(共29张PPT)
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第一课时 抛物线的简单几何性质
课标要求
素养要求
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.
问题 在上述情境中，不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水不落到池外？
提示 在上述情境中，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要2.25米，才能使喷出的水流不致落到池外.
四种形式的抛物线的几何性质
解决问题时，注意抛物线的对称性及准线与对称轴垂直性质的应用
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
拓展深化
[微判断]
×
√
1.抛物线没有渐近线.(
)
2.过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(
)
提示 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为通径长，为2p.
3.抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.(
)
提示 抛物线不是中心对称图形.
×
[微训练]
1.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________.
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
答案 0
2.抛物线y2＝x的焦点到准线的距离等于________.
解析 在抛物线y2＝2py(p>0)中，p的几何意义为焦点到准线的距离.
3.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
解析 因为PQ过焦点，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.
答案 A
[微思考]
1.影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？
提示 影响抛物线开口大小的量为参数p，p值越大，抛物线开口越开阔；反之，开口越扁狭.
2.抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？
提示 有一条对称轴，即y轴.不是中心对称图形.
题型一 抛物线的几何性质
规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.
【训练1】 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
解 当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0).
将点M(1，－2)代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，
设其标准方程为x2＝ny(n≠0).将点M(1，－2)代入，
故所求的抛物线的标准方程为
题型二 抛物线性质的应用
【例2】 (1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.
解 如图所示，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，
由此得∠AOx＝30°，
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.
解 如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
规律方法 利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点：解决焦点弦问题.
A.2
B.4
C.6
D.8
(2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________.
解析 (1)由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)，
(2)由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
二、素养训练
1.抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
答案 B
2.(多选题)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为( )
A.y2＝8x
B.y2＝－8x
C.x2＝8y
D.x2＝4y
解析 设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
答案 AB
3.(多选题)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为( )
答案 BD
4.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( )
A.6x－4y－3＝0
B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
D.2x＋3y－1＝0
答案 A
∴点A的坐标是(1，2)或(1，－2).
答案 (1，2)或(1，－2)(共37张PPT)
第二课时 抛物线的方程及性质的应用
课标要求
素养要求
1.了解抛物线的简单应用.
2.运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题.
通过本节课进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
新知探究
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
问题 上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？
提示 手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，这种曲面叫抛物面.抛物线有一条重要性质，从焦点发出的光线，经过抛物线面上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的.
1.直线与抛物线的位置关系
有三种：相交、相切、相离
两
相交
一
相切
没有
相离
平行或重合
1
相交
2.有关弦长问题
(1)一般弦长
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
|AB|＝_______________，|AF|＝____________.
x1＋x2＋p
拓展深化
[微判断]
×
√
1.若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.(
)
提示 结合图象可知当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点，此时不相切.
2.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.(
)
3.由抛物线y2＝2px(p>0)的图象可知，其上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(
)
√
[微训练]
1.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
解析 因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，所以直线过点(1，0).又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部.所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.故选C.
答案 C
2.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
解析 设抛物线的焦点为F(1，0)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.
答案 C
[微思考]
在解决涉及弦的中点、斜率问题时，可否采用“点差法”求解？请说明理由.
提示 可以，运用点差法解题的优点是避免求出交点坐标或参数值的繁杂计算，这是“设而不求”思想方法应用的典范.
题型一 抛物线的焦点弦问题
所以直线AB的斜率存在，设为k，
规律方法 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.
【训练1】 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8.
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
题型二 与抛物线弦的中点有关的问题
【例2】 过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).
∵P是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
法二 由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
规律方法 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练2】 (1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
(2)(多填题)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________.
(2)由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
答案 (1)A (2)y2＝4x x－y＝0
题型三 抛物线中的综合问题
解 (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知直线l的方程为x＝2y－4.
得：y1＝1，y2＝4，p＝2，
则抛物线G的方程为x2＝4y.
∴y2＝4y1.③
由①，②，③及p＞0，
(2)由题意设l：y＝k(x＋4)(k≠0)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为
b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2.
对于方程④，
由Δ＝16k2＋64k＞0得：
k＞0或k＜－4.
∴b∈(2，＋∞).
规律方法 1.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
2.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【训练3】 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.
证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
所以直线BC的斜率为定值.
以－k代换xB中的k，
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
二、素养训练
1.设AB为过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
解析 当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.
答案 C
2.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
答案 A
3.若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为( )
A.－3
B.3
C.2
D.－2
答案 D
4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.
即(2p)2－4·(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.
