2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课标要求
素养要求
1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.
通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
新知探究
在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
问题 点P到直线的距离是指哪个线段的长度？
提示 点P到直线的距离是过P作直线的垂线，垂线段的长度即为点到直线的距离.
1.点到直线的距离运用点到直线的距离公式时，一定要将直线方程化为一般式方程
(1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝.
可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立.
2.两条平行直线间的距离
运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同
(1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝.
拓展深化
[微判断]
1.点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(×)
提示 点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为d＝，即先将直线方程化为一般式后再运用点到直线的距离公式.
2.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(√)
3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(√)
[微训练]
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A.1
B.
C.2
D.
解析 d＝＝.
答案 D
2.两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0间的距离等于( )
A.
B.
C.5
D.
解析 d＝＝.
答案 A
[微思考]
1.若点P(x0，y0)到直线l1：y＝a与l2：x＝b的距离分别为d1，d2，那么d1，d2如何求？
提示 d1＝|y0－a|，d2＝|x0－b|.
2.两条平行直线间的距离公式写成d＝时对两条直线应有什么要求？
提示 两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等.
题型一 点到直线的距离
【例1】 求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程.
解 法一 由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意.
过点P(1，2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意.
故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
法二 显然所求直线的斜率存在，
设直线方程为y＝kx＋b，
根据条件得
化简得或
所以或
所以所求直线l的方程为：
y＝－4x＋6或y＝－x＋，
即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
规律方法 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离.
【训练1】 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )
A.
B.2－
C.－1
D.＋1
解析 由点到直线的距离公式得：＝＝1，∴|a＋1|＝.
∵a>0，
∴a＝－1.故选C.
答案 C
题型二 两平行线间的距离
【例2】 (1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离；
(2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程.
解 (1)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0，∴d＝＝＝.
(2)由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2).
由直线l与两条平行线的距离相等，
得＝，
即|C－4|＝|C＋2|，
解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
规律方法 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式.若直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2(b1≠b2)，则d＝；若直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0且C1≠C2)，则d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数分别对应相等.
【训练2】 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程.
解 (1)设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0(C≠6)，
由两平行直线间的距离公式，得2＝，
解得C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
(2)依题意得，两直线的斜率都存在，
设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
因为l1与l2的距离为5，
所以＝5，解得k＝0或.
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
题型三 利用距离公式解决最值问题
【例3】 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解 (1)如图，
当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3；
当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0＜d≤3，
即所求的d的取值范围是
(0，3].
(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，
它们的斜率k＝－＝
－＝－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝
－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
规律方法 通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围.
【训练3】 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程.
解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在的直线方程为y＝x.
由解得
∴点P的坐标为(2，2).
(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，
∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
2.对点到直线的距离公式的两点说明
(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离.
(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根.
特别提醒 在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式.
3.对两条平行直线间的距离的两点说明
(1)可以转化为一条直线上的点到另一条直线的距离.这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).
(2)除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d＝.
二、素养训练
1.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A.1
B.－1
C.
D.±
解析 由题意知＝1，
即|a|＝，∴a＝±.
答案 D
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
由平行线间的距离公式得d＝＝.
答案 C
3.点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )
A.(7，＋∞)
B.(－∞，－3)
C.(－∞，－3)∪(7，＋∞)
D.(－3，7)
解析 由题意得>3，即|3a－6|>15.故3a－6>15或3a－6<－15，即a>7或a<－3.
答案 C
4.已知两点A(－3，－2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________.
解析 ∵两点A(－3，－2)，B(－1，4)到直线l：x＋ay＋1＝0的距离相等，
∴＝，化为|2a＋2|＝|4a|.
∴2a＋2＝±4a，
解得a＝1或－.
答案 1或－
5.已知直线l到直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________.
解析 由题意设直线l的方程为2x－y＋C＝0(C≠3且C≠－1)，
则＝，
解得C＝1，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0
基础达标
一、选择题
1.点(2，5)到直线y＝2x的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析 直线y＝2x可化为2x－y＝0，由点到直线的距离公式得＝＝.
答案 A
2.直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为( )
A.3x－y－13＝0
B.3x－y＋13＝0
C.3x＋y－13＝0
D.3x＋y＋13＝0
解析 由题意知直线l与AB垂直，且过A点，
∴kl·kAB＝－1，
又∵kAB＝＝，
∴kl＝－3，
∴l的方程为y－4＝－3(x－3)，
即3x＋y－13＝0.
答案 C
3.两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A.0B.0C.0D.3≤d≤5
解析 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0答案 B
4.(多选题)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可以为( )
A.2x＋y＝0
B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y－2＝0
D.2x＋y＋2＝0
解析 根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋C＝0(C≠1)，因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，解得C＝0或C＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
答案 AD
5.点P(2，3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为( )
A.3，－3
B.5，2
C.5，1
D.7，1
解析 直线ax＋(a－1)y＋3＝0恒过点A(－3，3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为|AP|＝5，此时因为kAP＝0，故直线ax＋(a－1)y＋3＝0的斜率不存在，所以a＝1.故选C.
