(共38张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
课标要求
素养要求
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程.
通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色.万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽.”圆是完美的图形，这节课我们继续学面直角坐标系下有关圆的知识.
问题 一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若是圆，它的圆心坐标和半径分别是什么？
1.圆的一般方程的定义
圆的一般方程中有三个待定系数D，E，F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就明确了
D2＋E2－4F>0
D2＋E2－4F<0
2.用待定系数法求圆的方程的大致步骤
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
拓展深化
[微判断]
1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(
)
2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(
)
提示 当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程.
3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(
)
√
×
√
[微训练]
1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A.(2，3)
B.(－2，3)
C.(－2，－3)
D.(2，－3)
答案 D
2.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是( )
A.以(a，b)为圆心的圆
B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b)
D.点(－a，－b)
答案 D
3.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.
答案 4
[微思考]
1.若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？
提示 x2＋y2＋F＝0(F<0).
2.若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
提示 ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.
题型一 圆的一般方程的概念
【例1】 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0，
规律方法 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.
特别提醒 在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数.
【训练1】 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________；
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.
解析 (1)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
∴该圆的面积为9π.
由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，
题型二 求圆的一般方程
【例2】 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程.
解 设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
规律方法 待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.
(3)解此方程组，求出D，E，F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
【训练2】 已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.
解 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
解 设点M的坐标是(x，y)，
角度2 代入法求轨迹方程
【例3－2】 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
解 设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
角度3 定义法求动点的轨迹方程
【例3－3】 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解 法一 设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法二 同法一，得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法三 设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
规律方法 求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
特别提醒 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.
【训练3】 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.圆的一般方程具有的特征
(1)x2，y2项的系数应相等.
(2)没有xy项.
(3)D2＋E2－4AF>0.
3.圆的一般方程与标准方程的联系
(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径.
(2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径需要代数运算才能得出.
(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的一般方程配方即得标准方程.
特别提醒 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件.
二、素养训练
1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A.8π
B.4π
C.2π
D.π
答案 C
2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( )
答案 D
3.M(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是( )
A.x＋y－3＝0
B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0
D.2x＋y－6＝0
答案 B
4.(多填题)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
解析 ∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，
∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；
答案 (－2，－4) 5
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.
解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，
于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹是以(9，6)为圆心，半径长为2的圆.2.4.2 圆的一般方程
课标要求
素养要求
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程.
通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色.万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽.”圆是完美的图形，这节课我们继续学面直角坐标系下有关圆的知识.
问题 一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若是圆，它的圆心坐标和半径分别是什么？
提示 当满足D2＋E2－4F>0时才表示圆，圆心坐标为，半径r＝.
1.圆的一般方程的定义
圆的一般方程中有三个待定系数D，E，F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就明确了
将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的左边配方，并把常数项移到右边，得＋＝.
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
2.用待定系数法求圆的方程的大致步骤
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
拓展深化
[微判断]
1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(√)
2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(×)
提示 当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程.
3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√)
[微训练]
1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A.(2，3)
B.(－2，3)
C.(－2，－3)
D.(2，－3)
答案 D
2.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是( )
A.以(a，b)为圆心的圆
B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b)
D.点(－a，－b)
答案 D
3.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.
解析 由题意，得解得
答案 4
[微思考]
1.若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？
提示 x2＋y2＋F＝0(F<0).
2.若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
提示 ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.
题型一 圆的一般方程的概念
【例1】 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0，
解得m<，故实数m的取值范围为.
圆心坐标为(－m，1)，半径为.
规律方法 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.
特别提醒 在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数.
【训练1】 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________；
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.
解析 (1)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
可化为＋＝，
故圆心坐标为，半径为.
(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是，
由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3，
∴该圆的面积为9π.
答案 (1)， (2)9π
题型二 求圆的一般方程
【例2】 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程.
解 设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意得解得
即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
规律方法 待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.
(3)解此方程组，求出D，E，F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
【训练2】 已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.
解 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，
∴
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
题型三 求动点的轨迹方程
角度1 直接法求轨迹方程
【例3－1】 求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的的点M的轨迹方程.
