第二课时 直线与圆的位置关系的应用
课标要求
素养要求
1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.
新知探究
有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m.当水面下降1
m后，水面宽多少米？
问题 如何才能正确地解决上述问题？
提示 解决上述问题可以用坐标法解决，将几何问题转化为代数问题解决.
用坐标法解决几何问题
关键是准确理解题意，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
拓展深化
[微判断]
1.圆心到圆的切线的距离等于半径.(√)
2.圆的弦的垂直平分线过圆心.(√)
3.同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心.
(√)
[微训练]
1.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.都有可能
解析 由题意知点(0，0)到直线的距离应小于1，即<1，整理为>1，即点P(a，b)到圆心的距离大于半径，所以点P在圆外.
答案 B
2.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为( )
A.15米
B.13米
C.9米
D.6.5米
解析 如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13米.
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答案 B
[微思考]
利用坐标法求解几何问题要注意什么？
提示 (1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素.
(2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.
题型一 直线与圆的方程的实际应用
【例1】 某圆拱桥的水面跨度为20
m，拱高为4
m.现有一船，宽10
m，水面以上高3
m，这条船能否从桥下通过？
解 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有
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A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，
D(－5，0)，E(5，0).
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
于是有
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3
m，3<3.1，
所以该船可以从桥下通过.
规律方法 应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤：
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
【训练1】 如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽为________米.
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解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝2米.
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答案 2
题型二 坐标法证明几何问题
【例2】 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
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证明 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
如图所示，
设|AB|＝2r，D(a，0)，
则|CD|＝，
∴C(a，)，
∴圆O：x2＋y2＝r2，
圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.
两方程作差得直线EF的方程为
2ax＋2y＝r2＋a2.
令x＝a，得y＝，
∴H，即H为CD中点，
∴EF平分CD.
规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则：
(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.
(2)充分利用图形的对称性.
(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.
(4)关键点的坐标易于求得.
【训练2】 如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.
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证明 如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，
于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0).
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，
故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).题型三 与圆有关的最值问题
【例3】 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值.
解 原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆，
设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
规律方法 与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.
【训练3】 例3中的条件不变，求y－x的最大值和最小值.
解 设y－x＝b，即y＝x＋b.
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升直观想象、数学运算与逻辑推理素养.
2.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法.事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.
3.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形分析、解决问题.
二、素养训练
1.一辆卡车宽1.6
m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6
m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A.1.4
m
B.3.5
m
C.3.6
m
D.2.0
m
解析 如图，圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，所以|AB|＝0.8，
所以弦心距|OB|＝≈3.5(m)，即为所求.
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答案 B
2.(多填题)据气象台预报：在A城正东方300
km的海面B处有一台风中心，正以每小时40
km的速度向西北方向移动，在距台风中心250
km以内的地区将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约为________h(结果精确到0.1
h).
解析 以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹方程是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502，A(－300，0).
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
解得－150－25≤a≤－150＋25，
∴t1＝＝≈2.0，
Δt＝＝≈6.6，∴从现在起经过约2.0
h，台风将影响A城，持续时间约为6.6
h.
答案 2.0 6.6
3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.
解析 圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0距离为＝，则从村庄外围到小路的最短距离为－2.
答案 －2
4.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0，则y－x的最小值是________.
解析 由x2＋y2－4x－4y＋7＝0，得(x－2)2＋(y－2)2＝1，它表示以(2，2)为圆心，1为半径的圆.设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值.由＝1，得b＝±.故y－x的最小值为－.
答案 －
基础达标
一、选择题
1.方程＝x＋k有唯一解，则实数k的取值范围是( )
A.{－}
B.(－，)
C.[－1，1)
D.{k|k＝或－1≤k＜1}
解析 由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得－1≤k<1或k＝.
答案 D
2.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是( )
A.
B.
C.
D.π
解析 如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的.
答案 D
3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.－或－
B.－或－
C.－或－
D.－或－
解析 由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.
答案 D
4.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m＝( )
A.－1
B.1
C.0
D.2
解析 ∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，
∴直线x＋2y＝0是线段MN的中垂线，得k·＝－1，解之得k＝2，
又圆方程为x2＋y2＋2x＋my－4＝0，
圆心坐标为，
将代入x＋2y＝0，得－1－m＝0，解得m＝－1，故k＋m＝1.
故选B.
