章末检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019的否定是( )
A.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019
B.?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
C.?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
D.以上都不对
答案 C
2.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵a≤b≤c，∴a2＋b2＝c2?△ABC为直角三角形，故选C.
答案 C
3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵a＝3?A?B，而A?Ba＝3，∴“a＝3”是“A?B的充分不必要条件”.
答案 B
4.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 令x＝1，y＝－2，满足x>y，但不满足x>|y|；由x>|y|得－x
y成立，故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
答案 C
5.下列命题中的假命题是( )
A.?x∈R，|x|＋1>0
B.?x∈N＋，(x－1)2>0
C.?x∈R，|x|<1
D.?x∈R，＋1＝2
解析 A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题.
答案 B
6.“命题?x∈R，使x2＋ax－4a<0为假命题”是“－16≤a≤0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 依题意得“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”是真命题，故Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选C.
答案 C
7.命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<1}
B.{a|a≤1}
C.{a|a>1}
D.{a|a≥1}
解析 因为綈p是假命题，所以p为真命题，即方程ax2＋2x＋1＝0有实数根.
当a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－，满足条件.当a≠0时，若使方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，即a≤1且a≠0.综上知a≤1.
答案 B
8.在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙
解析 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：
(1)若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；
(2)若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测又正确，与假设矛盾；
(3)若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意，故选A.
答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.对任意实数a，b，c，下列命题中的假命题是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析 a＝b?a－b＝0?(a－b)c＝0?ac＝bc，∴ac＝bc是a＝b的必要条件.
答案 ACD
10.下列命题的否定中是全称量词命题且为真命题的有( )
A.?x∈R，x2－x＋<0
B.所有的正方形都是矩形
C.?x∈R，x2＋2x＋2≤0
D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析 命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题.又D为真命题，故选AC.
答案 AC
11.设全集为U，在下列选项中是B?A的充要条件的有( )
A.A∪B＝A
B.(
?UA)∩B＝?
C.(
?UA)?(
?UB)
D.A∪(?UB)＝U
解析 由Venn图可知，A，B，C，D都是充要条件，故选ABCD.
答案 ABCD
12.不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为( )
A.[－4，－1]
B.[1，4]
C.[－4，－1]∪[1，4]
D.[－4，4]
解析 由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1，或1≤x≤4.∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选AB.
答案 AB
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(本题第一空2分，第二空3分).
(1)每一个矩形的对角线都互相平分；(2)有些集合无真子集；(3)能被8整除的数也能被2整除.
解析 (1)中含有全称量词“每一个”，(3)中陈述的是所有满足条件的数，所以(1)(3)是全称量词命题；(2)中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题.
答案 (1)(3) (2)
14.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_____________________.
解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.
答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
15.已知命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0，若綈p为假命题，则实数m的取值范围为________.
解析 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，则方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＝4－4m≥0，即m≤1.故实数m的取值范围为{m|m≤1}.
答案 {m|m≤1}
16.线段y＝－3x＋m，x∈[－1，1]在x轴下方的一个充分不必要条件是________.
解析 结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，
需
∴∴m<－3.
∴m<－4就是一个使命题成立的充分不必要条件.
答案 m∈(－∞，－4)(答案不唯一)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin
∠A＝cos
∠B.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
18.(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性.
(1)?x∈Z，|x|∈N；
(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；
(3)?x∈R，x＋1≤0；
(4)?x∈R，x2＋2x＋3＝0.
解 (1)?x∈Z，|x|?N，假命题.
(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题.
(3)?x∈R，x＋1>0，假命题.
(4)?x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题.
19.(本小题满分12分)已知命题p：?1≤x≤3，都有m≥x，命题q：?1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围.
解 由题意知命题p，q都是真命题.
由?1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由?1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.
20.(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－证明 (1)充分性：∵－∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，
且－3m>0，
∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根.
(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，
则有解得－综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－21.(本小题满分12分)若p：－2解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.
若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，
且0于是0<－a<2，0即－2所以p是q的必要不充分条件.
22.(本小题满分12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}.
(1)若a＝3，求(?RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，
?RP＝{x|x<4或x>7}，
Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以(?RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}.
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P?Q，
即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}.章末检测卷（七）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1.已知α为第二象限角，且cos
α＝－，则tan
α的值为（ ）
A.－
B.
C.－
D.
解析 ∵α是第二象限角，∴sin
α＝＝，tan
α＝＝－.故选A.
答案 A
2.英国浪漫主义诗人Shelley（雪莱）在《西风颂》结尾写道“If
Winter
comes，can
Spring
be
far
behind？”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气.2019年12月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（ ）
A.
B.
C.－
D.－
解析 由题意可得每一等份为＝，从冬至到次年立春经历了3等份，即·3＝.
答案 A
3.设cos（α＋π）＝，那么sin（2π－α）的值为（ ）
A.－
B.－
C.
D.
解析 cos（α＋π）＝－cos
α＝，故cos
α＝－，π<α<，故sin
α＝－.sin（2π－α）＝－sin
α＝.故选C.
答案 C
4.函数y＝tan的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 函数的解析式为y＝－tan，函数有意义，则x－≠kπ＋（k∈Z），
解得x≠kπ＋（k∈Z），据此可得函数y＝tan的定义域是.故选D.
答案 D
5.下列函数中最小正周期为π的是（ ）
A.y＝tan
B.y＝sin
C.y＝|cos（－x）|
D.y＝|sin
2x|
解析 A中，函数y＝tan的最小正周期为；B中，函数y＝sin的最小正周期为2π；C中，函数y＝|cos
x|的最小正周期为π；D中，函数y＝|sin
2x|的最小正周期为.故选C.
答案 C
6.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2），弧田是由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于2米的弧田，按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积（单位：平方米）为（ ）
A.
B.－
C.－
D.－3
解析 在圆心角为，弦长等于2米的弧田中，半径为2，圆心到弦的距离为，矢＝2－，所以弧田面积＝（弦×矢＋矢2）＝[2×（2－）＋（2－）2]＝－3，故选D.
答案 D
7.已知a＝tan，b＝tan，c＝sin，则有（ ）
A.a>b>c
B.c>b>a
C.c>a>b
D.b>c>a
解析 a＝tan＝－tan<0，b＝tan＝tan＝tanπ>0，c＝sin＝－sin<0，而＝＝>1，c＝sin＝－sin<0?a答案 D
8.为了得到y＝cos的图象，只需将函数y＝sin
2x的图象（ ）
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
解析 将函数y＝sin
2x＝cos的图象向左平移个单位，可得y＝cos＝cos的图象，故选D.
答案 D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分）
9.下列命题中正确的是（ ）
A.若角α是第二象限角，则可能在第三象限
B.cos＋cos＝0
C.若tan
α<0且sin
α>0，则α为第二象限角
D.锐角α终边上一点坐标为P（－cos
2，sin
2），则α＝π－2
解析 对于A，角α是第二象限角，为第一象限角或第三象限角，故A正确.
对于B，cos＋cos＝－sin
α－sin
α＝－2sin
α，故B不正确.
对于C，同时满足tan
α<0且sin
α>0，则α为第二象限角，故C正确.
