2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
课标要求
素养要求
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2.会根据已知条件求圆的标准方程.
通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养.
新知探究
古今中外都有很多的圆形建筑，如中国的北京天坛、罗马的圆形竞技场等.如何在平面直角坐标系中研究圆的方程和性质呢？
前面我们已经学过直线方程的概念、直线斜率及直线方程的常见表达式，我们知道了关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样的表达式呢？这节课让我们一起来学习最常见的曲线方程——圆的标准方程.
问题 在平面直角坐标系中如何确定一个圆？
提示 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.
1.圆的定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
2.圆的标准方程
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径
3.点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内.判断点与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：
若|CM|＝r，则点M在圆上；
若|CM|>r，则点M在圆外；
若|CM|
(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：
点M(m，n)在圆C上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2；
点M(m，n)在圆C外?(m－a)2＋(n－b)2>r2；
点M(m，n)在圆C内?(m－a)2＋(n－b)2拓展深化
[微判断]
1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.(×)
提示 当m＝0时，该方程表示点(a，b).
2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(√)
3.圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1，2)，半径是4.(×)
提示 圆心坐标为(－1，－2)，半径为2.
[微训练]
1.经过点(2，2)，圆心为C(1，1)的圆的方程是( )
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B.(x－1)2＋(y－1)2＝2
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝
D.(x－1)2＋(y－1)2＝
解析 圆的半径长r＝＝，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案 B
2.点P(1，3)与以A(2，－1)为圆心，半径为5的圆的位置关系为( )
A.在圆上
B.在圆内
C.在圆外
D.无法确定
解析 ∵|PA|＝＝<5，∴点P在圆内.
答案 B
[微思考]
1.点A(1，1)，B(－4，0)，C(，)与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|与圆的半径r＝2是什么关系？
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提示 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
2.若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝c2，则此圆的半径一定等于c吗？
提示 不一定，圆的半径应为|c|.
题型一 求圆的标准方程
角度1 直接法求圆的标准方程
【例1－1】 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.
(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________________.
解析 (1)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)，
由题意知，＝，解得a＝2，∴C(2，0)，
则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3.
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案 (1)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 (2)(x－2)2＋y2＝9
角度2 待定系数法求圆的标准方程
【例1－2】 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解 法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二 (直接法)
由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线方程为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
规律方法 1.用直接法求圆的标准方程的策略
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.
2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
【训练1】 求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)；
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(3)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程.
解 (1)圆心为C(4，－1)，
半径r＝＝，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
(2)设圆心为C(0，b)，∴r＝＝5，
∴(4＋b)2＝16＝42，∴4＋b＝4或4＋b＝－4，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)设圆心为M(a，0)，∵|MC|＝|MD|，
∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，
即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，
∴a＝2，r＝|MC|＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
题型二 点与圆的位置关系的判断
【例2】 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，
∴a的取值范围是∪(0，＋∞).
规律方法 判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内?(x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
【训练2】 已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )
A.点P在圆C内
B.点P在圆C外
C.点P在圆C上
D.无法确定
解析 由题意，a＋b＝1，ab＝－，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，
∴点P在圆C内，故选A.
答案 A
题型三 与圆有关的最值问题
【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
解 (1)由已知，得C(3，0)，r＝＝2，
∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2)圆心C到直线x－y＋1＝0的距离
d＝＝2.
∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.
规律方法 一般地，求圆上的点到定点或定直线的距离的最值问题，常转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决，充分体现了转化与化归的数学思想.
【训练3】 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.
解 设P(x，y)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25即|CO|＝5，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2，即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34，
最大值为2×36＋2＝74.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
3.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.
二、素养训练
1.圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析 圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案 D
2.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在( )
A.圆内
B.圆外
C.圆上
D.圆上或圆外
解析 由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a，1)，则原点与圆心的距离为.∵0＜a＜1，
∴＞＝r，即原点在圆外.
答案 B
3.已知两点P(4，0)，Q(0，2)，则以线段PQ为直径的圆的方程是( )
A.(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
B.(x－2)2＋(y－1)2＝10
C.(x－2)2＋(y－1)2＝5
D.(x＋2)2＋(y＋1)2＝10
解析 ∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为(2，1)，
半径r＝＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.故选C.
答案 C
4.点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是________.
解析 由圆的方程x2＋y2＝24，得
圆心为原点O(0，0)，半径r＝2.
点P与圆心O的距离d＝＝.
∵m4≥0，∴>2.
∴点P在圆外.
答案 在圆外
5.求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程.
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件可得
(1－a)2＋(－1－b)2＝r2，①
(－1－a)2＋(1－b)2＝r2，②
a＋b－2＝0，③
联立①，②，③，解得a＝1，b＝1，r＝2.
所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
基础达标
一、选择题
1.圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是( )
A.(1，)
B.(－1，)
C.(1，－)
D.(－1，－)
解析 由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－).
答案 C
2.圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为( )
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析 将O(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得.
答案 D
3.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A.x＋y－2＝0
B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0
D.x－y＋3＝0
解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式，得直线l的方程为y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
答案 D
4.若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 圆的圆心为(－a，－b).∵直线经过一、二、四象限，∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0，∴圆心在第四象限.
答案 D
5.点(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，1)
B.
C.
D.
解析 依题意有(5a)2＋144a2<1，得169a2<1，所以a2<，即－答案 D
二、填空题
6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________.
解析 |AB|＝＝10，则r＝5，AB的中点坐标为，即(2，0)，则圆心为(2，0).故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.
答案 (x－2)2＋y2＝25
7.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是________.
解析 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案 (x－2)2＋(y＋3)2＝25
8.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________.
