第二章
直线和圆的方程
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
圆的历史
墨子
古代人最早是从太阳、从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？
18
000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔.到了陶器时代，许多陶器都是圆的.圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的.6
000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了.大约在6
000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮.约在4
000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子.
会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2
000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：一中同长也.意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里德给圆下定义要早100年.
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的赵州桥，距今已有1
400年的历史.赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，净跨37
m，宽9
m，拱矢高度7.24
m，赵州桥是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥.
2.同学们看过海上日出吗？你看，太阳出来了，它穿过海平面，升的越来越高，非常美丽.我们如果把海平面看作是一条直线，太阳看作一个圆，那么里面隐含着丰富的平面几何知识.
3.意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？你能用现有的知识去解决这个问题吗？
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问题1：通过赵州桥你能感受到圆的曲线带来的优美，那么你了解的与圆有关的应用有哪些？
问题2：太阳升起的过程与海平面对应的直线有哪些位置关系？
问题3：如何测量比萨斜塔的倾斜程度？
链接：圆在桥上的应用只是解析几何在日常生活中的应用之一.事实上，无论日常生活还是航天技术的运用，用到解析几何知识的地方还很多，而测量比萨斜塔的倾斜程度，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等，也是解析几何的一部分，那么为了更好地服务于人类，让我们更好地学习解析几何知识吧！
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
课标要求
素养要求
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
在直线的倾斜角和斜率的概念的形成过程中，提升数学抽象素养；通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式，提升数学运算、逻辑推理素养.
新知探究
意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.每年有80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分.那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？学完本节后，相信你一定能解决这个问题.
问题 如何确定比萨斜塔的倾斜度？你有哪些方法可以运用？
提示 可以先测出比萨斜塔与地面所成的角，利用角度的大小说明倾斜程度.亦可以利用几何方法建立平面直角坐标系，借助于塔上任意两点对应的方向向量通过计算说明.
1.直线的倾斜角
当直线与y轴平行或重合时倾斜角为90°(1)直线倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)直线倾斜角的取值范围
直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
2.斜率的概念及斜率公式
(1)斜率的定义
k>0时，直线的倾斜角为锐角；k<0时，直线的倾斜角为钝角
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α.
倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
(2)斜率公式
x1与x2，y1与y2可同时交换位置
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝.
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.
3.直线的方向向量
一条直线的方向向量有无数个，且都是非零共线向量
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
拓展深化
[微判断]
1.任一条直线都有倾斜角，都存在斜率.(×)
提示 倾斜角为90°的直线的斜率不存在.
2.若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(×)
提示 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
[微训练]
1.已知一条直线的倾斜角α＝45°，则该直线的斜率等于( )
A.
B.－
C.1
D.－1
解析 k＝tan
α＝tan
45°＝1.
答案 C
2.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝( )
A.－
B.
C.－1
D.1
解析 由已知，得＝tan
45°＝1.故y＝－1.
答案 C
3.一条直线的斜率等于，则此直线的倾斜角等于________.
解析 k＝tan
α＝，又0°≤α＜180°，故α＝30°.
答案 30°
[微思考]
1.若直线l与x轴垂直，其倾斜角是多少度？
提示 直线l与x轴垂直，则倾斜角为90°.
2.若直线l与x轴平行，其斜率是多少？
提示 直线l与x轴平行，则倾斜角为0°，其斜率为0.
题型一 求直线的倾斜角
【例1】 (1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A.α＋40°
B.α－140°
C.140°－α
D.当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°
(2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.
解析 (1)根据题意，画出图形，如图所示.
因为0°
≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，
当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
(2)有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
答案 (1)D (2)60°或120°
规律方法 (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
【训练1】 下列命题正确的是( )
A.两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行
B.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan
α
C.若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α的度数可以大于60°
D.若α是直线l的倾斜角，且tan
α＝，则α＝45°
解析 0°≤α＜180°，当α＝90°，此时直线不存在斜率，B错；α>60°时，3α>180°，与倾斜角的范围矛盾，C错；tan
45°＝1，D错.