答案 B
5.方程＝kx＋2有唯一解，则实数k满足( )
A.k＝±
B.k∈(－2，2)
C.k<－2或k>2
D.k<－2或k>2或k＝±
解析 y＝表示单位圆x2＋y2＝1的上半部分，y＝kx＋2表示过定点(0，2)的直线，如图，当直线y＝kx＋2在l1，l4的位置或在l2，l3之间时满足条件.
易求得k2＝2，k3＝－2.
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又由y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切求得k1＝，k4＝－.
故k<－2或k>2或k＝±.
答案 D
二、填空题
6.实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为________.
解析 令x2＋y2＝r2，则x2＋y2的最小值为圆x2＋y2＝r2与直线相切时的圆的半径的平方，所以r＝＝2，即x2＋y2的最小值为8.
答案 8
7.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.
解析 由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与已知直线垂直时，圆C的直径最小，又O到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝，所以圆的半径最小为，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝.
答案
8.已知M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是________.
解析 数形结合法，
注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示).
结合图形不难求得，
当－3直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点.
答案 (－3，3]
三、解答题
9.设有半径长为3
km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.
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设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为＋＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有解得
所以乙向北前进3.75
km时甲、乙两人相遇.
10.已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值.
解 (1)设k＝，则k表示圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，直线OP的方程为y＝kx，当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值.由点C(3，3)到直线y＝kx的距离d＝＝，得k＝3±2，即k＝3±2时，直线OP与圆C相切，所以
＝3＋2，
＝3－2.
(2)代数式表示圆C上的点到定点(2，0)的距离，圆心(3，3)与定点(2，0)的距离为＝，
又圆C的半径是，所以()max＝＋，()min＝－.
能力提升
11.曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意可得：直线l过定点A(2，4)，曲线y＝1＋为以(0，1)为圆心，2为半径的半圆.根据题意画出图形，如图所示.
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当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得：k＝；
当直线l过点B(－2，1)时，直线l的斜率为＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
答案 D
12.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25
km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40
km的A处出发，径直驶向位于海监船正北
30
km的B处岛屿，速度为28
km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
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解 如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程x2＋y2＝252.
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直线AB方程：＋＝1，
即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，
则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到.
设监测时间为t，则t＝＝(h).
所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5
h.
创新猜想
13.(多选题)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为( )
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A.6
B.8
C.10
D.16
解析 设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，
则圆心到直线l的距离为＝，
得m＝－或m＝－，
∴该圆运动的时间为＝6(s)
或＝16(s).
答案 AD
14.如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S.试建立适当的直角坐标系用解析法证明：|RT|＝|ST|.
证明 如图，以圆心M为原点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则可得圆的方程为x2＋y2＝4，A(0，2)，B(0，－2)，
设P(x0，y0)，则x＋y＝4.
直线AP的方程为：y＝x＋2，令y＝0得xR＝，
直线BP的方程为：y＝x－2，令y＝0得xS＝.
∵切线PT方程为x0x＋y0y＝4，由对称性知点T在x轴上，
故令y＝0得xT＝
∴|RT|＝|xR－xT|＝＝＝2.
|ST|＝|xS－xT|＝＝＝2，
∴|RT|＝|ST|.(共37张PPT)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第一课时 直线与圆的位置关系
课标要求
素养要求
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.
通过直线与圆的位置关系的判断，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系，你发现了吗？
问题 日出升起的过程体现的是直线与圆的哪三种位置关系？
提示 体现的是相交、相切、相离三种不同的位置关系.
直线与圆的位置关系
要搞清直线与圆的位置关系关键是搞清直线与圆的公共点的个数间的等价关系
及判断
(直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
_______个
_____个
_____个
2
1
0
<
＝
>
>
＝
<
图形
拓展深化
[微判断]
1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(
)
提示 直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切.
2.直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心.(
)
3.若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a>0)相切，则a等于4.(
)
×
√
×
[微训练]
1.已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析 由题意知圆心(1，0)到直线x＝a的距离为2，即|a－1|＝2(a>0)，解之得a＝3.
答案 C
[微思考]
1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
提示 一定.由直线与圆的位置关系可得.
2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
提示 当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径.
题型一 直线与圆位置关系的判定
【例1】 已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题.
②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0， ③
方程③的根的判别式
Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).
当－20，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离.
综上，当－22或b<－2时，直线与圆相离.
综上当－2当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；
当b>2或b<－2时，直线与圆相离.
规律方法 判断直线与圆的位置关系应注意的问题
(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.
(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算.
特别提醒 利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标.
【训练1】 a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离？
解 法一 (代数法)
消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90
000.
