章末检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.与向量a＝(－1，2，－3)平行的一个向量的坐标是( )
A.
B.
C.(2，4，－4)
D.(－1，2，－4)
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则等于( )
A.－a－b
B.a＋b
C.a－b
D.2(a－b)
3.已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( )
A.(1，－4，2)
B.
C.
D.(0，－1，1)
4.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
5.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝( )
A.2
B.－2
C.－2或
D.2或－
6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长为( )
INCLUDEPICTURE"W288.TIF"
A.
B.
C.
D.
7.在四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h等于( )
A.1
B.2
C.13
D.26
8.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则平面ABD与平面PBD的夹角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A.＝－
B.·＝0
C.·＝0
D.·＝0
10.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是( )
INCLUDEPICTURE"W291.TIF"
A.a
B.a
C.2a
D.a
11.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中正确的是( )
INCLUDEPICTURE"W293.TIF"
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A－BEF的体积为定值
D.异面直线AE，BF所成的角为定值
12.将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面ABD与平面BCD的夹角为90°，如下四个结论正确的是( )
A.AC⊥BD
B.△ACD是等边三角形
C.直线AB与平面BCD所成的角为
D.AB与CD所成的角为
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a与b夹角的余弦值为________；若a⊥(a－λb)，则λ＝________(本题第一空2分，第二空3分).
14.已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________.
15.已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________.
16.如图所示，已知正四面体A－BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________.
INCLUDEPICTURE"W296.TIF"
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长.
INCLUDEPICTURE"W297.TIF"
18.(12分)已知空间内三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标.
19.(12分)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.
INCLUDEPICTURE"191.TIF"
20.(12分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点.
INCLUDEPICTURE"W308.TIF"
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离.
21.(12分)如图，在多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
INCLUDEPICTURE"W299.TIF"
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
22.(12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.
INCLUDEPICTURE"W301.TIF"
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长.章末检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.与向量a＝(－1，2，－3)平行的一个向量的坐标是( )
A.
B.
C.(2，4，－4)
D.(－1，2，－4)
解析 a＝－，故选B.
答案 B
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则等于( )
A.－a－b
B.a＋b
C.a－b
D.2(a－b)
解析 ＝＋＝－＝－－＝－a－b.
答案 A
3.已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( )
A.(1，－4，2)
B.
C.
D.(0，－1，1)
解析 因为＝(0，2，4)，直线l平行于向量a，若m是平面α的法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
答案 D
4.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，
即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，
∴解得x＝1，y＝1，λ＝1.故选A.
答案 A
5.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝( )
A.2
B.－2
C.－2或
D.2或－
解析 由题意，得cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝.
答案 C
6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长为( )
INCLUDEPICTURE"W288.TIF"
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A.
B.
C.
D.
解析 因为点D在平面yOz内，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，所以点D的竖坐标z＝4·sin
30°·sin
60°＝，纵坐标y＝－(2－4·sin
30°·cos
60°)＝－1，所以D(0，－1，).所以AD＝＝.故选D.
答案 D
7.在四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h等于( )
A.1
B.2
C.13
D.26
解析 设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨令x＝3，则y＝12，z＝4，可得n＝(3，12，4)，四棱锥的高h＝＝＝2.
答案 B
8.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则平面ABD与平面PBD的夹角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则＝，
INCLUDEPICTURE"W289.TIF"
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＝(－3，4，0).
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则
即
∴令x＝1，
则n＝.
又n1＝为平面ABD的一个法向量，
∴cos〈n1，n〉＝＝.
∴平面ABD与平面PBD的夹角为30°.
答案 A
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A.＝－
B.·＝0
C.·＝0
D.·＝0
解析 如图，＝，即＝－，⊥，⊥，故A，B，C选项均正确.
答案 ABC
10.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是( )
INCLUDEPICTURE"W291.TIF"
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A.a
B.a
C.2a
D.a
解析 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D，B1(0，0，3a)，C(0，a，0).设点E的坐标为(a，0，z)(0≤z≤3a)，则＝，
INCLUDEPICTURE"W292.TIF"
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＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a).
由CE⊥平面B1DE，得CE⊥DE，
CE⊥B1E，故
即
解得z＝a或2a，即AE＝a或2a.
答案 AC
11.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中正确的是( )
INCLUDEPICTURE"W293.TIF"
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A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A－BEF的体积为定值
D.异面直线AE，BF所成的角为定值
解析 因为AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D，所以AC⊥BE，故A正确；因为B1D1∥平面ABCD，又E，F在直线D1B1上运动，所以EF∥平面ABCD，故B正确；C中由于点B到直线EF(即B1D1)的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF(即平面BB1D1D)的距离为，故VA－BEF为定值，故C正确；
①当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得A(1，1，0)，
B(0，1，0)，E(1，0，1)，
F，
所以＝(0，－1，1)，＝，所以·＝.又||＝，||＝，所以cos〈，〉＝＝＝.
