3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
课标要求
素养要求
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养.
新知探究
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.
问题 在以上情境中，曲线上的点应满足怎样的几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数.
1.双曲线的定义
当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程
在双曲线中，a不一定大于b.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
拓展深化
[微判断]
1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(×)
提示 必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.
2.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(×)
提示 平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.
3.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)
提示 因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线.
[微训练]
1.已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足|PF1|－|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是________.
解析 由题知c＝4，a＝1，故b2＝15，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案 x2－＝1
2.设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.
解析 由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
故|PF2|＝4或|PF2|＝16.
答案 4或16
3.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.
解析 椭圆方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12，∴焦点F1(－2，0)，F2(2，0).
∵双曲线－＝1与椭圆有相同焦点，
∴2m＝12，∴m＝6.
答案 6
[微思考]
1.双曲线定义中的“距离的差的绝对值”中的“绝对值”能否去掉？
提示 不能去掉.若去掉，就变成双曲线的一个分支了.
2.双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
提示 双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定.
题型一 双曲线定义的应用
【例1】 (1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A.11
B.9
C.5
D.3
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A.4
B.8
C.24
D.48
解析 (1)由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
(2)由题意，得
解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝·|PF1|·|PF2|＝24.
答案 (1)B (2)C
规律方法 求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a).
【训练1】 在△ABC中，已知|AB|＝4，A(－2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sin
B－sin
A＝sin
C，求顶点C的轨迹方程.
解 由sin
B－sin
A＝sin
C及正弦定理，
可得b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|，
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去顶点).∵a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>).
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上.
解 (1)法一 若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以
解得
(舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
法二 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二 ∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程.
【训练2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2).
解 (1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
题型三 双曲线中的焦点三角形问题
【例3】 如图，已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点.
若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.
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解 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
且0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
规律方法 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
【训练3】 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解 由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
2.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a
(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.
3.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
4.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1
(mn<0)的形式求解.
二、素养训练
1.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.一条射线
解析 因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.
答案 B
2.若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是( )
A.±5
B.±3
C.5
D.9
解析 由题意知，34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.
答案 B
3.若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线
D.焦点在x轴上的双曲线
解析 将已知方程化为标准方程，根据项的系数符号进行判断.原方程可化为－＝1.
∵k>1，∴k2－1>0，1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
答案 C
4.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.
解析 b2＝c2－a2＝24.
当焦点在x轴上时，方程为－＝1，
当焦点在y轴上时，方程为－＝1.
答案 －＝1或－＝1
5.P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.
解析 将x2－y2＝16化为标准方程为－＝1，
所以a2＝16，2a＝8.
因为P点在双曲线左支上，
所以|PF1|－|PF2|＝－8.
答案 －8
基础达标
一、选择题
1.双曲线2x2－y2＝8的焦距是( )
A.2
B.2
C.4
D.4
解析 因为双曲线方程可化为－＝1，
所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4.
答案 C
2.若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，(k－5)(k－2)>0，即k>5或k<2.故选A.
答案 A
3.已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，则实数m的值是( )
A.1
B.－1
C.－
D.
解析 由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
答案 B
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A.4a
B.4a－m
C.4a＋2m
D.4a－2m
解析 不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，
知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
答案 C
5.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是( )
A.－y2＝1
B.x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0，2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
答案 B
二、填空题
6.若双曲线－＝1的焦距为10，则m＝________.
解析 由题意知，a＝4，b＝，c＝5，
又由a2＋b2＝c2得，16＋m＝25，∴m＝9.
答案 9
7.已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________.
解析 由双曲线定义，知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10，∴|PF2|＝2或22.
答案 22或2
8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________.
解析 焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过(4，－3)，
∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案 －＝1
三、解答题
9.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求|PF1|＋|PF2|的值.
解 由双曲线方程，知a＝1，b＝1，c＝.
不妨设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
10.已知△ABC的一边的两个顶点为B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
解 设顶点A的坐标为(x，y)(x≠±a)，则
kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0).
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当
－1
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).
能力提升
11.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2，得d＋d＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cos∠F1PF2＝eq
\f(d＋d－4c2,2d1d2)＝＝.
答案 B
12.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状.
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有
解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，MF1边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角.