对于D，因为锐角α终边上一点坐标为P（－cos
2，sin
2），由三角函数定义可得tan
α＝＝－tan
2＝tan（π－2），又因为0<α<，所以α＝π－2，故D正确.
故选ACD.
答案 ACD
10.在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x正半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m<0），则下列各式的值恒大于0的是（ ）
A.
B.cos
α－sin
α
C.sin
αcos
α
D.sin
α＋cos
α
解析 由题意知sin
α<0，cos
α>0，tan
α<0.A中，>0；B中，cos
α－sin
α>0；C中，sin
αcos
α<0；D中，sin
α＋cos
α符号不确定.故选AB.
答案 AB
11.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920年左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：s＝，即等价于现在的s＝hcot
φ，我们称y＝cot
x为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ）
A.函数y＝cot
x的最小正周期为2π
B.函数y＝cot
x关于（π，0）对称
C.函数y＝cot
x在区间（0，π）上单调递减
D.函数y＝tan
x的图象与函数y＝cot
x的图象关于直线x＝对称
解析 y＝cot
x＝＝，画出函数图象，如图所示：
故函数的最小正周期为π，关于（π，0）对称，在区间（0，π）上单调递减.
且函数y＝tan
x的图象与函数y＝cot
x的图象不关于直线x＝对称.故选BC.
答案 BC
12.已知函数f（x）＝sin（3x＋φ）的图象关于直线x＝对称，则（ ）
A.函数f为奇函数
B.函数f（x）在上单调递增
C.若|f（x1）－f（x2）|＝2，则|x1－x2|的最小值为
D.函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝－cos
3x的图象
解析 因为直线x＝是f（x）＝sin（3x＋φ）的对称轴，
所以3·＋φ＝＋kπ（k∈Z），则φ＝－＋kπ（k∈Z），当k＝0时，φ＝－，则f（x）＝sin，对于A，f＝sin＝sin
3x，因为sin（－3x）＝－sin
3x，所以f为奇函数，故A正确；
对于B，－＋2kπ<3x－<＋2kπ（k∈Z），即－＋π3x，故D错误；故选AC.
答案 AC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13.设f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β为非零常数.若f（2
019）＝－1，则f（2
020）＝ Ｗ.
解析 因为f（2
019）＝asin（2
019π＋α）＋bcos（2
019π＋β）＝－asin
α－bcos
β＝－1，
即asin
α＋bcos
β＝1，所以f（2
020）＝asin（2
020π＋α）＋bcos（2
020π＋β）＝asin
α＋bcos
β＝1.
答案 1
14.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，0<φ<，则ω＝ ，sin
φ＝ （本题第一空2分，第二空3分）.
解析 由图知A＝2，T＝2＝π，所以ω＝＝2，f（x）＝2sin（2x＋φ），又f＝2sin（π＋φ）＝－，所以sin
φ＝.
答案 2
15.已知函数f（x）＝sin（0<ω<1）.若函数f（x）的周期是4π，则函数|f（x）|的单调递增区间为 Ｗ.
解析 函数f（x）的周期是4π，所以T＝＝4π，∴ω＝，f（x）＝sin，|f（x）|的周期为2π，由0答案
（k∈Z）
16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图.假定在水流量稳定的情况下，半径为3
m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为
rad/min的匀速圆周运动，平面示意图如图，已知筒车中心O到水面BC的距离为2
m，初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处，且∠P0OA＝（OA∥BC），则8
min后该盛水筒到水面的距离为 m.
解析 根据题意可得8分钟后盛水桶所转过的角为·8＝，除去一圈，－2π＝，所以转8分钟之后P0所转到的位置P满足
∠POA＝＋＝，所以点P到水面的距离d＝2＋3sin＝m.
答案
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知函数f（x）＝＋.
（1）化简f（x）；
（2）若f（α）＝，求sin
αcos
α的值.
解 （1）f（x）＝＋
＝＋
＝－sin
x·＋sin
x＝sin
x－cos
x.
（2）因为f（α）＝，即sin
α－cos
α＝，所以2＝2，
整理得sin2α－2sinαcos
α＋cos2α＝，即2sin
αcos
α＝，∴sin
αcos
α＝.
18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（yP>0），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q，过Q作x轴的垂线交x轴于M.
（1）
求sin
α，tan
α；
（2）求△MOQ的面积S.
解 （1）由已知可得＋y＝1，
∵yP>0，∴yP＝，sin
α＝
，cos
α＝，
tan
α＝＝＝.
（2）因为sin
α＝
，cos
α＝；所以xQ＝cos＝－sin
α＝－.
yQ＝sin＝cos
α＝
，
所以△MOQ的面积S＝|xQ|·|yQ|＝×＝.
19.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2sin＋1.
（1）画出函数在一个周期上的图象；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x），求y＝g在上的值域.
解 （1）（五点法作图）
2x＋
0
π
2π
x
－
f
1
3
1
－1
1
（2）g（x）＝f－1＝2sin＋1－1＝2sin
2x，
则y＝g＝2sin，x∈，所以2x－∈，从而g在上的值域为[－，2].
20.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin
x，x∈R.现有如下两种图象变换方案：
方案1：将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度；
方案2：将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.
请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数g（x）的解析式，并解决如下问题：
（1）画出函数g（x）在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（2）请你研究函数g（x）的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.
解 方案1：将函数f（x）＝sin
x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到y＝sin
2x，再将y＝sin
2x图象向左平移个单位长度得到
y＝sin
2＝sin，
即g（x）＝sin.
方案2：将函数f（x）＝sin
x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin，再将y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到
y＝sin，即g（x）＝sin，
所以无论在何种方案下所得的函数都是
g（x）＝sin，
（1）如图是函数g（x）＝sin在[0，π]这一周期上的图象：
（2）函数g（x）＝sin定义域：R；值域：[－1，1]；周期：T＝＝π；
奇偶性：因为g（0）＝sin＝≠0，±1，所以g（x）不具有奇偶性.
单调性：令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
解得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），
即函数在（k∈Z）上单调递增；
同理可得函数的单调递减区间为（k∈Z）.
21.（本小题满分12分）弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表：
t
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
y
－20.0
－17.8
－10.1
0
10.0
17.7
20.0
17.7
10.0
0
－10.1
－17.8
－20.0
（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；
（2）画出该函数在t∈[0，0.6]的函数图象；
（3）在整个振动过程中，求位移为10
mm时t的取值集合.
解 （1）设函数解析式为y＝Asin（ωt＋φ），t≥0，
由表格可知A＝20，T＝0.6，则ω＝＝＝，
即y＝20sin，
由函数图象过点（0，－20），则－20＝20sin
φ，即sin
φ＝－1，可取φ＝－，
则这个振子的位移关于时间的函数解析式为
y＝20sin，t≥0.
（2）列表：
t
0
0.15
0.3
0.45
0.6
t－
－
0
π
y
－20
0
20
0
－20
由表格数据知y＝20sin，t∈[0，0.6]的图象所下图所示.
（3）由题意得20sin＝10，
即sin＝，
则t－＝＋2k1π，k1∈Z或t－＝＋2k2π，k2∈Z，
化简得t＝＋k1，k1∈Z或t＝＋k2，k2∈Z，
又t∈[0，0.6]，则t为0.2，0.4，
所以在整个振动过程中，位移为10
mm时t的取值集合为{0.2，0.4}.
