3．1.1 数系的扩充和复数的概念
[目标]
1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法．
[重点]
复数的概念及复数相等的条件．
[难点]
复数的理解与引入．
知识点一 复数的概念
[填一填]
1．复数与复数集
集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所成的集合C叫做复数集．
2．复数的代数形式
复数通常用z表示，z＝a＋bi(a，b∈R)，叫做复数的代数形式．其中a与b分别叫复数z的实部与虚部．
[答一答]
1．如何理解虚数单位i?
提示：①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算，且原有的加、减、乘、除运算律仍成立．
2．能否说形如a＋bi(其中i是虚数单位)的数叫做复数？
提示：不能．只有当a，b∈R时，结论才成立．
知识点二 复数的分类与复数相等
[填一填]
1．复数的分类
(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则当且仅当b＝0时，z为实数．当b≠0时，z为虚数，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数．
(2)复数集内的包含关系
2．复数相等
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要条件是a＝c且b＝d.
[答一答]
3．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时为实数，当a＝0时为虚数，这种说法正确吗？
(2)形如bi的数一定是纯虚数吗？
(3)复数z＝0的充要条件是什么？
提示：(1)这种说法不正确，复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当b＝0时为实数；当a＝0时z不一定为虚数，因为当a＝b＝0时，z＝0是实数，而不是虚数．
(2)不一定，只有在bi中，当b∈R且b≠0时它才是纯虚数，当b∈R且b＝0时，bi＝0不是纯虚数，当b?R时，也不是纯虚数．
(3)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则当a＝b＝0时，有z＝0；反之，若z＝0，则必有a＝b＝0，即复数z＝0的充要条件是其实部和虚部均为0.
4．两个复数能否比较大小？
提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两个复数相等或者不相等．这是因为虚数单位i与实数0的大小关系不确定，若i>0，则两边同乘以i，有i2>0，即－1>0，这是不可能的．若i<0，则两边同时平方得i2>0，即－1>0，这也不可能．
本节内容概念较多，在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确，实数也是复数，要把复数与虚数加以区别，对于纯虚数bi(b∈R，且b≠0)不要只记形式，认为形如bi的数就是纯虚数是错误的，要注意b∈R，且b≠0.
两个不相等的复数(不全为实数)不能比较大小，同时，应熟练掌握以下结论：
(1)复数z＝a＋bi，当b＝0时，z是实数；当b≠0，a＝0时，z是纯虚数；当b≠0时，z是虚数．
(2)a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)z＝a＋bi∈R(a，b∈R)?b＝0(a，b∈R).
类型一 复数的概念
【例1】 分别指出下列复数的实部和虚部．
3＋2i，－i，－3i＋5，，－5i，i2,0.
【思路分析】 先把复数写成a＋bi(a，b∈R)的形式，然后根据实部和虚部的定义解题．
【解】 3＋2i的实部是3，虚部是2.
－i＝＋(－1)i，故－i的实部是，虚部是－1.
－3i＋5＝5－3i，故－3i＋5的实部是5，虚部是－3.
＝＋0i，故的实部是，虚部是0.
－5i＝0－5i，故－5i的实部是0，虚部是－5.
i2＝－1＝－1＋0i，故i2的实部是－1，虚部是0.
0＝0＋0i，故0的实部和虚部都是0.
复数的虚部是指i的“系数”，一定不能带有i，如，2－2i的虚部是－2，而不是－2i.
(1)复数(1＋)i的虚部是( C )
A．1
B.
C．1＋
D．(1＋)i
解析：(1＋)i的虚部是i的系数1＋，选C.
(2)指出下列复数的实部与虚部．
3i＋2i2,5＋8i，(－1)i.
解：∵3i＋2i2＝3i－2＝－2＋3i，
∴实部为－2，虚部为3.
5＋8i的实部为5，虚部为8.
(－1)i的实部为0，虚部为－1.
类型二 复数的分类
【例2】 实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)表示正实数；
(2)虚部为负的纯虚数；
(3)实部为正，虚部为负且虚、实部绝对值相等的数．
【解】 依题意有
(1)解得k＝6，∴z＝14.