故△MF1F2为钝角三角形.
创新猜想
13.(多选题)过点(1，1)，且＝的双曲线的标准方程可以是( )
A.－y2＝1
B.－x2＝1
C.x2－＝1
D.y2－＝1
解析 由于＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入(1，1)点，得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
答案 AB
14.(多填题)若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________；若表示椭圆，则m的取值范围是________.
解析 若表示双曲线，则应有m＋1>0，即m>－1.若表示椭圆，则有解之得m<－1且m≠－5.
答案 (－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第一课时 双曲线的简单几何性质
课标要求
素养要求
1.了解双曲线的简单几何性质.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.
通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性.
问题 你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？
提示 研究双曲线的几何性质应该从范围、对称性、顶点、离心率及渐近线等方面去研究.
(1)双曲线的几何性质
注意与椭圆的几何性质对照学习
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
实轴和虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，实轴长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，虚轴长＝2b
焦点
(±，0)
(0，±)
焦距
|F1F2|＝2c
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
(2)等轴双曲线
等轴双曲线?a＝b?e＝?渐近线为y＝±x
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
拓展深化
[微判断]
1.双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同.(√)
2.等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.(×)
提示 等轴双曲线的渐近线方程是固定的，都是y＝±x.故错误.
3.离心率是的双曲线为等轴双曲线.(√)
[微训练]
1.双曲线－y2＝1的实轴长为( )
A.4
B.2
C.
D.1
解析 由双曲线方程，知a＝2，故实轴长2a＝4.
答案 A
2.双曲线－＝1的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由双曲线方程，知a＝4，b＝3，∴c＝＝5，e＝＝.
答案 B
3.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
解析 由题意知＝，设c＝5t(t>0)，则a＝3t，b＝4t，故所求渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
答案 D
[微思考]
1.椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？
提示 不一样.椭圆的离心率01.
2.若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
提示 当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上.
题型一 双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
解 双曲线的方程化为标准方程是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4,
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
【迁移】 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
规律方法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
【训练1】 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
题型二 根据双曲线的几何性质求方程
【例2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).
解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
(2)法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②，无解.
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0).当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0).
【训练2】 根据条件，分别求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2).
解 (1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
由题意可知－＝λ，解得λ＝.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k>0，4＋k>0)，
∵双曲线过点(3，2)，
∴－＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去).
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
题型三 求双曲线的离心率
【例3】 (1)如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________.
(2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________.
解析 (1)如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，
所以xA＝.
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又因为A在右支上且不在顶点处，
所以>a，所以e＝>2.
故双曲线离心率的取值范围为(2，＋∞).
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a·2c·cos
30°，整理得(e－)2＝0，所以e＝.
答案 (1)(2，＋∞) (2)
规律方法 求双曲线离心率的三种方法：
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解.
(2)若已知a，b，可直接利用e＝求解.
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
【训练3】 点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且有2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1，F2分别是双曲线C1的左、右两个焦点，求双曲线C1的离心率.
解 ∵圆的半径r＝＝c，∴圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径，∴∠F1PF2＝90°.
又∵2∠PF1F2＝∠PF2F1，
∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.
在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，故|PF1|＝c，|PF2|＝c.
又∵点P在双曲线上，且在双曲线右支上，∴|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a，∴e＝＝＝＋1.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升数学抽象及数学运算素养.
2.渐近线是双曲线特有的性质；两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1
(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程.
3.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.
二、素养训练
1.双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(－，0)，(，0)
B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－)，(0，)
D.(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).故选B.
答案 B
2.双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A.3x±4y＝0
B.4x±3y＝0
C.9x±16y＝0
D.16x±9y＝0
解析 由－＝1得a2＝16，b2＝9，即a＝4，b＝3，
∴渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.
答案 A
3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A.－
B.－4
C.4
D.
解析 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，b2＝－.
又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，
∴m＝－，故选A.
答案 A
4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，点P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
答案 A
5.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.
解析 设双曲线的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，
虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，
因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，
∴tan
30°＝，∴c＝b，
又a2＝c2－b2＝2b2，∴a＝b.
∴e＝＝＝.