(1)当直线和圆相交时，Δ＞0，
即－36a2＋90
000＞0，得－50＜a＜50；
(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，
即a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，Δ＜0，
即a＜－50或a＞50.
法二 (几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，
题型二 直线与圆相切的有关问题
【例2】 过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程.
解 由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故点M在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程是
y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
【迁移1】 若将例2中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？
解 由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故点M在圆上，
设圆的圆心为C，则C(1，－3)，显然CM的斜率不存在.
∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率k＝0，∴切线方程为y＝－2.
【迁移2】 若例2中的条件不变，如何求其切线长？
规律方法 1.过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法
(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出其切线方程.
(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出其切线的方程.
2.过一点求圆的切线方程时，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条.
(2)点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________.
∴点P在圆上.∴P为切点.
(2)如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，
答案 (1)C (2)8
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，
题型三 直线与圆相交的有关问题
规律方法 求直线与圆相交时弦长的两种方法：
图1
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
图2
解析 (1)设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，
(2)设圆的半径为r，由条件，
∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
二、素养训练
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
答案 B
2.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心
法二 直线kx－y＋1＝0恒过定点(0，1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.
答案 C
答案 AD
A.0°
B.45°
C45°
D60°
4.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________.
解析 由x2＋y2－2x－4y＋4＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝1，故圆心为(1，2)，半径r＝1.
∵弦长为2，故弦为直径，即弦所在直线过圆心(1，2)，又直线过原点，因此所求直线方程是2x－y＝0.
答案 2x－y＝0
(2)容易判断点Q(3，0)在圆外.
设切线的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第一课时 直线与圆的位置关系
课标要求
素养要求
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.
通过直线与圆的位置关系的判断，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系，你发现了吗？
问题 日出升起的过程体现的是直线与圆的哪三种位置关系？
提示 体现的是相交、相切、相离三种不同的位置关系.
要搞清直线与圆的位置关系关键是搞清直线与圆的公共点的个数间的等价关系
直线与圆的位置关系及判断(直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
dd＝r
d>r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图形
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拓展深化
[微判断]
1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(×)
提示 直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切.
2.直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心.(√)
3.若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a>0)相切，则a等于4.(×)
提示 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即＝，解之得a＝2.
[微训练]
1.已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析 由题意知圆心(1，0)到直线x＝a的距离为2，即|a－1|＝2(a>0)，解之得a＝3.
答案 C
2.圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________.
解析 由题意点P在圆上且P为切点.∵点P与圆心(2，0)连线的斜率为＝－，
∴切线的斜率为，∴切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
答案 x－y＋2＝0
[微思考]
1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
提示 一定.由直线与圆的位置关系可得.
2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
提示 当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径.
题型一 直线与圆位置关系的判定
【例1】 已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
解 法一 直线与圆的位置关系问题可转化为方程组
有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题.
②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0， ③
方程③的根的判别式
Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).
当－20，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离.
综上，当－22或b<－2时，直线与圆相离.
法二 圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝.
当d当d＝r，即＝时，直线与圆相切，∴b＝±2.
当d>r，即>时，直线与圆相离，∴b>2或b<－2.
综上当－2当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；
当b>2或b<－2时，直线与圆相离.
规律方法 判断直线与圆的位置关系应注意的问题
(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.
(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算.
特别提醒 利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标.
【训练1】 a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离？
解 法一 (代数法)
由方程组
消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90
000.
(1)当直线和圆相交时，Δ＞0，
即－36a2＋90
000＞0，得－50＜a＜50；
(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，
即a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，Δ＜0，
即a＜－50或a＞50.
法二 (几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝.
(1)当直线和圆相交时，d＜r，
即＜10，得－50＜a＜50；
(2)当直线和圆相切时，d＝r，
即＝10，得a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，d＞r，
即＞10，得a＜－50或a＞50.
题型二 直线与圆相切的有关问题
【例2】 过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程.
解 由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故点M在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程是
y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
由于直线与圆相切，故＝1，解得k＝.
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
【迁移1】 若将例2中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？
解 由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故点M在圆上，
设圆的圆心为C，则C(1，－3)，显然CM的斜率不存在.
∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率k＝0，∴切线方程为y＝－2.
【迁移2】 若例2中的条件不变，如何求其切线长？
解 由题知，设切线长为d，
d＝＝＝7.
规律方法 1.过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法
(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出其切线方程.
(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出其切线的方程.
2.过一点求圆的切线方程时，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条.
