了多少名学生？
(2)在这个问题中的样本是什么？
(3)如果视力在4.9～5.1(含4.9,5.1)均属正常，那么全市有多少名初中生的视力正常？
折线图的制作及应用
把条形统计图中矩形上底边的中点顺次连接起来，再把各矩形擦掉，就得到一条折线，这条折线就称为数据的折线统计图，它直观地体现了数据的变化规律，不能绝对精确地反映数据，更多地反映一种趋势．
某摩托车厂2010年第三、四季度各月的月产量如下表：
根据统计表绘制折线统计图，哪个月的月产量增长幅度最大？
【思路点拨】 在绘制折线统计图时，可以先整理和观察数据统计表，建立直角坐标系，用两坐标轴上的点分别表示数据，再描出数据的相应点，顺次连接相邻的点，得到一条折线．
例2
月份 7 8 9 10 11 12
月产量(辆) 300 350 450 540 700 600
【解】 建立直角坐标系，用横
坐标上的点表示月份，用纵坐标
上的点表示月产量，描出每个月
份的对应点，然后用直线段顺次
连接相邻点，得到折线统计图如
图所示，由图可知，11月份的月
产量增长幅度最大．
【名师点评】 画折线统计图和条形统计图的步骤很相近，条形统计图和折线统计图的作用也较相近，本题如果画条形统计图也可以得出11月份的月产量增长幅度最大．
茎叶图是一种既能保留原始数据又能展示数据分布情况的表与图的结合．
某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
茎叶图的制作与应用
例3
品种A：
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454
品种B：
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(1)作出数据的茎叶图；
(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
【思路点拨】 (1)按照茎叶图的作法，对照数据解决；
(2)根据茎叶图的特点作结论．
【解】 (1)茎叶图如图所示：
(2)此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．
【误区警示】 作茎叶图时要对数据作一一处理，在数据较多时容易遗漏或重复，导致错误．解答该类试题要保证茎叶图的准确性．
1．解答统计图表问题时，要对所给的图表进行仔细观察，明确图表中基本量及其表示的情况后再开始解题．
2．解答统计中的图表问题，既要有一定的识图、读图能力，又要熟练掌握与图表有关的一些知识点．图表题的考查其实是对综合能力的考查，在考查知识点的同时，也考查了运用知识的能力．
方法感悟
3．近年来，高考非常重视考查学生对图形的正确理解能力以及善于从图形中捕捉信息的能力．这是对综合素质考查的一个重要体现，也是在激烈竞争的信息社会中必备的一种技能．因此，研究此类问题，不但是应考的需要，而且有实际价值．
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2．3 互斥事件
学习目标
1．理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型．
2．掌握互斥事件的概率加法公式，并会应用．
3．正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．
课堂互动讲练
知能优化训练
2.3
互斥事件
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
1．古典概型的两个特征为_______和_________．
2．如果古典概型中，基本事件的总数为n，随机事
件A的基本事件数为m，则P(A)＝___.
有限性
等可能性
知新益能
1．事件的关系
定义 公式
互斥事件 在一个随机试验中，我们把一次试验下_____________的两个事件A与B称作互斥事件. (1)若A与B互斥，则
___________________.
(2)若A1，A2，…An中任意两个事件互斥，则
P(A1＋A2＋…＋An)＝
______________________.
不能同时发生
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
1－P(A)
逆事件
同时
发生
有一个
发生
2.事件A＋B
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指_____________________________．
事件A和事件B至少有一个发生
问题探究
1．互斥事件与对立事件有何区别与联系？
提示：(1)两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A、B都不发生．两个事件A、B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．
(2)从集合的角度来看，记事件A与B所含结果组成的集合分别是A，B，若事件A与B互斥，则集合A∩B＝ ；若事件A与B对立，则集合A∩B＝ 且A∪B＝I(全集)，即A＝ IB或B＝ IA.
2．如何求复杂事件的概率？
提示：求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
课堂互动讲练
互斥事件、对立事件的判断
考点突破
要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件.
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件,是否为对立事件？并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
例1
【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
【名师点评】 (1)判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生，若不同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．
(2)“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的．对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
自我挑战1 从装有5只白球和5只红球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；
(2)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”．
解：从袋中任意取出3只球有4种结果：3只白球；2只白球1只红球；1只白球2只红球；3只红球．
(1)因为“取出2只红球1只白球”与“取出1只红球2只白球”不能同时发生，所以它们是互斥事件．
当“取出3只白球”时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．
(2)“取出3只球中至少有1只白球”包括三种结果：1只白球2只红球；2只白球1只红球；3只白球．因此它们不能同时发生，是互斥事件，且它们必有一个发生，又是对立事件．
(3)当取出的3只球都是红球时，它们同时发生，所以它们不是互斥事件，也不是对立事件．
将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件的概率和，分别求出各事件的概率，然后用加法公式求出结果．
互斥事件的概率计算
一盒中装有各色球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机地取出1个球，求：
(1)取出的1个球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．
例2
【名师点评】 利用互斥事件的加法公式解题体现了化整为零、化难为易的思想．但要注意用此公式时，首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．
对立事件的概率计算
某战士射击一次(中靶环数为整数)，问：
(1)若事件A(中靶)的概率为0.95，则事件E(不中靶)的概率为多少？
(2)若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率为多少？若事件F(不中靶)的概率为0.03，那么事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率是多少？
【思路点拨】 本题直接求解有困难，故可考虑应用对立事件的概率公式求解．
例3
【解】 (1)因为A与E互为对立事件P(A)＝0.95，所以P(E)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)因为事件B与C是对立事件，P(B)＝0.7，
所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.
事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)＝P(C)－P(F)＝0.3－0.03＝0.27.
【名师点评】 对于用直接法难以解决的问题，特别是题目中含有“至多”“至少”等词语时，常用间接法求出其对立事件的概率，然后再求符合条件的概率．
方法感悟
3．由对立事件的定义可知，对立事件首先要是互斥事件，并且其中一个一定要发生．因此两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要搞清这两种事件的关系．
知能优化训练
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第1章 统计
课标领航
本章概述
1.三种抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
2.用样本的频率分布估计总体的频率分布及用样本的特征数估计总体的特征数的方法．
3.线性回归方程的建立．
本章重点是理解随机抽样的必要性和重要性，学会运用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样方法；学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图及茎叶图，并用来估计总体．本章难点是统计思想、回归思想的建立，对总体分布的估计.
学法指导
学习本章时，既要充分掌握各种统计方法、原理及思想，又要大量地参加实践活动，实地考察统计；既要大胆地猜想，又要细心、耐心地计算；同时要借助于科学计算工具，作出精确的图表，尽量减少误差.
