章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.
(2)斜率k
(3)斜率的求法：
①依据倾斜角；②依据两点的坐标；③依据直线方程.
2.直线方程的几种形式的转化
3.两条直线的位置关系
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则
(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；
(2)相交?A1B2－A2B1≠0；
(3)重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0).
4.距离公式
(1)两点间的距离公式.
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
(2)点到直线的距离公式.
①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝；
②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)的距离d＝.
5.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形的三边长.
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.
7.圆与圆的位置关系
两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).
(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
要点一 直线方程的求法及应用
求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.
【例1】 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2).
(1)若C点坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；
(2)若点M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程.
解 (1)∵A(0，1)，B(3，2)，
∴kAB＝＝，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，
∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)，
化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，
∴C(2，1)，
∴kBC＝＝1，
∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
【训练1】 已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.
解 (1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为，
故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.
由求得故点C的坐标为.
(2)设B(m，n)，则M.
把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，
可得
求得故点B.
再用两点式求得直线BC的方程为＝，化简为46x－41y－43＝0.
要点二 两条直线的位置关系
解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性.
【例2】 (1)当a＝________时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行；
(2)当a＝________时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.
解析 (1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.
因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.
所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.
(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.
因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，
解得a＝.
所以当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.
答案 (1)－1 (2)
【训练2】 (1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值等于________；
(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1，1)，点A(－2，3)，B(0，y)，则y＝________.
解析 (1)∵直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，
∴2a－3(a＋1)＝0，
∴a＝－3.
(2)kAC＝＝－，kBC＝＝1－y.
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，
∴－(1－y)＝－1，∴y＝－.
答案 (1)－3 (2)－
要点三 距离问题
解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合.三种距离是高考考查的热点，公式如下表：
类型
已知条件
公式
两点间的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2)
|AB|＝
点到直线的距离
P(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
d＝(A2＋B2≠0)
两平行直线的距离
l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)
d＝
【例3】 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程.
解 当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3.
解得k＝±－6，∴y＝x.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则
＝3，解得a＝13或a＝1，
∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
综上，所求直线方程为y＝x或
x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
【训练3】 已知直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且点A(3，1)到它的距离为，求直线l的方程.
解 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0.
由题意知＝，解得k＝1或k＝－.
所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.
当直线不经过原点时，
设所求直线的方程为－＝1，即x－y－a＝0.
由题意知＝，解得a＝4或a＝0(舍去).
所以所求直线的方程为x－y－4＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.
要点四 对称问题
1.关于点的对称问题
(1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则P是线段AB的中点，并且
(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：
①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；
②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；
③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.
2.关于直线的对称问题
(1)点关于直线的对称问题：若A，B两点关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线.
①直线AB与直线l垂直；
②线段AB的中点在直线l上；
③直线l上任意一点到A，B两点的距离相等.
(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，则
①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；
②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.
【例4】 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程.
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
∴P′点坐标为(－2，7).
(2)由得交点.取直线x－y－2＝0上一点B(0，－2)，设点B关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为B′(x0，y0)，
则解得
故所求直线过点与(－3，－1)，
斜率k＝＝－7，
∴所求直线方程为y＋＝－7，
即7x＋y＋22＝0.
(3)设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，
由于l∥l′，故可设l′为y＝3x＋b(b≠3).
由点到直线的距离公式得
＝，
即|b＋7|＝10，
解得b＝－17，或b＝3(舍去)，
∴直线l′的方程为y＝3x－17，
即对称直线的方程为3x－y－17＝0.
【训练4】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.
解 (1)设A′(x0，y0)，则
解得∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在m′上.
设M′(a，b)，
则
解得∴M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4，3).
又∵m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0，即为所求直线方程.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y).
∵P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0，即为所求直线方程.
要点五 求圆的方程
求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题.
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解.
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解.
【例5】 一个圆C和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)点，求圆C的方程.
解 由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1，0)，半径为1.
∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，
可得圆心与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为.
设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，
则
解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
【训练5】 已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程.
解 (1)由解得两直线交点为(2，1)，
∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.
又∵l过点(2，1)，
∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.
(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，则
解得a＝3，r＝2.
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
要点六 直线与圆、圆与圆的位置关系
圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量.另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路.
【例6】 有一个圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的标准方程.
解 设圆心为C，则CA⊥l.
又设直线CA与圆的另一个交点为P.
∵CA⊥l，∴直线CA的斜率为－，故直线CA的方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝，则直线PB的方程为x－2y－1＝0.
解方程组
得
即点P的坐标为(7，3).
∵圆心C为AP的中点，
∴圆心C的坐标为，半径长|CA|＝，
∴所求圆的标准方程为(x－5)2＋＝.
【训练6】 已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的弦AB的长为4，求l的方程.
解 由x2＋y2＋4x－12y＋24＝0得(x＋2)2＋(y－6)2＝42，
∴圆C的圆心为C(－2，6)，半径r＝4.
