1．4 生活中的优化问题举例
[目标]
1.学会解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题.2.学会利用导数解决生活中简单实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用.3.提高将实际问题转化为数学问题的能力．
[重点]
用导数解决实际生活中的最优化问题．
[难点]
将实际问题转化为数学问题．
知识点 生活中的优化问题
[填一填]
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的基本思路
[答一答]
利用导数解决生活中的优化问题时应注意什么问题？
提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间；
(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
1．利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题．
2．利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：
(1)当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；
(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；
(3)所得的结果要符合问题的实际意义．
3．要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法、导数法．
类型一 利润最高问题
【例1】 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解】 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，
又由已知条件得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，
得x1＝2，x2＝12.
当x变化时，f′(x)，f(x)如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9
072
?
极小值
?
极大值
?
0
因为f(0)＝9
072
664，所以当x＝12时，f(x)取得最大值，即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大．
实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.根据f′?x?＝0求出极值点?注意根据实际意义舍去不合适的极值点?后，函数在该点附近满足左增右减，则此时唯一的极大值就是所求函数的最大值.
当前，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式为y＝＋4(x－6)2，其中2(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)
解：(1)因为当x＝4时，y＝21，代入关系式y＝＋4(x－6)2，得＋16＝21，解得m＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f(x)＝(x－2)[＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2令f′(x)＝0，得x＝或x＝6(舍去)．
当x∈(2，)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(，6)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以x＝是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．
类型二 费用最省问题
【例2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的解析式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
【解】 (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．
?1?在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.
?2?一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f?x?在给定区间内只有一个极值点或函数f?x?在开区间上只有一个点使f′?x?＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数解析式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解：(1)设需要新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256(－1)＋(2＋)x＝＋m＋2m－256(0(2)由(1)知，
f′(x)＝－＋mx
eq
\s\up15(－
)
＝(x
eq
\s\up15(
)
－512)．
令f′(x)＝0，解得x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)上单调递增．
所以f(x)在x＝64处取得极小值，也是最小值，此时，n＝－1＝－1＝9,9∈N＋，符合题意，
故需新建9个桥墩才能使y最小．
高考应用题对生活中优化问题的考查
【例3】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．根据题意得200πrh＋160πr2＝12
000π，所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
由h>0，且r>0可得0故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)由(1)知V(r)＝(300r－4r3)(0故V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，
故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值，也是最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
【解后反思】 此类问题多以解答题的形式出现，解题的关键是由题意列出函数解析式，注意实际意义对自变量的制约，求出定义域后在定义域内讨论函数的最值．试题难度偏大，属于高档题．
请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，且是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
由已知得，
a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值，
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
1．做一个容积为256
m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( C )
A．6
m
B．8
m
C．4
m
D．2
m
解析：设底面边长为x
m，高为h
m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S
m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，因此h＝＝4(m)．
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( C )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当00，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以当x＝9时函数取最大值．
3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为115元时，利润最大．
解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6
000，S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，当x<115时，s′(x)>0，函数单调递增；当x>115时，s′(x)<0，函数单调递减，所以当x＝115时，利润达到最大．
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，于是由2＝，得k1＝20；8＝10k2，得k2＝.因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
5．在边长为60
cm的正方形铁片的四角上切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
解：如图所示，设箱底边长为x
cm，则箱高h＝
cm.
箱子容积V(x)＝x2h＝(0V′(x)＝60x－x2，令V′(x)＝0，
解得x＝0(舍去)，x＝40.
当00；
当40由此可知x＝40是极大值点，且在(0,60)内，40是唯一的极值点，所以x＝40是V(x)的最大值点．由于V(40)＝16
000
cm3.因此16
000是最大值．
答：当箱底的边长为40
cm时，箱子的容积最大，最大容积是16
000
cm3.