【训练2】 (1)圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为( )
A.x＋y－2＝0
B.x＋y－4＝0
C.x－y－4＝0
D.x－y＋2＝0
(2)点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________.
解析 (1)∵()2＋(－1)2＝4，
∴点P在圆上.∴P为切点.
∵切点与圆心连线的斜率为－，
∴切线的斜率为，
∴切线方程为y＋1＝(x－)，
即x－y－4＝0.
(2)如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA，
又OA⊥AP，
INCLUDEPICTURE"W18.TIF"
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所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|
＝2＝2.
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，
又|OP|的最小值为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离，即|OP|min＝＝2，
故所求最小值为2＝8.
答案 (1)C (2)8
题型三 直线与圆相交的有关问题
【例3】 求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长.
解 法一 直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解.
解这个方程组，得
所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)，
所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2.
法二 如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，
INCLUDEPICTURE"B512.TIF"
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又|OM|＝＝，
所以|AB|＝2|AM|＝2
＝2＝2.
规律方法 求直线与圆相交时弦长的两种方法：
INCLUDEPICTURE"B513.TIF"
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图1
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，
即|AB|＝2.
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
INCLUDEPICTURE"B514.TIF"
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图2
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝
|y1－y2|(k≠0)，
其中k为直线l的斜率.
【训练3】 (1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为_________________________________________________________________.
解析 (1)设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，
∵|CA|＝＝，
∴半弦长为＝＝.
∴最短弦的长为2.
(2)设圆的半径为r，由条件，
得圆心到直线y＝x－1的距离d＝＝.
又由题意知，半弦长为，
∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
答案 (1)2 (2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.一般地，在解决圆和直线相交问题时，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y(或x)，得到一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝|x1－x2|或.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
二、素养训练
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
解析 圆心到直线的距离d＝＝<1，
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0，0)，∴选B.
答案 B
2.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心
解析 法一 圆心(0，0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤1<＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0，0)不在该直线上.
法二 直线kx－y＋1＝0恒过定点(0，1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.
答案 C
3.(多选题)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角可以是( )
A.0°
B.45°
C45°
D60°
解析 设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，则由直线与圆相切知＝1，解得k＝0或k＝.故直线l的倾斜角为0°或60°.
答案 AD
4.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________.
解析 由x2＋y2－2x－4y＋4＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝1，故圆心为(1，2)，半径r＝1.
∵弦长为2，故弦为直径，即弦所在直线过圆心(1，2)，又直线过原点，因此所求直线方程是2x－y＝0.
答案 2x－y＝0
5.(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，)；
(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3，0).
解 (1)∵点M的坐标适合圆的方程，
∴点M在圆x2＋y2＝10上，由题可知圆心为O(0，0)，则直线OM的斜率kOM＝.
∵圆的切线垂直于经过切点的半径，
∴所求切线的斜率为k＝－.
故经过点M的切线方程为y－＝－·(x－2)，
整理得：2x＋y－10＝0.
(2)容易判断点Q(3，0)在圆外.
设切线的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，
又圆的圆心为(0，0)，半径为2，所以＝2.
解得：k＝±.
∴所求切线方程为：y＝±(x－3)，即2x＋5y－6＝0或2x－5y－6＝0.
基础达标
一、选择题
1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
解析 ∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.
∴圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交.
答案 B
2.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，若弦AB的中点为
C(－2，3)，则直线l的方程为( )
A.x－y＋5＝0
B.x＋y－1＝0
C.x－y－5＝0
D.x＋y－3＝0
解析 由圆的一般方程，可得圆心为M(－1，2).由圆的性质易知，点M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB·kMC＝－1，又kMC＝＝－1，∴kAB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
答案 A
3.若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A.
B.1
C.
D.
解析 ∵a2＋b2＝2c2，∴圆心到直线的距离d＝＝.设弦长为l，则l＝2＝.
答案 D
4.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心C在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析 由x－y＝0与x－y－4＝0都与圆相切，且直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，知圆C的圆心C在直线x－y－2＝0上.由得圆心C(1，－1).又因为两平行线间距离d＝＝2，所以所求圆的半径长r＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案 B
5.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足( )
A.|b|＝
B.－1＜b≤1或b＝－
C.－1≤b＜1
D.非以上答案
解析 曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.
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答案 B
二、填空题
6.若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝________.
解析 圆x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3，0)、半径等于1.
由题意可得k<0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得＝1，求得k＝
－.