答案 2
5.已知抛物线y＝x2的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到x轴的距离等于________.s
根据抛物线的定义，因为|AB|＝4，所以A，B到准线的距离和为4，
所以弦AB的中点到准线的距离为2，第二课时 抛物线的方程及性质的应用
课标要求
素养要求
1.了解抛物线的简单应用.2.运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题.
通过本节课进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
INCLUDEPICTURE"课前预习.TIF"
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"课前预习.TIF"
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MERGEFORMAT
新知探究
INCLUDEPICTURE"情景引入.tif"
INCLUDEPICTURE
"情景引入.tif"
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INCLUDEPICTURE"W46.TIF"
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"W46.TIF"
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MERGEFORMAT
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
问题 上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？
提示 手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，这种曲面叫抛物面.抛物线有一条重要性质，从焦点发出的光线，经过抛物线面上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的.
INCLUDEPICTURE"知识梳理.tif"
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"知识梳理.tif"
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1.直线与抛物线的位置关系
有三种：相交、相切、相离
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，此时直线与抛物线相交；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点，此时直线与抛物线相切；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点，此时直线与抛物线相离.
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点，此时直线与抛物线相交.
2.有关弦长问题
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0).
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋.
拓展深化
[微判断]
1.若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.(×)
提示 结合图象可知当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点，此时不相切.
2.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.(√)
3.由抛物线y2＝2px(p>0)的图象可知，其上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(√)
[微训练]
1.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
解析 因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，所以直线过点(1，0).又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部.所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.故选C.
答案 C
2.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
解析 设抛物线的焦点为F(1，0)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.
答案 C
[微思考]
在解决涉及弦的中点、斜率问题时，可否采用“点差法”求解？请说明理由.
提示 可以，运用点差法解题的优点是避免求出交点坐标或参数值的繁杂计算，这是“设而不求”思想方法应用的典范.
INCLUDEPICTURE"课堂互动.TIF"
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"课堂互动.TIF"
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题型一 抛物线的焦点弦问题
【例1】 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程.
解 由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由消去y，
整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋.
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2p＋
＝p，解得k＝±2.
所以AB所在直线的方程为y＝2或y＝－2，即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
规律方法 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.
【训练1】 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan
60°＝，
又F.
所以直线l的方程为
y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以中点M到准线的距离等于3＋＝.
题型二 与抛物线弦的中点有关的问题
【例2】 过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
解 法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有y＝8x1，y＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).
∵P是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
则k＝＝＝4，
∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
由消x整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
由弦长公式得|AB|＝|y1－y2|＝·＝.
法二 由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
由消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
∵P是AB的中点，∴＝1，∴＝2，∴k＝4.
∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0.
由消y整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
由弦长公式得|AB|＝|y1－y2|＝·＝.
规律方法 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练2】 (1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A.
B.
C.
D.25
(2)(多填题)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________.
解析 (1)由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l过焦点F，所以kl＝＝，所以直线l的方程为y＝(x－2).
由得B点的坐标为.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
所以AB的中点到准线的距离为.
(2)由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1，,y＝4x2，))且x1≠x2，
两式相减得，y－y＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，
所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
答案 (1)A (2)y2＝4x x－y＝0
题型三 抛物线中的综合问题
【例3】 已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点.当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.
解 (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知直线l的方程为x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴
又∵＝4，∴(x2＋4，y2)＝4(x1＋4，y1)，
∴y2＝4y1. ③
由①，②，③及p＞0，
得：y1＝1，y2＝4，p＝2，
则抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)由题意设l：y＝k(x＋4)(k≠0)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由得x2－4kx－16k＝0,
④
∴x0＝＝2k，
y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为
y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为
b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2.
对于方程④，
由Δ＝16k2＋64k＞0得：
k＞0或k＜－4.
∴b∈(2，＋∞).
规律方法 1.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
2.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【训练3】 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.
INCLUDEPICTURE"55.tif"
INCLUDEPICTURE
"55.tif"
\
MERGEFORMAT
证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
∴4·xB＝，即xB＝.
以－k代换xB中的k，
得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
所以直线BC的斜率为定值.
INCLUDEPICTURE"素养达成.TIF"
INCLUDEPICTURE
"素养达成.TIF"
\
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一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
二、素养训练
1.设AB为过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A.
B.p
C.2p
D.无法确定
解析 当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.
答案 C
2.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A.
B.
C.
D.3
解析 设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值.
