(共34张PPT)
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
课标要求
素养要求
1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程.
2.明确抛物线方程中参数p的几何意义.
3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题.
通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线.
问题 上图是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
提示 上述情境中，点M到点F与点M到直线l的距离相等，即|MC|＝|MF|，得到的曲线是抛物线.
1.抛物线的定义
定点F在直线外
距离相等
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的______________的点的轨迹叫做_________.点F叫做抛物线的_________，直线l叫做抛物线的_________.
抛物线
焦点
准线
2.抛物线标准方程的几种形式
参数p的几何意义是焦点到准线的距离，所以恒为正，p值越大，抛物线开口越大
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
拓展深化
[微判断]
×
√
1.若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(
)
2.若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(
)
提示 由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.
3.若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.(
)
√
[微训练]
1.准线为x＝1的抛物线的标准方程为________.
答案 y2＝－4x
2.抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________.
解析 设P点的坐标为(x0，y0)，
由题意得抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，则x0＋1＝5，x0＝4，
答案 (4，±4)
答案 4
[微思考]
1.平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
提示 不一定.当定直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于定直线的一条直线；当定直线不经过定点时，点的轨迹是抛物线.
2.二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？
提示 不完全相同.当抛物线开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象.
题型一 抛物线的定义及应用
(2)若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )
A.y2＝－16x
B.y2＝－32x
C.y2＝16x
D.y2＝32
(2)∵点P到点(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，
∴点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4，0)的距离.
根据抛物线的定义，可知P点的轨迹是以点(4，0)为焦点.
以直线x＝－4为准线的抛物线.
∴抛物线的标准方程为y2＝16x，
即P点的轨迹方程为y2＝16x，故选C.
答案 (1)A (2)C
规律方法 依据抛物线定义可以实现点线距离与两点距离的转化.
解析 (1)设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2＝4y，
知焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1.
由抛物线的定义，得|PF|＝y0＋1＝10，
所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.
∴P点坐标为(±6，9).
(2)如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，
则当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值.
答案 (1)(6，9)或(－6，9) (2)A
题型二 求抛物线的标准方程
【例2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).
【训练2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 (1)法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px
(p>0)或x2＝－2p1y
(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
法二 抛物线的方程可设为y2＝ax
(a≠0)或x2＝by
(b≠0).
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
题型三 抛物线的实际应用问题
【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
规律方法 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
【训练3】 如图所示，一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∵点B在抛物线上，
∴抛物线方程为x2＝－ay.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.
3.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝mx
(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝my
(m≠0).
二、素养训练
答案 C
答案 D
3.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
解析 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
答案 A
4.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
答案 9
∴p＝4.
答案 43.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
课标要求
素养要求
1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程.2.明确抛物线方程中参数p的几何意义.3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题.
通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
INCLUDEPICTURE"课前预习.TIF"
INCLUDEPICTURE
"课前预习.TIF"
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MERGEFORMAT
新知探究
INCLUDEPICTURE"情景引入.tif"
INCLUDEPICTURE
"情景引入.tif"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"W33.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W33.TIF"
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如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线.
问题 上图是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
提示 上述情境中，点M到点F与点M到直线l的距离相等，即|MC|＝|MF|，得到的曲线是抛物线.
INCLUDEPICTURE"知识梳理.tif"
INCLUDEPICTURE
"知识梳理.tif"
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1.抛物线的定义
定点F在直线外
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线标准方程的几种形式
参数p的几何意义是焦点到准线的距离，所以恒为正，p值越大，抛物线开口越大
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
INCLUDEPICTURE"37.tif"
INCLUDEPICTURE
"37.tif"
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MERGEFORMAT
y2＝2px(p>0)
x＝－
INCLUDEPICTURE"38.tif"
INCLUDEPICTURE
"38.tif"
\
MERGEFORMAT
y2＝－2px(p>0)
x＝
INCLUDEPICTURE"39.tif"
INCLUDEPICTURE
"39.tif"
\
MERGEFORMAT
x2＝2py(p>0)
y＝－
INCLUDEPICTURE"40.tif"
INCLUDEPICTURE
"40.tif"
\
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x2＝－2py(p>0)
y＝
拓展深化
[微判断]
1.若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(√)
2.若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(×)
提示 由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.
3.若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.(√)
[微训练]
1.准线为x＝1的抛物线的标准方程为________.
解析 由题知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，＝1，即p＝2，故抛物线的方程y2＝－4x.
答案 y2＝－4x
2.抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________.
解析 设P点的坐标为(x0，y0)，
由题意得抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，则x0＋1＝5，x0＝4，
∴y＝16，y0＝±4，∴P点坐标为(4，±4).
答案 (4，±4)
3.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________.
解析 椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(2，0)，则p＝4.
答案 4
[微思考]
1.平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
提示 不一定.当定直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于定直线的一条直线；当定直线不经过定点时，点的轨迹是抛物线.
2.二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？
提示 不完全相同.当抛物线开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象.
INCLUDEPICTURE"课堂互动.TIF"
INCLUDEPICTURE
"课堂互动.TIF"
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题型一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A.1
B.2
C.4
D.8
(2)若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )
A.y2＝－16x
B.y2＝－32x
C.y2＝16x
D.y2＝32
解析 (1)由题意，知抛物线的准线方程为x＝－.
因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义，得
x0＋＝|AF|＝x0，所以x0＝1，故选A.
(2)∵点P到点(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，
∴点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4，0)的距离.
根据抛物线的定义，可知P点的轨迹是以点(4，0)为焦点.