22.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的某一周期内的对应值如下表：
X
－
f（x）
－1
1
3
1
－1
（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数y＝f（nx）（n>0）的最小正周期为，当x∈时，方程f（nx）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.
解 （1）设f（x）的最小正周期为T，则T＝－＝2π，由T＝得ω＝1.
又由解得
令ω·＋φ＝＋2kπ（k∈Z），
即＋φ＝＋2kπ（k∈Z），解得φ＝－＋2kπ（k∈Z）.
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴f（x）＝2sin＋1.
（2）∵函数y＝f（nx）＝2sin＋1的最小正周期为，且n>0，∴n＝3.
令t＝3x－，∵x∈，
∴t∈，
由2sin
t＋1＝m，得sin
t＝，y＝sin
t的图象如图.
若＝sin
t在上有两个不同的解，则∈，
即≤<1，解得＋1≤m<3，∴方程f（nx）＝m在x∈恰有两个不同的解时，m∈，故实数m的取值范围是.章末检测卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.等于( )
A.3
B.－3
C.±3
D.－27
解析 ＝＝－3.
答案 B
2.若＋有意义，则a的取值范围是( )
A.a≥0
B.a≥1
C.a≥2
D.a∈R
解析 ∵∴a≥1.
答案 B
3.方程2log3x＝的解是( )
A.x＝
B.x＝
C.x＝
D.x＝9
解析 ∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
答案 A
4.化简(x<0，y<0)为( )
A.2x2y
B.2xy
C.4x2y
D.－2x2y
解析 ＝|2x2y|＝－2x2y.
答案 D
5.lg－2lg＋lg＝( )
A.lg
2
B.lg
3
C.lg
4
D.lg
5
解析 原式＝lg－lg＝lg＝lg
2.
答案 A
6.若a>0，a＝，则loga＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为a＝，a>0，所以a＝＝，设loga＝x，所以＝a.所以x＝3.
答案 B
7.计算：＋3log3－lg
5＋，其结果是( )
A.－1
B.1
C.－3
D.3
解析 原式＝＋－lg
5＋＝＋－lg
5＋1－lg
2＝1.
答案 B
8.设a＝log36，b＝log520，则log215＝( )
A.
B.
C.
D.
解析 a＝log36＝1＋log32，b＝log520＝1＋log54＝1＋2log52，
∴log23＝，log25＝，
∴log215＝log23＋log25＝＋＝.
答案 D
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.下列说法不正确的为( )
A.＝a
B.若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
C.＝x＋y
D.＝
解析 A中，n为偶数时，不一定成立，故错误.B中，a2－a＋1＝＋>0，
∴(a2－a＋1)0＝1，正确.C错误.D中，左侧为负，右侧为正，不相等.
答案 ACD
10.下列运算错误的是( )
A.2log10＋log0.25＝2
B.log427·log258·log95＝
C.lg
2＋lg
50＝10
D.log(2＋)(2－)－(log2)2＝－
解析 A中，原式＝log102＋log0.25＝log25＝－2，故A错误.
B中，原式＝··＝××＝，故B错误.
C中，lg
2＋lg
50＝lg
100＝2.故C错误.
D中，原式＝log(2＋)－
＝－1－＝－.
答案 ABC
11.若ab>0，则下列等式中不正确的是( )
A.lg(ab)＝lg
a＋lg
b
B.lg＝lg
a－lg
b
C.lg＝lg
D.lg(ab)＝
解析 A，B成立的条件是a>0，b>0.D成立的前提是ab≠1.C成立.
答案 ABD
12.已知a>0，且a≠1，下列说法不正确的是( )
A.若M＝N，则logaM＝logaN
B.若logaM＝logaN，则M＝N
C.若logaM2＝logaN2，则M＝N
D.若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析 A中，当M＝N<0时无意义；B正确；C中可得M2＝N2，可能M＝－N；D中，当M＝N＝0时，不成立.
答案 ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
解析 原式＝
＝＝.
答案
14.已知2x＝10，则x－log25＝________.
解析 x＝log210，∴x－log25＝log2＝1.
答案 1
15.[(－5)4]＝________，log43·log＝________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 [(－5)4]＝5，log43·log＝·＝·＝.
答案 5
16.＝________(a>0，b>0).
解析 原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1＝.
答案
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)()－(b>0).
解 (1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝＝＝＝＝x－.
(3)原式＝[(b－)]－＝b－××(－)＝b.
18.(本小题满分12分)(1)求值：－(－9.6)0－＋(1.5)－2＋[(－5)4]；
(2)已知a＋a－＝3，求a＋a－的值.
解 (1)原式＝－1－＋＋5
＝－1－＋＋5＝.
(2)由a＋a－＝3，得a＋a－1＝－2＝7，故a＋a－＝＋(a－)3＝(a＋a－)(a－1＋a－1)＝3×(7－1)＝18.
19.(本小题满分12分)计算下列各式的值：
(1)；
(2)log3
·log5[4log210－(3)－7log72].
解 (1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55＝－.
20.(本小题满分12分)计算：
(1)÷100；
(2)(log43)×；
(3)log2.56.25＋lg
0.01＋ln－21＋log23.
解 (1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝×＝×＝×＝.
(3)原式＝log2.52.52＋lg
10－2＋ln
e－2×2log23＝2＋(－2)＋－6＝－.
21.(本小题满分12分)计算：
(1)－＋＋；
(2)lg
500＋lg－lg
64＋50×(lg
2＋lg
5)2.
解 (1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg
5＋lg
102＋lg
23－lg
5－lg
26＋50×(lg
10)2＝lg
5＋2＋3lg
2－lg
5－3lg
2＋50＝52.
22.(本小题满分12分)若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值.
解 原方程可变形为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，设t＝lg
x，则方程变形为2t2－4t＋1＝0，设t1，t2是方程2t2－4t＋1＝0的两个实根，
则t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，
不妨令t1＝lg
a，t2＝lg
b，则lg
a＋lg
b＝2，
lg
a·lg
b＝，
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12.章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.函数的零点
2.零点存在性定理
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
3.函数模型的应用
实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题，
其中建立数学模型是关键.
要点一 函数的零点
函数的零点与方程的根的关系及应用
(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.
【例1】 (1)函数f(x)＝的零点个数是________；
(2)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
解析 (1)①当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－2＝0，解得x＝或x＝－.因为x≤0，所以x＝－.
②法一 (函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln
x.
而f(1)＝2×1－6＋ln
1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln
3＝ln
3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在定理，可得函数f(x)在(1，3)内至少有一个零点.而函数y＝2x－6在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－6＋ln
x在(0，＋∞)上单调递增.故函数f(x)＝2x－6＋ln
x在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f(x)共有2个零点.
法二 (数形结合法)当x>0时，由f(x)＝0，得2x－6＋ln
x＝0，
即ln
x＝6－2x.
如图，分别作出函数y＝ln
x和y＝6－2x的图象.
显然，由图可知两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解.
综上，函数f(x)共有2个零点.
INCLUDEPICTURE"S++212.TIF"
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\
MERGEFORMAT
(2)如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.
