2.2.2 直线的两点式方程
课标要求
素养要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.
通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？
问题 能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？
提示 根据直线上的两点坐标我们可以求出直线的斜率，进而利用上节课中的点斜式方程写出直线方程.
1.直线的两点式方程(y2－y1)(x－x1)＝(x2－x1)(y－y1)可表示过任意两点的直线方程
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝.我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.如果x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程.当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1.
2.直线的截距式方程
涉及到两坐标轴上的截距是倍数关系(包括相等关系，互为相反数关系)时，不要漏掉截距为0的情况
若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1.
我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式.把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.
拓展深化
[微判断]
1.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.(√)
2.方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)适用的范围相同.(×)
提示 方程＝成立的前提是y1≠y2且x1≠x2.
3.过点(1，3)和(1，5)的直线也可以用两点式方程来表示.(×)
提示 因为1－1＝0不能作分母，故不能用两点式来表示.
[微训练]
1.过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
答案 B
2.在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
A.－＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝0
答案 A
3.直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为________.
解析 由方程知直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－5，故4＋(－5)＝－1.
答案 －1
[微思考]
1.截距式方程能否表示过原点的直线？
提示 不能，因为ab≠0，即有两个非零截距.
2.所有的直线都可以用两点式方程来表示吗？
提示 与x轴平行或与y轴平行的直线无法用两点式方程来表示.
题型一 直线的两点式方程
【例1】 已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程.
解 直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为＝，整理，得4x－3y＋5＝0，这就是边AB所在直线的方程.
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直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1.
规律方法 利用两点式求直线方程
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
【训练1】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程.
解 ∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，故AB边所在直线的方程为x＝2.
由A(2，－1)，C(4，1)，
可得直线AC的两点式方程为
＝，
即x－y－3＝0.故AC边所在直线的方程为x－y－3＝0.
同理得直线BC的两点式方程为＝，即x＋2y－6＝0.
故BC边所在直线的方程为x＋2y－6＝0.
题型二 直线的截距式方程
【例2】 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为＋＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点A(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
【迁移1】 若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为＋＝1，又l过点A(－3，－4)，所以＋＝1，解得a＝1.
所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0.
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过(－3，－4)，
所以－4＝k·(－3)，
解得k＝.
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
【迁移2】 若将例2中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
解 (1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
又l过(3，4)，∴＋＝1，解得a＝7，
∴直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为
y＝kx，又l过(3，4)，∴4＝k·3，
解得k＝，所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
规律方法 零截距的重要性：
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况.
【训练2】 过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.无数多条
解析 当截距都为零时满足题意要求，直线方程为y＝－x，
当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，
∴
∴或
即直线方程为＋＝1或＋＝1，
∴满足条件的直线共有3条.故选B.
答案 B
题型三 直线方程的综合应用
【例3】 已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
解 如图，
过B(3，－3)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝，
整理得5x＋3y－6＝0.
这就是BC边所在直线的方程.
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为，
即.过A(－5，0)，M的直线的方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
这就是BC边上中线所在直线的方程.
规律方法 直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距.
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决.
【训练3】 已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0).求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程.
解 (1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线.
因为线段AB，AC的中点坐标分别为，，所以平行于BC边的中位线所在直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为＋＝1.
(2)因为BC边的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为＋＝1.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象及逻辑推理素养.
2.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：
(1)明确直线方程各种形式的适用条件：点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.
(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零.在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.
(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.
二、素养训练
1.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为( )
A.y＝x＋3
B.y＝－x＋1
C.y＝x＋2
D.y＝－x－2
解析 代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3.
答案 A
2.经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 由P，Q两点坐标知直线在x轴、y轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1，即－＝1.
答案 C
3.过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析 当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为＋＝1，把点P(4，－3)代入方程得a＝1.因而所求直线有2条.
答案 B
4.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________.
解析 ①若直线过原点，则k＝－，
∴直线方程为y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，则设直线方程为＋＝1，
即x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，∴直线方程为x＋y＋1＝0.
综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
答案 4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
5.直线l经过点A(－3，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求该直线的方程.
解 当直线经过原点时，符合题意，直线方程为：y＝－x，即4x＋3y＝0.
当直线不经过原点时，设直线方程为：＋＝1，
把点A(－3，4)代入，得
＋＝1，
解得a＝.
∴直线方程为x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.
综上可得直线方程为：4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0.
基础达标
一、选择题
1.经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为( )
A.5x＋3y－25＝0
B.5x－3y－25＝0
C.3x－5y－25＝0
D.5x－3y＋25＝0
解析 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为：
＝，整理，得5x－3y－25＝0.
故选B.
答案 B
2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A.1
B.－1
C.－2或－1
D.－2或1
解析 显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为＋＝1.
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
∴＝2，解得a＝1，故选A.
答案 A
3.直线＋＝1过第一、二、三象限，则( )
A.a>0，b>0
B.a>0，b<0
C.a<0，b>0
D.a<0，b<0
解析 因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.
答案 C
4.经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为( )
A.2
B.－3
C.－27
D.27
解析 由两点式得直线方程为＝，
即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.