(2)解得k＝4，∴z＝－10i.
(3)
解得k＝5，此时z＝6－6i.
利用复数代数形式进行分类时，主要依据虚部和实部满足的条件，求参数时可由此列出方程?组?，但必须要全面考虑所有条件，不能遗漏.
设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m为何值时，z是(1)实数；(2)纯虚数．
解：(1)要使z为实数，则m2＋3m＋2＝0，
解得m＝－2或m＝－1.
(2)要使z为纯虚数，则
即解得m＝3.
类型三 两个复数相等
【例3】 (1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y；
(2)设z1＝1＋sinθ－icosθ，z2＝＋(cosθ－2)i.若z1＝z2，求θ.
【思路分析】 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．
【解】 (1)根据复数相等的充要条件，得方程组
得
(2)由已知，得解得
则θ＝2kπ(k∈Z)．
?1?必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.,?2?根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现.
(1)若ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i为虚数单位，则a2＋b2＝( D )
A．0
B．2
C.
D．5
解析：由题意得则a2＋b2＝5.
(2)若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝( A )
A.
B.i
C．－
D．－i
解析：因为关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，即x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0?x2＋x＋3m＋(2x＋1)i＝0??m＝，故选A.
对纯虚数的概念把握不准
【例4】 实数m取何值时，复数z＝＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数？
【错解】 由题意得＝0，解得m＝－2或m＝1.
故当m＝－2或m＝1时，复数z是纯虚数．
【错因分析】 错解中忽略了“纯虚数的虚部不能为0”这一条件，从而产生了增解．
【正解】 复数z是纯虚数的充要条件是
，
解得，即m＝1.
故当m＝1时，复数z是纯虚数．
【解后反思】 复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件为，二者缺一不可．
设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝－2.
解析：由复数为纯虚数的条件可得，
所以，即m＝－2.
1．下列复数中，是实数的是( B )
A．1＋i
B．i2
C．－i
D．mi
解析：i2＝－1，所以i2是实数．
2．下列复数中，和复数－1＋i相等的复数为( D )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：i2＋i＝－1＋i.
3．若复数z＝(x2－4)＋(x－2)i(x∈R)是纯虚数，则实数x＝－2.
解析：，∴x＝－2.
4．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝－10.
解析：根据复数相等的充要条件可知：
解得所以m＋n＝－10.
5．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
－3,2＋i，－＋i，－4i，sin＋isin.
解：－3,2＋i，－＋i，－4i，sin＋isin的实部分别是－3，2，－，0,1；虚部分别是0，，，－4，.－3是实数；2＋i，－＋i，－4i，sin＋isin是虚数，其中－4i是纯虚数．
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-3．1.2 复数的几何意义
[目标]
1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系.2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义．
[重点]
复数的几何意义与复数的模．
[难点]
复数的几何意义．
知识点一 复平面
[填一填]
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，虚轴上的点(0,0)不对应虚数．
[答一答]
1．实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？
提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数．事实上，虚轴上的点(0,0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数．
知识点二 复数的两种几何意义
[填一填]
复数z＝a＋bi
复平面内的点Z(a，b)．
复数z＝a＋bi
平面向量.
[答一答]
2．(1)在复平面中，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点是Z(a，bi)吗？
(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？
提示：(1)不是，在复平面中，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点应该是Z(a，b)，而不是(a，bi)．
(2)前提条件是：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与相等的向量有无数个．
知识点三 复数的模
[填一填]
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
[答一答]
3．(1)复数的模一定是正数吗？
(2)若复数z满足|z|＝1，那么在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？
提示：(1)不一定，复数的模是非负数，即|z|≥0，当z＝0时，|z|＝0；反之，当|z|＝0时，必有z＝0.
(2)点Z的轨迹是以原点为圆心，半径等于1的一个圆．
1．对复数几何意义的理解
(1)复数集中的复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与平面向量＝(a，b)也是一一对应的．
(3)注意z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量的起点必须为原点，因为复平面内与相等的向量有无数个．
2．复数与其对应的点的关系
复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．
类型一 复数与复平面内点的对应关系
【例1】 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方；
(3)在直线x＋y＋7＝0上．
【思路分析】 由z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)一一对应知第(1)问要求实部小于0，虚部大于0；第(2)问要求虚部大于0；第(3)问中用实部代x，虚部代y，解方程即可．
【解】 (1)点Z在复平面的第二象限内，则
解得a<－3.