当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，
在(m，＋∞)为增函数.
若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m＜|m|.
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.
INCLUDEPICTURE"16W54.TIF"
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\
MERGEFORMAT
答案 (1)2 (2)(3，＋∞)
【训练1】 已知函数f(x)＝x2－3mx＋n(m>0)的两个零点分别为1和2.
(1)求m，n的值；
(2)令g(x)＝，若函数F(x)＝g(2x)－r·2x在x∈[－1，1]上有零点，求实数r的取值范围.
解 (1)由函数f(x)＝x2－3mx＋n(m>0)的两个零点分别为1和2，
可得可得m＝1，n＝2.
(2)由题意得g(x)＝＝x＋－3，函数F(x)＝g(2x)－r·2x在x∈[－1，1]上有零点，即g(2x)－r·2x＝0在x∈[－1，1]有解，即r＝1＋2·－3·在x∈[－1，1]有解，设t＝，当x∈[－1，1]时，可得t∈，
r＝2·t2－3·t＋1，
即r＝2·t2－3·t＋1在t∈有解，
可得r＝2·t2－3·t＋1＝2－，可得－≤r≤3，
故r的取值范围为.
要点二 几个函数模型的比较
(1)一次函数模型
一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快.
【例2】 某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P和Q(万元)，事先根据相关资料得出它们与投入资金x(万元)的数据分别如表和如图所示，其中已知甲的利润模型为P＝ax＋b，乙的利润模型为Q＝b＋axα(a，b，α为参数，且a≠0).
X
20
40
60
80
P
33
36
39
42
(1)请根据如表与如图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金x(万元)的函数模型；
(2)今将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元.设对乙种产品投入资金m(万元)，并设总利润为y(万元)，如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润.
解 (1)由甲表的数据结合模型P＝ax＋b代入两点(20，33)，(40，36)，有得a＝，b＝30，即P＝x＋30，x≥0.
由乙的数据图结合模型Q＝b＋axα代入三个点(0，40)，(36，58)，(100，70)，可得
得a＝3，b＝40，α＝，即Q＝40＋3，x≥0.
(2)根据题意，对乙种产品投资m(万元)，对甲种产品投资(300－m)(万元)，
那么总利润y＝(300－m)＋30＋40＋3＝－m＋3＋115.
由解得75≤m≤225.
令t＝，m∈[75，225]，故t∈[5，15]，则y＝－t2＋3t＋115＝－(t－10)2＋130，
所以当t＝10时，即m＝100时，ymax＝130.
答：当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元.
【训练2】 小王投资1万元、2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元.为了预测投资资金x(万元)与收益y万元)之间的关系，小王选择了甲模型y＝ax2＋bx＋c和乙模型y＝pqx＋r.
(1)根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a，b，c，p，q，r的值；
(2)若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？
解 (1)若选择甲模型y＝ax2＋bx＋c，由题意得
解得
若选择乙模型y＝pqx＋r，由题意得
解得
所以实数a，b，c，p，q，r的值为1，2，1，，，－.
(2)由(1)可得：甲模型为y＝x2＋2x＋1，乙模型为y＝×－，
若选择甲模型，当x＝4时，y＝25；若选择乙模型，当x＝4时，y＝×－＝25.8.25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.
要点三 函数的实际应用
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.
【例3】 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农业合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚投入为x(单位：万元)，每年两大棚的收益为f(x)(单位：万元).
(1)f(50)的值；
(2)试问如何安排甲乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解 (1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，
依题意得?20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180).
令t＝∈[2，6]，
则f(x)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)max＝282.
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.
【训练3】 为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天
1
2
6
市场价y元
5
2
10
(1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系：①一次函数；②二次函数，并求出函数的解析式；
(2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格.
解 (1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，
而模型①为单调函数，不符合意题，
故选择二次函数模型②.
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由表中数据可知
解得
∴f(x)＝x2－6x＋10(x≥0).
(2)由(1)知f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元.
故黑山谷纪念邮票上市第3天时市场价最低，最低的价格为1元.章末检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.>
B.>1
C.a2D.ab解析 利用特值法，令a＝－2，b＝2.
则<，A错误；<0，B错误；
a2＝b2，C错误；ab答案 D
2.不等式<的解集是( )
A.{x|x<2}
B.{x|x>2}
C.{x|0D.{x|x<0或x>2}
解析 由<，得－＝<0，
即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.
答案 D
3.如果二次函数y＝x2－(k＋1)x＋k＋4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.(－∞，－3)∪(5，＋∞)
B.(－∞，－5)∪(3，＋∞)
C.(－3，5)
D.(－5，3)
解析 由Δ＝(k＋1)2－4(k＋4)>0得k2－2k－15>0，
∴k>5或k<－3.
答案 A
4.已知a>0，b>0，且满足＋＝1，则ab的最大值是( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 因为a>0，b>0，且满足＋＝1，
所以1≥2，化为ab≤3，当且仅当a＝，b＝2时取等号，则ab的最大值是3.
答案 B
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aB.v＝
C.D.v＝
解析 设甲、乙两地的距离为s，
则v＝＝.
由于aa，
又＋>2，∴v<.
故a答案 A
6.已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥3m恒成立，则m的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.7
解析 ∵2a＋b＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9(当且仅当a＝b时，取等号).∴3m≤9，即m≤3.
答案 C
7.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A.m>
B.m<
C.m<1
D.m>1
解析 ∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>?Δ＝1－4m<0，
所以“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件，故选A.
答案 A
8.设实数1A.{x|3aB.{x|a2＋2C.{x|3D.{x|3解析 由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵1a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为{x|a2＋2答案 B
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.若<<0，则下列不等式中，正确的不等式有( )
A.a＋bB.|a|>|b|
C.aD.＋>2
解析 ∵<<0，∴b－a>0，则|b|>|a|，故B错误；C显然错误；由于>0，>0，∴＋>2＝2，故D正确.故选AD.
答案 AD
10.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则( )
A.a＝2
B.a＝1
C.b＝5
D.b＝1
解析 y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y≥2－5＝2×3－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
此时a＝2，b＝1.
答案 AD
11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是( )
A.ab≤1
B.＋≤
C.a2＋b2≥2
D.＋≥2
解析 因为ab≤＝1，所以A正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故B不正确；a2＋b2≥＝2，所以C正确；＋＝＝≥2，所以D正确.
答案 ACD
12.下列命题是假命题的是( )
A.不等式>1的解集为{x|x<1}
B.函数y＝x2－2x－8的零点是(－2，0)和(4，0)
C.若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2
D.x2－3x＋2<0是x<2成立的充分不必要条件
解析 由>1得<0，∴解集为(0，1)，故A错误；二次函数的零点是指其图象与x轴交点的横坐标，应为－2和4，故B错误；C
中，≥2，故y＝＋≥2.等号成立的条件为x2＋4＝1，无解，故C错误；D中，由x2－3x＋2<0得1答案 ABC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________.
解析 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.
答案 (－∞，1]∪[9，＋∞)
14.已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，则实数m的取值范围是________.
解析 要满足y＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，
只需即
解得－答案
15.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝160(万元)，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.
答案 20 160
16.若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是________.
解析 依题意有
解得m>4.