答案
基础达标
一、选择题
1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
A.y＝±3x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
解析 双曲线方程可化为标准方程：－＝1，∴a＝1，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
答案 C
2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 依题意知，焦点在x轴上，c＝4，＝2，∴a＝2.
∴b2＝c2－a2＝12.故双曲线的方程为－＝1.
答案 A
3.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A.
B.2
C.
D.2
解析 法一 由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
法二 离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2，故选D.
答案 D
4.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是( )
A.x2－＝1
B.－y2＝1
C.－x2＝1
D.y2－＝1
解析 从选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.
答案 D
5.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，又一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b＝4a，
∴9(c2－a2)＝16a2，∴9c2＝25a2，∴3c＝5a，
∴e＝＝，
故选D.
答案 D
二、填空题
6.若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
解析 由题意可得，＝，得a2＝16，又a>0，所以a＝4，故答案为4.
答案 4
7.已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________.
解析 ∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，∴双曲线C：－＝1的离心率e>，e2>2，即>2，∴m>4.
答案 (4，＋∞)
8.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为______.
解析 由椭圆＋＝1知，长轴端点分别为(－5，0)和(5，0)，焦点是(－3，0)，(3，0)，
由此可知，双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)，
顶点为(－3，0)，(3，0)，
所以双曲线方程为－＝1，
∴渐近线方程为4x±3y＝0.
答案 4x±3y＝0
三、解答题
9.已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
解 椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则G的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3，
∴＝3，∴a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
10.已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.
解 椭圆方程化为标准方程＋＝1，可知c2＝64－16＝48.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1；
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)，
∴ 解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
能力提升
11.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 把x＝c代入－＝1，得y＝±.不妨设A，B，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则d1＝，d2＝，
故d1＋d2＝＋＝＝2b＝6，故b＝3.
又＝＝＝＝2，得a2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
答案 A
12.求与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点A(2，－3)的双曲线的方程.
解 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
当所求双曲线的焦点在x轴上时，
设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).
因为＝，所以b＝a.①
因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.②
联立①②得方程组无解.
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为＝，所以a＝b.③
因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.④
由③④，得a2＝，b2＝4，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
创新猜想
13.(多选题)设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e可以为( )
A.
B.
C.
D.2
解析 当焦点在x轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋＝，所以e＝；
当焦点在y轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋4＝5，所以e＝.
答案 AC
14.(多填题)两个正数a，b的和为5，积为6，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝________，渐近线方程为________.
解析 由
解得或
又a>b，∴a＝3，b＝2，
∴c＝，∴e＝＝.
渐近线方程为y＝±x.
答案 y＝±x(共37张PPT)
第二课时 双曲线的方程及性质的应用
课标要求
素养要求
1.理解直线与双曲线的位置关系.
2.会求解有关弦长问题.
通过运用双曲线的方程与性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
新知探究
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.
问题 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
提示 有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.
1.直线与双曲线位置关系的判断
当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切
渐近线
两个
一个
没有
拓展深化
[微判断]
×
√
1.过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.(
)
提示 过A(1，0)作直线l与双曲线只有一个公共点这样的直线可作3条.两条平行于渐近线，一条与双曲线相切.
2.直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.(
)
[微训练]
[微思考]
如何判断直线与双曲线的位置关系？
提示 将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.
题型一 直线与双曲线位置关系的判断
此时方程(
)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(
)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(
)化为2x＝5，
故方程(
)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点.
故当k＝±或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
此时方程(
)无实数解，
即直线l与双曲线无公共点.
规律方法 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
解 (ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
题型二 弦长公式及中点弦问题
解 易得双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
与双曲线方程联立，消y得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
规律方法 双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
∵点B(1，1)是弦的中点，
故双曲线上不存在被点B(1，1)所平分的弦.
法二 设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点B平分的弦.
∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
题型三 直线与双曲线位置关系的综合问题
规律方法 解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解.
解 (1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当k＝1时，满足Δ>0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
2.双曲线的综合问题常常涉及离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.
二、素养训练
答案 A
2.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点.
答案 B
3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )
A.(1，2)
B.(－2，－1)
C.(－1，－2)
D.(2，1)
答案 C
解析 易知所求直线的斜率存在，设为k，
则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，
消去y得关于x的一元二次方程
(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(4－4k2≠0)，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
答案 3x＋4y－5＝0
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴|AB|＝|y1－y2|＝4，满足题意.
