1．1.1 变化率问题
1．1.2 导数的概念
[目标]
1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．
[重点]
理解导数的概念．
[难点]
理解导数与瞬时变化率的关系．
知识点一
平均变化率
[填一填]
1．平均变化率的定义
对于函数f(x)，当自变量x从x1变到x2时，函数值从f(x1)变到f(x2)，则称式子为函数f(x)从x1到x2的平均变化率．
2．符号表示
习惯上，自变量的改变量用Δx表示，即Δx＝x2－x1，函数值的改变量用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，于是平均变化率可以表示为.
3．平均变化率的几何意义
如图所示，函数f(x)的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率．事实上，kAB＝＝＝.根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．
[答一答]
1．若函数在某区间上的平均变化率为零，能否说明此函数在此区间上的函数值都相等？
提示：不能．比如，f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但其图象在[－2,2]上先下降后上升，值域是[0,4]．
2．一次函数f(x)＝ax＋b从x1到x2的平均变化率有什么特点？
提示：一次函数的图象为直线，图象上任意两点间连线的斜率固定不变，故一次函数定义域内的任意两个自变量之间的平均变化率等于常数a.
知识点二
导数的概念
[填一填]
1．导数的定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
＝
，称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
2．导数的符号表示
用
f′(x0)或y′|x＝x0表示函数f(x)在x＝x0处的导数，即f′(x0)＝
＝
.
[答一答]
3．根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题：
(1)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？
(2)如何计算物体的平均速度和瞬时速度？
提示：(1)不能，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度．
(2)平均速度：一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在[t1，t2]这个时间段内的平均速度为.瞬时速度：一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在t0时刻的瞬时速度为
.
4．根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？
(3)设函数f(x)在x＝x0处可导，则导数值与x0，Δx都有关吗？
提示：(1)瞬时变化率是平均变化率在Δx无限趋近于0时，无限趋近的值，瞬时变化率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度．
(2)函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数．
(3)导数是一个局部性的概念，它与函数y＝f(x)在x0及附近的函数值有关，与Δx无关．
1．对Δx，Δy的理解
(1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘．
(2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零．
2．导数概念的解读
(1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．
(2)f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数与无限接近．如果当Δx→0时，
不存在，则称函数f(x)在x＝x0处不可导．
类型一
求函数的平均变化率
【例1】 已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
【思路分析】 先求Δx，Δy，再利用平均变化率的定义求解．
【解】 (1)由f(x)＝2x2＋1，
得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080
2，
Δx＝2.01－2＝0.01，∴＝＝8.02.
(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1
＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴＝＝4x0＋2Δx.
分别计算下列三个图象表示的函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率．
解：对于(1)，Δh＝h(3)－h(0)＝10－0＝10，∴＝＝，即平均变化率为.同理可以算得(2)(3)中函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为.
类型二
求瞬时速度
【例2】 已知s(t)＝5t2(s单位：m)．
(1)求t从3
s到3.1
s的平均速度；
(2)求t从3
s到3.01
s的平均速度；
(3)求t＝3
s时的瞬时速度．
【解】 (1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，
Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×(3.1)2－5×32
＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，
∴＝＝30.5(m/s)．
(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，
Δs＝s(3.01)－s(3)＝5×(3.01)2－5×32
＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)，
∴＝＝30.05(m/s)．
(3)在t＝3附近取一个时间段Δt，
即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)，
∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32
＝5·Δt·(6＋Δt)，
∴＝＝30＋5Δt.
当Δt趋于0时，趋于30.
∴在t＝3时的瞬时速度为30
m/s.
瞬时速度即是平均速度\x\to(v)在Δt→0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度，再求\x\to(v)在Δt→0时的极限值.
甲、乙两工厂经过排污治理，污水的排放流量(W)与时间(t)的关系如图所示，则治污效率较高的是甲．
解析：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
然而W2(t0－Δt)
0)，所以||>||，
所以在相同时间内甲比乙的平均治污效率高．
类型三
求函数在某点处的导数
【例3】 (1)设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
(2)求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
【思路分析】 按导数的定义：①求Δy与Δx；②求；③求
.
【解析】 (1)f′(x0)＝
＝
(a＋b·Δx)＝a.
(2)解：由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f′(1)＝
，而
＝＝，
又
＝，所以f′(1)＝.
【答案】 (1)C (2)见解析
由导数的定义知，求一个函数y＝f?x?在x＝x0处的导数的步骤如下：,?1?求函数值的改变量Δy＝f?x0＋Δx?－f?x0?；
?2?求平均变化率＝；
?3?取极限，得导数f′?x0?＝.
简认为：一差，二比，三趋近.
求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
解：∵Δy＝3(1＋Δx)2－3×12＝6Δx＋3(Δx)2，
∴＝6＋3Δx，
∴y′|x＝1＝
＝
(6＋3Δx)＝6.
理解导数概念不到位导致出错
【例4】 设函数f(x)在点x0处可导，且f′(x0)已知，求下列各式的极限值．
(1)
；
(2)
.
【错解】 (1)
＝f′(x0)．
(2)
＝
＝f′(x0)．
【错因分析】 在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．如(1)中Δx的改变量为Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改变量为2h＝(x0＋h)－(x0－h)．
【正解】 (1)
＝－
＝－f′(x0)．
(2)
＝f′(x0)．
若函数f(x)在x＝a的导数为m，那么
的值为4m.