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1
-1．5.1 曲边梯形的面积
1．5.2 汽车行驶的路程
[目标]
1.知道“以直代曲”的意义.2.学会求曲边梯形面积和汽车行驶路程的步骤.3.感受解决问题过程中渗透的思想方法．
[重点]
求曲边梯形面积与计算汽车行驶的路程问题．
[难点]
求曲边梯形面积的方法与步骤．
知识点一
曲边梯形的面积
[填一填]
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
2．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②)．
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．
[答一答]
1．“曲边梯形”与“直边梯形”有什么联系与区别？
提示：曲边梯形与直边梯形都有四条边，直边梯形的四条边都是线段，而曲边梯形有一条边是曲线段，其余三条边都是线段．
2．“以直代曲”思想的本质是什么？
提示：曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，因此，我们把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种重要的思想．
3．分割步骤中，小区间的多少对最终结果有何影响？
提示：对区间[a，b]划分的越细，估计值就越接近精确值，即小矩形面积的和越趋近曲边梯形的面积．
4．近似代替步骤中，f(ξi)有何要求？
提示：“近似代替”中每一个小区间上函数f(x)的值可用f(ξi)来代替，ξi∈[xi－1，xi]，不影响极限的值．为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点或中点等．
知识点二
求变速直线运动的位移(路程)
[填一填]
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
[答一答]
5．求变速直线运动的路程的方法和求曲边梯形的面积的方法有什么关系？
提示：相同．
6．汽车行驶路程用“求曲边梯形面积”的依据是什么？
提示：事实上，我们可以认为汽车在每个小时间间隔[，]上近似地以任意时刻ξi∈[，]处的速度v(ξi)做匀速行驶，并且我们有s＝(ξi)Δt＝v(ξi)．
求曲边梯形面积的注意事项
1．在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和越接近曲边梯形的面积，也可以不是等分．
2．当把区间[0,1]n等分时，第i个区间左端点的函数值为f，右端点的函数值为f.可以用每一个小区间内每一个点对应的函数值，一般常用左端点的函数值，或用右端点的函数值作为小矩形的高．
3．当n→＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值.
类型一
曲边梯形的面积
【例1】 求曲线y＝x2与x＝1，y＝0所围成的区域的面积．
【解】 将区间[0,1]等分为n个小区间(如图所示)：
，，…，，…，，每个小区间的长度为Δxi＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，再分别用小区间左端点的纵坐标为2为高，Δxi＝为底作小矩形，于是图中曲线之下矩形面积依次为：
02·，2·，2·，…，2·.
所有这些小矩形的面积和(图中阴影部分的面积)
Sn＝02·＋2·＋2·＋…＋2·＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·＝.
由此得到S＝Sn＝
＝.
从图形上看，当n越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小．当n→∞时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此，可以将视为此曲边三角形的面积．
当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪一项近似代替( C )
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
类型二
汽车行驶的路程
【例2】 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程S(单位：km)．
【思路分析】 由v(t)及t＝0，t＝2，v＝0所围成的面积即为汽车行驶的路程，按照求曲边梯形面积的方法求解即可．
【解】 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间分成n个小区间：，，…，，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，Δt＝，则汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作ΔS1，ΔS2，ΔS3，…，ΔSn，有Sn＝Si.
(2)近似代替：取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
∴ΔSi≈v·Δt＝·
＝－·＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：Sn＝Si＝
＝－·－·－…－·＋10
＝－(12＋22＋…＋n2)＋10
＝－·＋10
＝－8×＋10.
(4)取极限：S＝Sn＝.
∴这段时间内汽车行驶的路程S为
km.
若物体做变速直线运动，速度函数为v＝v?t?，则我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤x≤b内所走的路程S.
一辆汽车作变速直线运动，加速度a(t)＝t2(单位为m/s2)，试计算这辆汽车在0≤t≤10(单位为s)这段时间内的末速度v(单位为m/s)．
解：(1)分割：在[0,10]上等间隔地插入n－1个分点，将区间分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，]，记第i个小区间为[，](i＝1,2，…，n)，Δt＝，则汽车在时间段[0，]，[，]，…，[，]上速度的增量分别记作Δv1，Δv2，…Δvn，有vn＝vn.
(2)近似代替：ξi＝(i＝1,2，…，n)，
∴Δvi＝a()·Δt＝[()2]＝＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：vn＝vi＝()
＝＋＋…＋
＝(12＋22＋…＋n2)
＝×
＝(1＋)(2＋)．
(4)取极限：v＝vn＝，
∴这段时间内汽车末速度为
m/s.
搞错区间端点导致出错
【例3】 求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为( )
A.
B.
C.
D.
【错解】 解决本题易错误地认为区间左端为，从而误选C.
【错因分析】 本题选C是错把i－1个区间看作第i个区间，而选C.
