3.3抛物线 同步学案
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文档简介
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圆锥曲线的应用（003：抛物线的概念与性质）
一．学习目标
高考对抛物线的考查主要有三种形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质；三是考查直线与抛物线的位置关系．从涉及的知识上讲，与平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系，试题多为容易题和中档题。
二．基础知识
1.抛物线的定义
平面内与一定点和一条定直线(不过)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。
点叫作抛物线的焦点，直线叫作抛物线的准线。
2.抛物线定义的理解
抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。
定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为；一个定点，叫做抛物线的焦点；一条定直线，叫做抛物线的准线；一个定值，即点到点的距离和它到直线的距离的比值等于1.
3.抛物线的标准方程
顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为：；
顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程为：；
顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为：；
顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程为：
4.抛物线的几何性质
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
准线
注：的几何意义是焦点到准线的距离.
对于抛物线的标准方程，焦点坐标总是落在一次项未知数所在的坐标轴上，若系数为正，则落在正半轴上；若系数为负，则落在负半轴上。
5.抛物线焦点弦的性质
焦点弦：线段为抛物线的焦点弦，，则
①；
②；
③焦半径；
④弦长；当弦轴时，弦长最短为，此时的弦又叫通径；
⑤弦长(为的倾斜角)．
三．典例分析与性质总结
题型1：抛物线定义的应用
抛物线的定义是解决抛物线问题的基本方法，也是一个捷径，涉及到抛物线的焦半径、焦点弦问题，都可以优先考虑用抛物线的定义进行转化，因此，抛物线的定义是高考考查的重点，并涉及各种题型，以中等难度题居多。
例1：已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为( )
A.
B．1
C.
D.
【方法归纳】
抛物线定义的应用
①利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”；
②注意灵活运用抛物线上一点到焦点的距离或.
题型2：抛物线中距离最值的应用
例2：已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则
的最小值是( )
A．8
B.
C．10
D.
【方法归纳】与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
②将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”原理解决。
例3：已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，求的最小值。
题型3：抛物线性质的应用
在历年高考中对抛物线的性质的考查主要有两类：一是利用抛物线方程研究其几何性质，二是利用抛物线的几何性质求解一些诸如轨迹、距离、最值、参数取值等问题，这类问题着重考查抛物线几何性质的灵活运用。
例4：以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点．已知，，则的焦点到准线的距离为(
)
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
[方法指导] 抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．
题型4：抛物线与其他曲线的综合
例5：已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于
两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则( )
A．1
B.
C．2
D．3
[方法指导] 求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题的思路
根据涉及到抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用相应曲线的定义、标准方程、几何性质，数形结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，逐步求解．
例6：已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴
的交点为，点在抛物线上，且，则点的横坐标为( )
A．
B．3
C．
D．4
四．变式演练与提高
1.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，，则抛物线的方程是( )
A．
B．
C．
D．
2.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，为抛物线的焦点，若
为直角三角形，则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C．2
D．3
3.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为________．
4.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为
，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数________．
5.抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线的方程为(
)
A.
B.
C.
D.
6.已知，抛物线C：的焦点为，线段与抛物线的交点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则________.
五．反思总结
1.用抛物线几何性质的技巧
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性。
2.抛物线焦点弦问题求解策略
求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解。
3.抛物线相关结论的应用
抛物线作为圆锥曲线的一种，其几何性质与结论在解题过程中体现着非常重要的作用，如果能够利用几何结论，则可以提升解题效率与准确度。如下面例题：
过抛物线的焦点作倾斜角为135°的直线交抛物线于两点，则弦的长为( )
A．4
B.
8
C．12
D．16
思路①：抛物线的焦点的坐标为，直线的倾斜角为135°，故直线的方程为，代入抛物线方程，得；设，，则弦的长。
思路②：由题意知，是焦点弦，其长度为
以上对于抛物线的性质的应用，在复习过程中应注意体会。
六．课后作业
1.点到抛物线的准线的距离为2，则的值为
(
)
A.
B.
C.
或
D.
或
2.设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则
(
)
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
3.已知抛物线上有一条长为6的动弦，则的中点到轴的最短距离为
2
.
4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为3，则( )
A．
B．
C．4
D．
5.已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则
( )
A.
B．1
C．2
D．4
6.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若|，且，则此抛物线的方程为________．
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析：
【解析】设的横坐标分别是，由抛物线定义，得，故，结合中位线的基本原理，故线段的中点到轴的距离为.
?
?
例2：解析：
依题意可知焦点，准线为，延长交准线于点，则，
，，
即求的最小值．
因为，又，
所以，故选B.
例3：解析：
如图，过点作垂直准线于，交抛物线于点，则，则有
；
即的最小值为4.