解析：
＝
＝
＋
＝2
＋2
＝2m＋2m＝4m.
1．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为( D )
A．2Δt＋4
B．－2Δt＋4
C．2Δt－4
D．－2Δt－4
解析：＝＝
＝＝－2Δt－4.
2．物体自由落体运动的方程为s＝s(t)＝gt2(g＝9.8
m/s2)．若v＝
＝9.8
m/s，那么说法正确的是( C )
A．9.8
m/s是在0～1
s这段时间内的速率
B．9.8
m/s是从1
s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8
m/s是物体在t＝1
s这一时刻的速率
D．9.8
m/s是物体在1
s到(1＋Δt)
s这段时间内的平均速率
解析：v＝
＝s′(1)，即s(t)在t＝1
s时的导数值．由导数的物理意义，得9.8
m/s是物体在t＝1
s这一时刻的速率．故选C.
3．一物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为4.1.
解析：＝＝＝4.1.
4．如果质点按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为18.
解析：v＝
＝
＝
(3Δt＋18)＝18.
5．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝
，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝
＝
(－Δx－1)＝－1.
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1
-1．1.3 导数的几何意义
[目标]
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
[重点]
对导数几何意义的理解及求切线方程．
[难点]
对导数几何意义的理解．
知识点一
导数的几何意义
[填一填]
1．切线的概念与切线的斜率
(1)切线：当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)割线的斜率：割线PPn的斜率是kn＝.
(3)切线的斜率：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率(如图)．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝
f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．即斜率k＝
＝_f′(x0)．
[答一答]
1．割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
提示：割线PPn的斜率是kn＝，当点Pn沿着曲线无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k.
2．本节定义的切线与以往学习的切线的定义有什么不同？
提示：这里是利用极限思想，即用割线的极限位置定义曲线的切线．这种定义曲线切线的方法适用于各种曲线．
3．函数的切线与函数的图象只有一个交点吗？
提示：不一定，如下图所示，可知切线与函数的图象不一定只有一个交点．
知识点二
导函数的概念
[填一填]
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝
.
[答一答]
4．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与导函数y＝f′(x)有什么区别和联系？
提示：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个函数值，即一个确定的值；导函数y＝f′(x)是针对某一区间内任意的x0，如果函数y＝f(x)的导数都存在，则都有唯一确定的值f′(x0)与x0对应，所以，函数的导函数是一个函数关系．
因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与导函数是个别与一般的关系，从而，求函数在x＝x0处的导数，除利用定义直接求解外，还可以先求出导函数，再将x＝x0代入导函数求解．
1．导数的几何意义是指：曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．
2．由导数值判断函数在某点的变化情况：当f′(x)>0时，函数图象应是上升的，f′(x)越大，图象上升越快，越“陡峭”；当f′(x)<0时，函数图象是下降的，且k越小，下降越快．
3．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
类型一
导数的几何意义
【例1】 已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率．
【思路分析】 利用导数的几何意义求出切线的斜率．
【解】 因为＝＝5＋3Δx，
当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
函数y＝f?x?在x＝x0处的导数f′?x0?的几何意义，就是曲线y＝f?x?在点?x0，f?x0??处切线的斜率k，即k＝f′?x0?＝
.
在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( D )
A．(0,0)
B．(2,4)
C.
D.
解析：f′(x)＝
＝
(2x＋Δx)＝2x＝tan＝1，∴x＝，∴y＝，即.
类型二
求曲线的切线方程
【例2】 已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
【思路分析】 先求出y＝x3＋的导函数，(1)将x＝2代入f′(x)可求得切线的斜率，再求切线方程；(2)先求出切点坐标，再求切线方程．
【解】 (1)∵点P(2,4)在曲线y＝x3＋上，
且y′＝
＝
＝
＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝22＝4，
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x，
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，
∴x＋x－4x＋4＝0，
即x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线.曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条.
曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为( D )
A．y＝9x
B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26
D．y＝9x＋6或y＝9x－26
解析：＝
＝
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x－6x0.
所以f′(x0)＝[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x－6x0]＝3x－6x0，于是3x－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，
因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．
又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，
即y＝9x－26或y＝9x＋6.
类型三
导数几何意义的实际应用
【例3】 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2
s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．
【解】 烟花在t＝2
s时的瞬时速度就是h′(2)．
而＝＝－4.9－4.9Δt，
所以h′(2)＝
＝
(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，
即在t＝2
s时，烟花正以4.9
m/s的瞬时速度下降．
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t＝1.5
s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；
在0～1.5
s之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；
在1.5
s后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下落，直到落地．
导数的几何意义是曲线的切线的斜率.反之，在曲线上取确定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度.
某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数y＝－x2＋4x来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．
解：因为＝
＝＝－2x＋4－Δx，
所以y′＝
＝－2x＋4.
由于y′＝－2x＋4在区间上是减函数，且0≤y′≤1，故该段斜坡的坡度最开始很接近45°，随着高度慢慢上升，坡度在慢慢变小，在x达到2时坡度接近0°.
利用导数的几何意义判断函数的变化情况
【例4】 设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
【解析】 由f′(x)的图象知，在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0,2)上，f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0，由导数几何意义知：f(x)在(－∞，0)上是上升的，在(0,2)上是下降的，在(2，＋∞)上是上升的，满足题意的只有C.