答案 (4，＋∞)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)当x>3时，求的最小值.
解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴＝
＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，等号成立，
∴的最小值为24.
18.(本小题满分12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴
解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，
即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式的解集为R，
则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
19.(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解 (1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，
则解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，原不等式的解集为{x|2②当c<2时，原不等式的解集为{x|c③当c＝2时，原不等式无解.
综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2当c<2时，原不等式的解集为{x|c当c＝2时，原不等式的解集为?.
20.(本小题满分12分)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解 (1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1
000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x>25时，a≥＋＋有解.
由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立.
所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
21.(本小题满分12分)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立.
证明 因为a，b，c均为正数，
所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋
≥ab＋bc＋ac＋＋＋＝＋＋≥6.③
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，
当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立.
所以原不等式成立.
22.(本小题满分12分)已知不等式>0(a∈R).
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围.
解 (1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1.
②当a>0时，不等式可化为
(x＋1)>0，
解得x<－1或x>.
③当a<0时，不等式可化为(x＋1)<0.
若<－1，即－1则若＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若>－1，即a<－1，则－1综上所述，当a<－1时，
不等式的解集为；
当a＝－1时，不等式解集为?；
当－1当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；
当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪.
(2)∵当x＝－a时不等式成立，
∴>0，
即－a＋1<0，
∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).章末检测卷(六)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是( )
A.y＝2x2－x＋3
B.y＝
C.y＝x
D.y＝logx
解析 对于y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数.
答案 C
2.函数y＝的定义域为( )
A.[1，＋∞)
B.(1，＋∞)
C.
D.
解析 要使函数有意义，需满足
∴∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞).
答案 A
3.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
解析 ∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.
答案 A
4.函数f(x)＝lg(－1A.(－1，1)
B.(0，0)
C.(1，－1)
D.(1，1)
解析 ∵f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
又－1∴f(x)＝lg的图象关于(0，0)对称.
答案 B
5.已知函数f(x)＝log2|ax－2|(a≠0)的图象关于直线x＝2对称，则函数f(x)图象的大致形状为( )
解析 因为函数f(x)＝log2|ax－2|(a≠0)的图象关于直线x＝2对称，所以f(0)＝f(4)，即log2|0－2|＝log2|4a－2|，得a＝1，所以f(x)＝log2|x－2|，易知f(x)＝log2|x－2|在(2，＋∞)上单调递增，从而排除B，D.又当x＝2时，函数f(x)无意义，所以排除C，故选A.
答案 A
6.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
A.f>f(2－)>f(2－)
B.f>f(2－)>f(2－)
C.f(2－)>f(2－)>f
D.f(2－)>f(2－)>f
解析 因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34).
又因为log34>1>2－>2－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，
所以f(log34)答案 C
7.已知指数函数y＝，当x∈(0，＋∞)时，有y>1，则关于x的不等式loga(x－1)≤loga(6－x)的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵y＝在x∈(0，＋∞)时，有y>1，
∴>1，∴0于是由loga(x－1)≤loga(6－x)，
得解得≤x<6，
∴原不等式的解集为.故选D.
答案 D
8.设a>1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.(2，＋∞)
B.[2，＋∞)
C.(4，＋∞)
D.[4，＋∞)
解析 设u＝ax2－x，由题意知u＝ax2－x在上是增函数，则有≤，即a≥1，于是a>1.
又y＝logau是对数函数，故u＝ax2－x在上恒大于零，即ax2－x>0，∴a>在上恒成立，则a>2.综上知a>2.
答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.若loga2A.0B.0C.a>b>1
D.0解析 若loga2与logb2同号，则由loga2则01，∴D正确.
答案 BCD
10.设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是( )
A.函数的定义域为R
B.函数是增函数
C.函数的图象关于直线x＝对称
D.函数的值域是
解析 由x2－x＋1＝＋>0恒成立，故A正确，函数在上是减函数，在上是增函数，故B错误.
由x2－x＋1＝＋≥，可知函数的值域为，且函数关于x＝对称.
答案 ACD
11.已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足( )
A.f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)
B.f(－2)C.f(2x)＝2f(x)g(x)
D.[f(x)]2－[g(x)]2＝1
解析 f(－x)＝＝－＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，故A正确；
f(x)为增函数，则f(－2)g(－2)，故B正确；
2f(x)·g(x)＝2×·＝2×＝f(2x)，故C正确；
[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]＝ex·(－e－x)＝－1，故D错误.
答案 ABC
12.给出下列结论，其中正确的是( )
A.函数y＝的最大值为
B.已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2)
C.在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称
D.函数y＝x－在(－∞，0)上是增函数
解析 A中，－x2＋1≤1，∴y＝的最小值为.故A错误；
由y＝loga(2－ax)在(0，1)上是减函数，则∴1C中，y＝2x与y＝log2x互为反函数，图象关于y＝x对称.D中，函数y＝x－是偶函数，且在(0，＋∞)上递减，所以在(－∞，0)上是增函数.C、D正确.
答案 CD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；
(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；
(3)在(－∞，0)上是增函数.
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号).
解析 对于函数①f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上是减函数，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.
答案 ②
14.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.
解析 当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.
答案 [0，＋∞)
15.已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________.
解析 因为要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)时，恒有f(x)≥0，所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)时恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b＋1成立即可，解得b≤1.
答案 (－∞，1]
16.已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________；若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 f(f(3))＝f(log3)＝f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝
的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
答案 －2 ∪
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝＋的定义域为A.
(1)求集合A；
(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.
解 (1)要使f(x)有意义，需满足所以
所以≤x≤4，所以集合A＝.
(2)设t＝log2x，因为x∈，所以t∈[－1，2]，
所以y＝t2－2t－1，t∈[－1，2].
因为y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2的对称轴为t＝1∈[－1，2]，
所以当t＝1时，y有最小值－2.
所以当t＝－1时，y有最大值2.
所以当x＝2时，g(x)的最小值为－2.
当x＝时，g(x)的最大值为2.
18.(本小题满分12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小.
解 (1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，∴g(x)＝logax，由g(x)过点，
所以loga2＝，所以a＝2，解得a＝2.
所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.
(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝log20.2<0，
又g(1.5)＝log21.5且g(1.5)＝1og21.5>log21＝0，
所以0所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2).
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)试确定函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的不等式＋－m≥0在区间(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)把(1，6)，(3，24)代入f(x)＝b·ax，得结合a>0，且a≠1，解得∴f(x)＝3×2x.
(2)要使＋≥m在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝＋在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.
∵函数y＝＋在区间(－∞，1]上单调递减，
∴当x＝1时，y＝＋取得最小值，
∴只需m≤即可.
即实数m的取值范围为.
20.(本小题满分12分)函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)若函数y＝f(x)的最小值为－2，求a的值.
解 要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝log(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4].
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝4－＝.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)当x∈(0，1]时，t·f(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围.
解 (1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝＝0，解得a＝2.
∴f(x)＝，经检验，f(x)为奇函数.
(2)由(1)得f(x)＝＝＝1－.
又∵2x>0，∴2x＋1>1，∴0<<2，
∴－1<1－<1，∴函数f(x)的值域为(－1，1).