答案 A
3.若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为( )
A.－3
B.3
C.2
D.－2
解析 因为抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，所以＝－1，所以eq
\f(y1－y2,y－y)＝－1，所以y1＋y2＝－1.因为y1y2＝－1，所以x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，所以AB的中点坐标为，代入y＝x＋b，可得b＝－2.故选D.
答案 D
4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为45°的直线的方程为y＝x－，
把x＝y＋代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.
∵|AB|＝8，∴·|y1－y2|＝8，|y1－y2|＝4，
∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，
即(2p)2－4·(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.
答案 2
5.已知抛物线y＝x2的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到x轴的距离等于________.
解析 由题意，抛物线y＝x2的焦点坐标为，准线方程为y＝－，
根据抛物线的定义，因为|AB|＝4，所以A，B到准线的距离和为4，
所以弦AB的中点到准线的距离为2，
所以弦AB的中点到x轴的距离为2－＝.
答案
INCLUDEPICTURE"课后作业.TIF"
INCLUDEPICTURE
"课后作业.TIF"
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基础达标
一、选择题
1.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析 由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，不妨设A，B，a>0，则S△AOB＝×2a·＝16，解得a＝4，∴A(－4，4)，B(4，4)，∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
答案 D
2.设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·的值是( )
A.
B.－
C.3
D.－3
解析 由y2＝2x得焦点坐标为，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，
由消y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k2
＝x1x2＋k2
＝＋k2
＝＋(－1)＝－.
当直线AB的斜率不存在时，
易求得A，B.
所以·＝·
＝－1＝－.
综上，·的值是－.
答案 B
3.已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A.
B.(0，0)
C.(1，2)
D.(1，4)
解析 法一 设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，
其中x∈R，由点到直线的距离公式得
d＝＝.
当x＝时，d最小，这时点的坐标为.
法二 设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，
由得4x2－4x－m＝0.
再由Δ＝16－4×4·(－m)＝0，得m＝－1.
这时切点为，切点到y＝4x－5的距离最小.
答案 A
4.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°，直线OA的方程为y＝x.
由方程组
得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p·2p＝4p2.
答案 B
5.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是( )
A.2
B.3
C.4
D.0
解析 因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0.
因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝0时，z取最小值3.
答案 B
二、填空题
6.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
解析 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或k＝1.
答案 0或1
7.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________.
解析 设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
将y＝x－1代入y2＝4x，
整理得x2－6x＋1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2，
∴所求点的坐标为(3，2).
答案 (3，2)
8.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________.
解析 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案 x＝－1
三、解答题
9.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为，求抛物线的方程.
解 设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，
由消去y，得4x2－(2a－4)x＋1＝0.
设直线y＝2x＋1与抛物线交于A，B两点，其坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2
＝，x1x2＝.
|AB|＝|x1－x2|＝
＝
＝.
则
＝，a2－4a－12＝0，
解得a＝－2或a＝6(经检验均满足Δ＝(2a－4)2－4×4>0).
∴抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.
10.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2).
INCLUDEPICTURE"W47.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W47.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.
解 (1)当y＝时，x＝，
又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
故由抛物线定义得，所求距离为－＝.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
由y＝2px1，y＝2px0，相减得
(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)，
故kPA＝＝(x1≠x0).
同理可得kPB＝(x2≠x0).
由PA，PB倾斜率角互补知kPA＝－kPB，
即＝－.
∴y1＋y2＝－2y0，故＝－2.
设直线AB的斜率为kAB，由y＝2px2，y＝2px1，
相减得(y2－y1)(y2＋y1)＝2p(x2－x1).
∴kAB＝＝(x1≠x2).
将y1＋y2＝－2y0(y0>0)代入得
kAB＝＝－，所以kAB是非零常数.
能力提升
11.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为( )
A.
B.1
C.
D.2
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为Q，P.
设|AF|＝a，|BF|＝b，
则由抛物线定义，得|AQ|＝|AF|＝a，|BP|＝|BF|＝b，
INCLUDEPICTURE"c77.TIF"
INCLUDEPICTURE
"c77.TIF"
\
MERGEFORMAT
在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.
在△ABF中，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos
60°＝a2＋b2－ab.
配方得，|AB|2＝(a＋b)2－3ab，又因为ab≤，
所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，
得到|AB|≥(a＋b)＝|CD|.
所以≥1，即的最小值为1.
答案 B
12.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋＝；
(3)以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明 如图所示.
INCLUDEPICTURE"XB5.TIF"
INCLUDEPICTURE
"XB5.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线方程为
x＝－.