【正解】 每个小区间长度为，故第i－1个区间的左端点为0＋(i－2)×＝，右端点为＋＝.
【答案】 D
在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.
1．和式(xi－3)等于( C )
A．(x1－3)＋(x10－3)
B．x1＋x2＋x3＋…＋x10－3
C．x1＋x2＋x3＋…＋x10－30
D．(x1－3)(x2－3)(x3－3)·…·(x10－3)
2．函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上近似值等于( C )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
3．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为.
解析：每个小区间长度为＝.
4．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝3以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,3]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为8.91.
解析：由题意得S＝(0.32＋0.92＋1.52＋2.12＋2.72)×0.6＝8.91.
5．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y＝1＋x，x＝1，x＝2的图象与x轴围成梯形的面积并用梯形的面积公式加以验证．
解：f(x)＝1＋x在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间的长度为Δxi＝，在[xi－1，xi]＝[1＋，1＋]上取ξi＝xi－1＋(i＝1,2,3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，从而Sn＝(ξi)Δxi＝(2＋)·＝(＋)＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋·＝2＋＝－.
则S＝Sn＝
(－)＝.
如下进行验证：
如下图所示，梯形的面积S＝×(2＋3)×1＝.
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-1．5.3 定积分的概念
[目标]
1.知道定积分的概念，会用定义求简单的定积分.2.会分析定积分的几何意义，记住定积分的性质.3.借助几何图形体会定积分的基本思想．
[重点]
定积分的几何意义和性质．
[难点]
定积分的概念．
知识点一
定积分的概念
[填一填]
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0f(ξi)．
其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
[答一答]
1．式子∫f(x)dx是不是关于f(x)的一个变量？
提示：不是.
af(x)dx是一个常数．
知识点二
定积分的几何意义
[填一填]
如果在区间[a，b]上函数连续且恒有f(x)≥0，那么定积分∫f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a[答一答]
2．当f(x)在区间[a，b]上f(x)<0时，
af(x)dx表示的含义是什么？
提示：当f(x)在区间[a，b]上值小于零时，∫f(x)dx表示由y＝f(x)，x＝a，x＝b，y＝0所围成的图形的面积的相反数．
3.
∫f1(x)dx－∫f2(x)dx的几何意义是什么？
提示：由定积分的几何意义和性质，可知∫f1(x)dx－∫f2(x)dx表示下图中阴影部分的面积．
知识点三
定积分的性质
[填一填]
(1)
∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx(k为常数)；
(2)
∫
[f1(x)±f2(x)]dx＝∫f1(x)dx±∫f2(x)dx；
(3)
∫f(x)dx＝∫f(x)dx＋∫f(x)dx(其中a[答一答]
4．定积分的性质(2)能推广到多个函数和或差的定积分运算吗？
提示：能．推广公式为∫
[f1(x)±f2(x)±…±fm(x)]dx
＝∫f1(x)dx±∫f2(x)dx±…±∫fm(x)dx.
5．定积分的性质(3)能推广到有限个区间上的积分和吗？
6.
2x2dx＝2x2dx＋x2dx对吗？
提示：不对.
2x2dx＝2x2dx＋2x2dx＝2x2dx＋2x2dx.
1．定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的，它的解决过程充分体现了“由直到曲”“由有限到无限”的极限的思想方法．
利用定积分的定义求定积分可以分为四步：分割、近似代替、求和、取极限．
2．定积分的几何意义：设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象连续且f(x)≥0，则定积分∫f(x)dx表示由x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质是求确定积分的重要依据，可以把复杂的定积分问题转化为简单的定积分问题求解．
类型一
利用定积分的定义求定积分
【例1】 利用定积分的定义计算
(1＋x)dx.
【思路分析】 按照定积分的定义，结合求曲边梯形的面积方法进行求解．
【解】 f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间的长度Δxi＝，在[xi－1，xi]＝上取ξi＝xi－1＝1＋(i＝1,2,3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，从而有(ξi)Δxi＝·＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋，
∴
1(x＋1)dx＝(ξi)Δxi＝
＝2＋＝.
利用定积分的定义求定积分，积分值与区间的划分方法及点的取法无关，可以根据问题选择需要的划分及特殊的取点.一般我们采用均分，选取每个区间的左端点?或右端点?，将定积分化成和式的极限.