§1 从普查到抽样
§1
从普查到抽样
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.了解抽样调查的概念及优点，体会常见抽样的统计方法．
2．会对一些实际问题进行合理的抽样调查．
3．结合具体的实际问题，理解抽样调查的必要性与重要性．
课前自主学案
统计学是研究如何合理收集、整理、
________数据的学科，它可以帮助我们从数据中提取有用的信息，并为制定______提供依据，统计学有助于提高我们的归纳能力．
温故夯基
分析
决策
1．普查的特点
普查主要有两个特点：(1)所取得的资料更加______________；(2)主要调查在特定时段的社会经济现象_______的数量．
全面、系统
总体
知新益能
2．抽样调查
一部分
数据
全体
抽取
及时
人力
物力
1．如何理解普查与抽样调查的特点？
问题探究
提示：
方式 抽样调查 普查
特
点
节省人力、物力和财力 需要大量的人力、物力和财力
可以用于带有破坏性的检查 不能用于带有破坏性的检查
结果与实际情况之间有误差 在操作正确的情况下，能得到准确结果
2.抽样调查应注意哪些问题？
提示：抽样调查应注意以下几点：
(1)抽样时，要保证每一个个体都可能被抽到，并且被抽到的机会是均等的．
(2)在抽样调查时，要尽可能避免人为因素的干扰．
(3)抽样调查要尽可能控制误差，尽量增加样本的数量．
(4)注意选取的样本要具有代表性．
课堂互动讲练
概念辨析题
考点突破
明确所要考查的对象，理解相关概念．
(2011年大连质检)2010年某县主管部门从全县4600名五年级的小学生中抽取520名学生进行视力情况的统计分析，下列说法正确的是__________．
例1
①4600名学生是总体；
②每名学生是个体；
③抽取的520名学生的视力情况是一个样本；
④4600是总体容量；
⑤520名学生的视力情况是样本容量．
【思路点拨】 先弄清考查对象是什么，再根据概念作以判断．
【解析】 研究对象是视力情况，则4600是总体容量，4600名学生的视力情况是总体，每名学生的视力情况是个体，520名学生的视力情况是一个样本，样本容量是520，因此③④正确．
【答案】 ③④
【名师点评】 解决此类问题关键是明确总体与个体的意义，总体容量与样本容量的实质，它们一类是研究对象，一类是数量．
自我挑战 某校从高中一年级500名学生中抽取100名学生进行体重的统计分析，则下列说法中正确的是( )
A．500名学生是总体
B．每名学生是个体
C．抽取的100名学生的体重是一个样本
D．抽取的100名学生是样本容量
解析：选C.本题考查的对象是“学生的体重”这项指标，故A、B不正确．而样本容量是数量，故D不正确，应选C.
普查与抽样调查的比较
明确普查与抽样调查的优缺点，尤其在抽样调查中要注意以下事项：
(1)样本抽取具有随机性：即在抽取样本时总体的每个个体被抽到的可能性相等．
(2)样本抽取具有代表性：当总体数目较大且个体有明显差异时，要注意样本的代表性．
近两年我国出现了大面积的“电荒”，很多城市拉闸限电，人们也纷纷响应政府号召，节约用电．现在你的任务是调查你所在年级各位同学家庭的每月平均用电量，并号召大家节约用电．结合本节学到的知识，你觉得应该如何实施此次调查呢？在抽样调查时，总体和样本各是什么？普查和抽样调查哪一个更好一些呢？
例2
【思路点拨】
【解】 视情况而定，若这一年级的人数较多时，用抽样调查的方法较好．若这一年级的人数不多时用普查的方法较好．
在抽样调查时，总体是全年级各位同学家庭的每月平均用电量．样本是被调查学生家庭的每月平均用电量．
当全年级人数较多时用抽样调查，迅速、及时又节约人力、物力和财力；当全年级人数较少时用普查，所取得的资料全面、系统，更具说服力．
【易误警示】 本题易出现没有分情况讨论而直接选择调查方式的错误，导致该种错误的原因是普查与抽样调查的特点没有理解到位．
1．普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当检验对象很大或检验对检验对象具有破坏性时，采用普查的方法是行不通的，要进行抽样调查．
2．抽样调查的优点：(1)迅速、及时；(2)节约人力、物力和财力．
3．在具体问题中，用普查还是抽样调查的方式，要根据它们的特点和适用范围进行判断．
方法感悟
知能优化训练
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2.2 分层抽样与系统抽样
2.2
分层抽样与系统抽样
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过实例理解分层抽样与系统抽样的方法．
2．理解并掌握分层抽样与系统抽样的具体应用．
课前自主学案
1．简单随机抽样方法有__________和
_______________
2．简单随机抽样的特点：_______________、___________、__________、___________
3．抽签法的优点是_______________
温故夯基
抽签法
随机数法．
总体个数有限
逐个抽取
不放回
公平性．
简便易行．
1．分层抽样
将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照____________随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为_______________
知新益能
所占比例
类型抽样．
2．系统抽样
系统抽样是将总体的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照_________________抽取第一个样本．然后按_____________ (称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫____________或____________
简单随机抽样
相同间隔
等距抽样
机械抽样．
1．如何进行分层抽样？
提示：(1)将相似的个体归为一类，即为一层，分层时要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于样本容量与总体个数之比．
问题探究
2．如何理解系统抽样的特点？
提示：(1)系统抽样适用于：总体容量较大，且个体之间无明显的差异．
(2)剔除多余的个体及第1段抽样都用简单随机抽样．
(3)抽样过程是等可能抽样，即每个个体被抽到的可能性相等．
课堂互动讲练
分层抽样
考点突破
一个单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35岁到49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了了解这个单位与职工身体状况有关的某项指标，如何从中抽取一个容量为100的样本．
例1
【思路点拨】
【解】 用分层抽样来抽取样本，步骤是：
(1)分层：按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以上的职工．
(2)确定样本容量与总体容量之比100∶500＝1∶5.
【名师点评】 若总体由差异明显的几个层次组成，往往采用分层抽样的方法，若有某些层面应抽取的个体数目不是整数时，可作适当的调整．
自我挑战1 厂家生产的一批1200件产品是由三台机器生产的，其中甲机器生产240件，乙机器生产360件，丙机器生产600件．现用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为30的样本检查这批产品合格率，试说明这种抽样方法是公平的．
系统抽样
系统抽样的实质是“等距抽样”(即在抽样过程中，抽样的间隔相等)，要取多少个样本就将总体分成多少组，每组中取一个．
要从1002个学生中选取一个容量为20的样本，试用系统抽样的方法给出抽样过程．
例2
【思路点拨】
【解】 因为1002＝20×50＋2，为了保证“等距”分段，应先剔除2人．
第一步：将1002名学生用随机方式编号．
第二步：从总体中剔除2人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1000名学生重新编号(编号分别为000,001,002，…，999)，并分成20段．
第三步：在第一段000,001,002，…，049这50个编号中用简单随机抽样抽出一个号(如003)作为起始号码．
第四步：将编号为003,053,103，…，953的个体抽出，组成样本．
自我挑战2 下列问题中，最适合用系统抽样抽取样本的是( )
A．从10名学生中，随机抽2名学生参加义务劳动
B．从全校3000名学生中，随机抽100名学生参加义务劳动
C．从某市30000名学生中，其中小学生有14000人，初中生有10000人，高中生有6000人，抽取300名学生，了解该市学生的近视情况
D．从某班周二值日小组6人中，随机抽取1人擦黑板
解析：选B.A中总体个体无差异，但个数较少，适合用简单随机抽样；同样D中也适合用简单随机抽样；C中总体中个体有差异，不适合用系统抽样；B中总体中有3000个个体，个数较多且无差异，适合用系统抽样．
抽取样本要根据样本容量多少，及有无明显的差异等信息特征来确定采用的抽样方法．简单随机抽样是基本的抽样方法，可穿插在其他抽样方法中使用．
三种抽样方法的比较
为了考察某学校教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察，为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)： ①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
例3
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．
根据上面的叙述，回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽样方法？
(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．
【思路点拨】 三种抽样有各自的适用范围，可选择合适的抽样方法，然后写出抽样过程即可，注意系统抽样中，当总体个数不能被样本容量整除时，要采用简单随机抽样的方法剔除部分个体．
【解】 (1)上面三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；
第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤如下：
第一步：在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；
第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，计其学号为a；
第二步：在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计20人．
第三种方式抽样的步骤如下：
第一步：分层．因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应把全体学生分成三个层次；
【名师点评】 设计抽样方法时，一方面要使样本具有较强的代表性，不仅使每个个体有同样的机会被抽中，还要体现总体构成的不同，另一方面应当使抽样过程简便易行．解决此类问题，先分析总体构成是否有明显差别，然后再分析总体容量和样本容量，根据它们的特点确定抽样方法．
1．分层抽样的一般步骤
方法感悟
2．系统抽样的一般步骤
3．三种抽样方法的比较
类别 特点 相互联系 适用条件 共同点
简单随机抽样 从总体中逐个抽取 1.简单随机抽样是基础，分层抽样和系统抽样转化为简单随机抽样；
2.分层抽样在各层中采用简单随机抽样或系统抽样；
3.系统抽样在确定第一个个体时，采用简单随机抽样. 个体数目较少 抽样
过程
中，
每个
个体
被抽
到的
概率
相等
分层抽样 将总体分成几层，在每层中按照所占比例随机抽取 总体是由差异明显的几部分组成，可以分为几个不同类型
系统抽样 将总体平均分成几段，按等距的规则抽取样本 个体数目较多，样本容量较大，个体无明显差异
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§6 统计活动：结婚年龄的变化
§7 相关性
§8 最小二乘估计
§8
最小二乘估计
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．
2．学会用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能够根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
课前自主学案
1．抽样方法有_______________、
____________、____________
2．用样本估计总体主要有：用样本的
______________估计总体的频率分布；用样本的____________估计总体的数字特征．
3．样本的数字特征主要有_________、
