2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
课标要求
素养要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.
通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.
新知探究
射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数学角度分析子弹是否会命中目标.
问题 情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？
提示 托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向.
1.直线的点斜式方程
当斜率不存在时，直线方程为x＝x0；当斜率为0时，直线方程为y＝y0
点斜式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
适用条件
斜率存在
2.直线的斜截式方程
运用方程时要分清是在x轴上的截距还是在y轴上的截距
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
拓展深化
[微判断]
1.对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.(×)
提示 前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0).
2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(√)
3.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)
提示 当x＝0时，在y轴上的截距为－b.
[微训练]
1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
解析 直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以过定点(－1，－2)，斜率为－1.
答案 D
2.经过点(－1，1)，且斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A.x＝－1
B.y＝1
C.y－1＝(x＋1)
D.y－1＝2(x＋1)
解析 由题意知所求直线斜率为，故由点斜式知所求直线方程为y－1＝(x＋1).
答案 C
3.(多填题)已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y轴上的截距为________.
答案 1 45° 0
[微思考]
1.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？
提示 不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
2.直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？
提示 不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数.
题型一 求直线的点斜式方程
【例1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；
(4)过点D(2，1)和E(3，－4).
解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)].
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan
135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)].
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，
∴斜率k＝＝－5.
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).
规律方法 求直线的点斜式方程的思路
特别提醒 只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
【训练1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.
解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；
(2)∵直线的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2；
(3)y＝－1.
题型二 求直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan
150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan
60°＝.
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
规律方法 直线的斜截式方程的求解策略：
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.
【训练2】 写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.
(2)∵k＝tan
60°＝，∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋5.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，
∴直线过点(4，0)和(0，－2).
∴k＝＝，
∴所求直线的斜截式方程为y＝x－2.
题型三 点斜式、斜截式方程的综合应用
角度1 利用直线方程求平行与垂直的条件
【例3－1】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
解 (1)由a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1.故当a＝－1时，l1∥l2.
(2)由4(2a－1)＝－1，解得a＝.故当a＝时，l1⊥l2.
角度2 直线过定点问题
【例3－2】 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3).
由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.
法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3).
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.
规律方法 (1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2?k1k2＝－1.
(2)证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想.
【训练3】 已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
解 当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋.由－＝－得m＝±；由＝，得m＝或m＝，－·＝－1无解.
故当m＝－时，l1与l2平行；
当m＝0时，l1与l2垂直.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象素养及逻辑推理素养.
2.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点P(x，y)与这条直线上一个定点P0(x0，y0)的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P0(x0，y0)的两条反向射线的方程，必须化为y－y0＝k(x－x0)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x0.
3.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时).如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.
二、素养训练
1.过点(－1，3)且垂直于直线y＝x＋的直线方程为( )
A.2x＋y－1＝0
B.2x＋y－5＝0
C.x＋2y－5＝0
D.x－2y＋7＝0
解析 所求直线与已知直线垂直，因此其斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.
答案 A
2.过点(1，0)且与直线y＝x－1平行的直线方程是( )
A.x－2y－1＝0
B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0
D.x＋2y－1＝0
解析 所求直线与已知直线平行，因此其斜率为，
故方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
答案 A
3.直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为( )
A.(3，1)
B.(2，3)
C.(2，－3)
D.(－2，3)
解析 直线方程为y＝k(x－2)＋3，
可化为y－3＝k(x－2)，
所以过定点(2，3).
答案 B
4.倾斜角是30°，且过点(2，1)的直线的点斜式方程是________.
解析 ∵斜率为tan
30°＝，
∴直线的点斜式方程为y－1＝(x－2).
答案 y－1＝(x－2)
5.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，
∴2m－1＝7，解得m＝4.
答案 4
基础达标
一、选择题
1.经过点P(0，2)且斜率为2的直线方程为( )
A.2x＋y＋2＝0
B.2x－y－2＝0
C.2x－y＋2＝0
D.2x＋y－2＝0
解析 由点斜式可得：y－2＝2(x－0)，化为：2x－y＋2＝0.故选C.
答案 C
2.过点(1，0)且与直线y＝x－1垂直的直线方程是( )
A.x－2y－1＝0
B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0
D.x＋2y－1＝0
解析 由于直线y＝x－1的斜率为，故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0，故选C.
答案 C
3.直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )
A.x－y＋1＝0
B.x－y－1＝0
C.x＋y－1＝0
D.x＋y＋1＝0
解析 ∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，
又∵过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x，
整理可得x－y－1＝0，故选B.
答案 B
4.若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有( )
A.k>0，b>0
B.k>0，b<0
C.k<0，b>0
D.k<0，b<0
解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
答案 B
5.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A.(1，3)
B.(－1，－3)
C.(3，1)
D.(－3，－1)
解析 直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1).