(3)由(1)可得f(x)＝，当00，
∴当0令m＝2x－1，0易知y＝m－＋1在m∈(0，1]上单调递增，
∴当m＝1时y有最大值0，∴t≥0，
故t的取值范围是[0，＋∞).
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x).
(1)求函数f(x)的定义域，并证明f(x)是定义域上的奇函数；
(2)用定义证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)求不等式f(2x－5)＋f(2－x)<0的解集.
(1)解 由对数函数的定义得得
即－1∴函数f(x)的定义域为(－1，1).
∵f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x)，
∴f(x)是定义域上的奇函数.
(2)证明 设－1则f(x1)－f(x2)＝lg(1＋x1)－lg(1－x1)－lg(1＋x2)＋lg(1－x2)＝lg.
∵－10<1－x2<1－x1，
于是0<<1，0<<1，
则0<<1，∴lg<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)是(－1，1)上的增函数.
(3)解 ∵f(x)在(－1，1)上是增函数且为奇函数，
∴不等式f(2x－5)＋f(2－x)<0可转化为f(2x－5)<－f(2－x)＝f(x－2)，∴
解得2(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.函数f(x)＝x＋ln
x－1的零点为( )
A.(1，0)
B.
1
C.
e
D.
解析 根据零点的定义，代入即可得零点为x＝1，故选B.
答案 B
2.用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算______，以上横线应填的内容依次为( )
A.(0，0.5)，f(0.25)
B.(0，1)，f(0.25)
C.(0.5，1)，f(0.75)
D.(0，0.5)，f(0.125)
解析 ∵f(0)<0，f(0.5)>0，且函数在区间(0，0.5)上连续，可得其中一个零点x0∈(0，0.5)，使得f(x0)＝0，根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算f(0.25).
答案 A
3.函数f(x)＝3kx＋1在(－1，1)上存在零点，则k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
解析 当k＝0时，f(x)＝1，不存在零点；当k≠0时，f(x)是一次函数，必然单调，
故只需f(－1)·f(1)<0即可，(－3k＋1)(3k＋1)<0，解得k∈∪.
答案 D
4.用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如下表所示：
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.812
5
f(x)
－6
3
－2.625
－1.459
－0.14
1.341
8
0.579
3
则当精确到0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为( )
A.1.6
B.1.7
C.1.8
D.1.9
解析 根据表中数据可知f(1.75)＝－0.14<0，f(1.812
5)＝0.579
3>0，由近似解精确到0.1可知1.75≈1.8，1.812
5≈1.8，故方程的一个近似解为1.8，选C.
答案 C
5.某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg
2＝0.301
0)( )
A.6年
B.7年
C.8年
D.9年
解析 依题经过x年后，A产品的年产量为10＝10，B产品的年产量为40＝40.依题意若A产品的年产量会超过B产品的年产量，
则10>40化简得5x>4x＋1，即xlg
5>(x＋1)lg
4，所以x>，又lg
2＝0.301
0，则≈6.206
2，所以至少经过7年A产品的年产量会超过B产品的年产量.故选B.
答案 B
6.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100
℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为
y＝80＋b(a，b为常数),
通常这种热饮在40
℃时口感最佳，某天室温为20
℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
INCLUDEPICTURE"W89.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W89.TIF"
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MERGEFORMAT
A.35
min
B.30
min
C.25
min
D.20
min
解析 由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为
y＝80＋b，
点(5，100)和点(15，60)，代入解析式，
有解得a＝5，b＝20，
故函数的解析式为y＝80＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，∴最少需要的时间为25
min.故选C.
答案 C
7.国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效地控制.通过市场调查，得到猪肉价格在近四个月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
x
8
9
10
11
f(x)
28.00
33.99
36.00
34.02
现有三种函数模型：f(x)＝bx＋a，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计12月份的猪肉市场平均价为( )
A.28
B.25
C.23
D.21
解析 第二组数据近似为(9，34)，第四组数据近似为(11，34)，根据四组数据(8，28)，(9，34)，(10，36)，(11，34)，可得f(x)先增后减，而f(x)＝bx＋a和f(x)＝x＋a
都是单调函数，故不符合要求，所以选f(x)＝ax2＋bx＋c，由第二组数据(9，34)和第四组数据(11，34)，可得f(x)的图象关于x＝10对称，故x＝12时，f(12)＝f(8)＝28.
故选A.
答案 A
8.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是关联函数，[a，b]称为关联区间，若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是关联函数，则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y＝h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点，
故有
∴
∴－答案 B
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点
B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点
C.f(x)在区间(1，2)上可能有零点
D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点
解析 因为f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0所以f(0)·f(1)<0，因为函数f(x)的图象在R上连续不断，由零点存在定理可得f(x)在区间上一定有零点.
又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间上是否有零点.故选AC.
答案 AC
10.已知狄利克雷函数f(x)满足：当x取有理数时，f(x)＝1；当x取无理数时，f(x)＝0.则下列选项成立的是( )
A.f(x)≥0
B.f(x)≤1
C.f(x)－x3＝0有1个实数根
D.f(x)－x3＝0有2个实数根
解析 因为f(x)的值域为，故A、B成立.f(x)－x3＝0只有一个根1，故C成立.故选A、B、C.
答案 ABC
11.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.
横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是( )
A.投资3天以内(含3天)，采用方案一
B.投资4天，不采用方案三
C.投资8天，采用方案二
D.投资12天，采用方案二
解析 若投资3天以内(含3天)，因为每天的回报均是方案一的回报最大，故采用方案一；
投资4天，方案三的总回报是最小的，故不采用该方案；
投资8天，由图可得方案三的每天回报均低于方案二的每天回报，计算可以得到方案一的总回报为320；方案二的总回报为10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80＝360，故采用方案二；投资12天时，采用方案三.故选A、B、C.
答案 ABC
12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.
J.
Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A.f(x)＝2x＋x
B.g(x)＝x2－x－3
C.f(x)＝
D.f(x)＝－x
解析 根据定义可知，若f(x)有不动点，则f(x)＝x有解.
A中，令2x＋x＝x，所以2x＝0，此时无解，故f(x)不是“不动点”函数；
B中，令x2－x－3＝x，所以x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不动点”函数；
C中，当x≤1时，令2x2－1＝x，所以x＝－或x＝1，所以f(x)是“不动点”函数；
D中，令－x＝x，所以x＝±，所以f(x)是“不动点”函数.
答案 BCD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.若函数f(x)＝lnx－＋a在区间(1，e)上存在零点，则常数a的取值范围为________.
解析 函数f(x)＝ln
x－＋a在区间(1，e)上为增函数，∵f(1)＝ln
1－1＋a<0，f(e)＝ln
e－＋a>0，可得－1答案
14.若方程2x＝0.2的解在区间(k∈Z)内，则k的值是________.
解析 令f(x)＝2x－0.2，∵f(－3)＝2－3－0.2<0，f(－2)＝2－2－0.2>0，∴k＝－3.
答案 －3
15.某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10
000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)＝则总利润最大时店面经营天数是________.
解析 设总利润为L(x)，
则L(x)＝
则L(x)＝当0≤x<300时，L(x)max＝10
000，
当x≥300时，L(x)max＝5
000，所以总利润最大时店面经营天数是200.