利用定积分的定义，计算
(3x＋2)dx的值．
解：令f(x)＝3x＋2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
则Sn＝·Δx＝·＝＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝×＋5＝－.
(3)取极限
(3x＋2)dx＝Sn＝
＝.
类型二
利用定积分的几何意义求定积分
【例2】 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：
(1)
2dx；(2)
xdx；(3)
dx.
【解】 (1)
2dx表示的是图①中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx＝2.
(2)
xdx表示的是图②中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx＝.
(3)
dx表示的是图③中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为，所以dx＝.
利用定积分所表示的几何意义求∫f?x?dx的值的关键是确定由曲线y＝f?x?，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.
利用定积分的几何意义，求：
(1)
dx；
(2)
(2x＋1)dx.
解：(1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，如图(1)所示，
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
(2)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线．
(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3，y＝0围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)，
其面积为S＝×(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知
0(2x＋1)dx＝12.
类型三
定积分的性质及应用
【例3】 求解以下各题：
(1)若
[f(x)＋g(x)]dx＝3，
[f(x)－g(x)]dx＝－5，则f(x)dx＝________.
(2)若∫2f(x)dx＝5，则∫
[2－f(x)]dx＝________.
【思路分析】 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分的性质进行求解．
【解析】 (1)依题意知
f(x)dx＋g(x)dx＝3，
f(x)dx－g(x)dx＝－5，
两式相加，得2f(x)dx＝－2，故f(x)dx＝－1.
(2)∵∫2f(x)dx＝2∫f(x)dx＝5，
∴∫f(x)dx＝.
于是∫
[2－f(x)]dx＝eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(∫2dx－∫f?x?dx))
＝＝b－a－.
【答案】 (1)－1 (2)b－a－
利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可以利用定积分的性质分解求值.
(1)若∫f(x)dx＝3，∫g(x)dx＝2，则∫
[f(x)＋g(x)]dx
＝5.
解析：∫
[f(x)＋g(x)]dx＝
af(x)dx＋∫g(x)dx＝3＋2＝5.
(2)设f(x)＝求f(x)dx.
解：∵f(x)＝
∴f(x)dx＝
(x＋1)dx＋
(－2x＋4)dx.
又由定积分的几何意义(如图)得
(x＋1)dx＝(1＋2)×1＝，
(－2x＋4)dx＝×1×2＝1，
∴f(x)dx＝＋1＝.
因错误理解定积分的几何意义导致出错
【例4】 求定积分
(－)dx.
【错解】 由y＝－(0≤x≤2)得x2＋y2＝4(0≤x≤2，－2≤y≤0)．如图所示．
图形面积S＝πr2＝π×4＝π，
∴
(－)dx＝π.
【错因分析】 y＝－≤0无法直接利用定积分的几何意义求解，而应采用转化法求．
【正解】 曲线y＝即x2＋y2＝4(0≤x≤2,0≤y≤2)，如图，表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限的圆弧，dx表示被积函数y＝在积分区间[0,2]上的图象与x轴围成的平面图形的面积S＝πr2＝π，即dx＝π，
所以∫(－)dx＝－∫dx＝－π.
∫
(－x)dx＝π－2.
解析：∫dx表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的，即∫dx＝×π×22＝π.
∫xdx表示底和高都为2的直角三角形的面积，
即∫xdx＝×22＝2.
∴原式＝∫dx－∫xdx＝π－2.
1．设连续函数f(x)>0，则当aA．一定是正的
B．一定是负的
C．0D．以上结论都不对
2.
dx＝( B )
A．0
B．1
C.
D．2
解析：利用定积分的几何意义求解，如图所示．
dx即为阴影部分面积，所以dx＝1.
3.
|x|dx＝1.
解析：x|dx＝
(－x)dx＋∫xdx，
如图所示阴影面积S＝×1×1×2＝1，
所以|x|dx＝1.
5．利用定积分的几何意义求dx.
解：如图，定积分dx表示由直线x＝－2，x＝2，y＝0与曲线y＝所围成的图形的面积，计算可得面积为＝2π，
所以dx＝2π.
