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第三章
?圆锥曲线的方程
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
圆锥曲线发展史
2
000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.阿波罗尼(Apollonius，前262～前190年)与欧几里德是同时代人，其巨著《圆锥曲线论》与欧几里德的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作.在《圆锥曲线论》中，阿
波罗尼总结了前人的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化，在此基础上，又提出许多自己的创见.事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果.
[读图探新]——发现现象背后的知识
链接：圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，它们有很多非常好的几何性质，这些几何性质在日常生活和社会生产中都有着重要而广泛的应用，因此学习这部分内容对于提高自身素质非常重要.本章将在学习直线和圆的基础上，进一步学习圆锥曲线及其方程，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用，并进一步体会数形结合这一重要的数学思想.
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
课标要求
素养要求
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.
通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
新知探究
“神舟”十一号飞船于北京时间2016年10月19日凌晨与“天宫二号”成功实施自动交会对接.这是一个非常复杂的过程，包含一系列的步骤，要让两个8吨多的“大家伙”在每秒7.9公里左右的飞行速度下完美对接在一起，这个过程仿佛就是在太空中穿针引线.“合体”后，航天员将进驻“天宫二号”，开展空间科学实验.请观察这两个“大家伙”的运行轨道是一个什么图形.
问题 两个“大家伙”的运行轨迹是圆锥曲线中的椭圆，那么圆锥曲线还包括哪些曲线？
提示 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
1.椭圆的定义
椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>2c＝|F1F2|}
平面内与两个定点F1，F2的__________________________的点的轨迹叫做_________.这两个定点叫做椭圆的_________，两焦点间的距离叫做椭圆的_________，焦距的一半称为_________.
距离的和等于常数(大于|F1F2|)
椭圆
焦点
焦距
半焦距
2.椭圆的标准方程
当且仅当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准方程
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
c2＝a2－b2
c2＝a2－b2
拓展深化
[微判断]
1.已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆.(
)
2.已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆.(
)
提示 因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2.
3.已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆.(
)
提示 因为|PF1|＋|PF2|＜|F1F2|，所以点P的轨迹不存在.
√
×
×
[微训练]
1.已知两定点F1(0，2)，F2(0，－2)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则点P的轨迹方程是________.
答案 50
[微思考]
1.如何理解椭圆的定义？
提示 ①椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.
②定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
③常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
2.椭圆标准方程的特征是什么？
提示 ①方程形式：从方程结构上看，在标准方程中，左边是两个平方相加，右边是“1”，x2，y2的系数均为正且不相等.有时可简记作：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B).
②焦点的位置：利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.较大的分母是a2，较小的分母是b2.
题型一 椭圆定义的应用
角度1 椭圆定义的直接应用
故由椭圆定义有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝2a＋2a＝20.
角度2 椭圆中的焦点三角形
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2
＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos
30°，
规律方法 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
【训练1】 已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积.
解 (1)依题意知|F1F2|＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
(2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos
120°)，解得mn＝12.
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).
解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.
解 法一 (1)当焦点在x轴上时，
(2)当焦点在y轴上时，
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
题型三 求与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.
由|BC|＝8可知点B(－4，0)，C(4，0).
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上.由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
规律方法 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.
【训练3】 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
解 如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，
∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6).
∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
∴2a＝10，2c＝|AB|＝6.
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
2.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a：
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在.
3.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法.
用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.
二、素养训练
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段.
答案 D
2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝8.
不妨假设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝5，|PF2|＝3.
而|F1F2|＝4，
所以|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
所以△PF1F2是直角三角形，故选B.
答案 B
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
4.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
|F1F2|＝2c＝10.由于PF1⊥PF2，
所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝100.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100.
解得|PF1|·|PF2|＝48.
答案 48第三章
?圆锥曲线的方程
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
圆锥曲线发展史
2
000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.阿波罗尼(Apollonius，前262～前190年)与欧几里德是同时代人，其巨著《圆锥曲线论》与欧几里德的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作.在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼总结了前人的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化，在此基础上，又提出许多自己的创见.事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果.