答案 3(共35张PPT)
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第一课时 双曲线的简单几何性质
课标要求
素养要求
1.了解双曲线的简单几何性质.
2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.
通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性.
问题 你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？
提示 研究双曲线的几何性质应该从范围、对称性、顶点、离心率及渐近线等方面去研究.
(1)双曲线的几何性质
注意与椭圆的几何性质对照学习
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
坐标轴
原点
A1(－a，0)
A2(a，0)
A1(0，－a)
A2(0，a)
(1，＋∞)
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴__________的双曲线叫做______________，它的渐近线是_________.
等长
等轴双曲线
y＝±x
拓展深化
[微判断]
√
2.等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.(
)
提示 等轴双曲线的渐近线方程是固定的，都是y＝±x.故错误.
×
√
[微训练]
解析 由双曲线方程，知a＝2，故实轴长2a＝4.
答案 A
答案 B
答案 D
[微思考]
1.椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？
提示 不一样.椭圆的离心率01.
2.若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
题型一 双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
【迁移】 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
规律方法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
【训练1】 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
题型二 根据双曲线的几何性质求方程
【例2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
联立①②，无解.
【训练2】 根据条件，分别求双曲线的标准方程.
解得k＝4或k＝－14(舍去).
题型三 求双曲线的离心率
又因为A在右支上且不在顶点处，
故双曲线离心率的取值范围为(2，＋∞).
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
又∵2∠PF1F2＝∠PF2F1，
∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.
一、素养落地
二、素养训练
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).故选B.
答案 B
答案 A
3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
答案 A
答案 A
5.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.
解析 设双曲线的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，
虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，
因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，第二课时 双曲线的方程及性质的应用
课标要求
素养要求
1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长问题.
通过运用双曲线的方程与性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
新知探究
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.
问题 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
提示 有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.
1.直线与双曲线位置关系的判断
当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
a.当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点.
b.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)，
Δ>0?直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离.
2.设弦两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝＝|x1－x2|
＝或|AB|＝|y1－y2|
＝(k≠0).
拓展深化
[微判断]
1.过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.(×)
提示 过A(1，0)作直线l与双曲线只有一个公共点这样的直线可作3条.两条平行于渐近线，一条与双曲线相切.
2.直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.(√)
[微训练]
1.若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围为________.
解析 把y＝kx代入－＝1，由Δ>0求得.
答案
2.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 由双曲线方程可得右焦点为(2，0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2，故|AB|＝4.
答案 4
[微思考]
如何判断直线与双曲线的位置关系？
提示 将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.
题型一 直线与双曲线位置关系的判断
【例1】 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点.
解 联立消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
(1)由
得－此时方程(
)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
(2)由得k＝±，
此时方程(
)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(
)化为2x＝5，
故方程(
)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点.
故当k＝±或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
(3)由得k<－或k>，
此时方程(
)无实数解，
即直线l与双曲线无公共点.
规律方法 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
【训练1】 已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
解 (ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.
综上，k＝或k＝±2或k不存在.
题型二 弦长公式及中点弦问题
【例2】 过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求|AB|的长.
解 易得双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，
与双曲线方程联立，消y得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
规律方法 双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
【训练2】 已知双曲线的方程为x2－＝1.
试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.
解 法一 设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
解得k<.设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
∵点B(1，1)是弦的中点，
∴＝1，∴k＝2>.
故双曲线上不存在被点B(1，1)所平分的弦.
法二 设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝1， ①,x－\f(y,2)＝1.
②))
由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴kMN＝＝2，
∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由消去y，得2x2－4x＋3＝0.
又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点B平分的弦.
题型三 直线与双曲线位置关系的综合问题
【例3】 已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为坐标原点)，求实数k的取值范围.
解 (1)设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).
由已知得a＝，c＝2，所以b＝1.
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由题意知
解得k2≠且k2<1.①
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
x1x2＝.
由·>2，得x1x2＋y1y2>2.
而x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝(k2＋1)×＋k·＋2＝.
所以>2，解得由①②得－1故实数k的取值范围为∪
规律方法 解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解.