所以此时异面直线AE与BF成30°角.
②当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，
此时E，F(0，1，1).
所以＝，＝(0，0，1)，所以·＝1，||＝＝，||＝1，
所以cos〈，〉＝＝≠，故D错误.
答案 ABC
12.将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面ABD与平面BCD的夹角为90°，如下四个结论正确的是( )
A.AC⊥BD
B.△ACD是等边三角形
C.直线AB与平面BCD所成的角为
D.AB与CD所成的角为
解析 如图所示，以BD中点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
INCLUDEPICTURE"W295.TIF"
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设正方形ABCD的边长为，则
D(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)，
所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，0)，·＝0，故AC⊥BD，A正确；
又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形，B正确；
对于③，为平面BCD的一个法向量，
cos〈，〉＝＝＝＝－.
因为直线与平面所成的角的范围是，
所以AB与平面BCD所成的角为，故C错误；
又cos〈，〉＝
＝＝－.
因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成的角为，故D正确.
答案 ABD
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a与b夹角的余弦值为________；若a⊥(a－λb)，则λ＝________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 ∵a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，∴cos〈a，b〉＝＝＝；由题意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.
答案 2
14.已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________.
解析 ∵＝(－1，1，－1)，n＝(1，－1，1)，
∴点A到平面α的距离为d＝＝＝.
答案
15.已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________.
解析 y轴的一个方向向量为s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.
答案
16.如图所示，已知正四面体A－BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________.
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解析 设正四面体棱长为4，又＝＋＝＋，＝＋＝＋，AB⊥CD，AD⊥BC，所以cos〈，〉＝＝＝＝，故直线DE和BF所成角的余弦值为.
答案
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长.
INCLUDEPICTURE"W297.TIF"
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解 ＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋[－(＋)]＝－＋＋.
所以＝－a＋b＋c.
又|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，a·c＝2×3·cos
60°＝3，b·c＝2×3·cos
60°＝3，
所以||2＝2＝＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝.所以||＝，即BN的长为.
18.(12分)已知空间内三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标.
解 (1)∵＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
∴cos∠BAC＝＝＝，
又∵∠BAC∈[0，π]，
∴∠BAC＝，∴S＝||||sin＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，由a⊥，得－2x－y＋3z＝0，
由a⊥，得x－3y＋2z＝0，
由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1).
19.(12分)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.
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证明 如图，取BD的中点O，以O为原点，平面BCD内过O与BD垂直的直线为x轴，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0).
设点C的坐标为(x0，y0，0).
因为＝3，
所以Q.
因为M为AD的中点，故M(0，，1).
又P为BM的中点，故P，
所以＝.
又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，
故·a＝0.
又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
20.(12分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点.
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(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离.
(1)证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
INCLUDEPICTURE"W298.TIF"
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∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，
∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2).
∵＝，＝(，3，0)，∴＝2.
∵AE与FQ无交点，∴AE∥FQ.
又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，∴AE∥平面PFQ.
(2)解 由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴又＝(0，2，－2)，＝，∴∴
令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1，1).
又＝，
∴所求距离d＝＝.
21.(12分)如图，在多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
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(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
(1)证明 如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知各点坐标如下：
A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1).
因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3).
由·＝0得AB1⊥A1B1.
由·＝0得AB1⊥A1C1，
又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1?平面A1B1C1，
所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)解 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.
由(1)可知＝(0，2，1)，＝(1，，0)，＝(0，0，2).设平面ABB1的法向量为n＝(x，y，z).
由得
令y＝1，则x＝－，z＝0，
可得平面ABB1的一个法向量n＝(－，1，0).
所以sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.
22.(12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.
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(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长.
(1)证明 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).
INCLUDEPICTURE"W302.TIF"
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设AB＝a，则A(0，0，0)，
D(0，1，0)，D1(0，1，1)，
E，B1(a，0，1).
故＝(0，1，1)，
＝，
＝(a，0，1)，＝.
∵·＝－·0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥AD1.
(2)解 假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0).
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).
则n⊥，n⊥，
得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量
n＝.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，即n·＝0，－az0＝0，解得z0＝.
又DP?平面B1AE，∴存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝.
(3)连接A1D，B1C，由ABCD－A1B1C1D1为长方体及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C，又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，B1C，B1E?平面DCB1A1，
∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面DCB1A1即平面A1B1E的一个法向量，且＝(0，1，1).
设与n所成的角为θ，则cos
θ＝＝.
∵平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，
∴|cos
θ|＝cos
30°，
即＝.
解得a＝2，即AB的长为2.