设直线AB的方程为x＝ky＋，
把它代入y2＝2px，
化简，得y2－2pky－p2＝0.
∴y1y2＝－p2，
∴x1x2＝eq
\f(y,2p)·eq
\f(y,2p)＝＝＝.
(2)根据抛物线定义知
|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋，
∴＋＝＋
＝＋＝
＝＝＝.
(3)设AB中点为C(x0，y0)，
过A，B，C分别作准线的垂线，
垂足分别为A1，B1，C1.
则|CC1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)
＝|AB|.
∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
创新猜想
13.(多选题)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
解析 由题意知准线为x＝－2，则Q(－2，0).
设l：y＝k(x＋2)，由
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，得x＝0，即交点为(0，0)，
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1，1].故选BC.
答案 BC
14.(多填题)已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a＞0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则·的最小值为________，此时点P的坐标为________.
解析 抛物线y＝x2，即x2＝8y的焦点为F(0，2).
所以a2＝22－12＝3，故双曲线的方程为－x2＝1.
设P(x，y)，因为点P在x轴上方且在双曲线上，故由双曲线的性质可得y≥.
＝(x，y)，＝(x，y－2)，
·＝x2＋y(y－2)＝x2＋y2－2y
＝＋y2－2y－1＝y2－2y－1＝－1
＝－.
因为y＝＜，
故函数t＝－在[，＋∞)上单调递增，当y＝时，取得最小值，最小值为×()2－2×－1＝3－2.
所以·的最小值为3－2.
点P的横坐标为0，所以此时P为(0，).
答案 3－2 (0，)3.3.2 抛物线的简单几何性质
第一课时 抛物线的简单几何性质
课标要求
素养要求
1.了解抛物线的简单几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.
INCLUDEPICTURE"课前预习.TIF"
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"课前预习.TIF"
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MERGEFORMAT
新知探究
INCLUDEPICTURE"情景引入.tif"
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"情景引入.tif"
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某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.
INCLUDEPICTURE"W37.TIF"
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"W37.TIF"
\
MERGEFORMAT
问题 在上述情境中，不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水不落到池外？
提示 在上述情境中，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要2.25米，才能使喷出的水流不致落到池外.
INCLUDEPICTURE"知识梳理.tif"
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"知识梳理.tif"
\
MERGEFORMAT
四种形式的抛物线的几何性质
解决问题时，注意抛物线的对称性及准线与对称轴垂直性质的应用
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
INCLUDEPICTURE"W38.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W38.TIF"
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MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"W39.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W39.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"W40.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W40.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"W41.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W41.TIF"
\
MERGEFORMAT
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0，0)
离心率
e＝1
通径长
2p
拓展深化
[微判断]
1.抛物线没有渐近线.(√)
2.过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(×)
提示 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为通径长，为2p.
3.抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.(×)
提示 抛物线不是中心对称图形.
[微训练]
1.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________.
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
答案 0
2.抛物线y2＝x的焦点到准线的距离等于________.
解析 在抛物线y2＝2py(p>0)中，p的几何意义为焦点到准线的距离.
答案
3.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
解析 因为PQ过焦点，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.
答案 A
[微思考]
1.影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？
提示 影响抛物线开口大小的量为参数p，p值越大，抛物线开口越开阔；反之，开口越扁狭.
2.抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？
提示 有一条对称轴，即y轴.不是中心对称图形.
INCLUDEPICTURE"课堂互动.TIF"
INCLUDEPICTURE
"课堂互动.TIF"
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MERGEFORMAT
题型一 抛物线的几何性质
【例1】 已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
解 因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.
【训练1】 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，
－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
解 当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0).
将点M(1，－2)代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，
设其标准方程为x2＝ny(n≠0).
将点M(1，－2)代入，
得n＝－.
∴抛物线的标准方程为x2＝－y.
故所求的抛物线的标准方程为
y2＝4x或x2＝－y.
准线方程分别为x＝－1或y＝.
题型二 抛物线性质的应用
【例2】 (1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.
解 如图所示，
INCLUDEPICTURE"C72.TIF"
INCLUDEPICTURE
"C72.TIF"
\
MERGEFORMAT
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝2px1，y＝2px2.
又|OA|＝|OB|，
所以x＋y＝x＋y，
即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与y＝2px1联立，
解得y1＝2p.
所以|AB|＝2y1＝4p，
即这个三角形的边长为4p.
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.
INCLUDEPICTURE"W42.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W42.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
∵F是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1.
∴y＝x0，
又∵y＝2px0，∴x0＝2p＋＝.