答案 C
二、填空题
6.直线y＝2x－5在y轴上的截距是________.
解析 令x＝0，则y＝－5，
∴直线y＝2x－5在y轴上的截距是－5.
答案 －5
7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________.
解析 与y轴相交成30°角的直线的斜率为：
k＝tan
60°＝，或k＝tan
120°＝－，
∴在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是：y＝x－6或y＝－x－6.
答案 y＝x－6或y＝－x－6
8.与直线l：y＝x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________.
解析 根据题意知直线l的斜率k＝，
故直线l1的斜率k1＝.
设直线l1的方程为y＝x＋b，
则令y＝0，得它在x轴上的截距为－b.
又直线l在y轴上的截距为b，
∴－b＋b＝－b＝1，
∴b＝－3.
∴直线l1的方程为y＝x－3.
答案 y＝x－3
三、解答题
9.写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；
(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.
解 (1)斜率k＝tan
45°＝1，可得斜截式方程为y＝x＋2.
(2)由题意知直线过点(3，1)，(0，－1)，∴斜率k＝＝，可得斜截式方程为y＝x－1.
10.已知直线l的方程是y＝x＋1.
(1)求直线l的斜率和倾斜角；
(2)求过点(，－1)且与直线l平行的直线的方程.
解 (1)已知直线l：y＝x＋1，
∴直线l的斜率k＝，倾斜角是60°；
(2)过点(，－1)且与直线l平行的直线的斜率是，其直线方程是：y＋1＝(x－)，即x－y－4＝0.
能力提升
11.斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________.
解析 设所求直线方程为y＝x＋b，
令y＝0得x＝－.
由题意得：|b|＋＋＝12，
即|b|＋|b|＋|b|＝12，即4|b|＝12，∴b＝±3，
∴所求直线方程为y＝x±3.
答案 y＝x±3
12.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明 由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).
(2)解 设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足即
解得－≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是.
创新猜想
13.(多选题)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是( )
A.－2
B.－
C.
D.2
解析 令x＝0，得y＝.
由已知得＝1，则4m＋1＝2m2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0.解得m＝2或(符合题意).
答案 CD
14.(多选题)下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a不可能正确的是( )
解析 ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立.
答案 ABD(共31张PPT)
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
课标要求
素养要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.
通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.
新知探究
射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数学角度分析子弹是否会命中目标.
问题 情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？
提示 托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向.
1.直线的点斜式方程
当斜率不存在时，直线方程为x＝x0；当斜率为0时，直线方程为y＝y0
?
点斜式
已知条件
点P(x0，y0)和____________
图示
方程形式
y－y0＝___________
适用条件
斜率存在
斜率k
k(x－x0)
2.直线的斜截式方程
运用方程时要分清是在x轴上的截距还是在y轴上的截距
?
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
____________
适用条件
斜率存在
y＝kx＋b
拓展深化
[微判断]
提示 前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0).
2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(
)
3.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(
)
提示 当x＝0时，在y轴上的截距为－b.
×
√
×
[微训练]
1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
解析 直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以过定点(－1，－2)，斜率为－1.
答案 D
答案 C
3.(多填题)已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y轴上的截距为________.
答案 1 45° 0
[微思考]
1.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？
提示 不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
2.直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？
提示 不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数.
题型一 求直线的点斜式方程
【例1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；
(4)过点D(2，1)和E(3，－4).
解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)].
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan
135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)].
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).
规律方法 求直线的点斜式方程的思路
特别提醒 只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
【训练1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.
解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；
(2)∵直线的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2；
(3)y＝－1.
题型二 求直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
规律方法 直线的斜截式方程的求解策略：
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.
【训练2】 写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，
∴直线过点(4，0)和(0，－2).
题型三 点斜式、斜截式方程的综合应用
角度1 利用直线方程求平行与垂直的条件
【例3－1】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
角度2 直线过定点问题
【例3－2】 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3).
由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.
法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3).
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.
规律方法 (1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2?k1k2＝－1.
(2)证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想.
解 当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m＝0时，l1与l2垂直.
3.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时).如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.
A.2x＋y－1＝0
B.2x＋y－5＝0
C.x＋2y－5＝0
D.x－2y＋7＝0
解析 所求直线与已知直线垂直，因此其斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.
答案 A
A.x－2y－1＝0
B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0
D.x＋2y－1＝0
答案 A
3.直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为( )
A.(3，1)
B.(2，3)
C.(2，－3)
D.(－2，3)
解析 直线方程为y＝k(x－2)＋3，
可化为y－3＝k(x－2)，
所以过定点(2，3).
答案 B
4.倾斜角是30°，且过点(2，1)的直线的点斜式方程是________.
5.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，
∴2m－1＝7，解得m＝4.
答案 4