如图所示，
|AB|＝4，设D是线段AB的中点，连接CD，则CD⊥AB，
|AD|＝2，|AC|＝4.
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离|CD|＝＝2，得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0，
又∵直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，易知也满足题意.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
要点七 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题包括：
(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；
(3)已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解.
【例7】 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点，
(1)求的最大、最小值；
(2)求x－2y的最大、最小值.
解 法一 (1)设k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
∵P(x，y)为圆C上任一点，
∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离d＝＝≤1，即|2－3k|≤，
平方得8k2－12k＋3≤0，
解得≤k≤，
故的最大值为，最小值为；
(2)设b＝x－2y，即x－2y－b＝0，
∵P(x，y)为圆C上任一点，
∴则圆心(－2，0)到直线的距离d＝＝≤1，即|b＋2|≤，
则－2－≤b≤－2，
即x－2y的最大值为－2，最小值为－2－.
法二 (1)可看作圆上的点(x，y)与点(1，2)连线的斜率.
令k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，k取得最大值和最小值，
此时＝1，
解得k＝.
故的最大值为，最小值为.
(2)设b＝x－2y，即y＝x－，当y＝－x－与圆相切时，纵截距－取得最值，从而b取得最值，此时＝1，解得b＝－2±.
故x－2y的最大值为－2＋，最小值为－2－.
【训练7】 已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值.
解 法一 设x＋y＝t，由题意知直线x＋y＝t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点，
∴d≤r，即≤，∴6－2≤t≤6＋2，
∴故x＋y的最小值为6－2，最大值为6＋2.
法二 设x＋y＝b，即y＝－x＋b.当y＝－x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝6±2.
故x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.(共48张PPT)
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1.直线的倾斜角与斜率
2.直线方程的几种形式的转化
3.两条直线的位置关系
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则
(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；
(2)相交?A1B2－A2B1≠0；
4.距离公式
5.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形的三边长.
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.
7.圆与圆的位置关系
两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).
(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
要点一 直线方程的求法及应用
求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.
【例1】 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2).
(1)若C点坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；
(2)若点M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程.
解 (1)∵A(0，1)，B(3，2)，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，
∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)，
化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，∴C(2，1)，
∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
【训练1】 已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.
故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.
把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，
要点二 两条直线的位置关系
解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性.
【例2】 (1)当a＝________时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行；
(2)当a＝________时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.
解析 (1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.
因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.
所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.
(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.
因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，
【训练2】 (1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值等于________；
(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1，1)，点A(－2，3)，B(0，y)，则y＝________.
解析 (1)∵直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，
∴2a－3(a＋1)＝0，
∴a＝－3.
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，
要点三 距离问题
解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合.三种距离是高考考查的热点，公式如下表：
∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
解 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0.
所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.
当直线不经过原点时，
所以所求直线的方程为x－y－4＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.
要点四 对称问题
1.关于点的对称问题
(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：
①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；
②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；
③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.
(1)点关于直线的对称问题：若A，B两点关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线.
①直线AB与直线l垂直；
②线段AB的中点在直线l上；
③直线l上任意一点到A，B两点的距离相等.
(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，则
①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；
②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.
2.关于直线的对称问题
【例4】 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程.
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
∴P′点坐标为(－2，7).
即7x＋y＋22＝0.
(3)设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，
由于l∥l′，故可设l′为y＝3x＋b(b≠3).
由点到直线的距离公式得
即|b＋7|＝10，
解得b＝－17，或b＝3(舍去)，
∴直线l′的方程为y＝3x－17，
即对称直线的方程为3x－y－17＝0.
【训练4】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在m′上.
设M′(a，b)，
又∵m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0，即为所求直线方程.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y).
∵P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0，即为所求直线方程.
要点五 求圆的方程
求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题.
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解.
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解.
解 由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1，0)，半径为1.
∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，
【训练5】 已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.
(1)求直线l的方程；
∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.
又∵l过点(2，1)，
∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.
解得a＝3，r＝2.
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
要点六 直线与圆、圆与圆的位置关系
圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量.另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路.
【例6】 有一个圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的标准方程.
解 设圆心为C，则CA⊥l.
又设直线CA与圆的另一个交点为P.
即点P的坐标为(7，3).
∵圆心C为AP的中点，
解 由x2＋y2＋4x－12y＋24＝0得(x＋2)2＋(y－6)2＝42，
∴圆C的圆心为C(－2，6)，半径r＝4.
如图所示，
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0，
又∵直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，易知也满足题意.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
要点七 与圆有关的最值问题
【例7】 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点，
∵P(x，y)为圆C上任一点，
平方得8k2－12k＋3≤0，
(2)设b＝x－2y，即x－2y－b＝0，
∵P(x，y)为圆C上任一点，
当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，k取得最大值和最小值，
【训练7】 已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值.
解 法一 设x＋y＝t，由题意知直线x＋y＝t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点，