【答案】 C
【解后反思】 当k＝f′(x)>0时，函数f(x)图象是上升的，且k越大，上升越快；当k＝f′(x)<0时，函数f(x)图象是下降的，且k越小，下降越快．
如图表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象描述、比较曲线f(t)在t1、t2附近的变化情况．
解：f(t)对t的导数即为在该点处的切线的斜率．
用曲线f(t)在t1、t2处的切线刻画曲线f(t)在t1、t2附近的变化情况．
(1)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减．
(2)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．
由题图可以看出直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( B )
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
解析：f′(x0)＝－<0.
2．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( B )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：比较A、B两点处的切线斜率即可．
3．函数f(x)＝x2＋2x在点(1,3)处的切线的斜率为4.
解析：利用导数的定义．
4．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝3.
解析：设切点为(x0,1)，∵f′(x0)＝4x0－4，由题意，知4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点为(1,1)．
∴1＝2－4＋p.∴p＝3.
5．在曲线y＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)．
求(1)；
(2)
；
(3)在点P(1,4)的切线方程．
解：(1)＝
＝＝2＋Δx.
(2)Δx→0时，＝2＋Δx→2，
即
＝
(2＋Δx)＝2.
(3)由(2)知在点P(1,4)的切线斜率为2，故在点P(1,4)的切线方程为y－4＝2(x－1)，即2x－y＋2＝0.
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-
9
-1.2.1 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
[目标]
1.会根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.能够记住基本初等函数的导数公式和导数运算法则.3.会运用基本初等函数的导数公式及运算法则，求简单函数的导数．
[重点]
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则．
[难点]
函数的求导法则及其应用．
知识点一
基本初等函数的导数公式
[填一填]
[答一答]
1．函数y＝ex的导数与函数y＝ax的导数有何关系？
提示：(ex)′＝ex是(ax)′＝axlna，当a＝e时的特殊情况．
2．若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？
提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.
3．当α∈R时，公式2成立吗？
提示：成立．由于(x－1)′＝()′＝－，我们可以认为α∈R时，公式2也是成立的，但不要求证明．
4．以下两个求导结果正确吗？为什么？
①(3x)′＝x·3x－1；
②(x4)′＝x4ln4.
提示：这两个求导结果皆错．①中函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x)′＝3xln3；②中函数y＝x4是幂函数，其导数为(x4)′＝4x3.
知识点二
导数的运算法则
[填一填]
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
3.′＝(g(x)≠0)．
[答一答]
5．如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，那么如何求函数f(x)＋c与cf(x)的导数？
提示：由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的运算法则1、2，得[f(x)＋c]′＝f′(x)，[cf(x)]′＝cf′(x)．
6．两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？
提示：能推广．容易证明：[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)．
7．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)和[]′＝是否成立？
提示：根据导数运算法则可知，这两个式子一般情况下是不成立的．
分类记忆基本初等函数的导数公式
第一类为幂函数，即y′＝(xα)′＝αxα－1(α≠0)(注意幂指数α可推广到不为零的全体实数)．对解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数；
第二类为三角函数，可记正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号；
第三类为指数函数，即y′＝(ax)′＝axlna(a>0且a≠1)，当a＝e时，(ex)′＝ex；
第四类为对数函数，即y′＝(logax)′＝(a>0且a≠1，x>0)，也可记为：(logax)′＝logae，当a＝e时，(lnx)′＝.
类型一
利用导数公式求导
【例1】 (1)y＝10x；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)y＝2－1.
【解】 (1)y′＝(10x)′＝10xln10.
(2)y′＝()′＝＝－.
(4)∵y＝2－1
＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sinx，
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.
给出下列命题：
①y＝ln2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2x·ln2；④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的数目为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：仅①不正确．
类型二
利用导数的运算法则求函数的导数
【例2】 求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；
(2)y＝x－sincos；
(3)y＝x2＋log3x；
(4)y＝.
【解】 (1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.
(2)∵y＝x－sinx，
∴y′＝x′－(sinx)′＝1－cosx.
(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(4)y′＝
＝＝.
对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式.在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.
求下列函数的导数：
(1)y＝＋ln2；
(2)y＝(＋2)(－2)；
(3)y＝；
(4)y＝2xtanx.
解：(1)y′＝()′＋(ln2)′
＝＝.
(3)y′＝()′＝
＝.
(4)y′＝(2x)′tanx＋2x()′＝2tanx＋.
类型三
导数几何意义的应用
【例3】 (1)已知P，Q为抛物线y＝f(x)＝x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________．
(2)已知两条曲线y＝f(x)＝sinx，y＝g(x)＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
【解析】 (1)y′＝x，kPA＝f′(4)＝4，kQA＝f′(－2)＝－2.
∵P(4,8)，Q(－2,2)，
∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8，
QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2，
联立方程组得
∴A(1，－4)．
(2)解：设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝f′(x0)＝cosx0，k2＝g′(x0)＝－sinx0，要使两切线垂直，必须k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
【答案】 (1)(1，－4) (2)见解析
根据导数的几何意义，可直接得到曲线上某一点处的切线的斜率.当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标.
已知函数y＝kx是曲线y＝f(x)＝lnx的一条切线，则k＝.
解析：设切点(x0，y0)，
由题意得：f′(x0)＝＝k，①
又y0＝kx0，②
而且y0＝lnx0，③
由①②③可得：x0＝e，y0＝1，则k＝.
导数运算法则的应用
【例4】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．
【思路分析】
【解】 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
因为f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
所以，解得.
故f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.