答案 C
二、填空题
6.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________.
解析 由x2＋y2的实际意义可知，它表示直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，
所以(x2＋y2)min＝＝8.
答案 8
7.经过点P(－3，4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________.
解析 (1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，
原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.
由原点到直线l的距离d＝＝3，解得k＝－.
所以直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
答案 x＝－3或7x＋24y－75＝0
8.在坐标平面内，与点(1，2)的距离为1，且与点B(3，1)的距离为2的直线共有________条.
解析 由题意可知，所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
∴d1＝＝1，
d2＝＝2，两式联立，解得或故所求直线共有两条.
答案 2
三、解答题
9.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.
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解 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得·＝4，
∴b2＝9，∴b＝±3.又b>1，∴b＝3.
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
10.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.
解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∵点A(5，0)到l的距离为3，
∴＝3.
即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝，
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得所以交点P的坐标为(2，1)，如图，
过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|
(当l⊥PA时等号成立).
∴dmax＝|PA|＝.
能力提升
11.已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 设点C(t，t2).由题意知直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式，得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个.
答案 A
12.已知实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，求式子S＝的最小值.
解 法一 ∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1，1)距离的平方，
即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)距离的平方.
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即
|MN|min＝d＝＝.
法二 ∵x＋y＋1＝0，∴y＝－x－1，
∴S＝
＝＝
，∴x＝－时，Smin＝＝.
创新猜想
13.(多选题)已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为( )
A.(－1，0)
B.
C.(1，6)
D.
解析 由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x，3x＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x＝－1或x＝.故点C坐标为(－1，0)或.
答案 AB
14.(多填题)若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________，此时直线l1与l2之间的距离为________.
解析 ∵直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，∴－＝3，∴m＝－，
故直线l1：6x－2y＋3＝0，直线l2：6x－2y－2＝0.
则直线l1与l2之间的距离为＝.
答案 － (共33张PPT)
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课标要求
素养要求
1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.
2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.
通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
新知探究
在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
问题 点P到直线的距离是指哪个线段的长度？
提示 点P到直线的距离是过P作直线的垂线，垂线段的长度即为点到直线的距离.
1.点到直线的距离
运用点到直线的距离公式时，一定要将直线方程化为一般式方程
(1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是___________.
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝
__________________.
可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立.
垂足
2.两条平行直线间的距离
运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同
(1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的____________
的长.
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，
C1≠C2)之间的距离d＝___________.
公垂线段
拓展深化
[微判断]
2.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(
)
3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(
)
×
√
√
[微训练]
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
答案 D
2.两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0间的距离等于( )
答案 A
[微思考]
1.若点P(x0，y0)到直线l1：y＝a与l2：x＝b的距离分别为d1，d2，那么d1，d2如何求？
提示 d1＝|y0－a|，d2＝|x0－b|.
提示 两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等.
题型一 点到直线的距离
【例1】 求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程.
解 法一 由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意.
故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
法二 显然所求直线的斜率存在，
设直线方程为y＝kx＋b，
即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
所以所求直线l的方程为：
规律方法 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离.
【训练1】 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )
答案 C
题型二 两平行线间的距离
【例2】 (1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离；
(2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程.
(2)由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2).
由直线l与两条平行线的距离相等，
即|C－4|＝|C＋2|，
解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
【训练2】 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程.
解 (1)设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0(C≠6)，
解得C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
(2)依题意得，两直线的斜率都存在，设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
因为l1与l2的距离为5，
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
题型三 利用距离公式解决最值问题
【例3】 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝
－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
规律方法 通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围.
【训练3】 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程.
解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在的直线方程为y＝x.
∴点P的坐标为(2，2).
(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，
即x＋2y－5＝0.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
2.对点到直线的距离公式的两点说明
(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离.
(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根.
特别提醒 在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式.
3.对两条平行直线间的距离的两点说明
(1)可以转化为一条直线上的点到另一条直线的距离.这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).
二、素养训练
1.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
答案 D
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于( )
答案 C
3.点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )
A.(7，＋∞)
B.(－∞，－3)
C.(－∞，－3)∪(7，＋∞)
D.(－3，7)
答案 C
4.已知两点A(－3，－2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________.
解析 ∵两点A(－3，－2)，B(－1，4)到直线l：x＋ay＋1＝0的距离相等，
∴2a＋2＝±4a，
5.已知直线l到直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________.
解析 由题意设直线l的方程为2x－y＋C＝0(C≠3且C≠－1)，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0