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-1.6 微积分基本定理
[目标]
1.能说出微积分基本定理.2.能运用微积分基本定理计算简单的定积分.3.能掌握微积分基本定理的应用．
[重点]
微积分基本定理以及利用定理求定积分．
[难点]
复合函数定积分计算．
知识点一
微积分基本定理
[填一填]
1．一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么
af(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式．
2．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记成F(x)，即
af(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
[答一答]
1．满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)是唯一的吗？这影响微积分基本定理的正确性吗？
提示：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不是唯一的，这些函数之间相差一个常数，即(F(x)＋c)′＝f(x)，但这并不影响微积分基本定理，
因为∫f(x)dx＝[F(x)＋c]|＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)，
所以用一个最简单的原函数F(x)就可以．
2．求导数运算与求原函数运算有什么关系？
提示：求导数运算与求原函数运算可以看作是互逆的运算，但一个函数的导函数是唯一的，而一个函数的原函数却不止一个，这些原函数之间仅相差一个常数，在利用微积分基本定理计算定积分时，只要选用最简单的一个即可．
知识点二
定积分的符号
[填一填]
由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.
1．当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(如图(1))
2．当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．(如图(2))
3．当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．(如图(3))
[答一答]
3．如图阴影部分的面积怎样表示？
提示：S＝∫
[f(x)－g(x)]dx.
4．如图阴影部分的面积如何表示？
∫f(x)dx，∫|f(x)|dx与|∫f(x)dx|的区别
1.
∫f(x)dx表示由x轴，曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b(a2．|f(x)|是非负的，所以∫|f(x)|dx表示由x轴，曲线y＝|f(x)|及直线x＝a，x＝b(a3．|∫f(x)dx|则是∫f(x)dx的绝对值．
一般情况下，三者的值是不同的，但对于f(x)≥0，x∈[a，b]，三者的值是相同的．
类型一
求较简单函数的定积分
【例1】 计算下列各定积分．
【思路分析】 根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．
【解】 (1)∵(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，
计算定积分要注意两点：①要正确选择被积函数的原函数；②要注意被积区间，其结果是原函数在[a，b]上的改变量F?b?－F?a?，而且定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能取0.
(1)
(x－x2＋)dx＝ln2－.
解析：
(x－x2＋)dx
＝xdx－x2dx＋dx
＝－＋lnx
＝－＋ln2＝ln2－.
(2)
|x－1|dx＝1.
解析：|x－1|dx＝
0(1－x)dx＋
(x－1)dx
＝(x－x2)|＋(x2－x)|
＝1－－0＋×4－2－(－1)＝1.
类型二
分段函数的定积分
【例2】 计算下列定积分．
(1)|sinx|dx；(2)
|x－2|dx.
【思路分析】 由于被积函数是含有绝对值的解析式，所以需在积分区间上把函数分段，从而分段积分，其中(1)小题的零点是x＝π，(2)小题的零点是x＝2.
【解】 (1)∵|sinx|＝
∴|sinx|dx＝
0sinxdx＋(－sinx)dx
＝－cosx|＋cosx|
＝－(cosπ－cos0)＋(cos2π－cosπ)
＝2＋(1＋1)＝4.
(2)∵|x－2|＝
∴|x－2|dx＝
(2－x)dx＋
(x－2)dx
＝2dx－xdx＋xdx－2dx
＝2×(2－1)－＋－2×(3－2)
＝2－＋－2＝1.
由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质?3?，转化为各区间上定积分的和计算.
先画出函数y＝的图象，再求这个函数在区间[－2,3]上的定积分．
类型三
利用定积分求参数的值
【例3】 设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
【思路分析】 先利用微积分基本定理求出定积分f(x)dx，然后列出关于x0的方程求出x0的值．
【解析】 因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且(x3＋cx)′＝ax2＋c，所以f(x)dx＝
(ax2＋c)dx＝(x3＋cx)|＝＋c＝ax＋c，
解得x0＝或x0＝－(舍去)．故填.
【答案】
利用定积分求参数时，注意方程思想的应用.一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数.当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限.
(1)若＝1，则实数a的值是.
解析：∵＝x2|＝a2＝1，
∴a＝或a＝－(舍去)．故填.
(2)已知函数f(x)＝
(at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝，求a，b的值．
解：f(x)＝
(at2＋bt＋1)dt＝(t3＋t2＋t)|
＝x3＋x2＋x.
∵f(x)为奇函数，∴＝0，∴b＝0.