【解后反思】 已知一个具体函数，我们可以用导数公式和运算法则求函数的导数；对于含有参数的函数，我们可以通过已知的某一个(或多个)点的导数值或函数值反过来确定参数或参数间的关系，此即逆向思维的体现．
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)的导数为F′(x)．
(1)解不等式F′(x)<0；
(2)若函数y＝F(x)(x∈(0,3])在任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．
解：(1)因为F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋(x>0)，
所以F′(x)＝－＝(x>0)．
因为a>0，由F′(x)<0?0所以不等式F′(x)<0的解集为(0，a)．
(2)F′(x)＝(0当x0＝1时，－x＋x0取得最大值，所以a≥，
所以amin＝.
1．若f(x)＝cos，则f′(x)为( C )
A．－sin
B．sin
C．0
D．－cos
解析：f(x)＝cos＝，故f′(x)＝0.
2．若f(x)＝xlnx，且f′(x0)＝2，则x0＝( B )
A．e2
B．e
C.
D．ln2
解析：∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，
由已知得lnx0＋1＝2，即lnx0＝1，解得x0＝e.
3．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为2x－y＋1＝0.
解析：由y＝x3－x＋3得y′＝3x2－1，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝3×12－1＝2，
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，
即2x－y＋1＝0.
4．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，且f′(－1)＝4，则a＝.
解析：f′(x)＝3ax2＋6x，则3a－6＝4，故a＝.
5．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋sincos.
解：(1)f′(x)＝′
＝＝.
(2)f′(x)＝′＝′
＝2x＋cosx.
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9
-1.2.2 复合函数求导及应用
[目标]
1.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数.2.能综合利用导数公式及运算法则解决一些简单的问题．
[重点]
复合函数求导及应用．
[难点]
复合函数求导的步骤与方法．
知识点
复合函数求导
[填一填]
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[答一答]
1．如何判断一个函数是不是复合函数？
提示：对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．
反之，若一个函数不能直接求导，则可以判断这个函数是复合函数．
2．复合函数y＝f(u(x))，求导法则y′x＝f′(u)·u′(x)的含义是什么？
提示：复合函数的求导法则可简单表述为：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
3.对函数y＝求导时如何选取中间变量？
提示：对于函数y＝，可令u＝3x＋1，y＝u－4；
也可令u＝(3x＋1)4，y＝.
显然前一种形式更有利于计算．
1．正确理解复合函数的结构规律
要学好本节内容，首先要理解复合函数的意义，并能正确分清复合函数是由哪些简单函数复合而成，其一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．
2．求复合函数的导数要处理好的环节
(1)中间变量的选择应是基本函数结构．
(2)关键是正确分析函数的复合层次．
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．
(4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
类型一
复合函数求导问题
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝sin3x；
(2)y＝；
(3)y＝lg(2x2＋3x＋1)；
(4)y＝sin2.
【思路分析】 先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解．
【解】 (1)设y＝sinu，u＝3x，
则y′x＝y′u·u′x＝(sinu)′·(3x)′＝cosu·3＝3cos3x.
(2)设y＝u－，u＝1－2x2，
则y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(1－2x2)′
＝－u－·(－4x)
＝－(1－2x2)－(－4x)＝2x(1－2x2)－.
(3)设y＝lgu，u＝2x2＋3x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝(lgu)′·(2x2＋3x＋1)′
＝·(4x＋3)＝.
(4)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋.
则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2
＝2sinv·cosv·2＝2sin2v＝2sin
.
解决复合函数关系的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.
求下列函数的导数．
(1)y＝(2＋5x)10；
(2)y＝sin3x＋sinx3.
解：(1)y′＝[(2＋5x)10]′
＝－(2＋5x)10＋·10(2＋5x)9·5
＝－＋.
(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′
＝3sin2xcosx＋3x2·cosx3
＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.
类型二
复合函数的切线问题
【例2】 设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值．
【思路分析】 由曲线过(0,0)点可求得b的值；利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合已知条件列等式可求得a的值．
【解】 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝
f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.
将复合函数的求导法则与导数的几何意义结合起来考查是近几年高考命题的热点，解决这类问题的关键是正确对复合函数求导，并掌握考查导数几何意义的相应题型的解法.
(1)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( D )
A．2
B．
C．－
D．－2
解析：y＝＝1＋，y′＝－，y′|x＝3＝－，因为曲线在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，所以－a＝2，a＝－2.故选D.
(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝2.
解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a＝2.
类型三
导数的实际应用问题
【例3】 某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7
000x＋600.
(1)求产量为1
000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1
000台提高到1
500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c′(1
000)与c′(1
500)，并说明它们的实际意义．
【思路分析】 (1)平均利润指平均每台所得利润；
(2)总利润的平均改变量指c(x)的平均变化率；
(3)c′(x0)表示产量为x0台时，每多生产一台多获得的利润．
【解】 (1)产量为1
000台时的总利润为c(1
000)＝－2×1
0002＋7
000×1
000＋600＝5
000
600(元)，
平均利润为＝5
000.6(元)．
(2)当产量由1
000台提高到1
500台时，总利润的平均改变量为＝＝2
000(元)．
(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7
000x＋600)′＝－4x＋7
000，
∴c′(1
000)＝－4×1
000＋7
000＝3
000(元)．
c′(1
500)＝－4×1
500＋7
000＝1
000(元)．
c′(1
000)＝3
000表示当产量为1
000台时，每多生产一台机械可多获利3
000元．c′(1
500)＝1
000表示当产量为1
500台时，每多生产一台机械可多获利1
000元．
实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决.