(2)点Z在x轴上方，则
即(a＋3)(a－5)>0，解得a>5，或a<－3.
(3)点Z在直线x＋y＋7＝0上，
∴＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
∴(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2，或a＝±.
∴a＝－2，或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．
?1?复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标.
?2?已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程?组?或不等式?组?求解.
(1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第四象限．
解析：由a2＋a＋1＝2＋>0，
－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2<0，
故复数对应的点在第四象限．
(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为(1,2)．
解析：因为复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，所以所以所以1
即1类型二 复数与向量的对应关系
【例2】 已知向量对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.
(1)求向量对应的复数；
(2)求点A2对应的复数．
【思路分析】 根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．
【解】 (1)∵向量对应的复数是4＋3i，
∴点A对应的复数也是4＋3i，
因此点A坐标为(4,3)，
∴点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，
故向量对应的复数是4－3i.
(2)依题意知＝，而＝(4，－3)，
设A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，
∴x＝8，y＝0，即A2(8,0)，
∴点A2对应的复数是8.
?1?复数z＝a＋bi?a，b∈R?是与以原点为起点，点Z?a，b?为终点的向量一一对应的.
?2?一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应复数可能改变
(1)已知复数z1＝－3＋4i，z2＝a－3i(a∈R)，z1，z2对应的向量分别为，，且⊥，则a＝－4.
(2)在复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向量向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，得到向量，则向量对应的复数是1＋i.
解析：(1)依题意＝(－3,4)，＝(a，－3)，
由于⊥，所以·＝0，
即－3a－12＝0，解得a＝－4.
(2)在复平面内，一个向量作平移变换，从一个位置无论平移到哪一个位置，平移后的向量和原来的向量都是相等向量，对应的复数也都相等，所以＝.因此，向量对应的复数仍然是1＋i.
类型三 复数模的计算
【例3】 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
【解】 方法1：∵z＝3＋ai(a∈R)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，
∴a2<7，∴a∈(－，)．
方法2：如图，利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知：－利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想.根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题.
已知复数z满足|z|＝1，|z－1|＝1，求复数z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
解得或，∴z＝±i.
复数模的几何意义
【例4】 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝2；(2)2<|z|<3.
【解】 (1)因为|z|＝2，即|OZ|＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图①.
(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组不等式|z|>2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|<3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．
因此，满足条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图②.
【解后反思】 解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题．
(1)满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．
解析：由已知得|z－i|＝5，
令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x＋(y－1)i|＝5.
∴x2＋(y－1)2＝25.
∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．
(2)已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为2＋1.
解析：|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2＋1.
1．复数z＝＋i2对应的点在复平面的( B )
A．第一象限内
B．实轴上
C．虚轴上
D．第四象限内
解析：由于z＝＋i2＝－1，它是一个实数，因此其对应的点在复平面的实轴上．
2．已知复数z＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z＝a－2i对应的点在( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：复数z＝2－ai对应的点是(2，－a)，在直线x－3y＋4＝0上，所以2＋3a＋4＝0，a＝－2，于是复数z＝a－2i＝－2－2i，对应的点在第三象限．
3．复数z＝sin20°＋isin70°的模等于1.
解析：|z|＝＝＝＝1.
4．若复数z的实部为－8，模等于17，那么复数z对应的点在第二或三象限．
解析：依题意设z＝－8＋bi(b∈R)，
则有＝17，
解得b＝±15，即z＝－8＋15i或z＝－8－15i，
因此z对应的点在第二或第三象限．
5．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点．
(1)位于第二象限？
(2)位于直线y＝x上？
解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得，
解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.
