1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，则应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
解析：选A.设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x·(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.
3．把长60 cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．
解析：设长为x cm，则宽为(30－x) cm，
所以面积S＝x(30－x)＝－x2＋30x.
由S′＝－2x＋30＝0，得x＝15.
答案：15 15
4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)
f′(x)＝48－.
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；
当10≤x<15时，f′(x)<0.
因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000(元)．
故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
一、选择题
1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )
A．1秒末 B．0秒
C．4秒末 D．0,1,4秒末
解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．则所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
解析：选B.设截去小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3.所以V＝x(48－2x)2(0
V′＝12(x－8)(x－24)．令V′＝0，则x＝8∈(0,24)．
3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )
A．32米，16米 B．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
解析：选A.要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x米，
则长为米，
因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，
则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝±16.
∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，
∴堆料场的长为＝32(米)．
4．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：选C.因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．
5．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
解析：选D.由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0，当3006．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
解析：选A.如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，
则R＝rcos θ，l＝2rsinθ.
∴S侧＝2πR·l＝2πrcosθ×2rsinθ
＝4πr2sinθcosθ.
∴由S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，
得θ＝.
∴当θ＝，即R＝r时，S侧最大，
且S侧最大值为2πr2.
二、填空题
7．物体的运动方程为s＝2010t＋2011t2(s的单位是米．t的单位是秒)，则此物体在t＝10秒时的速度是________．
解析：由已知得s′＝2010＋4022t，所以，当t＝10时，物体速度为s′＝42230(米/秒)．
答案：42230 米/秒
8．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．
解析：设底面边长为x，
则高为h＝，
其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，
S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，
则高h＝＝4 (dm)．
答案：4
9．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析：设矩形的长为x m，
则宽为＝(8－x) m(0∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x
∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，
则x＝4，
又在(0,8)上只有一个极值点，
且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，
x∈(4,8)时，S(x)单调递减，
故S(x)max＝S(4)＝16.
答案：16
三、解答题
10．用长为18 m的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝＝4.5－3x(0＜x＜)．故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3(0＜x＜)，从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝1.当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m．即当长方体的长为2 m、宽为1 m、高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
11．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去．
(1)若存款的利率为x，x∈(0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；
(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？
解：(1)由题意，存款量g(x)＝Kx2，银行应支付的利息h(x)＝x·g(x)＝Kx3.
(2)设银行可获收益为y，则y＝0.048·Kx2－Kx3.
y′＝K·0.096x－3Kx2.令y′＝0，即K×0.096x－3Kx2＝0.
解得x＝0或x＝0.032.
又当x∈(0,0.032)时，y′>0，
当x∈(0.032,0.048)时，y′<0，
∴y在(0,0.032)内单调递增，在(0.032,0.048)内单调递减．
故当x＝0.032时，y在(0,0.048)内取得极大值，亦即最大值．
即存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．
12．某商场预计2010年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是
p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．
该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是
q(x)＝150＋2x(x∈N*且x≤12)．
(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；
当2≤x≤12时，
f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)
＝－3x2＋40x(x∈N*，且2≤x≤12)．
验证x＝1符合f(x)＝－3x2＋40x，
∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)该商场预计销售该商品的月利润为
g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)
＝6x3－185x2＋1400x(x∈N*，且1≤x≤12)，
g′(x)＝18x2－370x＋1400，
令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0；
当5∴当x＝5时，
g(x)max＝g(5)＝3125(元)．
综上5月份的月利润最大是3125元．1．函数y＝f(x)在[a，b]上( )
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：选D.f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
3．函数y＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．
解析：由y′＝12x2－16x＝0，得x＝0或x＝.
当x＝0时，y＝0；当x＝时，y＝－；
当x＝－2时，y＝－64；当x＝2时，y＝0.
比较可知ymax＝0，ymin＝－64.
答案：－64 0
4．已知函数f(x)＝x3－4x＋4.
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，
得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? ? － ?
从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－.
(2)f(－3)＝×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，
f(4)＝×43－4×4＋4＝，
与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是，最小值是－.
一、选择题
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3,5]上单调递减，
故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.
3．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D.
解析：选A.令y′＝
＝＝0.解得x＝e.
当x>e时，y′<0；
当x0.
y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，
所以y max＝.
