(共34张PPT)
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
课标要求
素养要求
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式.
通过求解两直线的交点坐标及两点间的距离，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁.假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程.
问题 把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？
提示 分别求出两导弹飞行路线所在的直线方程，联立解方程组即可求出交点坐标.
1.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
交点
(2)两直线的位置关系
无解
无数个
相交
平行
2.两点间的距离公式
两点间的距离公式非常重要，请同学们一定要牢记
条件
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
结论
________________________________
特例
点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝________________________________
3.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤
拓展深化
[微判断]
1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(
)
2.无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.(
)
√
×
[微训练]
1.直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为( )
A.(3，－5)
B.(－3，5)
C.(3，5)
D.(－3，－5)
答案 C
2.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为( )
解析 ∵点A关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，
由光的反射理论可知，
此即为光线从A到B的距离.
答案 C
[微思考]
1.平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？
提示 无关.在计算公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果.
3.当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点间距离公式还适用吗？
提示 适用.当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.
题型一 两直线的交点问题
【例1】 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
∵直线过坐标原点，
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
法二 ∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，
∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
规律方法 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：
(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解.
(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.
【训练1】 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
即4x＋3y－6＝0.
法二 ∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
∵l与l3垂直，
∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，
∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解 (1)设点P的坐标为(x，0)，则有
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.
规律方法 平面上两点间的距离公式的应用类型
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【训练2】 (1)已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.
(2)已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形.
(1)解 设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，
所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).
∴|AC|＝|BC|.又∵点A，B，C不共线，∴△ABC是等腰三角形.
题型三 坐标法的应用
【例3】 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
证明 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.
设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，
则|AB|＝|c|.
又由中点坐标公式，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
规律方法 用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.
【训练3】 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).
故|AC|＝|BD|.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养.
3.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.
二、素养训练
答案 B
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
2.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0
D.2x－y＋8＝0
答案 A
解析 由两点间的距离公式，
答案 D
4.不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________.
解析 由直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0变形为m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，
∴该直线过定点(0，1).
答案 (0，1)
5.已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，
试分别确定m，n的值，使：
(1)l1与l2相交于一点P(m，1)；
(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；
(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.
(2)∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
课标要求
素养要求
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.探索并掌握平面上两点间的距离公式.
通过求解两直线的交点坐标及两点间的距离，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养.
新知探究
中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁.假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程.
问题 把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？
提示 分别求出两导弹飞行路线所在的直线方程，联立解方程组即可求出交点坐标.
1.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
2.两点间的距离公式
两点间的距离公式非常重要，请同学们一定要牢记
条件
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
结论
|P1P2|＝
特例
点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝
3.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤
→→
拓展深化
[微判断]
1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(√)
2.无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.(×)
提示 当m＝时两直线平行.
[微训练]
1.直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为( )
A.(3，－5)
B.(－3，5)
C.(3，5)
D.(－3，－5)
解析 由解得故交点为(3，5).
答案 C
2.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为( )
A.5
B.2
C.5
D.10
解析 ∵点A关于x轴的对称点为
A′(－3，－5)，
∴|A′B|＝＝5，
由光的反射理论可知，
此即为光线从A到B的距离.
答案 C
[微思考]
1.平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？
提示 无关.在计算公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果.
2.式子的几何意义是什么？
提示 式子＝表示平面上的点(x，y)到原点的距离.
3.当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点间距离公式还适用吗？
提示 适用.当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.
题型一 两直线的交点问题
【例1】 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
解 法一 由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2).
∵直线过坐标原点，
∴其斜率k＝＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
法二 ∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，
∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
规律方法 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：
(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解.
(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.
【训练1】 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
解 法一 由方程组
得即P(0，2).
∵l⊥l3，l3的斜率为，∴kl＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
法二 ∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
∵l与l3垂直，
∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，
∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
题型二 两点间距离公式的应用
【例2】 (1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状.
解 (1)设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
|PA|＝＝.
(2)法一 ∵|AB|＝＝2，
|AC|＝
＝2，
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"RJ3-29.TIF"
\
MERGEFORMAT
又|BC|＝
＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二 ∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.
规律方法 平面上两点间的距离公式的应用类型
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【训练2】 (1)已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.
(2)已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形.
(1)解 设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，
得＝10，解得：x＝11或x＝－5.