答案 A
题型二 求直线的斜率
【例2】 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(－2，3)，D(2，－1)；
(3)P(－3，1)，Q(－3，10).
解 (1)存在.直线AB的斜率kAB＝＝1，
即tan
α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1，
即tan
α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
规律方法 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
1
－
－1
－
【训练2】 (1)直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，求l′的斜率.
解 (1)由题意知两点的横坐标不相等，
则直线存在斜率，
根据直线的斜率公式得k＝＝4.
(2)直线l的斜率k＝1，
所以直线l的倾斜角为45°，
所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，
即l′的斜率k′＝tan
135°＝－1.
题型三 直线的倾斜角与斜率的应用
角度1 三点共线问题
【例3－1】 如果A，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值.
解 由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
由斜率公式，得kAB＝＝，
kBC＝＝.
∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.
∴＝，即m2－3m－12＝0，
解得m1＝，m2＝.
∴m的值是或.
角度2 求解范围问题
【例3－2】 直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角α的范围.
解 如图所示.
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∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，
45°≤α≤120°.
规律方法 1.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴.当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线.否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可.
2.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan
α(α≠90°)解决.
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解.
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
【训练3】 证明A(－2，12)，B(1，3)，C(4，－6)三点在同一条直线上.
证明 易知直线AB，AC的斜率都存在，
∵kAB＝＝＝－3，
kAC＝＝＝－3，
∴kAB＝kAC，又AB，AC过同一点A，
∴A，B，C三点共线.
一、素养落地
1.通过直线的倾斜角与斜率的学习，提升数学运算、数学抽象素养及逻辑推理素养.
2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
0
k>0
不存在
k<0
k的增减情况
k随α的增大而增大
k随α的增大而增大
3.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率应注意的问题：
(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应).
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.
二、素养训练
1.对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①②③正确.
答案 C
2.m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必( )
A.在同一条直线上
B.是直角三角形的顶点
C.是等腰三角形的顶点
D.是等边三角形的顶点
解析 ∵kAB＝＝－1，
kBC＝＝－1，∴kAB＝kBC，又直线AB与直线BC有公共点B，
∴A，B，C三点线.
答案 A
3.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α满足( )
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α满足90°<α<180°.
答案 C
4.下列各选项的图形中，标出的倾斜角α正确的是( )
解析 本题考查直线倾斜角的定义，其中A选项违背了x轴的正方向，B选项违背了x轴的正方向与l向上方向的夹角，C选项违背了l向上的方向.故选D.
答案 D
5.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)(1，1)，(2，4)；(2)(－3，5)，(0，2)；
(3)(2，3)，(2，5)；(4)(3，－2)，(6，－2).
解 (1)k＝＝3>0，
所以倾斜角是锐角；
(2)k＝＝－1<0，
所以倾斜角是钝角；
(3)由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°；
(4)k＝＝0，所以倾斜角为0°.
基础达标
一、选择题
1.直线x＝1的倾斜角是( )
A.0°
B.45°
C.90°
D.不存在
解析 直线x＝1与x轴垂直，故倾斜角为90°.
答案 C
2.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1＜k3＜k2
B.k3＜k1＜k2
C.k1＜k2＜k3
D.k3＜k2＜k1
解析 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，∴tan
α1＜0，tan
α2＞tan
α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0，故选A.
答案 A
3.若过点A(a，－1)和B(2，a)的直线的斜率为，则a的值为( )
A.4
B.0
C.－4
D.1
解析 kAB＝＝，解得a＝0.
答案 B
4.下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( )
A.(1，3)，(5，7)，(10，12)
B.(－1，4)，(2，1)，(－2，5)
C.(0，2)，(2，5)，(3，7)
D.(1，－1)，(3，3)，(5，7)
解析 A，B，D三个选项中三点均共线.