4．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
解析：选C.因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.
5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3，－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D.或－
解析：选C.当a≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1二、填空题
7．函数y＝xex的最小值为________．
解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1.
当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.
∴ymin＝f(－1)＝－.
答案：－
8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
答案：[－4，－2]
9．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.
解析：f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，
x1＝0，x2＝，x3＝－，
又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，
f()＝b－4a，f(0)＝b，f(－)＝b－4a.
∴∴a＝2.
答案：2 3
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：
(1)实数a的值；
(2)f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0.
∵f′(x)＝3x2＋2ax，
∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3.
(2)由(1)知a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －2 ? 2 ? －2 ? 2
从上表可知f(x)在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2.
11．设f(x)＝x3－x2－2x＋5.求函数f(x)的单调递增、单调递减区间；
解：f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
令f′(x)＞0，得x＜－或x＞1.
令f′(x)＜0，得－＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－，1)．
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．
解：(1)令f′(x)＝3x2－2ax＋3＞0，
∴a＜min＝3(当x＝1时取最小值)．
∵x≥1，∴a＜3，a＝3时亦符合题意，
∴a≤3.
(2)f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，
f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．
当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0，
即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.
又f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，
最大值是f(5)＝15.1．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
答案：A
2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f(x)在x＝－3处取得极值，
∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5.
3．y＝x3－6x＋a的极大值为________．
解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±.当x<－或x>时，y′>0；当－答案：a＋4
4．求函数f(x)＝x＋的极值．
解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝1－＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞)
y′ ＋ 0 － － 0 ＋
y ? 极大值－2 极小值2
因此，当x＝－1时，y有极大值，且y极大值＝f(－1)＝－2，当x＝1时，y有极小值，且y极小值＝f(1)＝2.
一、选择题
1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
2．下列函数存在极值的是( )
A．y＝ B．y＝x－ex
C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3
解析：选B.A中f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲函数．∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，
f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.
C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.
∴y＝f(x)无极值．D也无极值．故选B.
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．
4．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是( )
A．2 B．2，－1
C．－1 D．－3
解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：
∴x＝－1时取极小值．
5．函数y＝2－x2－x3的极值情况是( )
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
解析：选D.y′＝－2x－3x2＝0 x＝0或x＝－.所以x∈时，y′<0，y为减函数；在x∈时，y′>0，y为增函数；在x∈(0，＋∞)时，y′<0，y为减函数，
∴函数既有极大值又有极小值．
6．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为( )
A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝11
C．a＝－1，b＝5
D．以上都不正确
解析：选B.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在x＝1处f(x)有极值，∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.①
又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.②
由①②得a2＋a－12＝0，∴a＝3或a＝－4.
∴(舍去)或
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．
解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，
在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，
在(－1,5)上f′(x)<0，
∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，
f(x)极小值＝f(5)＝－98.
答案：10 －98
8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
解析：y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．
由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.
答案：(－∞，－1)
9．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
三、解答题
10．求f(x)＝－2的极值．
解：函数的定义域为R.
f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)变化状态如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 极小值－3 极大值－1
所以当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
11．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．
解：∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表
x (－∞，－m) －m (－m，m) m (m，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，
∴m＝1.
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．
解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
则有解得
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.
由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2.
∴极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.
∴所求函数的极小值为－25，a＝－3，b＝－9，c＝2.1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为( )
A．a≥3 B．a>3
C．a≤3 D．a<3
解析：选A.∵f′(x)＝3x2－a，
又f(x)在(－1,1)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．
∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，
又0≤3x2<3，∴a≥3，
经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
3．(2011年高考江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：令f′(x)＝>0，得x∈(－，＋∞)．
答案：(－，＋∞)
4．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－lnx；(2)y＝.
解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
其导数为y′＝1－.
令1－>0，解得x>1；再令1－<0，解得0因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，
函数的单调减区间为(0,1)．
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
y′＝－，所以当x≠0时，y′＝－<0，
而当x＝0时，函数无意义，
所以y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，
即y＝的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
一、选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
2．函数y＝4x2＋的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C.∵y′＝8x－＝>0，∴x>.
即函数的单调递增区间为(，＋∞)．
3．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能确定
解析：选A.因f′(x)>0，所以f(x)在(a，b)上是增函数，所以f(x)>f(a)≥0.