________、________、________及
___________
温故夯基
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样．
频率分布
数字特征
平均数
众数
中位数
方差
标准差．
4．在现实生活中两个变量之间的函数关系是一种_________的关系．
确定
知新益能
1．变量间关系
(1)函数关系：两变量之间的 ___________关系；
(2)相关关系：两变量之间的____________关系．
2．散点图
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将______________的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
确定性
不确定性
变量所对应
3．曲线拟合
从散点图上可以看出，如果变量之间
___________________，这些点会有一个
_______的大致趋势，这种趋势通常可以用一条______________来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．
4．相关关系的分类
(1)线性相关：若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在______________附近波动，则称变量间是线性相关的．
存在着某种关系
集中
光滑的曲线
一条直线
[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2
(2)非线性相关：若散点图上所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的．此时，可以用
_____________来拟合．
5．最小二乘法
(1)定义：如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：
__________________________________________________.使得上式达到____________的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
一条曲线
最小值
(2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的______________如果__________呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果___________呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．
散点图．
散点图
散点图
6．线性回归方程
b＝______________________________
a＝ ________________， 这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的_________
系数．
1．函数关系与相关关系有何异同点？
问题探究
提示：
关系
异同点 函数关系 相关关系
相同点 两者均是指两个变量之间的关系
关系
异同点 函数关系 相关关系
不同点 是一种确定性的关系 是一种非确定性的关系
是两个变量之间的关系 ①一个为变量，另一个为随机变量；②两个都是随机变量
是一种因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系
是一种理想关系模型 是更为一般的情况
2.如何利用散点图来研究两个变量之间是否存在某种关系？
提示：在研究两个变量之间是否存在某种关系时，结合所画的散点图来判断．
(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．
(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系．
3．回归直线方程的应用有哪些？
提示：(1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系．
(2)利用回归方程进行预测或规定y值的变化，通过控制x的范围来实现目标．如已经得到了空气中NO的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中的NO的浓度．
(3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先作出散点图，确定合适的拟合模型．
4．“回归直线”方程能否按解析几何中求直线方程的方法来求？
提示：不能．求回归直线方程的方法用最小二乘法．因为所有数据点都分布在一条直线附近时，这样的直线可画出许多条，而“回归直线”是这些直线中“最贴近”已知数据点的，但不一定过数据中的某个点，故一般不按解析几何中求直线方程的方法来求．
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画散点图并判断相关关系
考点突破
在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用．由于变量间的相关关系带有不确定性，这就需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，从而作出科学的判断．
下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
例1
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
(1)将上表中的数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？
(3)若近似成线性关系，请画出一条直线来近似表示这种线性关系．
【思路点拨】 以横轴表示施化肥量，纵轴表示水稻产量，作出散点图，若所有点分布在一条直线(或曲线)附近，则水稻产量和施化肥量之间具有相关关系．
【解】 (1)散点图如图所示：
(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系．
但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长．
(3)如上图所示．
【名师点评】 判断两个变量之间是否具有相关关系有两种方法：一种方法是直观感觉判断，这时要用到已有的知识和生活经验等；另一种方法是根据散点图判断．常采用的是第二种方法．一般来说判断两个变量之间是否具有相关关系时，若两个变量具有相关关系，需要进一步判断是线性相关，还是非线性相关．
自我挑战1 某灯泡生产厂家为了提高灯泡的使用寿命，研究灯丝的精细x(mm)与灯泡的使用寿命y(小时)之间的关系，得到如下检测数据：
编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi(mm) 0.100 0.105 0.110 0.115 0.120 0.125 0.130 0.135 0.140 0.145
yi(h) 3170 3210 3350 3400 3300 3450 3370 3500 3510 3620
编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
xi(mm) 0.150 0.155 0.160 0.165 0.170 0.175 0.180 0.185 0.190 0.195
yi(h) 3490 3590 3680 3700 3575 3870 3620 3530 3680 3570
以横轴表示灯丝的精细x(mm)，纵轴表示灯泡的使用寿命y(小时)，根据这些数据作出散点图，并研究它们是否具有一定的相关关系．
解：这组检测数据的散点图，如图所示：
显然，这些点分布在某条直线附近．因此，这两个变量具有一定的相关性．
求回归直线方程
据最小二乘法思想的公式，用待定系数法求出a，b，从而确定回归直线方程．
某化工厂的原料中，有A和B两种有效成分，现随机抽取了10份原料样品进行抽样检测，测得A和B的含量如下表所示：
例2
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34
y 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13
其中x表示成分A的百分含量x%，y表示成分B的百分含量y%.
(1)作出两个变量y与x的散点图；
(2)两个变量y与x是否线性相关？若是线性相关，求出线性回归方程．
【解】 (1)按照y从小到大的顺序调整表中数据(这样有利于描点，如用画图软件则不需要调整表格数据)，
如下表所示：
x 22 34 54 43 39 46 64 58 72 67
y 11 13 15 16 16 17 19 20 23 24
散点图如图所示：
(2)观察散点图可知，y与x是线性相关关系；
下面求线性回归方程：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
xi 22 34 54 43 39 46 64 58 72 67 499
yi 11 13 15 16 16 17 19 20 23 24 174
xi·yi 242 442 810 688 624 782 1216 1160 1656 1608 9228
x 484 1156 2916 1849 1521 2116 4096 3364 5184 4489 27175
【名师点评】 用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤是：(1)把数据列成表格；(2)作散点图；(3)判断是否线性相关；(4)若线性相关，求出系数b，a的值(一般也列成表格的形式，用计算器或计算机计算)；(5)写出回归直线方程y＝a＋bx.
利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程为y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y＝a＋bx0.
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
利用回归方程对总体进行估计
例3
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝a＋bx；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
【解】 (1)由题设所给数据，可得散点图如图．
因此，所求的线性回归方程为y＝0.35＋0.7x.
(3)由(2)的线性回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗约为：
90－(0.35＋0.7×100)＝19.65(吨标准煤)．
【名师点评】 (1)求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系．
(2)求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分步进行，避免因计算产生失误．
(3)得到的实验数据不同，则a、b的结果也不尽相同．
自我挑战2 要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
入学成绩x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76
高一期末成绩y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75
(1)计算入学成绩x与高一期末考试成绩y的相关关系；
(2)若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩；
(3)若事实上该学生期末考试数学为94分，如何解释？
解：(1)从入学成绩x与高一期末考试成绩y两组变量的散点图可以看出，这两组变量具有线性相关关系，
(2)若某学生入学数学成绩为80分，代入上式y＝0.76556x＋22.41067可得：y≈84，即这个学生高一期末数学考试成绩预测值为84分．
(3)用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差．
方法感悟
1．判断两个变量之间的关系是否是相关关系，一方面可根据日常生活的知识和经验进行判断；另一方面是画出散点图，根据散点图观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．
2．画散点图时，平面直角坐标系中两坐标轴的长度单位可以不同．
3．作出散点图后，要观察分析散点图中各点的位置关系，若在一条直线附近波动，则这两个变量具有线性相关关系，否则没有．
4．求线性回归方程的前提是先判定线性相关，这就用到散点图，在确认其具有线性相关关系后，再求其线性回归方程，进而由线性回归方程估计总体的性质．
5．在求线性回归系数时，公式不要求记忆，但要明确公式各部分的含义，才能求出a，b.