∴直线AB的方程为x＝.
规律方法 利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点：解决焦点弦问题.
【训练2】 (1)(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·＝0，则p的值可以为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
(2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________.
解析 (1)由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)，
设点M(x，y)，由抛物线定义知|MF|＝x＋＝5，可得x＝5－.
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，
由已知可知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即点M，代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.故选AD.
(2)由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
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"C71.TIF"
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由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，
故y0＝|AH|＝(x0－1)，
所以点A的坐标为(x0，(x0－1))，
将此代入抛物线方程可得3x－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝(舍)，所以点A的坐标为(3，2)，
故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4.
答案 (1)AD (2)4
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一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
二、素养训练
1.抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.2
B.
C.
D.
解析 椭圆的标准方程为＋＝1，则其一个焦点坐标为，所以＝，p＝，故抛物线的焦点到准线的距离为.
答案 B
2.(多选题)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为( )
A.y2＝8x
B.y2＝－8x
C.x2＝8y
D.x2＝4y
解析 设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
依题意将x＝代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
答案 AB
3.(多选题)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选BD.
答案 BD
4.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( )
A.6x－4y－3＝0
B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
D.2x＋3y－1＝0
解析 设直线l的方程为3x－2y＋c＝0(c≠5).因为抛物线y2＝2x的焦点为F，所以3×－2×0＋c＝0，
所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.选A.
答案 A
5.已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________________.
解析 设Aeq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))，∵抛物线的焦点为F(1，0)，
则＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))，＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,4)，－y0))，
由·＝－4，得y0＝±2，
∴点A的坐标是(1，2)或(1，－2).
答案 (1，2)或(1，－2)
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基础达标
一、选择题
1.若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A.－2
B.2
C.－4
D.4
解析 由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为，将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2，0)，根据题意可得＝2，所以m＝4.故选D.
答案 D
2.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，且|AB|＝8，那么抛物线方程为( )
A.y2＝2x
B.y2＝4x
C.y2＝8x
D.y2＝6x
解析 因为直线AB过焦点F，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
答案 B
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为( )
A.2
B.1
C.
D.
解析 曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
答案 A
4.抛物线
C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
∵圆的面积为36π，
∴圆的半径为6.
又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝6，∴p＝8.
答案 D
5.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A.y2＝－11x
B.y2＝11x
C.y2＝－22x
D.y2＝22x
解析 在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0，得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，
设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.
答案 C
二、填空题
6.已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________.
解析 由圆C的方程知圆心C(－3，－4)，由抛物线的定义知，m＋|PC|最小值为圆心与抛物线焦点(2，0)间的距离，即＝.
答案
7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________.
解析 ∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上，
∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，
则焦点F的坐标为(2，0).
又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
答案 －
8.已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
解析 由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).
答案 (1，0)
三、解答题
9.如图所示，过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程.
INCLUDEPICTURE"RJX72.TIF"
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"RJX72.TIF"
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解 如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则|BF|＝|BD|，
INCLUDEPICTURE"RJX72A.TIF"
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"RJX72A.TIF"
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又2|BF|＝|BC|，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，
∴|AC|＝6，|FC|＝3.
∴F到准线距离p＝|FC|＝.
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程.
解 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则其准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上，
∴|QA|＝|QB|，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
能力提升
11.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________.
解析 由y2＝4x知：焦点F(，0)，准线x＝－.
设P点坐标为(x0，y0)，
则x0＋＝4，∴x0＝3，
∴y＝4×3＝24，
∴|y0|＝2，
∴S△POF＝××2＝2.
答案 2
12.已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点.
(1)解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有kOA＝，kOB＝.
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y＝2px1，y＝2px2，∴eq
\f(y,2p)·eq
\f(y,2p)＋y1y2＝0.
∵y1≠0，y2≠0，
∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)证明 ∵y＝2px1，y＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴＝，∴kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
∴y＝＋y1－，
即y＝＋eq
\f(y－2px1＋y1y2,y1＋y2).
∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋，
∴y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p，0).
创新猜想
13.(多选题)抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标可以为( )
A.(3，2)
B.(3，－2)
C.(－3，2)
D.(－3，－2)
解析 设点P的坐标为(x，y)，
∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，
∴y＝±2.∴点P的坐标为(3，±2).
答案 AB
14.(多填题)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则p＝________，B到该抛物线准线的距离为________.
解析 由已知得B，把点B坐标代入y2＝2px得1＝2p·，
∴p2＝2，∴p＝，
∴B，故d＝＋＝.
答案 