某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
解：函数s(t)＝3sin(t＋)可以看作函数f(x)＝3sinx和x＝φ(t)＝t＋的复合函数，其中x是中间变量．
由导数公式表可得f′(x)＝3cosx，φ′(t)＝.
再由复合函数求导法则得
s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·＝cos(t＋)．
将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝(m/h)．
它表示当t＝18时，潮水的高度上升的速度为
m/h.
对复合函数求导不完全致误
【例4】 求函数y＝x·e1－2x的导数．
【错解】 y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.
【错因分析】 错解中对e1－2x的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导数求导不完全．
【正解】 y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x.
【解后反思】 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导．
求函数y＝sinnxcosnx的导数．
解：y′＝(sinnx)′cosnx＋sinnx(cosnx)′
＝nsinn－1x·(sinx)′·cosnx＋sinnx·(－sinnx)·(nx)′
＝nsinn－1x·cosx·cosnx－sinnx·sinnx·n
＝nsinn－1x(cosxcosnx－sinxsinnx)
＝nsinn－1xcos[(n＋1)x]．
1．下列函数不是复合函数的是( A )
A．y＝－x3－＋1
B．y＝cos(x＋)
C．y＝
D．y＝(2x＋3)4
解析：A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cosu的复合函数，C中的函数可看作函数u＝lnx，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.
2．函数y＝x2cos2x的导数为( B )
A．y′＝2xcos2x－x2sin2x
B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x
C．y′＝x2cos2x－2xsin2x
D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x
解析：y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.
3．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝1.
解析：因为f(x)＝(2x＋a)2，所以f′(x)＝4(2x＋a)，
所以f′(2)＝4(4＋a)＝20，所以a＝1.
4．曲线y＝sin3x在点P(，0)处的切线斜率为－3.
解析：因为y′＝(sin3x)′＝3cos3x，
所以切线斜率
5．求下列函数的导数：
(1)y＝(5x＋4)3;
(2)y＝e－2x＋1；
(3)y＝；
(4)y＝sin2.
解：(1)函数y＝(5x＋4)3可以看作函数y＝u3和u＝5x＋4的复合函数，由复合函数的求导法则可得y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(5x＋4)′＝3u2·5＝15u2＝15(5x＋4)2.
(2)函数y＝e－2x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－2x＋1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝eu·(－2)＝－2eu＝－2e－2x＋1.
(4)方法1：因为y＝sin2＝＝－cos，
所以y′＝(－cos)′
＝－(－sin)×()′
＝sin×＝sin.
方法2：y′＝(sin2)′＝2sin·(sin)′
＝2sin·cos·()′＝sin.
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1
-1．3.1 函数的单调性与导数
[目标]
1.结合实例，借助几何直观探索并体会函数的单调性与导数的关系.2.能够利用导数研究函数的单调性，并学会求函数的单调区间．
[重点]
利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性．
[难点]
根据函数的单调性求参数的取值范围．
知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系
[填一填]
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
[答一答]
1．函数y＝f(x)在(a，b)内满足f′(x)>0是f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件吗？
提示：不是．在某个区间内f′(x)>0是函数f(x)在此区间内为单调递增函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是单调递增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在单调区间内的任意一点处都满足f′(x)>0.
2．利用导数求函数f(x)单调区间的一般步骤是什么？
提示：(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
知识点二 函数单调性与导数值大小的关系
[填一填]
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
1．如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)上变化得越快，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)．
2．如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)上变化得越慢，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．
[答一答]
3．某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？
提示：不是．导数值有正有负，当函数在某一区间为增函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值越来越大；当函数在某一区间为减函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值为负值，其绝对值越来越大，而导数值越来越小．
4．若f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如下图，则f(x)的图象只可能是( D )
解析：由于导函数图象在x轴及其上方，故原函数为增函数．又因为导函数f′(x)先增后减，说明原函数在曲线前半段上点的切线斜率逐渐增大，而后半段上点的切线斜率越来越小．故选D项．
1．函数的单调性与其导数的关系
(1)在(a，b)内，f′(x)>0(<0)只是f(x)在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．
(2)函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是在(a，b)内，f′(x)≥0(≤0)，并且f′(x)＝0在区间(a，b)上仅有有限个点使之成立．
2．利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．
(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．
(4)如果函数在某个区间上，恒有f′(x)＝0，则f(x)为该区间上的常数函数，如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.
类型一 函数图象与导函数图象间的关系
【例1】 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的( )
【解析】 由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
x
(－1，b)
(b，a)
(a,1)
f(x)
?
?
?
f′(x)
－
＋
－
由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，在x轴下方；当x∈(b，a)时，在x轴上方；当x∈(a,1)时，在x轴下方．故选C.
【答案】 C
?1?利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可.
?2?通过图象研究函数的单调性的方法：①观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；②观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负.
已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是如图所示的( C )
解析：本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋势．由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：
x
(－∞，0)
(0,2)
(2，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
?
?
?
由表可知f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故满足条件的只有C，故选C.