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-3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
[目标]
1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
[重点]
复数加法与减法的运算法则．
[难点]
复数加法与减法的几何意义．
知识点一 复数加法与减法的运算法则
[填一填]
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，则z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
[答一答]
1．两个复数的和，差分别是一个确定的复数，那么两个虚数的和，差是否仍为虚数？
提示：两个虚数的和，差可能是虚数也可能是实数．
2．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
知识点二 复数加法与减法的几何意义
[填一填]
如图：设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，得＋＝(a＋c，b＋d).－＝(a－c，b－d)．这说明两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，与的差就是与复数(a－c)＋(b－d)i对应的向量，即图中四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.
[答一答]
3．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别是，，那么向量，的坐标分别是什么？z1＋z2对应的向量的坐标是什么？
提示：由复数与平面向量的一一对应可知＝(a，b)，＝(c，d)，故＋＝(a＋c，b＋d)．由复数加法的几何意义可知＋即为z1＋z2对应的向量，故z1＋z2对应的向量的坐标为(a＋c，b＋d)．
4．从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？
提示：表示Z1与Z2两点间的距离．
5．若a，b，r为实常数，且r>0，则满足|z－(a＋bi)|＝r的复数z在复平面上对应的点的轨迹是什么？
提示：是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆．
1．对复数加法的理解
(1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算．
(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的．
(3)复数的加法运算的结果仍然是复数．
(4)实数的移项法则在复数中仍然成立．
(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．
2．对复数加、减法几何意义的理解
(1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则．
(2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加方便．
(3)复数的加减法运算可以通过向量的加减法运算进行；反之，向量的加减法运算也可以通过复数的加减法运算进行．
(4)利用复数的加减法运算的几何意义可以直观地解决复数问题．
类型一 复数加减法的运算
【例1】 计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
【解】 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
?1?类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行.
?2?算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加.
设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( D )
A．1－5i
B．－2＋9i
C．－2－i
D．5＋3i
解析：∵z1－z2＝5＋5i，
∴f(z1－z2)＝5＋5i－2i＝5＋3i.
类型二 复数加减法的几何意义
【例2】 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度．
【解】 (1)因为＝0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所表示的复数为－3－2i.因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以||＝＝.
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量
对应的复数是zB－zA?终点对应的复数减去起点对应的复数
(1)在复平面内，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为( A )
A．－1－5i
B．－1＋5i
C．3－4i
D．3＋4i
(2)向量表示的复数为3＋2i，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为，分别写
出：①向量对应的复数；②点O′对应的复数；③向量对应的复数．
解：如右图所示，O为原点，点A的坐标为(3,2)，向上平移3个单位长度再向左平移2个单位长度后，点O′的坐标为(－2,3)．点A′的坐标为(1,5)，坐标平移不改变的方向和模．
①向量对应的复数为3＋2i；
②点O′对应的复数为－2＋3i；
③向量对应的复数为－3－2i.
类型三 复数加减法的综合运算
【例3】 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|
＝，求|z1－z2|.
【解】 法1：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，
又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
∴2ac＋2bd＝0.
∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2
＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，
∴|z1－z2|＝.
法2：作出z1，z2对应的向量，，使＋＝，
∵|z1|＝|z2|＝1，又，不共线(若，共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，
∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形，
又|z1＋z2|＝，
∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，
故|z1－z2|＝.
与复数模有关的几个常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；
(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝|OC|
＝＝.
复数与最值
【例4】 复数z满足|z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．
【思路分析】 利用复数减法的几何意义．
【解】 因为|z－1－i|＝1，所以由复数减法的几何意义可知，z对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心，1为半径的圆，
而|z＋1＋i|则是圆上的点到点(－1，－1)的距离，
所以|z＋1＋i|min＝－1
＝2－1.
【解后反思】 |z－(a＋bi)|表示复数z对应的点到复数a＋bi对应的点的距离；而|z＋(a＋bi)|表示复数z对应的点与－a－bi对应的点之间的距离．
若z∈C，且|z－1|＝|z＋1|，则|z＋1－i|的最小值是1.
解析：∵|z－1|＝|z＋1|，∴z对应点的轨迹是虚轴，|z＋1－i|表示对应点与(－1,1)的距离，所以|z＋1－i|min＝1.
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( B )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6，故选B.