知能优化训练
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§4 数据的数字特征
§4
数据的数字特征
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点．
2．重视数据的计算，体会统计思想．
课前自主学案
1．统计图表的作用是：从数据中获取有用的信息，_______________地理解相应的结果．
2．条形统计图的优点是：当数据量很大时更能反映数据分布的大致情况，并且能够清晰地表示出各个区间的_______________
缺点是：条形图损失了数据的部分信息．
温故夯基
直观、准确
具体数目．
3．茎叶图的优点是：①茎叶图上没有信息的损失，所有的_____________都可以从这个茎叶图中得到；②茎叶图可以随时记录，方便表示与比较．
缺点是：当数据量很大时不直观，不清晰．
原始数据
知新益能
位于中间
位于中间两个数的
平均数
出现次数最多
统计量
最大值
最小值
1．如何理解众数、平均数、中位数的异同？
提示：(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．
(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动．
问题探究
(3)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．
(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．
2．如何理解方差与标准差的意义和应用？
提示：(1)引入方差、标准差刻画数据的原因
单从众数、中位数、平均数、最大值、最小值、极差来分析数据，各个数据的波动情形无法更好更全面的体现．
(2)方差、标准差的意义
方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，体现了样本数据到平均数的一种平均距离．
(3)实际应用
方差与原始数据单位不同，平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但实际解决问题时一般采用标准差．
3．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，方差和标准差的大小与数据的波动有何关系？
提示：方差(标准差)越大，波动越大，稳定性越差；方差(标准差)越小，波动越小，稳定性越好．
课堂互动讲练
众数、中位数、平均数的应用
考点突破
众数体现了样本数据最大集中点；中位数是样本数据所占频率的等分线；平均数与每一个样本数据有关．
某企业员工的月工资资料如下(单位：元)：
例1
800 800 800 800 800 1000
1000 1000 1000 1000 1000 1000
1000 1000 1000 1200 1200 1200
1200 1200 1200 1200 1200 1200
1200 1200 1200 1200 1200 1200
1200 1200 1200 1200 1200 1500
1500 1500 1500 1500 1500 1500
2000 2000 2000 2000 2000 2500
2500 2500
(1)计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数；
(2)假如你去这家企业应聘职位，你会如何看待员工的收入情况？
【思路点拨】 (1)根据平均数、中位数和众数的定义可以分别求得；(2)主要根据月工资的平均数来看待员工的收入情况，当然也要考虑中位数和众数．
(2)由于该公司员工月工资的中位数和众数与平均数比较接近，所以主要考虑月工资的平均数1320元作为月工资的代表．
这样以该公司月平均工资1320元与同类企业的工资待遇作比较即可．
【名师点评】 平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据集中趋势最常用的量，中位数可靠性较差，当一组数据中个别数据变动较大时，常用中位数表示数据的集中趋势．而众数求法较简便，也经常被用到．考查一组数据的特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑．
大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大与最小值处，把最高工资作为一个单位工资的评价，这是一种错误的评价方式．
方差、标准差的计算与应用
(2011年白城检测)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：
男：
54,70,57,46,90,58,63,46,85,73,55,66,38,44,56,75,35,58,94,52
女：
77,55,69,58,76,70,77,89,51,52,63,63,69,83,83,65,100,74
(1)请用茎叶图表示上面的数据，并根据图估计男、女生得分的平均数，标准差的大小；
(2)分别计算男、女生得分的平均数、标准差，由此，你能得出什么结论？
例2
【思路点拨】
【解】 (1)用茎叶图表示数据如下：
从茎叶图中可以看出，男生的得分分布主要在茎叶图的上方而且相对较散，女生的得分分布则相对集中在茎叶图的中部．由此，我们可以估计：男生得分的平均数比女生的小，而标准差比女生的大．
(2)男生得分的平均数、标准差分别为60.75、16.0，女生得分的平均数、标准差分别为70.8、12.7.由此可以得出：女生得分较高且比较稳定．
【名师点评】 (1)平均数与方差是重要的数字特征数，是对总体的一种简明的描述，它们反映的情况有着重要的实际意义，从而要掌握其计算公式，为正确分析其含义打下基础．
(2)当两组数据的平均数相同或相近时，用方差或标准差比较它们的波动大小，样本方差或标准差越大，样本数据的波动越大，稳定性越差，反之，样本数据波动就越小，稳定性越好．
自我挑战1 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是(单位：环)：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
统计图表是数据展示的一种方式，而统计量是要用到数据的准确值，从而可知统计量很可能与折线统计图、茎叶图相结合命题考查
甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．
统计量与统计图表的综合运用
例3
(1)请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩稳定；
②从平均数和中位数相结合看，分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，分析谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看，分析谁更有潜力．
【思路点拨】 根据折线统计图得到甲、乙两人各射靶10次的有关数据，按照题意对数据进行适当处理，并选择恰当的平均数及方差公式计算出相应的结果，最后根据结果对问题作出回答．
【解】 (1)观察折线图可得甲射击10次中靶环数分别为：
9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
将它们由小到大重排为：
5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.
乙射击10次中靶环数分别为：
2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
将它们由小到大重排为：
2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
根据以上的分析与计算填表如下：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
【名师点评】 统计图与统计量是从两个方面去分析样本，从而估计总体，是统计学的基础内容，要结合使用．
自我挑战2 某市对上、下班时的交通情况做抽样调查，在上、下班时间各抽取了12辆机动车，行驶时速如下(单位：km/h)：
上班
时间 30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20
下班
时间 27 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30
用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数据的中位数、平均数及众数．
解：根据题意绘出该市上、下班交通情况的茎叶图，如图所示：
方法感悟
知能优化训练
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2．2 变量与赋值
学习目标
1．掌握赋值语句的概念及表示形式．
2．会用变量与赋值语句将具体问题的框图转化为算法语句．
3．体会变量与赋值语句在算法中的重要作用．
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2.2
变量与赋值
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
1．算法框图由_______和________组成．一个或几个程序框的组合表示算法中的一个______，带有方向箭头的________将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．程序框内还有必要的__________.
2．_________是任何一个算法都离不开的一种算法结构；__________中包含一个判断框，根据给定的条件是否成立而选择步骤甲或步骤乙．
程序框
流程线
步骤
流程线
文字说明
顺序结构
选择结构
知新益能
变量与赋值的定义和作用
变量 赋值
定义 在研究问题的过程中可以取_________的量. 在算法中把变量a的值赋予变量b，这个过程称为赋值，记作_____，其中“＝”称为赋值符号．
作用 使算法的表述变得非常简洁、清楚. 赋值在算法中十分重要,当赋予一个变量新值的时候，原来的值将被______取代.
不同数量
b＝a
新值
问题探究
赋值语句的一般格式是什么？应用赋值语句时应注意哪几点？
提示：赋值语句的一般格式为：变量名＝表达式
(1)“表达式”可以是一个数据、常量和算式．如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先算出“＝”右边表达式的值，然后将该值赋给“＝”左边的变量，表达式大体可分为三类：常数、含有其他变量的表达式，含有变量自身的表达式．
(2)赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，例如：x＝3.6是对的，而3.6＝x是错误的．
(3)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量．
(4)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，在赋值语句中的赋值号右边的表达式的
每一个“变量”都必须事先赋给确定的值，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”，如a＝b＝3是错误的．
(5)赋值号左边的变量如果原来没有值，则在执行赋值语句后会获得一个值；如果原来已有值，则在执行赋值语句后，以赋值号右边的表达式的值替代原来的值，即将原来的值“冲掉”．如N＝N＋1的意思是将N的原值再加1后再赋给N，即N的值增加1.
