(共32张PPT)
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
课标要求
素养要求
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题.
通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
新知探究
过山车是一种富有刺激性的娱乐工具.实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着.你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？
问题 当直线m与直线n平行或垂直时它们对应的斜率有怎样的关系？
提示 当两直线平行时它们对应的斜率k1＝k2.
当两直线垂直时它们对应的斜率的乘积k1k2＝－1.
特别地，当两直线的斜率都不存在时两直线也平行.
当一条直线斜率为0，另一条直线的斜率不存在时两直线垂直.
1.两条不重合直线平行的判定
要特别注意两种特殊情况①两直线重合时不平行②斜率是否存在
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?_____________
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
k1＝k2
2.两条直线垂直的判定
要注意直线的斜率是否存在，否则要进行讨论
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线斜率都存在)?___________
l1的斜率不存在，l2的斜率为0?___________
k1·k2＝－1
l1⊥l2
拓展深化
[微判断]
1.如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.(
)
提示 当一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0时两直线也垂直.
2.若点A(－1，2)，B(1，3)，C(0，1)，D(2，b)，且AB∥CD，则b＝3.(
)
×
×
[微训练]
1.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，则直线AB与直线CD( )
A.平行
B.垂直
C.重合
D.以上都不正确
答案 A
2.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.
[微思考]
1.如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？
提示 不一定，也可能两条直线的斜率都不存在.
2.若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？
提示 当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴.
题型一 两条直线平行的判定及应用
【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)；l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；
(3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，∴l1∥l2.
规律方法 判断两条不重合直线是否平行的步骤
特别提醒 在证明(判断)两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.
【训练1】 已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，求直线EF的斜率.
解 ∵E，F分别为AC，BC的中点，
故直线EF的斜率为－2.
题型二 两条直线的垂直关系
角度1 两条直线垂直关系的判定
【例2－1】 判断下列各小题中l1与l2是否垂直.
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；
(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40).
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直.
k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)由A，B的横坐标相等得
l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴.
则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
角度2 两条直线垂直关系的应用
【例2－2】 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，求a的值.
①当a＝4时，l1的斜率不存在，
由k1·k2＝－1，
解得a＝3或a＝－4.
∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
规律方法 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步.
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应注意对参数进行讨论.
【训练2】 已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(－1，1)，C(0，2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角.
解 设BC边上的高所在直线的斜率为k，
则有k·kBC＝－1.
∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.
题型三 平行与垂直的综合应用
【例3】 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.
解 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图：
∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.
∴AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形.
规律方法 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
【训练3】 已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).
解 设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边.
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.
(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算与逻辑推理素养.
2.两直线平行或垂直的判定方法
斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在?
相等
平行或重合
积为－1
垂直
3.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.
二、素养训练
1.已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
答案 B
答案 D
3.若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有( )
A.α1－α2＝90°
B.α2－α1＝90°
C.|α2－α1|＝90°
D.α1＋α2＝180°
解析 两直线垂直，则它们的倾斜角的绝对值相差90°.
答案 C
4.以点A(1，3)，B(－5，1)为端点的线段的垂直平分线的斜率为________.
∴线段垂直平分线的斜率为－3.
答案 －3
5.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标.
解 设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
课标要求
素养要求
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题.
通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
新知探究
过山车是一种富有刺激性的娱乐工具.实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着.你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？
问题 当直线m与直线n平行或垂直时它们对应的斜率有怎样的关系？
提示 当两直线平行时它们对应的斜率k1＝k2.
当两直线垂直时它们对应的斜率的乘积k1k2＝－1.
特别地，当两直线的斜率都不存在时两直线也平行.
当一条直线斜率为0，另一条直线的斜率不存在时两直线垂直.
1.两条不重合直线平行的判定
要特别注意两种特殊情况①两直线重合时不平行②斜率是否存在
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
2.两条直线垂直的判定
要注意直线的斜率是否存在，否则要进行讨论
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线斜率都存在)?k1·k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0?l1⊥l2
拓展深化
[微判断]
1.如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.(×)
提示 当一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0时两直线也垂直.
2.若点A(－1，2)，B(1，3)，C(0，1)，D(2，b)，且AB∥CD，则b＝3.(×)
提示 由AB∥CD，得kAB＝kCD，即＝，∴b＝2.
[微训练]
1.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，则直线AB与直线CD( )
A.平行
B.垂直
C.重合
D.以上都不正确
解析 由题意知kAB＝＝，kCD＝＝，∴kAB＝kCD，又A，B，C，D不共线，∴两直线平行.
答案 A
2.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.
解析 ∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，又∵k1＝2，∴k2＝－.
答案 －
[微思考]
1.如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？
提示 不一定，也可能两条直线的斜率都不存在.
2.若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？
提示 当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴.
题型一 两条直线平行的判定及应用
【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)；l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；
(2)l1的斜率为－；l2经过点A(4，2)，B(2，3)；
(3)l1平行于y轴；l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；
(4)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)；l2经过点G(3，4)，H(2，3).
解 (1)∵kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，∴l1与l2不平行.
(2)∵k1＝－，k2＝＝－，即k1＝k2，
∴l1与l2平行或重合.
(3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，∴l1∥l2.
(4)由题意知，k1＝＝1，
k2＝＝1，∴l1与l2平行或重合，
又kFG＝＝1，∴E，F，G，H四点共线，∴l1与l2重合.
规律方法 判断两条不重合直线是否平行的步骤
特别提醒 在证明(判断)两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.
【训练1】 已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，求直线EF的斜率.
解 ∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF∥AB，∴kEF＝kAB＝＝－2.
故直线EF的斜率为－2.
题型二 两条直线的垂直关系
角度1 两条直线垂直关系的判定
【例2－1】 判断下列各小题中l1与l2是否垂直.