类型二 求函数的单调区间
【例2】 (1)已知函数f(x)＝x2(x－3)，则f(x)在R上的单调递减区间是________，单调递增区间为________．
(2)讨论函数f(x)＝x2－alnx(a≥0)的单调性．
【思路分析】 (1)由f′(x)>0和f′(x)<0划分单调区间；(2)按a>0，a＝0分类讨论．
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x，
由f′(x)>0得x>2或x<0；
由f′(x)<0得0所以函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．
(2)解：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0得2x2＝a.
当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；
当a>0时，由g(x)＝0得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈(0，)时，g(x)<0，即f′(x)<0；
当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0.
所以当a>0时，函数f(x)在区间(0，)上为减函数，在区间上为增函数．
综上，当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是(0，)．
【答案】 (1)(0,2) (－∞，0)和(2，＋∞)
(2)见解析
含有参数的函数单调性问题的处理方法
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝.
令f′(x)>0，即>0，
∵x>0，∴x>.
∴函数f(x)的单调递增区间是.
令f′(x)<0，即<0，
∵x>0，∴0∴函数f(x)的单调递减区间是.
∴函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是
.
类型三 已知函数的单调性求参数的取值范围
【例3】 若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围．
【思路分析】 求出f(x)的单调递减区间，利用(0,2)是减区间的子集解决．
【解】 f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)．
当a＝0时，f′(x)≥0，故y＝f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与y＝f(x)在(0,2)上单调递减不符，舍去．
当a<0时，由f′(x)<0得a当a>0时，由f′(x)<0得0综上可知，a的取值范围是[3，＋∞)．
已知函数y＝f?x?在?a，b?上的单调性，求参数的范围的方法：
?1?利用集合间的包含关系处理：y＝f?x?在?a，b?上单调，则区间?a，b?是相应单调区间的子集；
?2?转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′?x?≥0；若函数单调递减，则f′?x?≤0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解；
?3?分离参数法.由f′?x?≥0或f′?x?≤0将所求参数分离到一侧，另一侧为不含参数的函数.只要求出其最值，即可求参数范围.
(1)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，－]，[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)，(，＋∞)
D．(－，)
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，由Δ＝4a2－12≤0得－≤a≤.
(2)若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－，)，则a的取值范围是( A )
A．a>0
B．－1C．a>1
D．0解析：∵y′＝3a(x2－)＝3a(x－)(x＋)，
当－∵函数y＝a(x3－x)在(－，)上单调递减，所以y′≤0，
即a≥0，经检验a＝0不合题意，∴a>0.
导数在证明不等式中的应用
【例4】 当x>0时，证明不等式ln(x＋1)>x－x2.
【证明】 设f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝x－x2，
F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)＝ln(x＋1)－x＋x2.
函数F(x)的定义域为(－1，＋∞)，
则F′(x)＝－1＋x＝.
当x>0时，F′(x)>0恒成立，
∴函数F(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，
故F(x)>F(0)＝0，从而f(x)>g(x)，
即ln(x＋1)>x－x2.
【解后反思】 要证明不等式g(x)>φ(x)(或g(x)≥φ(x))成立，可以构造函数f(x)＝g(x)－φ(x)，然后再利用导数研究函数f(x)＝g(x)－φ(x)的单调性，根据单调性获得f(x)>0(或f(x)≥0)，从而证明了不等式g(x)>φ(x)(或g(x)≥φ(x))．
已知x>1，证明x>ln(1＋x)．
证明：设f(x)＝x－ln(1＋x)(x>1)，
f′(x)＝1－＝，由x>1，知f′(x)>0.
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝1－ln2>0，即f(1)>0.
∵x>1，∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)．
1．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( A )
A．(－∞，－1]，[0,1]
B．[－1,0]，[1，＋∞)
C．[－1,1]
D．(－∞，－1)，[1，＋∞)
解析：因为y′＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1)，所以令y′<0，则有x(x－1)(x＋1)<0，可得x<－1或02．若在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( A )
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
D．不能确定
解析：∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，故f(x)在区间(a，b)内为增函数，所以f(x)>f(a)≥0，即f(x)>0，故选A.
3．函数f(x)＝x3－x的增区间是，，减区间是.
解析：由y′＝3x2－1,
令f′(x)＝0，即x＝±，列表如下：
x
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
?
由表可得增区间为，；
减区间为.
4．函数y＝x2·ex的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．
解析：y′＝2x·ex＋x2ex＝(x2＋2x)ex，由y′>0，ex>0得x2＋2x>0，即x>0或x<－2.
5．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解：h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
令G(x)＝－，
即a≥－，恒成立，令G(x)＝－，
所以a≥G(x)max.而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.
当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝
＝.
因为x∈[1,4]，所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
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-1．3.2 函数的极值与导数
[目标]
1.记住函数的极大值、极小值的概念.2.结合图象，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.会用导数求函数的极大值、极小值．
[重点]
利用导数求函数的极值．
[难点]
极值的判断和与极值有关的参数问题．
知识点一 函数极值的有关概念
[填一填]
1．极小值点与极小值
(1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0.
(2)导数符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
(1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0.
(2)导数符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极值的定义
(1)极大值与极小值统称为极值．
(2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．
[答一答]
1．(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？
(2)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？
(3)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？
提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．
(2)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．
(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
知识点二 求函数极值的方法
[填一填]
解方程f′(x0)＝0，当f′(x0)＝0时
1．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．
2．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
[答一答]
2．函数的极大值、极小值与函数单调性有什么关系？
提示：函数的极大值左侧函数单调递增，右侧单调递减，函数的极小值左侧函数单调递减，右侧单调递增．
1．函数极值概念
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧的邻域而言的．
(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值．
(4)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如右图所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有限个极值点时函数f(x)在[a，b]内的极大值点和极小值点是交替出现的．
2．正确求出可导函数的极值
求可导函数f(x)极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)＝0的全部实根；
(4)检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
注意：可导函数的极值点一定是其导数为零的点；反之，导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点(又称驻点、可疑点)仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号．
类型一 利用导数求函数的极值
【例1】 求下列函数的极值，并画出函数的草图：
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.