解 设点M的坐标是(x，y)，
则＝.∴＝.
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
角度2 代入法求轨迹方程
【例3－2】 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
解 设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
则∴
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0.
∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.
角度3 定义法求动点的轨迹方程
【例3－3】 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解 法一 设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
又因为kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法二 同法一，得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法三 设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).
由直角三角形的性质，知|CD|＝|AB|＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
规律方法 求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
特别提醒 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.
【训练3】 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解
以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.圆的一般方程具有的特征
(1)x2，y2项的系数应相等.
(2)没有xy项.
(3)D2＋E2－4AF>0.
3.圆的一般方程与标准方程的联系
(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径.
(2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径需要代数运算才能得出.
(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的一般方程配方即得标准方程.
特别提醒 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件.
二、素养训练
1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A.8π
B.4π
C.2π
D.π
解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴半径r＝，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
答案 C
2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
解析 若方程表示圆，则1＋1－4k>0，∴k<.
答案 D
3.M(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是( )
A.x＋y－3＝0
B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0
D.2x＋y－6＝0
解析 过点M的最长弦所在的直线应为过点M的直径所在的直线.易得圆的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为＝，即x－y－3＝0.
答案 B
4.(多填题)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
解析 ∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，
∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；
当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，
此时D2＋E2－4F＝1＋4－4×＝－5<0，方程不表示圆.
答案 (－2，－4) 5
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.
解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，
所以4＝，3＝，
于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹是以(9，6)为圆心，半径长为2的圆.
基础达标
一、选择题
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为( )
A.(4，－6)，16
B.(2，－3)，4
C.(－2，3)，4
D.(2，－3)，16
解析 由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.
答案 C
2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A.点
B.直线
C.线段
D.圆
解析 ∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆.故选D.
答案 D
3.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A.x2＋y2－2x＋4y＝0
B.x2＋y2＋2x＋4y＝0
C.x2＋y2＋2x－4y＝0
D.x2＋y2－2x－4y＝0
解析 直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1，2).
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案 C
4.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，又方程可化为＋(y－a)2＝－a2－3a，故圆心坐标为，r2＝－a2－3a.由r2>0，即－a2－3a>0，解得－4
答案 D
5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是( )
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
解析 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
则
解得故C′(－2，3)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
答案 C
二、填空题
6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是________.
解析 因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.
又由4＋9－4m＞0，得m＜.
故m＜－13.
答案 (－∞，－13)
7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为________.
解析 设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
答案 x2＋y2－8x＋6y＝0
8.已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是________________.
解析 由y＝得(x－1)2＋y2＝9(y≥0)，它表示以(1，0)为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆(含x轴)，故t可以看作半圆上的动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：A(－1，－3)，B(4，0)，C(－2，0)，
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则kAB＝，kAC＝－3，
∴t≤－3或t≥.
答案 (－∞，－3]∪
三、解答题
9.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程.
解 设M(x，y)，
∵A(12，0)，M为PA的中点，
∴P(2x－12，2y).
∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，
∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.
故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.
10.已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程.
解 法一 设圆的方程为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，①
将P，Q的坐标分别代入①，得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根.
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得或
故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
法二 求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①
∵所求圆的圆心C在直线①上，
故设其坐标为(a，a－1)，
又圆C的半径r＝|CP|＝
.②
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，
故r2＝a2＋，代入②并将两端平方，
并整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5.
∴当圆心为(1，0)时，半径r1＝；当圆心为(5，4)时，半径r2＝.
故所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
能力提升
11.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A.
B.5
C.2
D.10
解析 由x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0知圆心为M(－2，－1).由题意知直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋
(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.
答案 B
12.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作?MONP，求点P的轨迹方程.
解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
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因为平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝，
则即N(x＋3，y－4).
又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和.
创新猜想
13.(多选题)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则( )
A.D＝2
B.D＝－2
C.E＝－4
D.E＝4
解析 圆心C，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20，②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0，
所以
答案 AC
14.(多填题)已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________.
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.由于直线过圆心C(2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y－0＝x－1，即为x－y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0 x－y－1＝0