初中数学湘教版九年级上册第四章4.4解直角三角形的应用练习题（Word版 含解析）

初中数学湘教版九年级上册第四章4.4解直角三角形的应用练习题
一、选择题
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔40?海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为
A.
40海里
B.
海里
C.
海里
D.
海里
如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离C为
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为
A.
B.
C.
D.
如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置测角仪测一得楼房CD顶部点CD的仰角为，向前走20米到达处，测得点D的仰角为已知测角仪AB的高度为1米，则楼房CD的高度为
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
如图，小松同学想测量学校旗杆的高度，他站在B点从A处仰望杆顶D，测得仰角为，再往旗杆的方向前进14米从E处仰望杆顶，测得仰角为，已知小华同学身高为米，则旗杆CD的高度为
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
小明在学完解直角三角形一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得为水平线，测角仪的高度为1米，则旗杆PA的高度为
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆--行千里，致广大”竖直标语牌他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处C，D在同一条直线上，，坡度为：，则标语牌CD的长为结果保留小数点后一位参考数据：，，，
A.
B.
C.
D.
如图，在高为2m，坡度为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为???
A.
4m
B.
6m
C.
D.
如图，一个小球由地面沿着坡度：2的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为
A.
5m
B.
C.
2m
D.
某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型如甲图，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是，拉索BD与水平桥面的夹角是，两拉索底端距离米，则立柱BC的高为
A.
米
B.
10米
C.
米
D.
20米
二、填空题
已知一道斜坡的坡比为2：，坡长39m，那么坡高为______
如图，一艘轮船在小岛A的北偏东方向且距小岛80海里的B处，沿正西方向航行一定时间后到达小岛的北偏西的C处，则该船航行的路程为______海里．
如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为
________参考数据：，，
如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道点A，B在同一水平面上为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A，B两地之间的距离为______．
三、解答题
如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域
求A城与台风中心之间的最小距离；
求A城受台风影响的时间有多长？
如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点经测量，C位于A的北偏东的方向上，C位于B的北偏东的方向上，且．
求景点B与C的距离；
求景点A与C的距离．结果保留根号
如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．
第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日年02月20日在我国北京举行，全国人民掀起了雪上运动热潮．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至若这名滑雪运动员的高度下降了300米，求他沿斜坡滑行了多少米？结果精确到米参考数据：，，
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，
，
海里，
海里；
故选D．
根据已知条件得出，再根据海里和正弦定理即可求出BP的长．
本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得：，
故BC．
故选：A．
直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：在和中，，，，
，，
；
故选：C．
在和中，由三角函数得出，，得出即可．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：过B作于F，作，
，
，
在中，，米，
米，
米
米
米
故选：B．
过B作于F，作，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．设米，在中求出AF，在中求出EF，再由米，可求出x的值，即可得出答案．
【解答】
解：设米，
在中，米，，
则：：AF，
故AF米，
在中，米，，
则：：EF，
故EF米，
由题意得，，
解得：，
则旗杆的高度为米．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：设旗杆PA的高度为x米，则米，
在中，，
则，
解得，，
故选：C．
设旗杆PA的高度为x米，根据正弦的定义列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，
根据题意可知：
斜坡AB的坡度为：，
即AE：：，
，
，，
，
在中，，
．
故选：D．
根据斜坡AB的坡度为：，可得AE：：，，，再根据锐角三角函数即可求出CD的长．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
8.【答案】D
【解析】解：如图，根据题意得：，，
?m，
地毯的长度应为：．
故选：D．
由在高为2m，坡度为的楼梯上铺地毯，可求得地毯在水平面上的长度BC的长，又由地毯的长度是AC与BC的和，即可求得答案．
此题考查了解直角三角形的问题．此题难度不大，注意理解坡度的意义，注意能构造直角三角形并能利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，i的定义，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【解答】
解：，．
设，，
由勾股定理得，，
即，
解得：，
故小球距离地面的高度为2m．
故选C．
10.【答案】C
【解析】解：，，，
，
，
米，
米，
故选C．
首先证明米，解直角三角形求出BC即可．
本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】26
【解析】解：坡度，
，
坡高坡长．
故答案为：26
利用坡度公式求得坡角后，再用正弦的概念求解．
本题考查坡度坡角的相互转换、锐角三角函数的应用．
12.【答案】
【解析】解：如图所示：
设该船行驶的速度为x海里时，
3小时后到达小岛的北偏西的C处，
由题意得：海里，海里，
在直角三角形ABQ中，，
，
，，
在直角三角形AQC中，，
，
海里．
设该船行驶的速度为x海里时，由已知可得，，，，海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出；
本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．
13.【答案】262
【解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，结合图形计算即可．
【解答】
解：作于E，
则四边形ADCE为矩形，
，
在中，，
则，
在中，，
，
，
则该建筑的高度BC为262m，
故答案为：262．
14.【答案】米
【解析】解：由题意知，，米，
，
米，
故答案为：米．
由题意知，，米，由知，据此计算可得．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】解：如图，作于H．
在中，，，，
，
，
城受到这次台风的影响．
如图，设，
则易知：，
，
受台风影响的时间有小时．
【解析】如图，作于解直角三角形求出AH与150km比较即可解决问题．
如图，设，求出RT，利用时间，计算即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：过点C作直线l，垂足为D，如图所示．
根据题意，得：，．
设．
在中，，
；
在中，，，
，．
，
，
．
在中，，
．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用方位角问题，通过解直角三角形，找出AC，BC，AD，BD与CD之间的关系是解题的关键．
过点C作直线l，垂足为D，设，则，，，结合可求出x的值，进而可得出景点B与C的距离；
在中，通过解直角三角形可得出，结合中x的值可求出景点A与C的距离．
17.【答案】解：过点C作于点D，由题意得：
，设，则：
在中，，；
，
，即：，
解之得：负值舍去，
答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
【解析】过点C作于点D，由题意得：，设，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
18.【答案】解：如图在中，米，，，
则．
答：他沿斜坡大约滑行了米．
【解析】如图，在中，根据三角函数可得，可求他沿斜坡滑行了多少米．
本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
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