初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题（Word版 含解析）

初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题
一、选择题
如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为为OA的中点，，则点A的坐标为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，则AC的长为
A.
B.
C.
D.
2
如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，中，，点D是BC边上一点．若，，则为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转，使得点B恰好落在BC的中点处，得到若，则BC的长为
A.
B.
6
C.
8
D.
10
在中，，若，，则斜边上的高等于
A.
5
B.
C.
D.
4
如图，在中，，，CD为AB边上的中线，CE平分，则的值
A.
B.
C.
D.
如图，中，，，O是AC边上一点，以OA为半径的交AB于点D，若，，则线段OB的长为
A.
B.
C.
D.
在中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值
A.
扩大5倍
B.
缩小5倍
C.
不变
D.
不能确定
如图，已知在中，，点D沿BC自B向C运动点D与点B、C不重合，作于E，于F，则的值?
?
?
?
?
?
A.
不变
B.
增大
C.
减小
D.
先变大再变小
如图，在中，，，点D是CB延长线上的一点，且，则的值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题
如图，在直角中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，若，则的值______．
已知中，，，过点A作BC边上的高，垂足为D，且，则的面积为______．
如图，中，，，于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是______．
如图，中，，顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，已知，则m的值为______．
三、解答题
如图，在中，，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，连接BC，DC和AC，AC与BD交于点O．
用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；
如果，，求BD的长．
如图，在?ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．
求证：．
若，，求的值．
如图1，在中，，，点D为BC边上的动点点D不与点B，C重合以D为顶点作，射线DE交AC边于点E，过点A作交射线DE于点F，连接CF．
求证：∽；
当时如图，求AE的长；
点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如图，取格点E，连接CE．
由题意：，，，
，
故选：C．
如图，取格点E，连接构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可．
本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
2.【答案】B
【解析】解：如图，
的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为．
，
，
为OA的中点，
，
，
，
则点A的坐标为：．
故选：B．
根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．
本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
3.【答案】B
【解析】解：过A作于D，则，
，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
故选：B．
过A作于D，则，根据已知求出，，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：过B作于H，
，
，
，
故选：B．
过B作于H，根据三角形的面积公式得到BH，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：在中，，
在中，，
，
故选：C．
解直角三角形分别用AC表示出AB，AD即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：作于H，如图，
绕点A按逆时针方向旋转，
，，
，
即，
，
在中，，
设，则，
，
即，解得，
，，
，
在中，，
而为BC的中点，
．
故选：C．
作于H，如图，利用旋转的性质得，，再证明即，根据正切的定义得，设，则，则，解得，所以，，然后利用勾股定理计算出，从而得到BC的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，，CD即为斜边上的高，
在中，，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
，
故选：B．
如图所示，，CD即为斜边上的高，利用锐角三角函数定义求出BC的长，利用勾股定理求出AC的长，利用面积法求出CD即可．
此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点E和点D作，于点F和G，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
为AB边上的中线，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
，
，
．
．
故选：D．
如图，过点E和点D作，于点F和G，可得，根据已知条件和两条直线平行对应边成比例可得，根据三角函数可得，进而可求结果．
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
9.【答案】B
【解析】解：过点O作于E，
设，
在中，，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
解得，，
，，，
，
，
，，
∽，
，即，
解得，，
，
由勾股定理得，，
故选：B．
作，根据正弦的定义求出BC、AC，根据垂径定理求出AE，证明∽，根据相似三角形的性质求出AO，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形、相似三角形的判定和性质、掌握锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关是解决问题的关键．易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】
解：各边都扩大5倍，
新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
两三角形相似，
的三角函数值不变，
故选C．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性等知识，记住锐角三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．
利用锐角三角函数的定义，得到，设，易知，根据，由此即可作出判断．
【解答】
解：于E，于F，
，
，设，
，，
，
，
，
当点D从B向C运动时，是逐渐增大的，
的值是逐渐减小的，
的值是逐渐减小的．
故选C．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．通过解直角得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值．
【解答】
解：如图，在中，，，
，．
，
，
．
故选A．
13.【答案】
【解析】解：如图，延长AD，过点C作，垂足为E，
，即，
设，则，
，，
∽，
，
，，
，
，
故答案为．
延长AD，过点C作，垂足为E，由，即，设，则，然后可证明∽，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得，，从而可求．
本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将放在直角三角形中．
14.【答案】8或24
【解析】解：当是锐角三角形时，如图1，
，，
，
，
，
，
；
当是钝角三角形时，如图2，
，，
，
，
，
，
，
综上，的面积为8或24，
故答案为8或24．
分两种情况，解直角三角形求得AD，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了解直角三角形，三角形的面积，分类讨论是两条的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，作于H，于M．
，
，
，设，，
则有：，
，
或舍弃，
，
，，，
等腰三角形两腰上的高相等
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为．
如图，作于H，于由，设，，利用勾股定理构建方程求出a，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：中，，
，
设，则，
，
，
过A作轴，过B作轴于D，
则，
顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
在第二象限，
，
故答案为：．
解直角三角形求得，过A作轴，过B作轴于D，根据A、B在函数图象上求出，，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质得出，即，解得即可．
此题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
17.【答案】解：如图，
证明：由作法得，
，
．
，
四边形ABCD为菱形；
四边形ABCD为菱形，
，，
在中，，
而，
，
．
【解析】根据作法画出对应的几何图形得到四边形ABCD；先利用得到再利用作法得到，从而可判断四边形ABCD为菱形；
利用菱形的性质得到，，则根据余弦的对应计算出BO，从而得到BD的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了菱形的判定与性质．
18.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，，
，
在和中，，
≌，
；
解：由得：，
，
，
，
，
在中，．
【解析】由平行四边形性质得，由AAS证得≌，即可得出结论；
由得，则，在中，由三角函数定义即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
，，
，
∽．
解：如图2中，作于M．
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或舍弃，
，，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得．
理由：作于H，于M，于则，
四边形AMHN为矩形，
，，
，，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
当时，由点D不与点C重合，可知为等腰三角形，
，
，
，
点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
解直角三角形求出BC，由∽，推出，可得，由，推出，求出AE即可．
点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得作于H，于M，于则，由∽，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．
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