答案 200
16.将初始温度为0
℃的物体放在室温恒定为30
℃的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次测量得到的物体温度记为tn，t1＝0
℃，已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为k).
(1)给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为________(填写模型对应的序号).
①tn＋1－tn＝；②tn＋1－tn＝k(30－tn)；③tn＋1＝k(30－tn).
(2)在上述模型下，设物体温度从5
℃升到10
℃所需时间为a
min，从10
℃上升到15
℃所需时间为b
min，从15
℃上升到20
℃所需时间为c
min，那么与的大小关系是________(用“>”，“＝”或“<”号填空)(本题第一空2分，第二空3分).
解析 (1)由题意，将第n次测量得到的物体温度记为tn，则两次的体温变化为tn＋1－tn，
又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为k)，所以tn＋1－tn＝k(30－tn)，
(2)当物体温度从5
℃升到10
℃所需时间为a
min，可得10－5＝k(30－5)，可得k＝＝，当物体温度从10
℃上升到15
℃所需时间为b
min，可得15－10＝k(30－10)，可得k＝，
当物体温度从15
℃上升到20
℃所需时间为c
min，可得20－15＝k(30－15)，可得k＝，
可得a＝m，b＝m，c＝m，m>0，
又由－＝＝＝＝>0，
∴与的大小关系是>.
答案 (1)② (2)>
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求f(0)及f的值；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围.
解 (1)f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
f(0)＝0，f＝f(－1)＝f(1)＝－1.
(2)函数f(x)是定义在R上的偶函数，关于x的方程f(x)－m＝0有四个不同的实数解，
只需x>0时，f(x)＝m有两个解，当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
所以－118.(本小题满分12分)设函数f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－的零点.
解 求函数g(x)＝f(x)－的零点，即求方程f(x)－＝0的根.
当x≥1时，由2x－2－＝0得x＝；
当x<1时，由x2－2x－＝0得x＝(舍去)或x＝.
∴函数g(x)＝f(x)－的零点是和.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋x＋1＋a.
(1)若函数y＝f(x)＋x有唯一的零点，求a的值；
(2)设a>0，若对任意的x∈[1，2]，不等式2x≤f(x)恒成立，求a的取值范围.
解 (1)若函数y＝f(x)＋x有唯一的零点，等价于ax2＋2x＋a＋1＝0有唯一实根；
若a＝0，则方程为2x＋1＝0，方程根为－，满足题意；
若a≠0，则Δ＝22－4a(a＋1)＝－4a2－4a＋4＝0，得a＝；
综上，a＝0或a＝；
(2)设a>0，若对任意的x∈[1，2]，不等式2x≤f(x)恒成立等价于ax2－x＋a＋1≥0恒成立，
设g(x)＝ax2－x＋a＋1，
若≤1，即a≥，则g(x)在[1，2]上递增，
所以g(x)min＝g(1)＝2a≥0?a≥；
若1<<2，即所以g(x)min＝g≥0?若≥2，即a≤，则g(x)在[1，2]上递减，所以g(x)min＝g(2)＝5a－1≥0?≤a≤.综上所述，a≥.
20.(本小题满分12分)2018年10月24日世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当20≤x≤220时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值.
解 (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝100，
当20≤x≤220时，设v(x)＝ax＋b，则解得a＝－，b＝110，
∴v(x)＝
(2)由题意，f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)的最大值为f(20)＝2
000，
当20≤x≤220时，f(x)＝－(x－110)2＋6
050，
f(x)的最大值为f(110)＝6
050，
∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6
050辆/时.
21.(本小题满分12分)王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
年份x
2016
2017
2018
2019
包装垃圾y(万吨)
4
6
9
13.5
(1)有下列函数模型：①y＝a·bx－2
016；②y＝asin＋b；③y＝alg(x＋b).(a>0，b>1)试从以上函数模型中选择模型近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；
(2)若不加以控制任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？(参考数据：lg
2＝0.301
0，lg
3＝0.477
1)
解 (1)依题意知函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合，
设y＝a·bx－2
016，将x＝2
016，y＝4和x＝2
017，y＝6代入得解得
故函数模型解析式为y＝4·x－2
016.
经检验，当x＝2
018和x＝2
019时也符合.
综上，y＝4×x－2
016.
(2)令4×x－2
016≥40，解得x－2
016≥10，两边同时取对数得lgx－2
016≥lg
10，(x－2
016)lg≥1，
(x－2
016)≥＝，
∴x≥＋2
016≈2
021.7.
综上，从2022年开始该城市的包装垃圾将超过40万吨.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－3x2(a>0且a≠1)的图象过点，g(x)＝ln
x.若函数F(x)在定义域内存在实数t，使得F(t＋1)＝F(t)＋F(1)成立，则称函数F(x)具有性质M.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数g(x)是否具有性质M？并说明理由；
(3)证明：函数f(x)具有性质M.
(1)解 由题意，函数f(x)＝ax－3x2(a>0，a≠1)的图象过点，
所以f(－1)＝a－1－3(－1)2＝－，解得a＝2.
(2)解 函数g(x)不具有性质M.证明如下：函数g(x)＝ln
x的定义域为(0，＋∞)，
方程g(t＋1)＝g(t)＋g(1)?ln(t＋1)＝ln
t＋ln
1?ln(t＋1)＝ln
t?t＋1＝t，
而方程t＋1＝t无解，所以不存在实数t∈(0，＋∞)，使得g(t＋1)＝g(t)＋g(1)成立，
所以函数g(x)不具有性质M.
(3)证明 由(1)知f(x)＝2x－3x2，定义域为R，方程f(t＋1)＝f(t)＋f(1)?f(t＋1)＝2t＋1－3(t＋1)2＝f(t)＋f(1)＝2t－3t2＋2－3?2t－6t－2＝0，
设G(t)＝2t－6t－2，G(0)＝20－2＝－1<0，G(－1)＝2－1－6×(－1)－2>0，
函数G(t)的图象连续，且G(－1)·G(0)<0，
所以函数G(t)在区间(－1，0)存在零点，
所以存在实数t使得f(t＋1)＝f(t)＋f(1)成立，
所以函数f(x)具有性质M.章末检测卷(五)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.[－1，＋∞)
B.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.[－1，0)∪(0，＋∞)
D.R
解析 解得－1≤x<0或x>0，区间表示为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选C.
答案 C
2.下列函数中与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是( )
A.y＝
B.y＝()2
C.y＝
D.y＝
解析 y＝＝|x|，x∈R；y＝()2＝x，x≥0；y＝＝x，x∈R；y＝＝，x>0，所以选B.
答案 B
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
A.(－3，－1)∪(1，4)
B.(－5，－3)∪(－1，1)
C.(－3，－1)，(1，4)
D.(－5，－3)，(－1，1)
解析 在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4).
答案 C
4.已知函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，则y＝f(x)的单调增区间是( )
A.(－1，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.(2，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以对称轴为直线x＝＝0，解得m＝0.所以f(x)＝x2＋1，所以y＝f(x)的单调增区间是(0，＋∞).
答案 B
5.已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A.x＋1
B.2x－1
C.－x＋1
D.x＋1或－x－1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝x＋2，
∴∴故选A.
