(共33张PPT)
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
课标要求
素养要求
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.
2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养.
新知探究
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.
问题 在以上情境中，曲线上的点应满足怎样的几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数.
1.双曲线的定义
当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在
差的绝对值
把平面内与两个定点F1，F2的距离的_____________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做________.这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________.
双曲线
焦点
焦距
2.双曲线的标准方程
在双曲线中，a不一定大于b.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上
?
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
_________________
___________________
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
___________，___________
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c的关系
c2＝___________
(0，－c)
(0，c)
a2＋b2
拓展深化
[微判断]
×
1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(
)
提示 必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.
2.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(
)
提示 平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.
3.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(
)
提示 因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线.
×
×
[微训练]
1.已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足|PF1|－|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是________.
解析 由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
故|PF2|＝4或|PF2|＝16.
答案 4或16
3.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.
∴2m＝12，∴m＝6.
答案 6
[微思考]
1.双曲线定义中的“距离的差的绝对值”中的“绝对值”能否去掉？
提示 不能去掉.若去掉，就变成双曲线的一个分支了.
2.双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
提示 双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定.
题型一 双曲线定义的应用
A.11
B.9
C.5
D.3
解析 (1)由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
答案 (1)B (2)C
规律方法 求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a).
∴b2＝c2－a2＝6，
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
法二 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∵双曲线经过点(－5，2)，
规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程.
【训练2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
解 (1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
(2)因为焦点在x轴上，
解得a2＝8，b2＝4，
题型三 双曲线中的焦点三角形问题
将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得
且0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝90°，
规律方法 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
2.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a
(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.
3.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
4.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1
(mn<0)的形式求解.
二、素养训练
1.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.一条射线
解析 因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.
答案 B
A.±5
B.±3
C.5
D.9
解析 由题意知，34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.
答案 B
3.若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线
D.焦点在x轴上的双曲线
答案 C
4.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.
解析 b2＝c2－a2＝24.
5.P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.
所以a2＝16，2a＝8.
因为P点在双曲线左支上，
所以|PF1|－|PF2|＝－8.
答案 －83.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
课标要求
素养要求
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养.
新知探究
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.
问题 在以上情境中，曲线上的点应满足怎样的几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数.
1.双曲线的定义
当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程
在双曲线中，a不一定大于b.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
拓展深化
[微判断]
1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(×)
提示 必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.
2.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(×)
提示 平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.
3.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)
提示 因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线.
[微训练]
1.已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足|PF1|－|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是________.
解析 由题知c＝4，a＝1，故b2＝15，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案 x2－＝1
2.设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.
解析 由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
故|PF2|＝4或|PF2|＝16.
答案 4或16
3.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.
解析 椭圆方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12，∴焦点F1(－2，0)，F2(2，0).
∵双曲线－＝1与椭圆有相同焦点，
∴2m＝12，∴m＝6.
答案 6
[微思考]
1.双曲线定义中的“距离的差的绝对值”中的“绝对值”能否去掉？
提示 不能去掉.若去掉，就变成双曲线的一个分支了.
2.双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
提示 双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定.
题型一 双曲线定义的应用
【例1】 (1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A.11
B.9
C.5
D.3
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A.4
B.8
C.24
D.48
解析 (1)由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
(2)由题意，得
解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝·|PF1|·|PF2|＝24.
答案 (1)B (2)C
规律方法 求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a).
【训练1】 在△ABC中，已知|AB|＝4，A(－2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sin
B－sin
A＝sin
C，求顶点C的轨迹方程.
解 由sin
B－sin
A＝sin
C及正弦定理，
可得b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|，
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去顶点).∵a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>).
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上.
解 (1)法一 若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以
解得
(舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
法二 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二 ∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程.
【训练2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2).
解 (1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
题型三 双曲线中的焦点三角形问题
【例3】 如图，已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点.
若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.
INCLUDEPICTURE"30.TIF"
INCLUDEPICTURE
"30.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
且0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
规律方法 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
【训练3】 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解 由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
2.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a
(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.
3.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
4.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1
(mn<0)的形式求解.
二、素养训练
1.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.一条射线
解析 因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.
答案 B
2.若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是( )
A.±5
B.±3
C.5
D.9
解析 由题意知，34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.
答案 B
3.若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线
D.焦点在x轴上的双曲线
解析 将已知方程化为标准方程，根据项的系数符号进行判断.原方程可化为－＝1.
∵k>1，∴k2－1>0，1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
答案 C
4.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.
解析 b2＝c2－a2＝24.
当焦点在x轴上时，方程为－＝1，
当焦点在y轴上时，方程为－＝1.
答案 －＝1或－＝1
5.P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.
解析 将x2－y2＝16化为标准方程为－＝1，
所以a2＝16，2a＝8.
因为P点在双曲线左支上，
所以|PF1|－|PF2|＝－8.
答案 －8
基础达标
一、选择题
1.双曲线2x2－y2＝8的焦距是( )
A.2
B.2
C.4
D.4
解析 因为双曲线方程可化为－＝1，
所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4.
答案 C
2.若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，(k－5)(k－2)>0，即k>5或k<2.故选A.
答案 A
3.已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，则实数m的值是( )
A.1
B.－1
C.－
D.
解析 由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
答案 B
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A.4a
B.4a－m
C.4a＋2m
D.4a－2m
解析 不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，
知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
答案 C
5.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是( )
A.－y2＝1
B.x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0，2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
答案 B
二、填空题
6.若双曲线－＝1的焦距为10，则m＝________.
解析 由题意知，a＝4，b＝，c＝5，
又由a2＋b2＝c2得，16＋m＝25，∴m＝9.
答案 9
7.已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________.
解析 由双曲线定义，知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10，∴|PF2|＝2或22.
答案 22或2
8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________.
解析 焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过(4，－3)，
∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案 －＝1
三、解答题
9.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求|PF1|＋|PF2|的值.
解 由双曲线方程，知a＝1，b＝1，c＝.
不妨设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
10.已知△ABC的一边的两个顶点为B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
解 设顶点A的坐标为(x，y)(x≠±a)，则
kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0).
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当
－1当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).
能力提升
11.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2，得d＋d＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cos∠F1PF2＝eq
\f(d＋d－4c2,2d1d2)＝＝.
答案 B
12.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状.
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有
解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，MF1边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角.
故△MF1F2为钝角三角形.
创新猜想
13.(多选题)过点(1，1)，且＝的双曲线的标准方程可以是( )
A.－y2＝1
B.－x2＝1
C.x2－＝1
D.y2－＝1
解析 由于＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入(1，1)点，得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
答案 AB
14.(多填题)若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________；若表示椭圆，则m的取值范围是________.
解析 若表示双曲线，则应有m＋1>0，即m>－1.若表示椭圆，则有解之得m<－1且m≠－5.
答案 (－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)