答案 C
5.已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则( )
A.a＝3，b＝1
B.a＝2，b＝2
C.a＝2，b＝3
D.a＝3，b∈R且b≠1
解析 ∵A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，
∴
即即a＝3，b∈R且b≠1.
答案 D
二、填空题
6.斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________.
解析 由题意，得2＝＝，
∴a＝4，b＝－3，
∴a＋b＝1.
答案 1
7.已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________.
解析 由题意知，kPA＝－1.若点P在x轴上，则设P(m，0)(m≠1)，则＝－1，解得m＝3；若点P在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3.故点P的坐标为(3，0)或(0，3).
答案 (3，0)或(0，3)
8.若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________.
解析 由题意知，kAB＝＝.
因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝<0，
解得－2答案 (－2，1)
三、解答题
9.已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角.
解 因为kMN＝＝1，
所以l2的倾斜角为45°，
又l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，
故这四条直线的倾斜角分别为22.5°，45°，67.5°，90°.
10.已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6，2)，N(－，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围.
解 如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，
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由题意知，tan
α1＝＝1，tan
α2＝＝－，
故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°.
结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是{α|45°≤α≤150°}.
能力提升
11.直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是( )
A.0
B.1
C.
D.2
解析 如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2].故直线l的斜率k的最大值为2.
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答案 D
12.已知A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)，
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.
解 (1)由斜率公式得
kAB＝＝0，
kAC＝＝.
(2)如图所示.
kBC＝＝.
设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
创新猜想
13.(多选题)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角可以为( )
A.α
B.90°－α
C.90°＋α
D.180°－α
解析 如图所示，当l向上的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
答案 BC
14.(多填题)若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________.
解析 因为直线AB与y轴的夹角为60°，所以直线AB的倾斜角为30°或150°.
当倾斜角为30°时，
斜率为tan
30°＝；
当倾斜角为150°时，斜率为tan
150°＝－.
答案 30°或150° 或－(共40张PPT)
第二章
直线和圆的方程
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
圆的历史
墨子
古代人最早是从太阳、从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？
18
000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔.到了陶器时代，许多陶器都是圆的.圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的.
6
000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了.大约在6
000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮.约在4
000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子.
会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2
000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：一中同长也.意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里德给圆下定义要早100年.
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的赵州桥，距今已有1
400年的历史.赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，净跨37
m，宽9
m，拱矢高度7.24
m，赵州桥是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥.
2.同学们看过海上日出吗？你看，太阳出来了，它穿过海平面，升的越来越高，非常美丽.我们如果把海平面看作是一条直线，太阳看作一个圆，那么里面隐含着丰富的平面几何知识.
3.意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？你能用现有的知识去解决这个问题吗？
问题1：通过赵州桥你能感受到圆的曲线带来的优美，那么你了解的与圆有关的应用有哪些？
问题2：太阳升起的过程与海平面对应的直线有哪些位置关系？
问题3：如何测量比萨斜塔的倾斜程度？
链接：圆在桥上的应用只是解析几何在日常生活中的应用之一.事实上，无论日常生活还是航天技术的运用，用到解析几何知识的地方还很多，而测量比萨斜塔的倾斜程度，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等，也是解析几何的一部分，那么为了更好地服务于人类，让我们更好地学习解析几何知识吧！
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
课标要求
素养要求
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
在直线的倾斜角和斜率的概念的形成过程中，提升数学抽象素养；通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式，提升数学运算、逻辑推理素养.
新知探究
意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.每年有80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分.那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？学完本节后，相信你一定能解决这个问题.
问题 如何确定比萨斜塔的倾斜度？你有哪些方法可以运用？
提示 可以先测出比萨斜塔与地面所成的角，利用角度的大小说明倾斜程度.亦可以利用几何方法建立平面直角坐标系，借助于塔上任意两点对应的方向向量通过计算说明.