例4：解析：
由题意，不妨设抛物线方程为，由，，可取，，设为坐标原点，由，得，得，故选B。
例5：解析：
由已知得双曲线离心率，得，所以，即.
又双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
所以，于是；
由的面积为可得，
整理解得，解得或(舍去)．
例6：解析：
抛物线的焦点为，准线为，
双曲线的右焦点为，所以，所以，所以，
过作准线的垂线，垂足为，则；
在中，，
设，则，联立，解得.故选B.
（四．变式演练与提高）
1.解析：【答案】 A
由抛物线的定义知，又，所以，所以抛物线的方程是.故选A.
2.解析：【答案】 B
依题意可知抛物线的准线为，焦点为;
由题意得在双曲线上，，解得，
所以；故选B.
3.解析：
由题意知，抛物线的焦点为．点到轴的距离，所以；易知的最小值为点到直线的距离；
故的最小值为，
所以的最小值为.
4.解析：
根据抛物线的焦半径公式得，∴.焦点坐标为，则，
则，取，由题意知，则的斜率为2；
由已知得，解得；同理时，.
5.解析：
设，∵，，∴，
由抛物线定义知，∴，∴，
又的面积为，∴；
解得(舍去)．
∴抛物线的方程为.
6.解析：
由题意得点，根据抛物线的定义(抛物线上的任意一点到准线的距离与到焦点的距离
的比值为1，即相等)得；
又因为为直角三角形且为斜边(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，所以，即点为线段的中点；
由，，知点的坐标为；
因为点在抛物线上，所以，所以或(舍去)．
（六．课后作业）
1.解析：
由题意得，抛物线的方程可化为，∴抛物线的准线方程为.
∵点到抛物线的准线的距离为2，∴，解得或，故选C.
2.解析：
由题意知直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得
，解得或；
不妨设．又抛物线焦点为，∴，．
∴；故选D
3.解析：
由题意知，抛物线的准线：，如图，过作于，过作于，设弦的中点为，过作于；
则，，则，∴，
故到轴的最短距离为.
?
?
4.解析：
由题意可设抛物线方程为．
由得，
∴抛物线方程为.
∴点的坐标为，∴，故选B.
5.解析：
设，，由题意可知，，，
则，联立直线与抛物线方程消去，
得，可知，
故，故选A。
6.解析：
设，，作，垂直准线于点，则，，
又，得，
∴，有.
设，则，∴，
而，，且，
∴，∴.
∴抛物线的方程为.
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精品试卷·第
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圆锥曲线的应用（003：抛物线的概念与性质）
一．学习目标
高考对抛物线的考查主要有三种形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质；三是考查直线与抛物线的位置关系．从涉及的知识上讲，与平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系，试题多为容易题和中档题。
二．基础知识
1.抛物线的定义
平面内与一定点和一条定直线(不过)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。
点叫作抛物线的焦点，直线叫作抛物线的准线。
2.抛物线定义的理解
抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。
定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为；一个定点，叫做抛物线的焦点；一条定直线，叫做抛物线的准线；一个定值，即点到点的距离和它到直线的距离的比值等于1.
3.抛物线的标准方程
顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为：；
顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程为：；
顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为：；
顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程为：
4.抛物线的几何性质
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
准线
注：的几何意义是焦点到准线的距离.
对于抛物线的标准方程，焦点坐标总是落在一次项未知数所在的坐标轴上，若系数为正，则落在正半轴上；若系数为负，则落在负半轴上。
5.抛物线焦点弦的性质
焦点弦：线段为抛物线的焦点弦，，则
①；
②；
③焦半径；
④弦长；当弦轴时，弦长最短为，此时的弦又叫通径；
⑤弦长(为的倾斜角)．
三．典例分析与性质总结
题型1：抛物线定义的应用
抛物线的定义是解决抛物线问题的基本方法，也是一个捷径，涉及到抛物线的焦半径、焦点弦问题，都可以优先考虑用抛物线的定义进行转化，因此，抛物线的定义是高考考查的重点，并涉及各种题型，以中等难度题居多。
例1：已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为( )
A.
B．1
C.
D.
【方法归纳】
抛物线定义的应用
①利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”；
②注意灵活运用抛物线上一点到焦点的距离或.
题型2：抛物线中距离最值的应用
例2：已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则
的最小值是( )
A．8
B.
C．10
D.
【方法归纳】与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
②将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”原理解决。
例3：已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，求的最小值。
题型3：抛物线性质的应用
在历年高考中对抛物线的性质的考查主要有两类：一是利用抛物线方程研究其几何性质，二是利用抛物线的几何性质求解一些诸如轨迹、距离、最值、参数取值等问题，这类问题着重考查抛物线几何性质的灵活运用。
例4：以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点．已知，，则的焦点到准线的距离为(
)
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
[方法指导] 抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．
题型4：抛物线与其他曲线的综合
例5：已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于
两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则( )
A．1
B.