课堂互动讲练
赋值语句的一般格式及含义
考点突破
解决此类问题，应从赋值语句的格式入手，分清数学等式中的“＝”与赋值语句中的“＝”是关键点．
判断下列赋值语句是否正确，为什么？
(1)5＝m；
(2)x＋y＝0；
(3)a＝b＝2；
(4)N＝N2.
【思路点拨】 逐一验证每个“赋值”语句是否符合赋值语句的格式及书写规律，然后下结论．
例1
【解】 (1)不正确．正确语句应是m＝5.因为赋值语句中，赋值号“＝”左端只能是变量，不能是常量．
(2)不正确．赋值语句不能给一个表达式赋值．
(3)不正确．因为在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”．
(4)正确．该赋值语句的功能是把当前变量N的值平方后再赋给变量N.
【名师点评】 赋值语句的几种形式
(1)将常数赋给变量，例如：a＝1
(2)将含有其他变量的表达式赋给变量
例如：a＝1
b＝2a＋1
(3)将含有变量自身的表达式的值赋给变量
例如： i＝2
i＝3i＋1
(4)右边的表达式中既含有变量自身，又含有其他变量
例如： i＝1
S＝0
S＝S＋i
自我挑战1 判断以下赋值号的应用是否正确(其中以下字母均为变量)
(1)y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)；
(2)i＝i＋1；
(3)x＝y y＝x.
解：(1)不正确，因为在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”．
(2)正确，其意义是将变量的值增加1，再赋给变量i.
(3)不正确，x＝y与y＝x意义不一样，x＝y的意义是将变量y的值赋给x；而y＝x是将变量x的值赋给y.
赋值语句不仅可以给变量赋值，还可以进行运算，并且可以对同一个变量重新赋给新的值．
用赋值语句表达算法
用赋值语句写出用公式法求一元二次方程x2－3x＋2＝0的根的算法，并画出算法框图．
例2
【名师点评】 要想学会用赋值语句表达算法，首先应该弄清楚变量与赋值的含义以及赋值的规则．
赋值语句就是将表达式所代表的值赋给变量，在计算机执行赋值语句时，先计算“＝”右边表达式的值，然后把这个值赋给“＝”左边的变量，出题方向常常是对赋值语句写法规则的考查，要求我们从一开始学习赋值语句时，就严格按照正确的规则书写．
解：算法框图如图所示．
赋值语句的综合应用
赋值语句是将表达式的值赋给变量，要加深对赋值语句及赋值号“＝”的理解，要注意赋值语句中变量取的是最后值．
电信公司推出的一种手机通话费方案为：如果全月的通讯时间不超过150分钟，则收固定的通话费15元；如果全月的通讯时间超过150分钟，则在固定的通话费之外，对超过150分钟的部分按每分钟0.30元收费．无论哪种方案都要捆绑一种2元的手机业务．画出计算手机月费的算法框图．
例3
【解】 在通讯时间t≤150时通话费为y＝15；
在t>150时通话费为y＝15＋0.30(t－150)．
算法为：
1．输入t.
2．比较t与150，如果t≤150，
则y＝15.
否则y＝15＋0.30(t－150)．
3．y＝y＋2.
4．输出y.
算法框图如图．
【名师点评】 要编写程序解决某个实际问题时，首先要在实际问题中建立数学模型，再设计算法，可以先画出算法框图以理顺算法中各步骤之间的逻辑关系，然后根据其中逻辑关系选用相应的语句编写程序．
方法感悟
1．在研究问题的过程中可以取不同数值的量称为变量，变量的名称一般由英文字母组成，不同的变量要有不同的变量名．
2．赋值语句的左边是变量名，右边是表达式，表达式可以是常数、含有其他变量的表达式、含有变量自身的表达式．
3．可以把变量想象成一个盒子，赋值就相当于往盒子里放东西，这个盒子可以装不同的数值，但是一次只能装一个，当赋予它新值的时候，原来的值将被新值取代，当变量参与运算操作时，它表示的是想象中盒里装的值．
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§2 古典概型
2．1 古典概型的特征和概率计算公式
2．2 建立概率模型
学习目标
1．通过实例理解古典概型的两个特征及古典概型的定义．
2．掌握古典概型的概率计算公式．
3．能建立概率模型解决一些实际问题，理解概率模型的特点及应用．
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2.2
建立概率模型
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
1.从事件发生的可能性上来分，可分为_________、___________、_________．
2．任一事件的概率的取值范围为_____．
3．对于给定的随机事件A，在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上，这个常数称为事件A的_____，记为P(A)．因此可以用_________来估计概率P(A)．
必然事件
不可能事件
随机事件
[0,1]
概率
频率fn(A)
知新益能
1．古典概型
具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
(1)______ 性：即试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
(2)_______ 性：即每一个试验结果出现的可能性相同．
有限
等可能
几个
基本事件
所有可能结果
基本事件数
列举
问题探究
1．什么是基本事件？其具有什么特点？
提示：(1)基本事件的定义
一次试验中，可能出现的每一个基本结果称为一个基本事件．例如：投掷硬币出现2种结果叫2个基本事件，通常试验中的某一事件A由n个基本事件组成．
(2)基本事件的特点
①任何两个基本事件是不可能同时发生的；
②任何事件都可表示成基本事件的和．
2．怎样计算古典概型的基本事件总数？
提示：计算古典概型中基本事件的总数时，通常利用列举法．列举法就是把所有的基本事件一一列举出来，再逐个数出．
例如：把从4个球中任取两个看成一次试验，那么这次试验共有多少个基本事件？为了表述方便，对这四个球编号为1,2,3,4.把每次取出的两个球的号码写在一个括号内，则有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3),
(2,4)，(3,4)，所以共有6个基本事件．
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基本事件数的计算
考点突破
一次试验连同其可能出现的一种结果称为一个基本事件，一次试验中只能出现一个基本事件．
一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)两只都是白球包含几个基本事件？
【思路点拨】 先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白球的基本事件数．
例1
【解】 (1)法一：采用列举法
分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，有以下基本事件：(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)
(3,5)(4,5)共10个．
法二：采用列表法
设5只球的编号为：a、b、c、d、e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．
a b c d e
a (a，b) (a，c) (a，d) (a，e)
b (b，a) (b，c) (b，d) (b，e)
c (c，a) (c，b) (c，d) (c，e)
d (d，a) (d，b) (d，c) (d，e)
e (e，a) (e，b) (e，c) (e，d)
列表如下：
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件.
(2)法一中“两只都是白球”包括(1,2)(1,3)(2,3)三种.法二中，包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三种．
【名师点评】 求基本事件个数常用列举法、列表法、树图法来解决，并且注意以下几个方面：①用列举法时要注意不重不漏；②用列表法时注意顺序问题；③树图法若是有顺序问题时，只做一个树图然后乘以元素个数．
自我挑战1 甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人(假设每个人得到球的概率相同)，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了三次．
(1)共有多少个基本事件？
(2)第三次仍传回到甲包含几个基本事件？
解：本题可用树状图进行解决，如图可知：
(1)共有27个基本事件．
(2)第三次球传回到甲的手中包含6个基本事件．
判断一个事件是否为古典概型，关键看它是否具备古典概型的两个特征：(1)在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.
古典概型的判定
袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若以球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
例2
【思路点拨】 要判断试验是否为古典概型，只需看该试验中所有可能的结果是否为有限个；每个结果出现的可能性是否相同．
【解】 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件建立的概率模型是古典概型.