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[读图探新]——发现现象背后的知识
链接：圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，它们有很多非常好的几何性质，这些几何性质在日常生活和社会生产中都有着重要而广泛的应用，因此学习这部分内容对于提高自身素质非常重要.本章将在学习直线和圆的基础上，进一步学习圆锥曲线及其方程，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用，并进一步体会数形结合这一重要的数学思想.
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
课标要求
素养要求
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.
通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
新知探究
“神舟”十一号飞船于北京时间2016年10月19日凌晨与“天宫二号”成功实施自动交会对接.这是一个非常复杂的过程，包含一系列的步骤，要让两个8吨多的“大家伙”在每秒7.9公里左右的飞行速度下完美对接在一起，这个过程仿佛就是在太空中穿针引线.“合体”后，航天员将进驻“天宫二号”，开展空间科学实验.请观察这两个“大家伙”的运行轨道是一个什么图形.
问题 两个“大家伙”的运行轨迹是圆锥曲线中的椭圆，那么圆锥曲线还包括哪些曲线？
提示 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
1.椭圆的定义椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>2c＝|F1F2|}
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
2.椭圆的标准方程
当且仅当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
c2＝a2－b2
拓展深化
[微判断]
1.已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆.(√)
2.已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆.(×)
提示 因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2.
3.已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆.(×)
提示 因为|PF1|＋|PF2|＜|F1F2|，所以点P的轨迹不存在.
[微训练]
1.已知两定点F1(0，2)，F2(0，－2)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则点P的轨迹方程是________.
解析 由题意知点P的轨迹是椭圆，焦点在y轴上，其中c＝2，a＝4，故b2＝a2－c2＝12，故点P的轨迹方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
2.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
解析 由椭圆方程，知a2＝169，b2＝25，∴a＝13，c＝＝12.由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝26，又|F1F2|＝2c＝24，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝50.
答案 50
[微思考]
1.如何理解椭圆的定义？
提示 ①椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.
②定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
③常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
2.椭圆标准方程的特征是什么？
提示 ①方程形式：从方程结构上看，在标准方程中，左边是两个平方相加，右边是“1”，x2，y2的系数均为正且不相等.有时可简记作：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B).
②焦点的位置：利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.较大的分母是a2，较小的分母是b2.
题型一 椭圆定义的应用
角度1 椭圆定义的直接应用
【例1－1】 如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.求△AF1B的周长.
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解 由椭圆方程＋＝1可得a＝5，
故由椭圆定义有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝2a＋2a＝20.
角度2 椭圆中的焦点三角形
【例1－2】 已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积.
解 由椭圆方程＋＝1可得a＝，b＝2，c＝＝1.
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2
＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos
30°，
∴4＝(2)2－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－).
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin
30°＝8－4.
规律方法 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
【训练1】 已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积.
解 (1)依题意知|F1F2|＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
且2a＝4，2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，
故所求点P的轨迹方程为＋＝1.
(2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos
120°)，解得mn＝12.
∴S△PF1F2＝mnsin∠F1PF2＝×12sin
120°＝3.
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).
解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.
【训练2】 求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.
解 法一 (1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型三 求与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.
由|BC|＝8可知点B(－4，0)，C(4，0).
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上.
由a＝5，c＝4，
得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
规律方法 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.
【训练3】 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
解 如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，
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∴|PB|＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6).
∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
∴2a＝10，2c＝|AB|＝6.
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
2.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a：
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在.
3.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法.
用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.
二、素养训练
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段.
答案 D
2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1，
又其一个焦点坐标为(0，1)，故－1＝1，解得k＝2.
答案 B
3.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
解析 根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝8.
不妨假设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝5，|PF2|＝3.
而|F1F2|＝4，
所以|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
所以△PF1F2是直角三角形，故选B.