所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).
(2)证明 ∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
|BC|＝＝2，
∴|AC|＝|BC|.
又∵点A，B，C不共线，
∴△ABC是等腰三角形.
题型三 坐标法的应用
【例3】 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
证明 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.
INCLUDEPICTURE"B489.TIF"
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"B489.TIF"
\
MERGEFORMAT
设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，
则|AB|＝|c|.
又由中点坐标公式，
得D，E，
∴|DE|＝＝||，
∴|DE|＝|AB|，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
规律方法 用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.
【训练3】 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).
INCLUDEPICTURE"RJ3-30.TIF"
INCLUDEPICTURE
"RJ3-30.TIF"
\
MERGEFORMAT
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养.
2.方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).
3.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.
4.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.
二、素养训练
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由得故交点为.
答案 B
2.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0
D.2x－y＋8＝0
解析 联立解得∴交点坐标为(1，6).由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
答案 A
3.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则的值为( )
A.
B.
C.3
D.2
解析 由两点间的距离公式，
得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，故＝＝2.
答案 D
4.不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________.
解析 由直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0变形为m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，
由解得
∴该直线过定点(0，1).
答案 (0，1)
5.已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，
试分别确定m，n的值，使：
(1)l1与l2相交于一点P(m，1)；
(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；
(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.
解 (1)由于l1与l2相交于一点P(m，1)，故把点P(m，1)代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0，2m＋m－1＝0，联立解得m＝，n＝－.
(2)∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，
∴解得或
(3)由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1，
得解得
基础达标
一、选择题
1.直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是( )
A.
B.－
C.2
D.－2
解析 由方程组得直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入直线x＋ky＝0得k＝－.
答案 B
2.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程是( )
A.19x－9y＝0
B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0
D.3x＋19y＝0
解析 由方程组
解得
∴两直线的交点为，
∴所求直线的斜率为＝－，
∴所求直线的方程为y＝－x，
即3x＋19y＝0.
答案 D
3.以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
解析 ∵|AB|＝＝＝
＝2，
|BC|＝＝＝
＝4，
|AC|＝＝＝2，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形.故选C.
答案 C
4.当0A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 由方程组
得两直线的交点坐标为.
因为00，
所以交点在第二象限.
答案 B
5.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A.恒过定点(－2，3)
B.恒过定点(2，3)
C.恒过点(－2，3)和点(2，3)
D.都是平行直线
解析 (a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，
由得
答案 A
二、填空题
6.过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________.
解析 由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以|AB|＝＝.
答案
7.三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.
解析 由解得
把(4，－2)代入直线ax＋2y＋8＝0，可得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.
答案 －1
8.若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.
解析 由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝＝，
∴最小值为＝.
答案
三、解答题
9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.
解 由方程组
解得所以交点坐标为.
又因为所求直线斜率为k＝－，
所以所求直线方程为y＋＝－，即27x＋54y＋37＝0.
10.已知0解 由题意知直线
l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝×(2k2＋2－2)×4＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8(0＜k＜4)，故四边形面积最小时，k＝.
能力提升
11.已知△ABC的三顶点A(3，8)，B(－11，3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________.
解析 由两点间距离公式得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝.∵|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形，∴D为BC的中点，由中点坐标公式易得
D.∴|AD|＝＝.
答案
12.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程.
解 当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得即B.
由|AB|＝＝5，
解得k＝－，
∴直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1，
此时，与l1的交点为(1，4)也满足题意.
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
创新猜想
13.(多选题)两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0
的交点在y轴上，那么k的值可以是( )
A.－24
B.－6
C.6
D.24
解析 联立两条直线的方程，得
解得x＝.
∵两直线的交点在y轴上，
∴＝0，
∴k＝±6(经检验知符合题意).
答案 BC
14.(多填题)已知两点A(2，3)，B(4，1)，P为直线l：x＋2y－2＝0上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________，|PA|－|PB|的最大值为________________.
解析 如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1，y1).
则有
解得故A′.
由平面几何知识可知，当点P为直线A′B与直线l的交点时，|PA|＋|PB|最小，此时|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|＝＝.
由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，|PA|－|PB|最大，此时|PA|－|PB|＝|AB|.故|PA|－|PB|的最大值为|AB|＝＝2.
答案 2