【失误点评】 在解答过程中，易出现判断(2)是古典概型的错误，导致这种错误的原因是对古典概型的特征理解不透彻．
自我挑战2 试判断下列随机试验是否为古典概型，并说明理由．
(1)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量；
(2)向地面上扔一颗图钉，观察钉尖朝上还是钉帽朝上．
解：(1)不是古典概型，因为重量可能是495 g与505 g之间的任何一个值，有无限个．
(2)不是古典概型．因为两个结果出现的可能性不均等，事实上，钉尖朝上的概率远远大于钉帽朝上的概率．
古典概型概率的求法
应用古典概型的概率公式求P(A)时的步骤：
(1)判断该试验是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n；(3)算出事件A包含的基本事件的个数m；(4)代入古典概型概率公式求P(A)．
(2010年高考湖南卷)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).
(1)求x，y；
(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．
例3
高 校 相关人数 抽取人数
A 18 x
B 36 2
C 54 y
【名师点评】 在利用古典概型的概率公式求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、更准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．
自我挑战3 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球,从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
解：设4个白球的编号分别为1、2、3、4,2个红球的编号分别为5、6，从袋中的6个球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个．
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第2章 算法初步
课标领航
本章概述
本章从知识内容的安排上有算法与程序框图，基本算法语句．本质上就是以计算机能够实现的算法作为研究内容．
本章的重点是体会算法的思想，理解算法的含义，能用自然语言、程序框图、程序语句正确地表示解决问题的算法．本章的难点是正确分析解决问题的方法，恰当应用三种基本的逻辑结构画出程序框图,准确利用几种基本的算法语句设计出可执行的算法程序，从而顺利解决问题.
学法指导
结合实例，体会算法思想．在学习本章时，从熟知的问题出发，在初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体会程序框图在解决问题中的作用．通过模仿、操作、探索、学会设计程序框图来描述解决问题的过程．掌握将具体实例的程序框图转化为程序语句的过程.
§1 算法的基本思想
学习目标
1．初步感受算法的思想，理解算法的含义．
2．体会设计算法的基本思路，明确算法的特征.
3．掌握有序列插入排序的基本概念，体会有序列插入排序的算法思想．
课堂互动讲练
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§1 算法的基本思想
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
1．初中学过的求解一元二次方程组时消元的方法有___________和___________．
2．二分法求方程解的基本思想是：将方程的有解区间平分为___________，然后判断解在哪个小区间；继续把有解区间_________进行判断，如此周而复始，直到求出满足_____要求的近似解．
代入消元法
加减消元法
两个小区间
一分为二
精度
知新益能
1．算法的含义、性质及作用
2．排序
为了便于____________，常常根据某种要求把被查询的对象用_______________表示出来，并把_____按______排列，是信息处理中一项基本的工作，通常称为排序．
3．有序列
通常称按_____排列的数据列为有序列．
4．有序列插入排序的常见算法
有序列插入排序的常见算法有_______________和_____________，其中_____________的思想与二分法的思想是一致的．
查询和检索
数字(或者符号)
数字
大小
顺序
直接插入排序
折半插入排序
折半插入排序
5．对无序的数据列排序
对一组无序的数据列进行排序时，通常将这组无序的数据列的第一个数据看成一个______________有序列，将第二个数据插入到这个有序列得到一个有序列；然后，将第三个数据插入到上面的有序列中,又得到一个有序列……按照这种方法，直到将最后一个数据插入到有序列中，得到一个有序列，这样实质上就是完成了对______的数据列排序，最后得到的有序列就是对无序的数据列排序的结果．
只有一个数的
无序
问题探究
1．算法与数学问题解法的区别与联系？
提示：(1)联系
算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如，教材中由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤；同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．
2．算法的主要特征有哪些？
(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成了一个有着很强逻辑性的步骤序列.
(4)不唯一性：求解某一个问题的算法不是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决．
3．为什么排序还要设计算法？
提示：由于人类具有主观能动性，将数据a插入有序列{a1，a2，…，an}中时，能很快找到适当的位置，而计算机解决此类问题时，其解决方式不同．计算机每次只能比较两个数据的大小，不能直接“看”出应插在有序列{a1，a2，…，an}的哪个位置，因此要想用计算机解决排序问题必须要设计算法，使得每次仅比较两个数据大小．本节学习直接插入排序法和折半插入排序法就体现了这一点：每次仅比较两个数据的大小.其中折半插入排序法是二分法思想的应用，减少了比较数据大小的次数，减少了资源的浪费，是比较科学的排序算法．
课堂互动讲练
算法的有关概念
考点突破
下列说法正确的是( )
A．算法就是某个问题的解题过程
B．算法执行后可以产生不同的结果
C．解决某一个具体问题时，算法不同，结果不同
D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施
例1
【思路点拨】 利用算法的意义及特征逐一分析验证．
【解析】 选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题，算法不同结果应该相同，否则算法构造的有问题；选项D，算法执行的步骤可以是很多次，但不可以是无限次．
【答案】 B
【名师点评】 算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”，“数学机械化”的最大优点是它可以由计算机来完成．
传统的数学问题的求解过程就是一个具体的算法，只要我们把平时的计算方法严格地按清晰的步骤描述出来，使之条理化即可，如解方程(组)、解不等式(组)、求函数值等一类问题的算法描述．
算法问题的设计
例2
【思路点拨】 二元一次方程组的解法的主要解题思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元方法，下面用加减消元法写出它的求解过程．
【解】 记a1x＋b1y＝c1， ①
a2x＋b2y＝c2. ②
算法步骤如下：
【名师点评】 算法的思维模式是将解题过程程序
化，就是设计为一个可操作的程序，只要按顺序操
作各个步骤就可以完成任务．
设计具体问题的算法应注意的问题：
(1)认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法.
(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤．
(4)用简练的语言将各个步骤表示出来．
自我挑战 写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法.
解：法一：第一步，计算1＋2，得到3.
第二步，将第一步中的运算结果3与3相加，得到6.
第三步，将第二步中的运算结果6与4相加，得到10.
第四步，将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.
第五步，将第四步中的运算结果15与6相加，得到21.
第六步，输出运算结果．
排序问题
直接插入排序法包括有序列直接插入和无序列直接插入，其中以有序列插入排序为基础，对于含有n个数的无序列来说，最多只要进行(n－1)次有序列插入即可完成排序．
折半插入排序法的思想同二分法的思想基本一致，主要寻找“中间数据”，所插数据与中间数据比较得出．
分别用直接插入排序法和折半插入排序法将56插入有序列{1,8,12,36,49,57,68,79}中，写出相应的算法.
【思路点拨】 让56与79、68…从右往左比较下去,直到合适位置即直接插入排序法；先确定数据个数,找到中间数据与56进行比较，然后把剩下数据中间位置数据依次与56比较，直到得到56的位置即折半插入排序法．
例3
【解】 直接插入排序法：
1．56与79比较，56<79,56应在79的左边；
2．56与68比较，56<68,56应在68的左边；
3．56与57比较，56<57,56应在57的左边；
4．56与49比较，56>49,56应在49的右边．
因此将56插入到49与57之间，得到一个新的有序列:
{1,8,12,36,49,56,57,68,79}．
折半插入排序法：
1．将56与中间位置的数36比较，56>36，故56应该在36的右边；
2．将56与剩余的数的中间位置的数57比较，56<57,故56应该在57的左边；
3．再将56与49比较，56>49，故56应该在49与57之间．
由此得插入56后的新的有序列：{1,8,12,36,49,56,57,68,79}．
【名师点评】 两种算法的共同点是每次将新数据与有序列中的数据进行比较；不同点是直接插入排序法总是将数据A与原有序列中的数据从右到左依次进行比较，而折半插入排序法总是将新数据与该有序列中的“中间位置”的数据进行比较.
