3.3幂函数学习 同步学案

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幂函数学习同步学案
一．学习目标
在前面学习的函数基本性质的基础上，以一个具体的函数为例，说明函数的性质在解题过程中的运用。
在本节课的学习过程中，应注意掌握幂函数的图像的特征，结合幂函数，，，
、的图象，掌握它们的性质；并能够利用幂函数的性质解决相关问题，如比较大小、解不
等式等问题。
二．基础知识
1．幂函数的概念
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数；
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数，，，、的图象如图所
示：
3．幂函数的性质
定义域
R
R
R
值域
R
R
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
时，增函数时，减函数
增函数
增函数
时，减函数时，减函数
三．思维辨析
1．判断
(1)幂函数的图象都过点
(　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．
(　　)
(3)当幂指数取时，幂函数是增函数．
(　　)
(4)当幂指数时，幂函数在定义域上是减函数．
(　　)
2.已知是幂函数，则(　　)
A．2
B．1
C．3
D．0
3已知幂函数的图象过点，则________.
四．典例分析与性质总结
题型1：幂函数的概念
例1：已知是幂函数，求的值．
总结：判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1。
题型2：幂函数的图象及应用
例2：点与点分别在幂函数的图象上，问当为何值时，有：
(1)；(2)；(3)．
总结：解决幂函数图象问题应把握的两个原则
①依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴，简记为“指大图低”；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴，简记为“指大图高”。
②依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象?类似于
或或来判断。
例3：若四个幂函数、、、在同一坐标系中的图象如图，则的大小关系是(　　)
A．
B．
C．
D．
题型3：幂函数性质的综合应用
例4：1.比较下列各组中幂值的大小：
(1)、；(2)，，
[思路点拨]　构造幂函数，借助其单调性求解．
2.把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
(1)与；
(2)与
总结：比较幂函数值的大小
比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.
例5：函数在区间上的最大值是(　　)
A.
B.
C．4
D．
五．变式演练与提高
1.在函数，，，中，幂函数的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
2.如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为(　　)
A.
B.或
C.
D.或
3.比较下列各题中两个值的大小：
与；与；
4.如图是幂函数与在第一象限内的图象，则(　　)
A.
B.
C.
D.
5.当时，，，，则的大小关系是(　　)
A.
B.
C.
D.
6.(易错题)已知是幂函数，则的值为(　　)
A．4
B．
C．或4
D．3
7.已知幂函数，若，则的取值范围是________．
六．反思总结
①理解1个概念——幂函数的概念
判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合(为常数)的形式。
②掌握1个规律——幂函数图象的变化规律
幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小。
③会用3个性质——幂函数的性质
(1)所有幂函数在上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即.
(2)如果，幂函数在上有意义，且是增函数；
(3)如果，幂函数在处无意义，在上是减函数。
七．课后作业
1.下列函数为幂函数的是(　　)
①；②；③(n为常数)；④；⑤；⑥.
A．①③⑤
B．①②⑤
C．③⑤
D．只有⑤
2.已知是幂函数，则等于(　　)
A.2
B.1
C.
D.0
3.若幂函数在上是减函数，则实数________.
4.函数在区间上的最小值是________．
5.已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
6.(多选题)下列关于幂函数的性质，描述正确的有(　　)
A．当时函数在其定义域上是减函数
B．当时函数图象是一条直线
C．当时函数是偶函数
D．当时函数有一个零点0
八．参考答案
（三．思维辨析）
1.答案(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.解析　
D　[由题意可知，即，∴.]
3.解析　
由可知，即，
∴
（四．典例分析与性质总结）
例1：解析：
由题意得
解得；所以
例2：解析：
设
∵与点分别在幂函数的图象上；∴，
∴分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当时，；
(2)当时，；
(3)当时，．
例3：解析：
令，，，，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以，故选B.
例4：解析：
1.(1)∵函数是增函数，∴.
(2)，
∵在上单调递增，∴。
2.(1)因为幂函数在上是单调递增的，
所以
(2)因为幂函数在上是单调递减的，
所以
例5：解析：
易知在上单调递减，所以当时，函数的最大值是.
答案：C
（五．变式演练与提高）
1.解析：B
∵，∴是幂函数；
由于出现系数2，因此不是幂函数；
是两项和的形式，不是幂函数；
，可以看出，常函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常函数不是幂函数。
2.解析：D
依幂函数概念知
又其图象不过原点，则指数
两者联立解得或
3.解析：
∵在上为减函数，∴
由幂函数的单调性知，又，∴
4.解析：B
在内取，作直线，与各图象有交点，则“点低指数大”；如图，，.
5.解析：D
分别作出的大致图象如图所示，可知．故选D.
6.解析：
易错分析：本题往往忽视条件对的要求而错选C.
解析：由得或.
又∵为幂指数，要使式子有意义需，∴。
7.解析：
因为在定义域上为增函数，
又，
所以，解得；所以
（七．课后作业）
1.解析：
①的系数是而不是1，故不是幂函数；②是指数函数；④的底数是
而不是，故不是幂函数；⑥是两个幂函数和的形式，也不是幂函数；很明显③⑤是
幂函数。
答案：C
2.解析：
因为是幂函数，
所以，，即，则.
答案：A
3.解析：
∵为幂函数，∴，∴或.
当时，在上为增函数，不合题意，舍去；当时，，符合题意。
综上可知，
4.解析：
因为函数在上单调递减，
所以当时，
5.解析：
因为幂函数的图象过点，所以，解得；
因此是偶函数，且在上单调递减；
由，得，解得或.故选B.
答案：B
6.解析：
对于A，时幂函数在和是减函数，在其定义域上不是减函数，A错误；
对于B，时幂函数，其图象是一条直线，去掉点，B错误；
对于C，时幂函数在定义域R上是偶函数，C正确；
对于D，时幂函数在R上为奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D正确．
故选：CD.
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精品试卷·第
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