4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A．y＝2－3x2 B．y＝lnx
C．y＝ D．y＝sinx
解析：选C.对于函数y＝，其导数y′＝＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.
5．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数( )
A. B.
C. D.
解析：选B.y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此间内y′恒大于或等于0即可．
∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，y′≥0恒成立．
6．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a≥ B．a＝1
C．a＝2 D．a≤0
解析：选D.因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，
即3ax2≤1恒成立．
当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；
当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.
综上可得a≤0.
二、填空题
7．y＝x2ex的单调递增区间是________．
解析：∵y＝x2ex，
∴y′＝2xex＋x2ex＝exx(2＋x)>0 x<－2或x>0.
∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．
答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.
解析：∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－，c＝－6.
答案：－ －6
9．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，
∴a>0.
答案：(0，＋∞)
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x3＋；
(2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)．
解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝3x2－＝3(x2－)，
由f′(x)>0，解得x<－1或x>1，
由f′(x)<0，解得－1∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，
递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(2)f′(x)＝cosx(1＋cosx)＋sinx(－sinx)
＝2cos2x＋cosx－1
＝(2cosx－1)(cosx＋1)．
∵0≤x≤2π，
∴由f′(x)＝0得x1＝，x2＝π，x3＝π，
则区间[0,2π]被分成三个子区间，如表所示：
x 0 (0，) (，π) π (π，) (，2π) 2π
f′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f(x) ? ? ? ?
∴f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)的单调递增区间为[0，]，[π，2π]，单调递减区间为[，π]．
11．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1在区间[－4,4]上的单调性．
解：∵f(x)＝x3－3x2－9x＋1，
∴f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)>0，结合－4≤x≤4，
得－4≤x<－1或3令f′(x)<0，结合－4≤x≤4，
得－1∴函数f(x)在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．
12．已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．
解：∵f′(x)＝a＋－，
要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
则在(0，＋∞)内f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.
当a＝0时，f′(x)＝－<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a>0时，要使f′(x)＝a(－)2＋a－≥0恒成立，
则a－≥0，解得a≥1.
综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )
A．0 B．2x
C．6 D．9
解析：选C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
2．已知函数f(x)＝，则f′(－3)＝( )
A．4 B.
C．－ D．－
解析：选D.∵f′(x)＝－，∴f′(－3)＝－.
3．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.
答案：10ln10
4．求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝；(3)y＝lgx－ex.
解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.
(2)y′＝＝.
(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.
一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx
解析：选B.′＝1－，(3x)′＝3xln3，
(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx.
2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析：选B.由y′＝3x2－6x在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.
3．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.y′＝()′
＝
＝＝.
4．函数y＝x3cosx的导数是( )
A．3x2cosx＋x3sinx B．3x2cosx－x3sinx
C．3x2cosx D．－x3sinx
解析：选B.y′＝(x3cosx)′
＝3x2·cosx＋x3(－sinx)
＝3x2cosx－x3sinx，故选B.
5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B.由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，
故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故选B.
6．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
解析：选B.∵f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，
∴f′(x)＝f′(－1)x－2.
∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.
∴f′(－1)＝－1.
二、填空题
7．令f(x)＝x2·ex，则f′(x)等于________．
解析：f′(x)＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2)．
答案：ex(2x＋x2)
8．一物体的运动方程是s(t)＝，当t＝3时的瞬时速度为________．
解析：∵s′(t)＝－，∴s′(3)＝－＝－.
答案：－
9．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.
解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，
f′(0)＝－b＝1得b＝－1，
f′()＝πa＋＝，得a＝0.
答案：0 －1
三、解答题
10．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ln(8x)；
(2)f(x)＝(＋1)(－1)．
解：(1)因为f(x)＝ln(8x)＝ln8＋lnx，
所以f′(x)＝(ln8)′＋(lnx)′＝.
(2)因为f(x)＝(＋1)(－1)
＝1－＋－1＝－＋＝，
所以f′(x)＝
＝－(1＋)．
11．设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
解：由f(x)＝a·ex＋blnx，
∴f′(x)＝a·ex＋，
根据题意应有，
解得，所以a，b的值分别是1,0.