答案 D
5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y＋8＝0
C.2x＋y－12＝0
D.2x－y－12＝0
解析 由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.
答案 A
二、填空题
6.已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________.
解析 由于A(2，－1)，B(6，1)，故线段AB中点的坐标为(4，0)，
又直线在y轴上的截距是－3，
∴直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0.
答案 3x－4y－12＝0
7.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l在x轴上的截距是________.
解析 由3x－4y－7＝0知其斜率为，故l的斜率为－，设l的方程为y＝－x＋b，则l在x，y轴上的截距分别为b，b，∴··|b|＝6，∴b＝±4，则直线l在x轴上的截距为3或－3.
答案 3或－3
8.过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________.
解析 当直线过原点时，斜率等于＝，故直线的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，把P(3，2)代入直线的方程得m＝5，
故求得的直线方程为x＋y－5＝0，
综上，满足条件的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
答案 2x－3y＝0或x＋y－5＝0
三、解答题
9.求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.
解 (1)当横截距、纵截距都是零时，
设所求的直线方程为y＝kx，
将(－2，3)代入y＝kx中，得k＝－，
此时，直线方程为y＝－x，
即3x＋2y＝0.
(2)当横截距、纵截距都不是零时，
设所求直线方程式为＋＝1，
将(－2，3)代入所设方程，解得a＝2，
此时，直线方程为x＋2y－4＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y－4＝0或3x＋2y＝0.
10.求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.
解 过A，B两点的直线的两点式方程是＝.
化为点斜式为：y＋1＝－(x－4)，
斜截式为：y＝－x＋，
截距式为：＋＝1.
能力提升
11.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
解析 将两方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.
假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合.
答案 A
12.已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一动点P(x，y)，求xy的最大值.
解 由直线方程的截距式知直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3，当且仅当y＝2时“＝”成立，
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
创新猜想
13.(多选题)下列命题不正确的是( )
A.过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程可以写成＝
B.直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线斜率为－1
C.若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
解析 当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成＝，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误.
答案 ABD
14.(多选题)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围可以是( )
A.
B.
C.
D.
解析 设直线
的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l在x轴的截距为
－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪.
答案 BD(共33张PPT)
2.2.2 直线的两点式方程
课标要求
素养要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.
2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.
通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？
问题 能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？
提示 根据直线上的两点坐标我们可以求出直线的斜率，进而利用上节课中的点斜式方程写出直线方程.
1.直线的两点式方程
(y2－y1)(x－x1)＝(x2－x1)(y－y1)可表示过任意两点的直线方程
x＝x1
y＝y1
2.直线的截距式方程
涉及到两坐标轴上的截距是倍数关系(包括相等关系，互为相反数关系)时，不要漏掉截距为0的情况
a
b
拓展深化
[微判断]
1.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.(
)
3.过点(1，3)和(1，5)的直线也可以用两点式方程来表示.(
)
提示 因为1－1＝0不能作分母，故不能用两点式来表示.
√
×
×
[微训练]
1.过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是( )
答案 B
2.在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
答案 A
解析 由方程知直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－5，故4＋(－5)＝－1.
答案 －1
[微思考]
1.截距式方程能否表示过原点的直线？
提示 不能，因为ab≠0，即有两个非零截距.
2.所有的直线都可以用两点式方程来表示吗？
提示 与x轴平行或与y轴平行的直线无法用两点式方程来表示.
题型一 直线的两点式方程
【例1】 已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程.
直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1.
规律方法 利用两点式求直线方程
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
【训练1】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程.
解 ∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，故AB边所在直线的方程为x＝2.
由A(2，－1)，C(4，1)，
即x－y－3＝0.故AC边所在直线的方程为x－y－3＝0.
故BC边所在直线的方程为x＋2y－6＝0.
题型二 直线的截距式方程
【例2】 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
即x－y＋1＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
【迁移1】 若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过(－3，－4)，
所以－4＝k·(－3)，
所以直线l的方程为4x－3y＝0.综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
【迁移2】 若将例2中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
(2)当截距为0时，设直线l的方程为
y＝kx，又l过(3，4)，∴4＝k·3，
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
规律方法 零截距的重要性：
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况.
【训练2】 过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.无数多条
∴满足条件的直线共有3条.故选B.
答案 B
题型三 直线方程的综合应用
【例3】 已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
整理得5x＋3y－6＝0.
这就是BC边所在直线的方程.
这就是BC边上中线所在直线的方程.
规律方法 直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距.
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决.
【训练3】 已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0).求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程.
解 (1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象及逻辑推理素养.
2.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：
(1)明确直线方程各种形式的适用条件：点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.
(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零.在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.
(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.
二、素养训练
1.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为( )
A.y＝x＋3
B.y＝－x＋1
C.y＝x＋2
D.y＝－x－2
答案 A
2.经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是( )
答案 C
3.过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案 B
4.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________.
即x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，∴直线方程为x＋y＋1＝0.
综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
答案 4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
5.直线l经过点A(－3，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求该直线的方程.
∴直线方程为x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.
综上可得直线方程为：4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0.