又f(1)－f(－1)＝，
∴＋1＋＋1＝，∴a＝－.
1．
(sinx＋cosx)dx的值是( C )
A．0
B.
C．2
D．4
解析：
(sinx＋cosx)dx＝(sinx－cosx)
＝(1－0)－(－1－0)＝2.
2.
e|x|dx的值等于( C )
A．e2－e－2
B．2e2
C．2e2－2
D．e2＋e－2－2
解析：e|x|dx＝e－xdx＋exdx＝－e－x|＋ex|＝2e2－2.
3．若dx＝3＋ln2，则a＝2.
解析：dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1，
∴a2＋lna－1＝3＋ln2.∴a＝2.
4．定积分：
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝45.
解析：∵|2x＋3|＋|3－2x|＝
5．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)，求a的值．
解：
(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，
又2f(a)＝2(3a2＋2a＋1)，
∴2(3a2＋2a＋1)＝4.
∴3a2＋2a－1＝0.∴a＝－1，或a＝.
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8
-1．7.1 定积分在几何中的应用
[目标]
1.能说出定积分的几何意义.2.学会利用定积分求平面图形的面积.3.加深微积分基本定理及定积分的性质的应用．
[重点]
利用定积分求简单平面图形的面积．
[难点]
利用定积分求较为复杂的图形的面积．
知识点
定积分与平面图形面积的关系
[填一填]
1．平面图形面积的求法
在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数和积分的上、下限．
2．常见的平面图形的计算
(1)求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a图①中，f(x)>0，∫f(x)dx>0，因此面积S＝∫f(x)dx；
图②中，f(x)<0，∫f(x)dx<0，因此面积S＝|∫f(x)dx|＝－∫f(x)dx；
(2)求由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a，x＝b(a[答一答]
1．如图，如何求相交曲线所围图形的面积？
2．如何利用定积分表示如图平面图形ABCD的面积？
提示：选取y为积分变量，积分区间为[a，b]，则图中平面图形ABCD的面积为S＝∫
[f2(y)－f1(y)]dy.
定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解.
类型一
不必分割的图形的面积求解
【例1】 计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．
【思路分析】 如图所示，结合图形，先求出两曲线交点的横坐标x1，x2，将所求面积转化为两个曲边梯形的面积差，然后利用定积分求其面积．
【解】 由
解得x1＝0，x2＝3.
因此所求图形的面积为
S＝
0(x＋3)dx－
0(x2－2x＋3)dx
＝
0[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝
0(－x2＋3x)dx＝(－x3＋x2)＝.
为解此类题应做到：①画出图形；②根据图形的特征，由曲线的交点坐标确定积分的上、下限；③确定被积函数．
求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
解：如图，由得或，
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝－3(－x＋2)dx－－3(x2－4)dx＝(2x－x2)－(x3－4x)＝－(－)＝.
类型二
需分割的图形的面积求解
【例2】 求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
【思路分析】 先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．
【解】 法1：画出草图，如图所示．
解方程组，及，
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，将积分区间进一步化分，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限.
求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．
解：由题意，作出图形如图，由，得x＝2.所以y2＝8x与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)，所以所求面积为：
定积分与概率的综合应用
【例3】 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【思路分析】 本题是几何概型概率问题的求解，依据定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，利用微积分基本定理求解即可．
【答案】 C
【解后反思】 高考命题常以定积分与几何概型的综合为背景命题，既考查定积分求面积又考查了几何概型，是一种在知识交汇点处命题的思路．
从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为.
1．用S表示如图中阴影部分的面积，则S的值是( D )
2．由曲线y＝|x|与x＝－1，x＝1，y＝0所成的图形的面积是( B )
A.
B．1
C.
D．2
3．由曲线y＝ex，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于e4－e2.
解析：S＝exdx＝ex|＝e4－e2.
4．求曲线y＝sinx与直线x＝－，x＝，y＝0所围图形的面积(如图)．
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1
-1.7.2 定积分在物理中的应用
[目标]
1.能够利用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程.2.学会利用定积分求变力做功问题.3.感受定积分在物理中的应用，加深对定积分的认识．
[重点]
用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程．
[难点]
用定积分求变力做功问题．
知识点一 变速直线运动的路程
[填一填]
作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.
