人教版九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 优化训练（Word版 含答案）

人教版 九年级数学 上册 第24章 24.1 圆的有关性质 优化训练
一、选择题（本大题共8道小题）
1. 下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(　　)
A. 40°　　　　　　B. 45°　　　　　　C. 50°　　　　　　D. 60°

3. 如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为(　　)
A. 　　 B. 2 　　 C. 　　 D. 3
4. 如图，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(　　)
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5. 与圆心的距离不大于半径的所有点组成的图形是(　　)
A．圆的外部(包括边界) B．圆的内部(不包括边界)
C．圆 D．圆的内部(包括边界)
6. 如图，在半径为的☉O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是 (　　)
A.2 B.2 C.2 D.4
7. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于(　　)
A. 64° B. 58° C. 72° D. 55°
　　　　
8. 如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是(　　)
A．猫先到达B地
B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地
D．无法确定
二、填空题（本大题共5道小题）
9. 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.

10. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为　　　　.?

11. 如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．

12. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了　　　　cm.?

13. 已知⊙O1与⊙O2的半径分别是r1，r2，且r1和r2是方程x2－ax＋＝0的两个根．若⊙O1与⊙O2是等圆，则a2021的值为________．
三、解答题（本大题共6道小题）
14. 如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC.

15. 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.
(1)求证：AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.
①求∠OCE的度数．
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．