方法感悟
1．算法实际上就是解决某一类问题的步骤或方法,在解决问题时形成的规律性的东西，按照算法所描述的规则与步骤，一步一步地做，最终便能解决问题．
2．从具体的实例出发理解算法的含义，体验算法的确定性、有序性、有限性、不唯一性和普遍性等特征．在设计算法时要使语言尽量接近计算机能够读懂的语言．
3．算法的基本思想就是我们在分析问题时的想法
由于想法不同，思考问题的角度不同，着眼点不一样，同一问题存在不同算法，算法有优劣之分.
4．从无序列数据排列的方法上来看，有序列插入排序法是解决无序列数据排列问题的基础与关键，这里还要求学生掌握无序数据排序法的思想原理和具体方法，搞清与有序列插入法的联系，做题时看准要求，明确是按从大到小的顺序还是从小到大的顺序进行排序，教材中的有顺序是指从小到大的顺序．将无序列排序除可用直接插入排序法，还可采用冒泡排序，此法步骤可较之直插排序简单的多．
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设计算法框图
设计较简单的算法框图，我们可以通过对问题的分析，建立相应的数学模型或过程模型，进而选择顺序结构、选择结构、循环结构中的一种或几种，画出框图即可．如果设计的框图较为复杂，就要采取“逐步求精”的思想设计框图，先将问题中的简单部分明确出来，再逐步对复杂部分进行细化，然后一步一步逐步向前推进的思想设计框图．
例1
【思路点拨】 由于前后的运算重复了多次相同的运算，所以可采用循环结构．
画法步骤：
(1)画顺序结构图，即起止框及两个处理框，并分别填入循环初始条件(如图中①)；
(2)画循环结构图，先画循环体即两个处理框(一个累加，一个计数)，再画循环终止条件，即判断框并判断i>99，若不成立，则流向循环体进行再循环(如图中②)；
(3)画输出框输出x以及终止框表示算法结束(如图中③)．
算法框图如图：
【名师点评】 循环结构必包含顺序结构和选择结构，所以本题具有一定的典型性和示范性；如累加、累乘等需要反复执行的算法设计中，宜使用循环结构，这时要密切注意“循环体”、“循环变量”和“循环终止条件”三个重要组成部分的框图设计．
算法框图与基本算法语句的互化
算法框图和基本语句是描述算法的两种重要方法．框图用流程线、矩形框、菱形框等描述算法，具有直观、形象的特点，能使我们迅速而准确地认识某一算法；基本语句将自然语言与程序设计语言结合起来描述算法，比画框图省时省力，且更容易转化为程序．
1．根据框图写基本语句
根据框图写基本语句关键在于：
(1)要明确框图的结构(顺序结构、选择结构、循环结构)；
(2)要明确各框图符号的含义；
(3)要明确各结构及框图符号对应的基本语句．
写出如图所示的算法框图描述的算法基本语句．
例2
【解】 用语句描述为：
输入x；
If x>1 Then
y＝x2－1
Else
If x<－1 Then
y＝x2＋1
Else
y＝2x＋1
End If
End If
输出y.
【名师点评】 (1)在本算法中，条件语句中嵌入了另一个条件语句，在每一个语句结束时都要写End If；(2)上述两个语句的先后层次关系，我们用缩进若干空格的办法来体现，从而使算法层次分明，便于检查．
2．根据基本语句画框图
根据基本语句画框图要做到：
(1)要明确基本语句是由哪些关键语句构成(条件语句、循环语句)；
(2)要明确各类语句定义符的含义；
(3)要明确各类语句对应的框图符号．
例3
请阅读下列用For语句给出的算法，画出算法框图并说明该算法的处理功能．
【思路点拨】 由For语句的形式，我们知道i是循环变量，初始值为1，终止值为19，i每次的增量为2，循环体为：S＝S＋i.
【解】 算法的框图如图所示，因此，这个算法实际上处理的是求和S＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19.
【名师点评】 运用For语句首先要明确循环变量，以及循环变量的初始值和终止值，其次要注意循环体．
算法结果的判断
由于学习本章的目的是体会算法的思想，所以已知算法框图或算法语句，判断其结果是高考考查本章知识的主要形式，这也是课程标准和考试说明对本章的要求．其判断方法是具体运行所给的算法框图或算法语句，即可得到算法的结果．
例4
【思路点拨】 根据程序框图(算法流程图)分析出该程序框图的功能进行求解．
【答案】 D
【名师点评】 识别运行算法框图和完善算法框图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确算法框图的顺序结构、选择结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图所解决的实际问题;第三，按照题目的要求完成解答．对算法框图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．
用算法语句编写程序解决实际问题
算法设计和算法框图是程序设计的基础，我们根据算法的三种逻辑结构(顺序结构、选择结构、循环结构)，对应五种不同功能的基本算法语句(输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句)，同时兼顾基本语句的格式要求，特别值得注意的是条件语句中条件的表达和循环语句中有关循环变量的取值范围，从而完成程序设计.
相传古代印度国王舍罕要褒赏他的聪明能干的宰相达依尔(国际象棋发明者)，问他需要什么，达依尔回答说：“国王只要在国际象棋的棋盘第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒麦子，第三个格子里放4粒麦子，以后按此比例放麦子，一直放到第六十四格(国际象棋棋盘是8×8＝64格)，我就感恩不尽，其他我什么也不要了．”国王想：“这有多少？还不容易？”让人扛来一袋小麦，但不到一会儿全用没了，再扛来一袋很快又没有了，
例5
结果全印度的粮食全部用完还不够，国王奇怪，却怎样也算不清这笔账．现在我们用计算机来算一下需要多少体积的小麦(提示：1 m3约有1.42×108粒麦子)．画出算法框图，并用基本语句描述算法．
【思路点拨】 根据题意，第一个格子里放1粒，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，每一格的数量都是前一格的2倍，故第六十四格子里应放263粒，这样一共需要的麦粒数就是1＋2＋22＋…＋263.麦粒数求出后，用它除以1.42×108，就是所需要麦粒的体积．显然这是一个累加求和问题，故可以利用循环结构进行算法设计．
【解】 算法框图如图所示．
用语句描述为：
S＝0
n＝1
For i＝1 To 64
S＝S＋n
n＝2i
Next
V＝S/(1.42*108 )
输出V
【名师点评】 (1)循环结构有两种格式：For语句与Do Loop语句．(2)赋值语句是算法语句必不可少的语句．一定要注意它们各自的格式及要求，尤其是赋值语句，它在算法语句中有重要的应用．特别应掌握引入第三变量，利用三个赋值语句交换两个变量的值的方法．(3)条件语句和循环语句是解决一些较复杂问题的算法语句必须用到的两种语句.在用循环语句时，一是要注意两种格式的循环语句在解决同一问题时，条件的表述不同；二是注意计数变量的取值范围，以免出现多一次循环和少一次循环的错误．
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§3 模拟方法——概率的应用
学习目标
1．初步体会模拟方法在概率方面的应用．
2．理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题．
3．了解古典概型与几何概型的区别与联系．
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
模拟方法——概率的应用
§3
课前自主学案
温故夯基
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
知新益能
几何概型
(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在____________的概率与G1的_____成正比，而与G的_____、_____无关，即
P(点M落在G1)＝___________，
则称这种模型为几何概型．
(2)几何概型中的G也可以是_______或_______的有限区域，相应的概率是_____之比或_____之比.