1.直线的倾斜角
当直线与y轴平行或重合时倾斜角为90°
(1)直线倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，我们以________为基准，x轴________与直线l
________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)直线倾斜角的取值范围
直线的倾斜角α的取值范围是____________________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_______.
x轴
正向
向上
α|0°≤α＜180°
0°
(1)斜率的定义
2.斜率的概念及斜率公式
k>0时，直线的倾斜角为锐角；k<0时，直线的倾斜角为钝角
我们把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝_________.
倾斜角是_________的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
正切值
tan
α
90°
(2)斜率公式
x1与x2，y1与y2可同时交换位置
形
数
3.直线的方向向量
一条直线的方向向量有无数个，且都是非零共线向量
方向向量
拓展深化
[微判断]
1.任一条直线都有倾斜角，都存在斜率.(
)
提示 倾斜角为90°的直线的斜率不存在.
2.若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(
)
提示 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
×
×
[微训练]
1.已知一条直线的倾斜角α＝45°，则该直线的斜率等于( )
解析 k＝tan
α＝tan
45°＝1.
答案 C
2.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝( )
答案 C
答案 30°
[微思考]
1.若直线l与x轴垂直，其倾斜角是多少度？
提示 直线l与x轴垂直，则倾斜角为90°.
2.若直线l与x轴平行，其斜率是多少？
提示 直线l与x轴平行，则倾斜角为0°，其斜率为0.
题型一 求直线的倾斜角
【例1】 (1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A.α＋40°
B.α－140°
C.140°－α
D.当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°
(2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.
解析 (1)根据题意，画出图形，如图所示.
因为0°
≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，
当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
(2)有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
答案 (1)D (2)60°或120°
规律方法 (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
【训练1】 下列命题正确的是( )
解析 0°≤α＜180°，当α＝90°，此时直线不存在斜率，B错；α>60°时，3α>180°，与倾斜角的范围矛盾，C错；tan
45°＝1，D错.
答案 A
题型二 求直线的斜率
【例2】 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(－2，3)，D(2，－1)；
(3)P(－3，1)，Q(－3，10).
即tan
α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
即tan
α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
规律方法 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
【训练2】 (1)直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，求l′的斜率.
解 (1)由题意知两点的横坐标不相等，
则直线存在斜率，
(2)直线l的斜率k＝1，
所以直线l的倾斜角为45°，
所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，
即l′的斜率k′＝tan
135°＝－1.
题型三 直线的倾斜角与斜率的应用
角度1 三点共线问题
解 由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.
45°≤α≤120°.
解 如图所示.
【训练3】 证明A(－2，12)，B(1，3)，C(4，－6)三点在同一条直线上.
证明 易知直线AB，AC的斜率都存在，
∴kAB＝kAC，又AB，AC过同一点A，
∴A，B，C三点共线.
一、素养落地
1.通过直线的倾斜角与斜率的学习，提升数学运算、数学抽象素养及逻辑推理素养.
2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线
情况
?
?
?
?
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
0
k>0
不存在
k<0
k的增
减情况
?
k随α的增大而增大
?
k随α的增大而增大
3.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率应注意的问题：
(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应).
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.
二、素养训练
1.对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①②③正确.
答案 C
2.m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必( )
A.在同一条直线上
B.是直角三角形的顶点
C.是等腰三角形的顶点
D.是等边三角形的顶点
∴A，B，C三点线.
答案 A
3.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α满足( )
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α满足90°<α<180°.
答案 C
4.下列各选项的图形中，标出的倾斜角α正确的是( )
解析 本题考查直线倾斜角的定义，其中A选项违背了x轴的正方向，B选项违背了x轴的正方向与l向上方向的夹角，C选项违背了l向上的方向.故选D.
答案 D
5.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)(1，1)，(2，4)；(2)(－3，5)，(0，2)；
(3)(2，3)，(2，5)；(4)(3，－2)，(6，－2).
(3)由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°；