答案 －
7.直线y＝x＋2被圆M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦长为________.
解析 x2＋y2－4x－4y－1＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝9，故圆心坐标为(2，2)，半径为3.圆心到直线x－y＋2＝0的距离是＝，
故弦长的一半是＝，
所以弦长为2.
答案 2
8.由直线y＝x＋1上的一点A向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________.
解析 由x2－6x＋y2＋8＝0，得(x－3)2＋y2＝1，故C(3，0)，r＝1.当AC与直线y＝x＋1垂直时，切线长取得最小值.又圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，故切线长的最小值为＝＝.
答案
三、解答题
9.已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值.
解 (1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，
得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0时，得m<5，∴当m<5时，曲线C表示圆.
(2)由(1)知圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.
∵直线l：y＝x－m与圆C相切，
∴＝，
解得：m＝±3，满足m<5.
∴m＝±3.
10.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
(1)证明 l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，由解得
即l恒过定点A(3，1).
因为圆心为C(1，2)，|AC|＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)解 由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3，1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
能力提升
11.在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 由x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，故圆心为(－1，－2)，半径r＝2，从而圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意.
答案 C
12.圆C与直线2x＋y－5＝0相切于点(2，1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程.
解 设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
所以2r＝＝4.
所以r＝2.
所以＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10；①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10.②
又因为过圆心和切点的直线与切线垂直，
所以＝.③
联立①②③，解得
故所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
创新猜想
13.(多选题)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程可以是( )
A.2x＋y＋＝0
B.2x＋y－＝0
C.2x＋y＋5＝0
D.2x＋y－5＝0
解析 依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则圆心(0，0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为＝，解得c＝±5.故所求切线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
答案 CD
14.(多填题)圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为________，最小弦长为________.
解析 圆的方程x2＋y2－4x＋6y－12＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
所以圆心为(2，－3)，半径长为5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，
所以点(－1，0)在已知圆的内部，
则最大弦长即为圆的直径，即最大值为10.
当(－1，0)为弦的中点时，弦长最小，
此时弦心距d＝＝3，
所以最小弦长为2＝2＝2.
答案 10 2(共26张PPT)
第二课时 直线与圆的位置关系的应用
课标要求
素养要求
1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.
新知探究
有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m.当水面下降1
m后，水面宽多少米？
问题 如何才能正确地解决上述问题？
提示 解决上述问题可以用坐标法解决，将几何问题转化为代数问题解决.
用坐标法解决几何问题
关键是准确理解题意，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
拓展深化
[微判断]
1.圆心到圆的切线的距离等于半径.(
)
2.圆的弦的垂直平分线过圆心.(
)
3.同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心.(
)
√
√
√
[微训练]
1.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.都有可能
答案 B
2.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为( )
A.15米
B.13米
C.9米
D.6.5米
答案 B
[微思考]
利用坐标法求解几何问题要注意什么？
提示 (1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素.
(2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.
题型一 直线与圆的方程的实际应用
【例1】 某圆拱桥的水面跨度为20
m，拱高为4
m.现有一船，宽10
m，水面以上高3
m，这条船能否从桥下通过？
解 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有
A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，
D(－5，0)，E(5，0).
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3
m，3<3.1，
所以该船可以从桥下通过.
规律方法 应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤：
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
【训练1】 如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽为________米.
题型二 坐标法证明几何问题
【例2】 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
证明 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
如图所示，设|AB|＝2r，D(a，0)，
∴圆O：x2＋y2＝r2，
∴EF平分CD.
规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则：
(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.
(2)充分利用图形的对称性.
(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.
(4)关键点的坐标易于求得.
【训练2】 如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.
证明 如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，
于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0).
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，
故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
【训练3】 例3中的条件不变，求y－x的最大值和最小值.
解 设y－x＝b，即y＝x＋b.
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升直观想象、数学运算与逻辑推理素养.
2.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法.事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.
3.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形分析、解决问题.
二、素养训练
1.一辆卡车宽1.6
m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6
m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A.1.4
m
B.3.5
m
C.3.6
m
D.2.0
m
解析 如图，圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，所以|AB|＝0.8，
答案 B
2.(多填题)据气象台预报：在A城正东方300
km的海面B处有一台风中心，正以每小时40
km的速度向西北方向移动，在距台风中心250
km以内的地区将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约为________h(结果精确到0.1
h).
解析 以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹方程是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502，A(－300，0).
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
答案 2.0 6.6
3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.
4.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0，则y－x的最小值是________.