面积
形状
位置
空间中
直线上
体积
长度
问题探究
如何判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型？
提示：几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个，即有无限个不同的基本事件；二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的．而古典概型的特征是：一是有限性，指在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个结果出现的可能性(概率)是均等的．
因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：
①确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是均等的，如果不均等，那么既不属于古典概型又不属于几何概型；
②如果试验中每个结果出现的可能性均等时，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验的结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型．
课堂互动讲练
与长度有关的几何概型
考点突破
(2011年镇江检测)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．
【思路点拨】 蚂蚁在三角形三边上的任何位置都是一个基本事件，距离三角形的三个顶点超过1的任意点，其基本事件有无限多个，可考虑运用几何概型来计算．
例1
自我挑战1 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不少于1 m的概率有多大？
【名师点评】 解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A包含的基本事件转化为相应线段的长度，进而求解．
与角度有关的几何概型
在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<
AC的概率．
【思路点拨】 AM的长度取决于∠ACM扫过的度数，故该题型是与角度有关的几何概型，只需找出相应考查的区域角及角度大小即可．
例2
【名师点评】 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．
与面积有关的几何概型
例3
【名师点评】 解此类几何概型问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题.
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
互动探究2 如果本例中的圆变为“以(1,1)为中心，边长为1的正方形”，圆心变为“正方形的中心”．
则这个概率是多少？
与体积有关的几何概型
例4
方法感悟
1．几何概型的两个特征：(1)每次试验结果有无限多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；(2)每次试验的各种结果是等可能的．
2．在应用几何概型的概率计算公式求解时，一定要先判断概率的模型是否为几何概型，即判断它是否具备“无限性”和“等可能性”．一般而言，同学们对判断无限性较易掌握，但对于“等可能性”
的判断则难以把握，因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，并注意判断基本事件的等可能性．
3．古典概型与几何概型的主要区别是试验结果是有限个还是无限个．
知能优化训练
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2．3 循环结构
学习目标
1．掌握循环结构的有关概念．
2．理解循环结构的两个基本模式，会用循环结构描述算法．
3．体会循环结构在重复计算中的重要作用．
课堂互动讲练
知能优化训练
2.3
循环结构
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
变量与赋值的定义与作用
知新益能
1．循环结构的有关概念
(1)定义：__________相同操作的结构．
(2)组成：
反复执行
反复执行
开始和结束
是否继续执行循环体
2．用循环体来描述算法
在画出算法框图之前，需要确定三件事：
(1)确定_____变量和_____条件；
(2)确定算法中_________的部分，即_______；
(3)确定循环的_____条件．
循环
初始
反复执行
循环体
终止
3．三种基本结构的比较
名称 特征 作用
顺序结构 完成一个步骤，再进行另一个步骤，即按______完成一组工作
选择结构 根据对______的判断决定下一步工作 体现了数学中__________的思想
循环结构 ______完成一部分工作的算法设计 _________
顺序
条件
重复
分类讨论
简化算法
提示：(1)循环结构如图所示，A是循环
体，P是循环的终止条件，在运行过程
中先执行一次循环体，再对条件进行判
断，如果条件不满足，就继续执行循环
体，当条件满足时终止循环．
(2)循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要选择结构来判断.因此，循环结构中一定包含选择结构,以保证在适当时候终止循环，不允许“死循环”.
问题探究
1．如何理解循环结构？
(3)循环结构只有一个入口和一个出口．
(4)在循环结构中通常都有一个计数变量和累加变量．计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果．计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次．循环结构内不存在无终止的循环．循环结构中几个常用的变量：
计数器：即计数变量，用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1，n＝n＋1.
累加器：即累加变量，用来计算数据之和，如sum＝sum＋i.
累乘器：即累乘变量，用来计算数据之积，如p＝p*i.
对于这些变量，在程序开始，一般要先赋初值，可根据实际问题合理选择初始值，一般情况下，计数器可设初值为0或1，累加器为0，累乘器为1.
2．三种基本结构有何区别与联系？
提示：(1)三种基本结构的共同特点
①只有一个入口．
②只有一个出口．请注意一个菱形判断框有两个出口，而一个选择结构只有一个出口，不要将判断框的出口和选择结构的出口混为一谈．
③结构内的每一部分都有机会被执行到，也就是说每一个框都有一条从入口到出口的路径通过．像图中的A，没有一条从入口到出口的路径通过，它就是不符合要求的算法框图．
④结构内不存在死循环，即无终止的循环．
(2)三种基本结构的联系与区别
①顺序结构是任何一个算法都离不开的基本的、简单的结构．
②选择结构和循环结构的区别是：循环结构具有重复性．选择结构具有选择性，不重复．联系是：循环结构中必定包含选择结构，用以判断循环的条件.
课堂互动讲练
利用循环结构解决累加、累乘问题
考点突破
在解决一些有规律的科学计算问题，尤其是累加、累乘问题时，往往可利用循环结构来实现算法．
例1
画出求1×3×5×…×99的值的算法框图.
【解】 算法如下：
1．S＝1；
2．i＝3；
3．如果i≤99，则执行4，否则执行6；
4．S＝S×i；
5．i＝i＋2；
6．输出S并结束算法．
算法框图如图所示．
自我挑战1 如图所示的是计算22＋42＋62＋…＋1002的值的算法框图，指出算法框图中的错误．并画出正确的算法框图．
解：该算法框图中共有四处错误．第一处
错误，流程线上没有箭头．第二处错误，
第四个图框中的p＝p＋i，应改为p＝p＋i2.
第三处错误，判断框的流程线上没有标明
“是”或“否”的字样，应在向下的流程
线上标注“是”，在向右的流程线上标注
“否”．第四处错误，在第四个图框和判
断框间漏掉了在循环体中起重要作用的框图，内容为i＝i＋2，使程序无法退出循环，应在第四个图框和判断框之间添加图框，内容为i＝i＋2.
正确的算法框图如图所示．
在使用循环结构时，需恰当地设置累乘(加)变量和计数变量；在循环结构中要设置循环终止的条件，在算法框图中不允许出现死循环．
确定循环变量的最值
已知1＋2＋3＋…＋n>10000.试写出寻找满足条件的最小正整数n的算法，并画出相应的算法框图．
例2
【思路点拨】 解答本题可先思考如何设计循环变量及循环体，同时要关注每一次循环后输出的变量的情况．
【解】 算法如下：
1．p＝0；
2．i＝0；
3．i＝i＋1；
4．p＝p＋i；
5．如果p>10000，则执行6，否则执行3,4；
6．输出i.
算法框图如图所示：
循环结构在实际问题中的应用
解决此类问题的关键是读懂题意，建立合适的模型，找到问题的计算公式．
例3
某工厂2005年初有资金1000万元，技术革新后，该厂资金的年增长率为20%，试写出计算该厂2011年年底的资金的算法，并画出流程图．
【思路点拨】 (1)利用资金的年增长率为20%，可得出求资金的规律；(2)利用循环结构，选择年数为计数变量．
【解】 算法如下：
(1)i＝1；
(2)S＝1000；
(3)若i>7成立，则输出S，结束算法，
否则执行第(4)步；
(4)S＝S×(1＋0.2)；
(5)i＝i＋1，返回第(3)步；
(6)输出S.
算法框图如图所示：
【名师点评】 利用循环结构表示算法时，一定要注意在哪一步开始循环，重要的是选择准确的表示累计的变量．
自我挑战2 某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i 1 2 3 4 5 6
三分球个数 a1 a2 a3 a4 a5 a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填_______,输出的s＝________.
解析：图中判断框应填i≤6，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6
答案：i≤6 a1＋a2＋…＋a6
方法感悟
1．画算法框图时应注意的问题
(1)画算法框图时，首先设计算法步骤(自然语言)，再将算法步骤转化为算法框图(图形语言)．如果已经非常熟练掌握了画算法框图的方法，那么可以省略设计算法步骤而直接画出算法框图．
(2)画算法框图时，容易漏掉终端框，其原因是没有掌握画算法框图的规则：任何算法框图必须有终端框，终端框表示算法框图的开始和结束，否则是不完整的．
2．设计某一个算法的算法框图的步骤
(1)用自然语言表述算法步骤；
(2)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的算法框图表示，得到表示该步骤的算法框图；
(3)将所有步骤的算法框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的算法框图．
知能优化训练
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