12．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．
解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0
要使方程对任意x恒成立，
则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，
解得a＝2，b＝2，c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．
2．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
解析：选A.f′(1)＝li ＝li ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.
3．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.
解析：2＝li
＝2x0＋4，∴x0＝－1.
答案：－1
4．求证：函数y＝x＋图象上的各点处的斜率小于1.
证明：∵y′＝li
＝li
＝＝1－<1，
∴y＝x＋图象上的各点处的斜率小于1.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
解析：选C.k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )
A．4 B．16
C．8 D．2
解析：选C.曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x2在x＝2处的导数．
f′(x)＝li ＝li
＝li ＝4x.则f′(2)＝8.
3．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )
A．f′(x0)＝0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＞0 D．f′(x0)不确定
解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．
4．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
解析：选D.k＝li ＝li
＝li (2x＋Δx)＝2x.
∵倾斜角为，∴斜率为1.
∴2x＝1，得x＝，故选D.
5．设f(x)为可导函数，且满足li ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )
A．2 B．－1
C. D．－2
解析：选B.∵li ＝－1，
∴li ＝－1，
∴f′(1)＝－1.
6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A.
y′＝li
＝li ＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线l的方程是x－y＋1＝0，所以切线l的斜率k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线l上，于是有，解得.
二、填空题
7．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.
解析：设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，
∴x0＝1.即切点坐标为(1,1)．
∴2－4＋a＝1，即a＝3.
答案：3
8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
解析：li ＝li (a·Δx＋2a)＝2a＝2，
∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即＝2.
答案：2
9．已知曲线y＝3x2，则过点A(1,3)的曲线的切线方程为________．
解析：∵＝＝6＋3Δx，
∴y′|x＝1＝li (6＋3Δx)＝6.
∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.
∴所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，即6x－y－3＝0.
答案：6x－y－3＝0
三、解答题
10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
解：先求曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率，
k＝y′|x＝1＝li
＝li (3Δx＋2)＝2.
设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式y－2＝2(x＋1)，化为一般式2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解：(1)由得x2＋4＝10＋x，
即x2－x－6＝0，
∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y＝x2＋4，
∴y′＝
＝ ＝ (Δx＋2x)＝2x.
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，
无限趋近于3x＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9
∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－＝－12.
解得a＝±3.
又a<0，∴a＝－3.1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
答案：A
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析：选C.＝
＝＝＝2Δx＋4.
3．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝
＝7Δt＋14t0，
当li (7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.
答案：
4．求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：(导数定义法)
Δy＝(1＋Δx)－－(1－)＝Δx＋，
＝＝1＋，
∴li ＝li (1＋)＝2，
从而y′|x＝1＝2.
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
解析：选B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx，故选B.
3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B.＝，
s′＝li ＝li (18＋3Δt)＝18，故选B.
4．某质点沿曲线运动的方程y＝－2x2＋1(x表示时间，y表示位移)，则该点从x＝1到x＝2时的平均速度为( )
A．－4 B．－8
C．6 D．－6
解析：选D.令f(x)＝y＝－2x2＋1，
则质点从x＝1到x＝2时的平均速度＝＝＝＝－6.
5．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )
A．－0.88 m/s B．0.88 m/s
C．－4.8 m/s D．4.8 m/s
解析：选C.s′(1.2)＝li ＝－4.8.
6．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：选B.∵＝＝－Δx－3，
∴li ＝－3.
二、填空题
7．已知f′(1)＝1，则li ＝________.
解析：li ＝f′(1)＝1.
答案：1
8．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.
解析：li
＝
＝li
＝2ax＋2.
∴f′(1)＝2a＋2＝4，∴a＝1.
答案：1
9．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则li ＝________.
解析：li
＝－2li
＝－2f′(x0)＝－2×11＝－22.
答案：－22
三、解答题
10．若函数在y＝2x2＋4x处的导数是8，求x0的值．
解：根据导数的定义
f′(x)＝li ＝li
＝li
＝li
＝li (4x＋2Δx＋4)
＝4x＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝8.解得x0＝1.
11．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m，时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解：(1)初速度v0＝li
＝li ＝li (3－Δt)＝3.
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v瞬＝li
＝li
＝li
＝li (－Δt－1)＝－1.
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1.
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
12．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
解：∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx＞0，
即Δx的取值范围是(0，＋∞)．