16. 如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆．若小正方形的面积为16 cm2，求该半圆的半径．
17. 如图所示，若BD，CE都是△ABC的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
18. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．
19. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据
α 30° 40° 50° 60°
β 120° 130° 140° 150°
γ 150° 140° 130° 120°
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
　　　　　　　
人教版 九年级数学 上册 第24章 24.1 圆的有关性质 优化训练-答案
一、选择题（本大题共8道小题）
1. 【答案】C
2. 【答案】A　【解析】∵OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°，∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－50°＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝40°，故选A.
3. 【答案】C　【解析】延长AO交BC于点D，连接OB.由AB＝AC得点A在线段BC的垂直平分线上，因而可得AD⊥BC，所以BD＝3，不难得出AD＝BD＝3，于是OD＝AD－OA＝2，在Rt△ODB中，OB＝＝＝.
4. 【答案】B　
5. 【答案】D　
6. 【答案】C　[解析]过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB，OD，OE，
如图所示，则DF=CF，AG=BG=AB=3，
∴EG=AG-AE=2.
在Rt△BOG中，
OG===2，∴EG=OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°，OE=OG=2.
∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，
∴OF=OE=.
在Rt△ODF中，DF===，∴CD=2DF=2.故选C.
7. 【答案】B　【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝(180°－∠AOC)＝×(180°－64°)＝58°.
8. 【答案】C　
二、填空题（本大题共5道小题）
9. 【答案】50°　【解析】∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠BAT＝90°，在Rt△BAT中，∵∠ABT＝40°，∴∠ATB＝50°.
10. 【答案】52°　[解析]∵圆内接四边形对角互补，
∴∠B+∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.
∵点D关于AC的对称点是点E，∴∠D=∠AEC=116°.
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠BAE=52°.
11. 【答案】35　【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠B，∠C＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠B＝∠OAB＝70°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠C，∴∠OAC＝∠BAC＝∠OAB＝35°.
12. 【答案】10或70　[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.
由垂径定理得:BC=AB=30 cm.
在Rt△OBC中，OC==40(cm).
当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm时，
圆心到水面距离==30(cm)，
水面上升的高度为:40-30=10(cm).
当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).
综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.
故答案为10或70.
13. 【答案】1　[解析] ∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴r1＝r2.
∵r1和r2是方程x2－ax＋＝0的两个根，
∴r1r2＝，r1＋r2＝a，
∴r1＝r2＝，从而a＝1，∴a2021＝12021＝1.
三、解答题（本大题共6道小题）
14. 【答案】
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵MP为⊙O的切线，
∴∠PMO＝90°，∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB，
∴∠MOP＝∠B,
故MO∥BC.
15. 【答案】
【思维教练】(1)证明AC是∠DAO的角平分线即证明∠DAC＝∠OAC，由圆的性质知OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，由切线性质得OC⊥CD，即OC∥AD，得∠OCA＝∠CAD，即可得证；(2)①△OCE内角和为180°，∠E已知，由(1)OC∥AD得∠COE＝∠DAO，即可求解；②EF＝GE－FG，由∠OCE＝45°，OC＝2，考虑构造直角三角形OGC，求出CG，即FG，GE在Rt△OGE中，OG＝CG, ∠E＝30°，得出GE，从而求出EF.
(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD.
∴AD∥OC.
∴∠DAC＝∠OCA.
又∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC.
∴AC平分∠DAO.(3分)
(2)解：①∵AD∥OC，
∴∠EOC＝∠DAO＝105°.
∵∠E＝30°，
∴∠OCE＝45°.(6分)
②作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.
∵OC＝2，∠OCE＝45°，
∴OG＝2，
∴FG＝2.
∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，
∴GE＝2.
∴EF＝GE－FG＝2－2.(10分)
16. 【答案】
解：如图，连接OA，OB.
根据正方形的面积公式可得小正方形的边长为4 cm.
设大正方形的边长为x cm，则OD＝x cm.
根据勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，OB2＝OC2＋BC2.
又∵OA＝OB，
∴(x)2＋x2＝(x＋4)2＋42，
解得x1＝8，x2＝－4(不符合题意，舍去)，
∴大正方形的边长为8 cm，OD＝4 cm，
∴OA2＝OD2＋AD2＝42＋82＝80，
∴OA＝＝4 (cm)．
故该半圆的半径为4 cm.
17. 【答案】
证明：取BC的中点F，连接DF，EF.
∵BD，CE都是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形，
∴DF，EF分别是Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF，
∴B，C，D，E四点都在以点F为圆心，BF的长为半径的圆上．
18. 【答案】
解：在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个．
(1)如图①.
在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.
在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.
又∵∠QPO＝∠OCQ＋∠AOC，且∠AOC＝30°，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，
∴3∠OCQ＝120°，
∴∠OCQ＝40°.
即∠OCP＝40°.
(2)如图②.
∵QO＝QP，
∴∠QPO＝∠QOP.
设∠QPO＝x，则∠OQC＝∠QPO＋∠QOP＝2x.又∵OC＝OQ，
∴∠OCQ＝∠OQC＝2x，
∴∠AOC＝∠OPC＋∠OCP＝x＋2x＝3x.
∵∠AOC＝30°，∴3x＝30°，解得x＝10°，
∴∠OCP＝2x＝20°.
(3)如图③.
∵QO＝QP，∴∠QOP＝∠QPO.
∵OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.
设∠QPO＝y，则∠OQC＝∠OCQ＝∠QPO＋∠AOC＝y＋30°，
∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，
∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.
综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.
19. 【答案】
【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．
①
(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α
证明：如解图①，连接BG，
∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，
∴α＋∠BGA＝90°，(1分)
又∵四边形ACBG内接于⊙O，
∴β＋∠BGA＝180°，
∴β－α＝90°，
即β＝90°＋α；(3分)
②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EAG＋∠EBA＝γ，
∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，
∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，
∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)
∴2(180°－β )＋α＝γ，
由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)
(2)如解图②，连接BG，
②
∵γ＝135°，γ＝180°－α，
∴α＝45°，β＝135°，
∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)
∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，
又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，
∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)
∵CD＝3，∴CE＝3，AC＝，∴AE＝4，(10分)
∵∠BEA＝90°，
∴由勾股定理得，AB＝＝＝＝5，(11分)
∴AG＝AB＝×5＝10，
∴r＝5.(12分)