2．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( D )
A．0
B．2i
C．6
D．6－2i
解析：∵z＋i－3＝3－i，∴z＝(3＋3)＋(－i－i)＝6－2i，故选D.
3．设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是5－5i.
解析：＝－＝(2－3i)－(－3＋2i)＝5－5i，即对应的复数为5－5i.
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB为直角三角形．
解析：由复数的加、减法的几何意义可知，
当|z1＋z2|＝|z1－z2|时，∠AOB＝90°.
5．计算：
(1)(－1＋i)＋(1－i)；
(2)2i－[(3＋2i)－(－1＋3i)]．
解：(1)(－1＋i)＋(1－i)＝(－1＋1)＋(－)i＝0；
(2)2i－[(3＋2i)－(－1＋3i)]＝2i－(4－i)＝－4＋3i.
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-3．2.2 复数代数形式的乘除运算
[目标]
1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算.2.理解共轭复数的意义.3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算．
[重点]
复数的乘法与除法的运算法则．
[难点]
复数的除法运算．
知识点一 复数的乘法运算
[填一填]
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数的乘法满足的运算律
对任意z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
[答一答]
1．两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？
提示：多个复数的乘法运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部．
2．若z1，z2∈C，(z1＋z2)2＝z＋2z1·z2＋z是否成立？
提示：成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．
知识点二 复数的除法运算
[填一填]
1．共轭复数
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则
(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c，且b＝－d.
(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c，且b＝－d≠0.
2．复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)．
[答一答]
3．根据共轭复数的概念，探究以下问题：
(1)如果z∈R，那么与z有什么关系？
(2)复数z与它的共轭复数在复平面内所对应的点的位置关系如何？
(3)两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？
提示：(1)当z∈R时，＝z，即一个实数的共轭复数是它自身．
(2)关于实轴对称．
(3)当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数．事实上，若z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z·＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2，且有z·＝|z|2＝||2.
4．复数除法的实质是怎样的？
提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
1．复数的乘除法
(1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2应化为－1.
(2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式．
2．共轭复数
(1)复数z的共轭复数通常用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.
(2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2＝|z|2＝||2.
(3)实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝?z∈R，这是判断一个数是否为实数的一个准则．
(4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．
3．虚数单位i的乘方
由i4＝1，则对任意n∈N
，i的幂的周期性如下：
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.
类型一 复数的乘法运算
【例1】 计算：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等.
计算下列各题．
(1)(1－i)3；
(2)(2－i)(3＋i)．
解：(1)(1－i)3＝(1－i)2·(1－i)
＝(1－2i＋i2)·(1－i)
＝(－2i)·(1－i)＝－2i＋2i2＝－2－2i.
(2)(2－i)(3＋i)
＝(7－i)
＝＋i.
类型二 共轭复数
【例2】 (1)若z＝，则复数＝( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
(2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A
B．B
C．C
D．D
(3)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝( )
A．－2i
B．－i
C．i
D．2i
【解析】 (1)z＝＝＝2－i，则复数＝2＋i.
(2)因为x＋yi的共轭复数为x－yi，故选B.
(3)依题意得z－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.
【答案】 (1)D (2)B (3)B
?1?若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算.必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.
?2?共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi?a，b∈R?，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程?组?求解.
(1)若|z|＝3，z＋＝0，则复数z＝3i或－3i.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有＝x－yi，
因此
解得或
即z＝3i或－3i.
(2)已知x－1＋yi与i－3x是共轭复数，求实数x与y的值．
解：∵x，y为实数，∴∴
类型三 复数的除法运算
【例3】 计算：
(1)；
(2)4＋.
【思路分析】 (1)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简，或分解因式，再做除法；(2)先展开，后化简．
【解】 (1)方法1：原式
＝＝＝1.
方法2：原式＝
＝＝1.
(2)原式＝2＋
＝2－＝－－i＋i－
＝＋i.
在进行复数除法运算时，通常先把?a＋bi?÷?c＋di?写成
的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.
若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )
A．2＋i
B．2－i
C．5＋i
D．5－i
解析：由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋＝3＋＝3＋2＋i＝5＋i，所以＝5－i.