【解】 (1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
0
＋
y
?
无极值
?
极小值0
?
无极值
?
∴当x＝0时，y有极小值且y极小值＝0.
函数的草图如图所示：
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
?
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
函数的草图如图所示：
求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，不是极值.另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值.
(1)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则( D )
A．f(x)极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)
解析：当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．
(2)函数f(x)＝的极大值为.
解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝＝，令f′(x)＝0，得x＝，且当00，当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在x＝处取得极大值f()＝.
类型二 已知函数的极值求参数的值
【例2】 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【解】 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
(1)法1：∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知：
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
法2：由f′(1)＝f′(－1)＝0，
得：3a＋2b＋c＝0，①
3a－2b＋c＝0，②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)得f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．
因此，当x＝－1时函数取得极大值，所以x＝－1为极大值点；
当x＝1时函数取得极小值，所以x＝1为极小值点．
(1)已知一个函数，可以用单调性研究它的极值．反过来，已知函数的极值，可以确定函数解析式中的参数，解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．
(2)需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2x在x＝－1处取得极值，且在点(1，f(1))处的切线的斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋2，
由题意得，即，
解得.
经检验，符合题意．
故a＝－，b＝.
(2)由(1)得f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2.
当－10；
当x<－1或x>2时，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为(－1,2)，单调递减区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)；函数f(x)的极大值为f(2)＝，极小值为f(－1)＝－.
类型三 函数极值的应用
【例3】 已知函数f(x)＝x3－4x＋4.试分析方程a＝f(x)的根的个数．
【思路分析】 利用导数求函数极值，研究函数单调性，绘制函数大致图象，方程的根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝a交点的个数．
【解】 ∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
由f′(x)＝0得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝.
当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示．结合图象：
①当a>或a<－时，方程a＝f(x)有一个根．②当－利用导数研究函数单调性和极值画出函数大致图象，将方程根的个数问题转化为两函数图象交点个数问题来解决.
若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求k的值．
解：∵f′(x)＝6x2－6＝6(x＋1)(x－1)，由f′(x)＝0得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝4＋k；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－4＋k.且f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上都是增函数，在(－1,1)上是减函数，x→－∞时，f(x)→－∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞.若函数f(x)在R上只有一个零点，则4＋k<0或－4＋k>0，即k<－4或k>4，
∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
含参函数的极值的求法
【例4】 设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
【思路分析】 第(1)问根据导数的几何意义及已知条件建立关于a，b的方程组，从而可求出a，b的值；第(2)问求单调区间时，要注意对参数a的讨论．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－3a，因为曲线y＝f(x)在点(2，
f(2))处与直线y＝8相切，所以
即解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．
当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
f(－)
单调递减?
f()
单调递增?
因此，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)，此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
【解后反思】 利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．
设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m>0，所以1＋m>1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m，1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
f(1－m)
?
f(1＋m)
?
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，单调递增区间为(1－m,1＋m)．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，
且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，
且f(1＋m)＝m3＋m2－.
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如下图所示，则函数f(x)( C )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
解析：由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
2．函数y＝2－x2－x3的极值情况是( D )
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
解析：y′＝－2x－3x2，令y′＝0，得x1＝－，x2＝0.
当x<－时，y′<0；当－0；
当x>0时，y′<0.故当x＝－时，函数y有极小值；当x＝0时，函数y有极大值．故选D.
3．函数y＝2x3－6x2－18x＋7的极大值是17，极小值是－47.
4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(－2,2)．
解析：f′(x)＝3(x2－1)，所以x＝1和x＝－1是函数的两个极值点，由题意知，极大值为f(－1)＝2＋a，极小值为f(1)＝－2＋a，
所以要使函数f(x)有三个不同的零点，则有2＋a>0且－2＋a<0，解得－25．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)因f(x)＝alnx＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．
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-1.3.3 函数的最大(小)值与导数
[目标]
1.知道函数的最大值与最小值的概念.2.能够区分函数的极值与最值.3.会用导数求闭区间上函数的最大值、最小值．
[重点]
在闭区间上求函数的最值．
[难点]
与函数最值有关的参数问题．
知识点一 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
[填一填]
1．取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线．
2．结论：函数y＝f(x)必有最大值和最小值，函数的最值在极值点或区间端点取得．
[答一答]
1．函数的极值与最值有何区别与联系？
提示：①函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．
②函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常量函数就没有极大值，也没有极小值．
③极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处则一定是极值．
2．如果函数f(x)在开区间(a，b)上的图象是连续不断的曲线，那么它在(a，b)上是否一定有最值？若f(x)在闭区间[a，b]上的图象不连续，那么它在[a，b]上是否一定有最值？
提示：一般地，若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值和最小值．这里给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，那么尽管函数是连续函数，那么它也不一定有最大值和最小值．
知识点二 求函数y＝f?x?在[a，b]上的最值的步骤
[填一填]
1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
2．将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[答一答]
3．如果f(x)在闭区间[a，b]上恰好为单调函数，那么如何求f(x)在[a，b]上的最值？
提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上单调递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上单调递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．
4．如何求函数f(x)在开区间上的最值？
提示：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．
1．函数的最大值与最小值
在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
例如：函数f(x)＝在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．
2．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(3)求实际问题的最大值(最小值)的方法：在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
类型一 求函数的最值
【例1】 (1)求函数f(x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值；
(2)求函数f(x)＝x＋sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值．
【思路分析】 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值．
【解】 (1)因为f(x)＝x3－x2－2x＋5，
所以f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1.