C．2
D．3
[方法指导] 求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题的思路
根据涉及到抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用相应曲线的定义、标准方程、几何性质，数形结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，逐步求解．
例6：已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴
的交点为，点在抛物线上，且，则点的横坐标为( )
A．
B．3
C．
D．4
四．变式演练与提高
1.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，，则抛物线的方程是( )
A．
B．
C．
D．
2.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，为抛物线的焦点，若
为直角三角形，则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C．2
D．3
3.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为________．
4.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为
，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数________．
5.抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线的方程为(
)
A.
B.
C.
D.
6.已知，抛物线C：的焦点为，线段与抛物线的交点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则________.
五．反思总结
1.用抛物线几何性质的技巧
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性。
2.抛物线焦点弦问题求解策略
求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解。
3.抛物线相关结论的应用
抛物线作为圆锥曲线的一种，其几何性质与结论在解题过程中体现着非常重要的作用，如果能够利用几何结论，则可以提升解题效率与准确度。如下面例题：
过抛物线的焦点作倾斜角为135°的直线交抛物线于两点，则弦的长为( )
A．4
B.
8
C．12
D．16
思路①：抛物线的焦点的坐标为，直线的倾斜角为135°，故直线的方程为，代入抛物线方程，得；设，，则弦的长。
思路②：由题意知，是焦点弦，其长度为
以上对于抛物线的性质的应用，在复习过程中应注意体会。
六．课后作业
1.点到抛物线的准线的距离为2，则的值为
(
)
A.
B.
C.
或
D.
或
2.设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则
(
)
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
3.已知抛物线上有一条长为6的动弦，则的中点到轴的最短距离为
2
.
4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为3，则( )
A．
B．
C．4
D．
5.已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则
( )
A.
B．1
C．2
D．4
6.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若|，且，则此抛物线的方程为________．
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析：
【解析】设的横坐标分别是，由抛物线定义，得，故，结合中位线的基本原理，故线段的中点到轴的距离为.
?
?
例2：解析：
依题意可知焦点，准线为，延长交准线于点，则，
，，
即求的最小值．
因为，又，
所以，故选B.
例3：解析：
如图，过点作垂直准线于，交抛物线于点，则，则有
；
即的最小值为4.
例4：解析：
由题意，不妨设抛物线方程为，由，，可取，，设为坐标原点，由，得，得，故选B。
例5：解析：
由已知得双曲线离心率，得，所以，即.
又双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
所以，于是；
由的面积为可得，
整理解得，解得或(舍去)．
例6：解析：
抛物线的焦点为，准线为，
双曲线的右焦点为，所以，所以，所以，
过作准线的垂线，垂足为，则；
在中，，
设，则，联立，解得.故选B.
（四．变式演练与提高）
1.解析：【答案】 A
由抛物线的定义知，又，所以，所以抛物线的方程是.故选A.
2.解析：【答案】 B
依题意可知抛物线的准线为，焦点为;
由题意得在双曲线上，，解得，
所以；故选B.
3.解析：
由题意知，抛物线的焦点为．点到轴的距离，所以；易知的最小值为点到直线的距离；
故的最小值为，
所以的最小值为.
4.解析：
根据抛物线的焦半径公式得，∴.焦点坐标为，则，
则，取，由题意知，则的斜率为2；
由已知得，解得；同理时，.
5.解析：
设，∵，，∴，
由抛物线定义知，∴，∴，
又的面积为，∴；
解得(舍去)．
∴抛物线的方程为.
6.解析：
由题意得点，根据抛物线的定义(抛物线上的任意一点到准线的距离与到焦点的距离
的比值为1，即相等)得；
又因为为直角三角形且为斜边(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，所以，即点为线段的中点；
由，，知点的坐标为；
因为点在抛物线上，所以，所以或(舍去)．
（六．课后作业）
1.解析：
由题意得，抛物线的方程可化为，∴抛物线的准线方程为.
∵点到抛物线的准线的距离为2，∴，解得或，故选C.
2.解析：
由题意知直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得
，解得或；
不妨设．又抛物线焦点为，∴，．
∴；故选D
3.解析：
由题意知，抛物线的准线：，如图，过作于，过作于，设弦的中点为，过作于；
则，，则，∴，
故到轴的最短距离为.
?
?
4.解析：
由题意可设抛物线方程为．
由得，
∴抛物线方程为.
∴点的坐标为，∴，故选B.
5.解析：
设，，由题意可知，，，
则，联立直线与抛物线方程消去，
得，可知，
故，故选A。
6.解析：
设，，作，垂直准线于点，则，，
又，得，
∴，有.
设，则，∴，
而，，且，
∴，∴.
∴抛物线的方程为.
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