以直线x＝－4为准线的抛物线.
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，可得＝4，得2p＝16，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x，
即P点的轨迹方程为y2＝16x，故选C.
答案 (1)A (2)C
规律方法 依据抛物线定义可以实现点线距离与两点距离的转化.
【训练1】 (1)抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为________.
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( )
A.
B.2
C.
D.
解析 (1)设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2＝4y，
知焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1.
由抛物线的定义，得|PF|＝y0＋1＝10，
所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.
∴P点坐标为(±6，9).
(2)如图，由抛物线定义知
INCLUDEPICTURE"43.TIF"
INCLUDEPICTURE
"43.TIF"
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|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，
则当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值.
又A(0，2)，F，
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|
＝
＝.
答案 (1)(6，9)或(－6，9) (2)A
题型二 求抛物线的标准方程
【例2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2，0)；
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2，3)；
(4)焦点到准线的距离为.
解 (1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，
∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，
∴p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
∴m＝或n＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).
【训练2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 (1)法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px
(p>0)或x2＝－2p1y
(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
法二 抛物线的方程可设为y2＝ax
(a≠0)或x2＝by
(b≠0).
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
题型三 抛物线的实际应用问题
【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航.
INCLUDEPICTURE"W35.TIF"
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"W35.TIF"
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规律方法 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
【训练3】 如图所示，一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
INCLUDEPICTURE"44A.tif"
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"44A.tif"
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解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
则点B的坐标为.
INCLUDEPICTURE"44.tif"
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"44.tif"
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设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵点B在抛物线上，
∴＝－2p·，解得p＝，
∴抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
∴点E到拱底AB的距离为
－|y|＝－>3.
当a＝12时，－<3；当a＝13时，－>3，且－随a的增大而增大，∴a的最小整数值为13.
INCLUDEPICTURE"素养达成.TIF"
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"素养达成.TIF"
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一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.
3.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝mx
(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝my
(m≠0).
二、素养训练
1.抛物线y＝－x2的准线方程是( )
A.x＝
B.x＝
C.y＝2
D.y＝4
解析 将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.
答案 C
2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为( )
A.y2＝8x
B.y2＝4x
C.y2＝2x
D.y2＝±8x
解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2，0)或(2，0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
答案 D
3.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.
D.
解析 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
INCLUDEPICTURE"47.TIF"
INCLUDEPICTURE
"47.TIF"
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如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.
答案 A
4.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
答案 9
5.若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.
解析 双曲线－＝1的标准方程为－＝1，
由此c2＝3＋，左焦点为.
由y2＝2px得准线为x＝－，
∴－
＝－，又p>0，
∴p＝4.
答案 4
INCLUDEPICTURE"课后作业.TIF"
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"课后作业.TIF"
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基础达标
一、选择题
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A.(2，0)
B.(－2，0)
C.(4，0)
D.(－4，0)
解析 ∵y2＝－8x，∴p＝4，
∴焦点坐标为(－2，0).
答案 B
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线
解析 法一 设动点P的坐标为(x，y).
则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线.
法二 显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
答案 D
3.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A.x2＝±3y
B.y2＝±6x
C.x2＝±12y
D.x2＝±6y
解析 ∵顶点与焦点的距离等于3，∴＝3，
∴2p＝12，
又∵对称轴是y轴，
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
答案 C
4.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.
B.1
C.
D.
解析 抛物线y2＝x的准线方程为x＝－，由抛物线定义，知|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案 C
5.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
解析 由抛物线方程，知抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.连接PF，并延长PQ交准线于点M，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.
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答案 C
二、填空题
6.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________.
解析 抛物线方程化为y2＝－x，所以抛物线开口向左，2p＝，＝，故焦点坐标为.
答案
7.以椭圆＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______________.
解析 由＋y2＝1得，右焦点为(，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
8.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.
解析 设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3的距离相等，且点A不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6.
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
答案 y2＝12x
三、解答题
9.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程.
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，将点代入方程求得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点到两焦点距离之差的绝对值为2a＝1，所以a＝，b2＝c2－a2＝，所以双曲线的标准方程为－＝1.
10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
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(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).
解 (1)依题意，
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设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示，因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以52＝－2p·(－5)，解得p＝，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h米，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
能力提升
11.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为( )
A.4
B.8
C.16
D.32
解析 如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.
∵|PM|＝|PF|，|PF|＝|PN|，
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∴|PM|＝|PN|.
∴|MN|＝|PN|.
设P，则|t|＝＋2，
解得t＝±4，
∴△PMF的面积为·|t|·|MF|＝×4×4＝8.
答案 B
12.设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点.
(1)求点P到A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值.
解 (1)如图，
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易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离.于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小.显然，连接AF与抛
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物线的交点即为所求点P，故最小值为＝.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，
|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即最小值为4.
创新猜想
13.(多选题)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值可以为( )
A.－4
B.－2
C.2
D.4
解析 由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m2＝
－8×(－2)，解得m＝±4.
答案 AD
14.(多填题)如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切.
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(1)抛物线C的标准方程为________________.
(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，则点A的坐标为________.
解析 (1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，其准线l的方程为y＝－，
因为准线l与圆x2＋y2＝1相切，
所以圆心(0，0)到准线l的距离d＝0－＝1，
解得p＝2.故抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4y1，①,x＝4y2，②))由题意得F(0，1)，
所以＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1).
因为＝2，
所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)，
即代入②得4x＝8y1＋4，
即x＝2y1＋1，又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为或.
答案 (1)x2＝4y (2)或