【训练3】 设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求：
(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点).
解 (1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
由消去y，
整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝(2－k2≠0)，解得k＝1.
当k＝1时，满足Δ>0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝·
＝×＝4.
又点O到直线AB的距离d＝＝，
∴S△AOB＝|AB|·d＝×4×＝2.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
2.双曲线的综合问题常常涉及离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.
二、素养训练
1.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A.2
B.2
C.
D.1
解析 ∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F到直线x－y＝0的距离为＝2.
答案 A
2.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点.
答案 B
3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )
A.(1，2)
B.(－2，－1)
C.(－1，－2)
D.(2，1)
解析 将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2.故选C.
答案 C
4.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________.
解析 易知所求直线的斜率存在，设为k，
则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，
代入－y2＝1，
消去y得关于x的一元二次方程
(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(4－4k2≠0)，
∴－＝6，
∴k＝－(满足Δ>0)，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
答案 3x＋4y－5＝0
5.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l有________条.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，
由得y＝±2，
∴|AB|＝|y1－y2|＝4，满足题意.
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－)，
由
得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.
当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝＝＝4，
解得k＝±.故满足条件的直线l有3条.
答案 3
基础达标
一、选择题
1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则双曲线C的方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 由F(3，0)知焦点在x轴上，c＝3，＝，
∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝5，故选B.
答案 B
2.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，
将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.
又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝.
答案 D
3.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( )
A.x2－y2＝6
B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16
D.x2－y2＝25
解析 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，
与y＝x联立，得x2＝a2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝0，x1·x2＝－，
∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.
答案 B
4.已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于( )
A.－12
B.－2
C.0
D.4
解析 ∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，
即双曲线方程为x2－y2＝2.
当x＝时，y＝1.
又双曲线的半焦距为2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)
＝－1＋y＝－1＋1＝0.故选C.
答案 C
5.点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则|m－n|＝2a，①
又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②
①2－②得：－2mn＝4a2－4c2，
所以mn＝－2a2＋2c2.
又因为△F1PF2的面积是9，
所以mn＝9，所以c2－a2＝9.
又因为双曲线的离心率＝，
所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.
答案 D
二、填空题
6.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________.
解析 由题意知，e＝＝，得＝.
又c2＝b2＋a2，所以＝.
故＝.所以＝，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案 y＝±x
7.双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析 取B为双曲线右焦点，如图所示.
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∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c＝|OB|＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan
＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案 2
8.若双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则实数a的取值范围为________.
解析 将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1(a>0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
依题意
∴0答案 (0，1)∪(1，)
三、解答题
9.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
解 双曲线方程可化为－＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2，0)，
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝
＝·＝6.
10.已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a＞0).
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.
解 (1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，
联立消去y，得3x2＋2x－2＝0.
设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝－，
于是|AB|＝·＝×＝.
(2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
所以解得0＜a＜且a≠1.
又双曲线的离心率e＝＝，
所以e＞且e≠，
即离心率e的取值范围是∪(，＋∞).
能力提升
11.已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A.
B.3
C.2
D.4
解析 因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得
所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.
答案 B
12.设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t.求t的值及点D的坐标.
解 (1)由题意，知a＝2，
所以一条渐近线方程为y＝x，
即bx－2y＝0，
所以＝，又c2＝a2＋b2＝12＋b2，所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0>0)，
则由＋＝t，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程，
消去y得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝x1－2＋x2－2＝(x1＋x2)－4＝12，
所以eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0>0，,\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x,12)－\f(y,3)＝1，))
所以
由＋＝t，得(16，12)＝(4t，3t)，
所以t＝4，点D的坐标为(4，3).
创新猜想
13.(多选题)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为( )
A.－y2＝1
B.y2－＝1
C.x2－＝1
D.－x2＝1
解析 由题知c＝，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ，
∴－＝1，
∴λ＋＝5或－＋(－λ)＝5，
∴λ＝4或λ＝－4.故选AB.
答案 AB
14.(多填题)已知双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，则双曲线的实轴长为________；|AB|＝________.
解析 由题意可知2b＝4，e＝＝，又c2＝a2＋b2，于是a＝2.因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝4a＝8.
答案 4 8