答案 B
4.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 方程可化为＋＝1.
若m>n>0，则0<<，可得方程表示焦点在y轴上的椭圆.
若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则>>0，可得m>n>0.故选C.
答案 C
5.已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
解析 依题意知，a＝7，b＝2，
c＝＝5，
|F1F2|＝2c＝10.
由于PF1⊥PF2，
所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝100.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，
即196－2|PF1|·|PF2|＝100.
解得|PF1|·|PF2|＝48.
答案 48
基础达标
一、选择题
1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆.
答案 B
2.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为( )
A.9
B.4
C.3
D.2
解析 由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).
答案 C
3.已知椭圆＋＝1的左焦点为F1，一动直线过椭圆右焦点F2且与椭圆交于点M，N，则△F1MN的周长为( )
A.16
B.20
C.32
D.40
解析 由椭圆方程知a＝10，结合椭圆的定义，得△F1MN的周长为4a＝40.
答案 D
4.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(x≠0)
解析 由|AB|＋|AC|＝20－8＝12>|BC|＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与y轴的交点)，其中2a＝12，2c＝8，b2＝a2－c2＝20.故其方程为＋＝1(x≠0).
答案 B
5.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析 由椭圆方程知a＝4，b＝3，c＝，
所以|PF1|＋|PF2|＝8，
cos∠F1PF2＝
＝
＝＝.
又因为0°≤∠F1PF2<180°，
所以∠F1PF2＝60°.
答案 B
二、填空题
6.椭圆＋＝1的焦点坐标是________________.
解析 由椭圆的标准方程知，a2＝169，b2＝25，
∴c2＝a2－b2＝169－25＝144，
又由椭圆的标准方程知椭圆的焦点在y轴上，
∴焦点坐标为(0，－12)和(0，12).
答案 (0，－12)，(0，12)
7.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.
解析 设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝|ME|＝4.
答案 4
8.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，又PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1||PF2|＝2b2，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9.∴b＝3.
答案 3
三、解答题
9.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝，|PF2|＝，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，
即a＝.
由|PF1|＞|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴.
在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，
∴c2＝，
∴b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
10.在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程.
解 如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
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"20.TIF"
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MERGEFORMAT
在Rt△ABC中，
|BC|＝＝.
∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2，
且|PA|＋|PB|>|AB|，
∴由椭圆的定义知，动点P的轨迹E为椭圆，
且a＝，c＝1，b＝1.
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
能力提升
11.设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________.
解析 根据题意，知F1(－，0)，F2(，0).设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d).
可得＝(m＋，n)，＝(c－，d).
∵＝5，∴
∴c＝，d＝.
∵点A，B都在椭圆上，
∴＋n2＝1，＋＝1.
解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1).
答案 (0，±1)
12.已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆的两焦点，若·＝0.试求：
(1)椭圆的方程；
(2)sin∠PF1F2的值.
解 (1)因为＝(－c－6，－8)，＝(c－6，－8)，
且·＝0，
所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10，0)，F2(10，0)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|
＝＋＝12，
所以a＝6，b2＝a2－c2＝80.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为·＝0，
所以PF1⊥PF2，
由(1)知，|PF2|＝＝4，
|F1F2|＝2c＝20，
所以sin∠PF1F2＝＝＝.
创新猜想
13.(多选题)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可以是( )
A.圆
B.椭圆
C.线段
D.射线
解析 如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则|AC|＝R－r，由于r＝|BC|，
INCLUDEPICTURE"19.TIF"
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MERGEFORMAT
∴|AC|＝R－|BC|即|CA|＋|CB|＝R.
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.
∵B为圆内的定点，∴|AB|∴动点C的轨迹为椭圆.若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.
答案 AB
14.(多填题)设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，则焦距为________；若P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
解析 由椭圆的方程知a＝5，b＝3，c＝＝4，故焦距为8，
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18.
答案 8 18