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；
(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40).
解 (1)∵k1＝＝2，
k2＝＝，
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直.
(2)∵k1＝－10，k2＝＝，
k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)由A，B的横坐标相等得
l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴.
k2＝＝0，
则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
角度2 两条直线垂直关系的应用
【例2－2】 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，求a的值.
解 设直线l2的斜率为k2，
则k2＝＝－.
①当a＝4时，l1的斜率不存在，
k2＝－，不符合题意；
②当a≠4时，l1的斜率存在，此时k1＝.
由k1·k2＝－1，
得－·＝－1，
解得a＝3或a＝－4.
∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
规律方法 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步.
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应注意对参数进行讨论.
【训练2】 已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(－1，1)，C(0，2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角.
解 设BC边上的高所在直线的斜率为k，
则有k·kBC＝－1.
∵kBC＝＝1，∴k＝－1.
∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.
题型三 平行与垂直的综合应用
【例3】 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.
解 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图：
INCLUDEPICTURE"B475.TIF"
INCLUDEPICTURE
"D:\\共享文件\\2020（秋）数学
选择性必修
第一册
人教A版（新教材新标准）学生用书（鲁津……）\\备份\\新建文件夹\\B475.TIF"
\
MERGEFORMATINET
由斜率公式可得
kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－，
∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
∴AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形.
规律方法 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
【训练3】 已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).
解 设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边.
INCLUDEPICTURE"B476.TIF"
INCLUDEPICTURE
"D:\\共享文件\\2020（秋）数学
选择性必修
第一册
人教A版（新教材新标准）学生用书（鲁津……）\\备份\\新建文件夹\\B476.TIF"
\
MERGEFORMATINET
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3).
(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD＝，kCD＝，
∴
解得x＝，y＝，∴D点坐标为.
综上，D点坐标为(3，3)或.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算与逻辑推理素养.
2.两直线平行或垂直的判定方法
斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在
相等
平行或重合
积为－1
垂直
3.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.
二、素养训练
1.已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
A.－3
B.3
C.－
D.
解析 因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.
答案 B
2.若经过点(3，a)，(－2，0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为( )
A.
B.
C.10
D.－10
解析 由题意知＝－2，∴a＝－10.
答案 D
3.若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有( )
A.α1－α2＝90°
B.α2－α1＝90°
C.|α2－α1|＝90°
D.α1＋α2＝180°
解析 两直线垂直，则它们的倾斜角的绝对值相差90°.
答案 C
4.以点A(1，3)，B(－5，1)为端点的线段的垂直平分线的斜率为________.
解析 ∵kAB＝＝，
∴线段垂直平分线的斜率为－3.
答案 －3
5.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标.
解 设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC.
∴解得∴顶点D的坐标为(3，4).
基础达标
一、选择题
1.已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 因为kMN＝＝－1，所以若直线PQ与直线MN平行，则＝－1，解得m＝－1.
答案 B
2.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )
A.平行
B.重合
C.相交但不垂直
D.垂直
解析 方程x2－3x－1＝0有两个不同实根，且两根之积为－1，即直线l1，l2的斜率之积为－1，所以l1与l2垂直.
答案 D
3.下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 当两直线斜率相等或都不存在时，两直线平行或者重合，故①④不成立；l1∥l2时，斜率可能不存在，故②不成立；③正确.
答案 A
4.若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为( )
A.135°
B.45°
C.30°
D.60°
解析 ∵kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，
∴l的斜率为1，倾斜角为45°.
答案 B
5.以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以点A为直角顶点的直角三角形
D.以点B为直角顶点的直角三角形
解析 ∵kAB＝＝－，kAC＝＝，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形.
答案 C
二、填空题
6.已知直线l1的斜率为1，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为________.
解析 因为直线l1的斜率k1＝1，所以若直线l2⊥l1，则直线l2的斜率k＝－1.所以直线l2的倾斜角为135°.
答案 135°
7.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则点D的坐标为________.
解析 设点D(x，y)，则由AB∥DC，AD∥BC可得kAB＝kDC，kAD＝kBC，即＝，＝，解得x＝0，y＝－2.
答案 (0，－2)
8.已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x，6)，且l1∥l2，则logx＝________.
解析 因为l1∥l2，所以＝2，解得x＝3.
所以log3＝－.
答案 －
三、解答题
9.已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD.
解 设D(x，y)，
则kCD＝，kAB＝3，kCB＝－2，kAD＝.
因为CD⊥AB，CB∥AD，所以kCD·kAB＝－1，kCB＝kAD，
即·3＝－1，＝－2，
所以x＝0，y＝1，即D(0，1).
10.已知△ABC的顶点A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)，求△ABC的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标.
解 因为B(－1，－1)，C(2，1)，所以kBC＝＝，
BC边上的高AD的斜率kAD＝－.
设D(x，y)，由kAD＝＝－，
及kBD＝＝kBC＝，
得x＝，y＝，则D.
能力提升
11.已知点A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
解析 设点D(x，0)，
因为kAB＝＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在.
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
所以4×＝－1，解得x＝－9.
答案 (－9，0)
12.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.
解 由斜率公式可得kAB＝＝，
kBC＝＝0，kAC＝＝5.
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高所在直线与x轴垂直，其斜率不存在.
设AB，AC边上的高所在直线的斜率分别为k1，k2，
由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝－，k2＝－.
综上BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－；
AC边上的高所在直线的斜率为－.
创新猜想
13.(多选题)已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值可以为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD；当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD.
答案 AB
14.(多填题)直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.
解析 若l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，∴b＝2.
若l1∥l2，则k1＝k2，Δ＝9＋8b＝0，∴b＝－.
答案 2 －