解析 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1，1)，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为＋1.
答案 ＋1
三、解答题
9.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程.
解 法一 设点C为圆心，
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a).
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴
＝，解得a＝－2.
∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二 设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由条件知解得
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
10.一个等腰三角形ABC底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B(－3，0)和C(3，0)，求它的外接圆的方程.
解 (1)当点A的坐标是(0，4)时(如图①)，kAB＝，线段AB的中点坐标是，线段AB的垂直平分线的方程是y－2＝－，即y＝－x＋.
令x＝0，则y＝.
所以圆心的坐标是，半径长为4－＝，
此时所求外接圆的方程是x2＋＝.
(2)当点A的坐标是(0，－4)时(如图②)，kAB＝－，线段AB的中点坐标是，线段AB的垂直平分线的方程是y＋2＝，即y＝x－.
令x＝0，则y＝－.
所以圆心的坐标是，半径长为4－＝，此时所求外接圆的方程是x2＋＝.
综上，所求外接圆的方程是x2＋＝或x2＋＝.
能力提升
11.直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2，6]
B.[4，8]
C.[，3]
D.[2，3]
解析 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以(|AB|·(d－r))≤S△ABP≤|AB|·(d＋r)，即2≤S△ABP≤6.故选A.
答案 A
12.已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值.
解 因为S＝
＝，
又点(x，y)在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，即S表示圆上的动点到定点(－1，1)的距离，如图所示，显然当动点、定点(－1，1)和圆心(1，0)共线时取得最值，且最小值为－1＝－1，
所以S＝的最小值为－1.
创新猜想
13.(多填题)若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则的最小值为________，最大值为________.
解析 由几何意义可知最小值为14－＝1，最大值为14＋＝27.
答案 1 27
14.(多填题)已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为________；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为________.
解析 由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2，2)，半径为2，
所以圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.
设(－2，2)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b).
则有解得
故所求圆的圆心为(0，0)，半径为2.
所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝4.
答案 (x＋2)2＋(y－2)2＝4 x2＋y2＝4(共33张PPT)
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
课标要求
素养要求
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.
2.会根据已知条件求圆的标准方程.
通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养.
新知探究
古今中外都有很多的圆形建筑，如中国的北京天坛、罗马的圆形竞技场等.如何在平面直角坐标系中研究圆的方程和性质呢？
前面我们已经学过直线方程的概念、直线斜率及直线方程的常见表达式，我们知道了关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样的表达式呢？这节课让我们一起来学习最常见的曲线方程——圆的标准方程.
问题 在平面直角坐标系中如何确定一个圆？
提示 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.
1.圆的定义
圆是平面上到定点的距离等于___________的点的集合.
定长
2.圆的标准方程
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
3.点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内.判断点与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：
若|CM|＝r，则点M在________；
若|CM|>r，则点M在________；
若|CM|圆上
圆外
圆内
(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：
点M(m，n)在________?(m－a)2＋(n－b)2＝r2；
点M(m，n)在________?(m－a)2＋(n－b)2>r2；
点M(m，n)在________?(m－a)2＋(n－b)2圆C上
圆C外
圆C内
拓展深化
[微判断]
1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.(
)
提示 当m＝0时，该方程表示点(a，b).
2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(
)
3.圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1，2)，半径是4.(
)
提示 圆心坐标为(－1，－2)，半径为2.
×
√
×
[微训练]
1.经过点(2，2)，圆心为C(1，1)的圆的方程是( )
答案 B
2.点P(1，3)与以A(2，－1)为圆心，半径为5的圆的位置关系为( )
A.在圆上
B.在圆内
C.在圆外
D.无法确定
答案 B
提示 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
2.若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝c2，则此圆的半径一定等于c吗？
提示 不一定，圆的半径应为|c|.
题型一 求圆的标准方程
角度1 直接法求圆的标准方程
【例1－1】 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.
解析 (1)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案 (1)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 (2)(x－2)2＋y2＝9
角度2 待定系数法求圆的标准方程
【例1－2】 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解 法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二 (直接法)
由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线方程为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
即圆心坐标为(4，－3)，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
规律方法 1.用直接法求圆的标准方程的策略
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.
2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
【训练1】 求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)；
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(3)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程.
解 (1)圆心为C(4，－1)，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
∴(4＋b)2＝16＝42，∴4＋b＝4或4＋b＝－4，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)设圆心为M(a，0)，∵|MC|＝|MD|，
∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，
即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
题型二 点与圆的位置关系的判断
【例2】 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
规律方法 判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内?(x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
答案 A
A.点P在圆C内
B.点P在圆C外
C.点P在圆C上
D.无法确定
题型三 与圆有关的最值问题
【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
规律方法 一般地，求圆上的点到定点或定直线的距离的最值问题，常转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决，充分体现了转化与化归的数学思想.
【训练3】 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.
解 设P(x，y)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25即|CO|＝5，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2，即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34，
最大值为2×36＋2＝74.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
3.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.
二、素养训练
1.圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
2.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在( )
A.圆内
B.圆外
C.圆上
D.圆上或圆外
答案 B
3.已知两点P(4，0)，Q(0，2)，则以线段PQ为直径的圆的方程是( )
A.(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
B.(x－2)2＋(y－1)2＝10
C.(x－2)2＋(y－1)2＝5
D.(x＋2)2＋(y＋1)2＝10
答案 C
4.点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是________.
∴点P在圆外.
答案 在圆外
5.求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程.
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件可得
(1－a)2＋(－1－b)2＝r2，①
(－1－a)2＋(1－b)2＝r2，②
a＋b－2＝0，③
联立①，②，③，解得a＝1，b＝1，r＝2.
所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.