因为f＝，f(1)＝，f(－2)＝－1，f(2)＝7，
所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.
(2)因为f(x)＝x＋sinx，所以f′(x)＝＋cosx，
令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝.
因为f(0)＝0，f＝＋，f＝－，f(2π)＝π，
所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.
求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值.因此函数极大值和极小值的判别是关键，如果仅仅是求最值，可将导数为零的点及端点的函数值求出并进行比较，还可以根据函数的单调性求出极值，从而判断出最值.
函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( C )
A．0
B.
C.
D.
解析：f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
类型二 由函数的最值确定参数的值
【例2】 设【解】 f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
?
b
?
－＋b
?
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，当x＝a时，f(x)取得极小值－＋b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.
又因为f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，所以－a＝－.所以a＝.故所求函数的解析式是f(x)＝x3－x2＋1.
由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用.
已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( D )
A．－5
B．－11
C．－29
D．－37
解析：由f′(x)＝6x2－12x>0得x<0或x>2，
由f′(x)<0得0∴f(x)在[－2,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数，
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3，∴f(x)＝2x3－6x2＋3.
又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)min＝－37.
类型三 与最值有关的恒成立问题
【例3】 已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 (1)∵函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)．
∴f′(x)＝lnx＋1.
令f′(x)<0，得0∴f(x)的单调递减区间是(0，)．
令f′(x)>0，得x>，
∴f(x)的单调递增区间是(，＋∞)．
(2)∵g′(x)＝3x2＋2ax－1，
由题意得：2xlnx≤3x2＋2ax＋1.
∵x>0，∴a≥lnx－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立．
设h(x)＝lnx－x－(x>0)．则
h′(x)＝－＋＝－.
令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍)．
∴当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
?
极大值
?
∴当x＝1时，h(x)max＝h(1)＝－2.
∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)恒成立，
则a≥h(x)max＝－2，
即a≥－2.
∴a的取值范围是[－2，＋∞)．
解决不等式恒成立问题常常是将原问题转化为函数的最值或值域问题，我们在解决问题时常用到以下结论：
?1?a>f?x?恒成立?a>f?x?max，即大于函数f?x?值域的上界；
?2?a(1)已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)(2)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]恒有f(x)≥0成立，则a＝4.
解析：(1)f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0得，x＝1或x＝－.
又f(－1)＝，f(1)＝，f(－)＝，f(2)＝7，
∴当x∈[－1,2]时，f(x)max＝7，因此m>7.
(2)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为，a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g(x)max＝g()＝4，从而a≥4；
当x<0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，令g(x)＝－，则g′(x)＝>0，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.
函数最值在不等式中的应用
【例4】 已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，其中k∈R.若对任意的x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．
【解】 对任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]都有f(x1)≤g(x2)成立?f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]先求g(x)的最小值，g′(x)＝6x2＋10x＋4＝2(3x＋2)(x＋1)．
令g′(x)＝0得x＝－或x＝－1，
列表如下：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1，－)
－
3
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
－21
?
－1
?
－
?
111
则g(x)min＝－21.
再求f(x)的最大值：f(x)＝8x2＋16x－k＝8(x＋1)2－8－k，当x∈[－3,3]时，f(x)max＝f(3)＝120－k.
由f(x)≤g(x)，可得120－k≤－21?k≥141.
故k的取值范围是[141，＋∞)．
【解后反思】 本题其实是一种恒成立问题，只需f(x)max≤g(x)min，则f(x1)≤g(x2)一定恒成立．本题的易错点是分不清“恒成立”还是“能成立”．若本题改为“能成立”，则需要f(x)min≤g(x)max.
将例4改为“存在x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]使f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范围”．
解：由例4知f(x)min＝－8－k，g(x)max＝111，
则－8－k≤111，
∴k≥－119.即k的取值范围是[－119，＋∞)．
1．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上( A )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
解析：f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
2．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为( D )
A．72 B．36
C．12 D．0
解析：因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4.令y′＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0.
3．函数y＝在[0,2]上的最大值为.
解析：∵y′＝＝，
令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．
∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝.
∴f(x)max＝f(1)＝.
4．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0,1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为(－∞，－1]．
解析：f′(x)＝2x＋2a，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)，
说明f(x)在[0,1]上单调递减，
∴x∈[0,1]时，f′(x)≤0恒成立，即2x＋2a≤0.
∴a≤－x.∴a≤－1.
5．求函数y＝f(x)＝x4－2x2＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值．
解：先求导数，得y′＝4x3－4x.
令y′＝0，即4x3－4x＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
x变化时，y′，y的变化情况以及f(－2)、f(2)的值如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y′
－
0
＋
0
－
0
＋
y
13
?
4
?
5
?
4
?
13
从上表知，当x＝±2时，函数有最大值13；
当x＝±1时，函数有最小值4.
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