答案 A
6.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A.[－4，0)
B.(－∞，－2]
C.[－4，－2]
D.(－∞，0)
解析 ∵f(x)在R上为增函数，
∴需满足
即－4≤a≤－2，故选C.
答案 C
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝x2＋2x，若f(3－2a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－∞，1)
C.(－1，＋∞)
D.(1，＋∞)
解析 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x是增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以由f(3－2a)>f(a)得3－2a>a，解得a<1.
答案 B
8.二次函数f(x)＝ax2＋2a(a≠0)是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为( )
A.gB.g(0)C.gD.g(3)解析 由题意得解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋2，
所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(0)＝g(2).
又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以g所以g答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9.下列说法中正确的有( )
A.若x1，x2∈I，对任意的x1B.函数y＝x2在R上是减函数
C.函数y＝－在定义域上是增函数
D.y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
解析 对于B，在(－∞，0]上是减函数；对于C，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f(－3)>f(5)，故不正确.
答案 AD
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最大值为
B.f(x)在(－1，0)上是增函数
C.f(x)>0的解集为(－1，1)
D.f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
解析 x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，
∴f(x)的最大值为，A正确；f(x)在上是减函数，B错误；f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，x<0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确.故选AD.
答案 AD
11.已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA.有最大值4
B.有最小值－4
C.有最大值3
D.有最小值－3
解析 法一 根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，故选BC.
法二 当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，
故选BC.
答案 BC
12.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A.(－∞，－1)
B.(－3，－1)
C.(0，1)
D.(1，3)
解析 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，
所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1
＝
且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，
所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1).故选BC.
答案 BC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
解析 设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，
则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，
于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，
所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
答案 －10
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2，则函数f(x)＝________，f(－4)＝________(本题第一空3分，第二空2分).
解析 令x<0，则－x>0，∵x>0时，f(x)＝x2＋2，
∴f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2，
又f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2.
当x＝0时，f(x)＝0.
∴f(x)＝
∴f(－4)＝－(－4)2－2＝－18.
答案 －18
15.函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________.
解析 由题意知解得答案
16.已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________.
解析 当x>1时，f(x)＝x2是增函数，若f(x)是R上的增函数，则f(x)＝x－1在(－∞，1]上是增函数，且满足×1－1≤12，因此解得4≤a<8.
答案 [4，8)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)求f(－1)，f，f(4)的值；
(2)求函数的定义域、值域.
解 (1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.
(2)作出图象如图所示.利用数形结合易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.
18.(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值.
解 (1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，
由于f(f(x))＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，
故解得故f(x)＝－3x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，
故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，
当－1当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，
综上，ymax＝
19.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝
(1)若F(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.
解 (1)由已知可知：
解得
则F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，则g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
则g(x)的对称轴为x＝.
由于g(x)在[－2，2]上是单调函数，
故≤－2或≥2，即k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
设任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1，x2∈[1，＋∞)，x11，2x1x2－1>0，x1－x2<0，
所以<0，即f(x1)即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为
f(1)＝1＋＋2＝.
(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).
21.(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)如图已画出函数y＝f(x)在y轴左侧的图象，请补充完整函数y＝f(x)的图象，并根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；
(2)写出函数y＝f(x)的解析式和值域；
(3)若函数y＝f(x)在[a，b](a解 (1)根据偶函数图象关于y轴对称的特点，可知函数y＝f(x)的图象如图所示.
由图象可知函数的单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞).
(2)设x>0，则－x<0，f(－x)＝x2－2x.
∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)＝x2－2x，
∴f(x)＝值域为{y|y≥－1}.
(3)若f(x)＝3，则x＝－3或x＝3.
又f(－1)＝f(1)＝－1，
结合图象可知，当a＝－3，－1≤b≤3时，
函数值域为[－1，3].此时2≤b－a≤6.
当b＝3，－3≤a≤1时，函数值域为[－1，3].
此时，2≤b－a≤6，综上2≤b－a≤6.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解 (1)由题意，得
∴(经检验符合题意)，故f(x)＝.
(2)任取x1，x2∈(－1，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq
\f(x1,1＋x)－eq
\f(x2,1＋x)
＝eq
\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（1＋x）（1＋x）).∵－1∴x1－x2<0，1＋x>0，1＋x>0.
又－10.
∴eq
\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（1＋x）（1＋x）)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1，1)上是增函数.
(3)由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，又f(x)在(－1，1)上为奇函数，∴f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，
∴解得0∴不等式的解集为{t|0章末复习课
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1.函数的零点
2.零点存在性定理
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
3.函数模型的应用
实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题，
其中建立数学模型是关键.
要点一 函数的零点
函数的零点与方程的根的关系及应用
(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.
②法一 (函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln
x.
而f(1)＝2×1－6＋ln
1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln
3＝ln
3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在定理，可得函数f(x)在(1，3)内至少有一个零点.而函数y＝2x－6在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－6＋ln
x在(0，＋∞)上单调递增.故函数f(x)＝2x－6＋ln
x在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f(x)共有2个零点.
法二 (数形结合法)当x>0时，由f(x)＝0，得2x－6＋ln
x＝0，
即ln
x＝6－2x.
如图，分别作出函数y＝ln
x和y＝6－2x的图象.
显然，由图可知两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解.
综上，函数f(x)共有2个零点.
(2)如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，
在(m，＋∞)为增函数.若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m＜|m|.
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.
答案 (1)2 (2)(3，＋∞)
【训练1】 已知函数f(x)＝x2－3mx＋n(m>0)的两个零点分别为1和2.
(1)求m，n的值；
解 (1)由函数f(x)＝x2－3mx＋n(m>0)的两个零点分别为1和2，
要点二 几个函数模型的比较
(1)一次函数模型
一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快.
【例2】 某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P和Q(万元)，事先根据相关资料得出它们与投入资金x(万元)的数据分别如表和如图所示，其中已知甲的利润模型为P＝ax＋b，乙的利润模型为Q＝b＋axα(a，b，α为参数，且a≠0).
(1)请根据如表与如图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金x(万元)的函数模型；
(2)今将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元.设对乙种产品投入资金m(万元)，并设总利润为y(万元)，如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润.
X
20
40
60
80
P
33
36
39
42
(2)根据题意，对乙种产品投资m(万元)，对甲种产品投资(300－m)(万元)，
所以当t＝10时，即m＝100时，ymax＝130.
答：当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元.
【训练2】 小王投资1万元、2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元.为了预测投资资金x(万元)与收益y万元)之间的关系，小王选择了甲模型y＝ax2＋bx＋c和乙模型y＝pqx＋r.
(1)根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a，b，c，p，q，r的值；
(2)若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？
要点三 函数的实际应用
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.
(1)f(50)的值；
(2)试问如何安排甲乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解 (1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
【训练3】 为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
(1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系：①一次函数；②二次函数，并求出函数的解析式；
(2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格.
上市时间x天
1
2
6
市场价y元
5
2
10
解 (1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，
而模型①为单调函数，不符合意题，
故选择二次函数模型②.
∴f(x)＝x2－6x＋10(x≥0).
(2)由(1)知f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元.
故黑山谷纪念邮票上市第3天时市场价最低，最低的价格为1元.