1．(1－i)2·i等于( D )
A．2－2i
B．2＋2i
C．－2
D．2
解析：(1－i)2·i＝(1－2i＋i2)·i＝(－2i)·i＝－2i2＝2，故选D.
2．在复平面内，复数z＝对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝＝＝＝＝－i，故复数z对应的点为Z(，－)，它位于第四象限，选D.
3．若z是复数，且(3＋z)i＝1(i为虚数单位)，则z的值为( C )
A．－3＋i
B．3＋i
C．－3－i
D．3－i
解析：由(3＋z)i＝1，得3＋z＝，
∴z＝－3－i，故选C.
4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝－1，y＝1.
解析：x－2＋yi＝3x＋i，∴
解得
5．计算：(2＋i)·(1＋i)2－.
解：原式＝(2＋i)(2i)－＝4i－2－
＝(－2－)＋(4＋)i＝－＋i.
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-第三章
本章小结
一、复数的概念及分类
复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入(或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解．
【例1】 已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
(1)z∈R；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第二象限；
(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
【解】 (1)由m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，
故当m＝－3时，z∈R.
(2)由解得m＝0或m＝2.
∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．
(3)由解得m<－3或1故当m<－3或1z对应的点位于复平面的第二象限．
(4)由＋(m2＋2m－3)＋3＝0，
得＝0.解得m＝0或m＝－1±.
∴当m＝0或m＝－1±时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
【评析】 掌握复数的分类是解此题的关键，复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化，为解决形或数的问题提供了一条重要思路．
二、复数的几何意义
1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
2．任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|、|z－a|的几何意义——距离．
3．复数加、减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．
由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z、Z1间的距离．
4．复数形式的基本轨迹：
(1)当|z－z1|＝r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1.
(2)当|z－z1|＝|z－z2|，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．
(3)当|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a>||>0)，则表示以复数z1、z2的对应点为焦点的椭圆．
(4)当||z－z1|－|z－z2||＝2a(0<2a<||)，则表示以复数z1、z2的对应点为焦点的双曲线．
【例2】 已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )
A．1
B．2
C.
D．3
【分析一】 ∵|z|＝2，要求|z－i|的最大值，可直接应用模的性质：|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.
【分析二】 要求|z－i|的最值可设ω＝z－i，则z＝ω＋i变为求|ω|的最大值，根据ω的几何意义即可求．
【解析】 解法一：∵|z|＝2，
∴|z－i|≤|z|＋|i|＝2＋1＝3.
解法二：设ω＝z－i，则ω＋i＝z.
∴|ω＋i|＝|z|＝2.
ω表示以点(0，－1)为圆心，以2为半径的圆，由下图可知，圆上到原点的距离以|OP|为最大，最大值是3.
【答案】 D
【评析】 求模的最值要想到模的几何意义的应用，这时，图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性．
【例3】 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
【解】 设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．
∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或.
∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.
三、复数的四则运算
历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．
复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义进行求解．
【例4】 已知复数z1＝2－3i，z2＝.
求(1)1·z2；(2).
【解】 z2＝＝
＝＝＝1－3i.
(1)1·z2＝(2＋3i)·(1－3i)＝2－6i＋3i＋9
＝11－3i.
(2)＝＝＝
＝－＋i.
【评析】 在进行复数的除法运算时，一般采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母均乘以分母上的复数的共轭复数，根据z·＝|z|2将分母化为实数，再将分子上的两复数相乘展开整理即可．
四、共轭复数与复数的模
共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：
1．z∈R?＝z；
2．z≠0，z为纯虚数?＝－z.
【例5】 设复数z满足4z＋2＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围．
【解】 设z＝a＋bi(a、b∈R)，则＝a－bi.
代入4z＋2＝3＋i，
得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，
即6a＋2bi＝3＋i.
∴∴z＝＋i.
|z－ω|＝|＋i－(sinθ－icosθ)|
＝
＝＝.
∵－1≤sin(θ－)≤1，
∴0≤2－2sin(θ－)≤4，得0≤|z－ω|≤2.
【评析】 本题将复数与三角函数有机地结合在一起，体现了知识间的交汇．
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