[答一答]
1．一辆汽车在1
min内的速度—时间曲线如图所示，那么汽车的速度v与时间t的函数关系式是什么？
提示：v(t)＝
2．上述问题中汽车在[0,10]，[10,40]，[40,60](单位：s)三个时段内行驶的路程，用定积分分别如何表示？
提示：3tdt；30dt；(－t＋90)dt.
3．如果v(t)的方向有正有负，怎样表示t∈[a，b]时物体经过的路程和位移？
提示：路程可表示为s＝|v(t)|dt，位移可表示为s′＝v(t)dt.
知识点二 变力做功
[填一填]
1．恒力F的做功公式
一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs.
2．变力F(x)的做功公式
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a[答一答]
4．根据变力做功公式W＝F(x)dx，回答下列问题．
(1)物理上进行功的计算时，力、位移的单位是什么？相应功的单位是什么？
(2)计算变力做功时，力与位移的方向有什么关系？
提示：(1)在一般情形下，力、位移的单位依次为N，m，功的相应单位为J.在解题时单位一定要统一．
(2)力与位移的方向必须一致．
1．路程计算公式
路程是位移的绝对值和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程：
(1)若v(t)≥0，s＝v(t)dt；
(2)若v(t)≤0，s＝－v(t)dt；
(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0，则s＝v(t)dt－v(t)dt.
2．求变力做功的方法
(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式，这是求功的关键．
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a(3)根据变力做功公式W＝f(x)dx即可求出变力F(x)所做的功．
类型一 变速直线运动的路程
【例1】 A、B两站相距7.2
km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t
s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t
m/s，到C点的速度为24
m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t)
m/s，经t
s后，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离；
(2)B、D间的距离．
【解】 (1)设A到C的时间为t1，则1.2t1＝24，t1＝20(s)，
则AC＝1.2tdt＝0.6t|2＝240(m)．
(2)设D到B的时间为t2，则24－1.2t2＝0，t2＝20(s)，
则DB＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|＝240(m)．
求变速直线运动的路程、位移应关注三点
?1?分清运动过程中的变化情况；
?2?如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；
?3?明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消.
汽车以每小时36
km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度－2
m/s2匀减速刹车，问开始刹车到停车，汽车行驶了多少千米？
解：由题意，知v0＝36
km/h＝10
m/s.所以v(t)＝v0＋at＝10－2t，令v(t)＝0，则t＝5，则t＝5
s时，汽车将停止，所以汽车由刹车到停车行驶的路程s＝v(t)dt＝
(10－2t)dt＝(10t－t2)|＝25(m)＝0.025(km)．
类型二 变力做功
【例2】 设有一根长25
cm的弹簧，若加以100
N的力，则弹簧伸长到30
cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25
cm伸长到40
cm所做的功．
【思路分析】 先求出拉力F(x)，然后再求功．
【解】 设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，
F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意F(x)＝kx，
且当x＝0.05
m时，F(0.05)＝100
N，即0.05
k＝100，
∴k＝2
000，∴F(x)＝2
000x.
∴将弹簧由25
cm伸长到40
cm时所做的功为
W＝2
000xdx＝1
000x2＝22.5(J)．
(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步．
(2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题．
一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x＝0处运动到x＝4(单位：m)外力F(x)做的功．
解：由力—位移曲线可知F(x)＝，因此该物体从x＝0处运动到x＝4处力F(x)做的功为W＝10dx＋
(3x＋4)dx＝10x|＋(x2＋4x)|＝46(J)．
正确区分变速直线运动的位移与路程
【例3】 有一动点P沿x轴运动，在时间t的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求
(1)P从原点出发，当t＝3时，求离开原点的路程；
(2)当t＝5时，P点的位置；
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程；
(4)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
【思路分析】 首先要确定的是所要求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解．
【解】 (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝3时，点P离开原点的路程
s1＝∫(8t－2t2)dt＝(4t2－t3)|＝18.
(2)s2＝∫(8t－2t2)dt＝(4t2－t3)|＝.
∴点P在x轴正方向上距原点处．
(3)s3＝∫(8t－2t2)dt－∫(8t－2t2)dt
＝(4t2－t3)|－(4t2－t3)|＝26.
(4)依题意∫(8t－2t2)dt＝0，即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，
t＝6是所求的值．
【解后反思】 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
一点在直线上从时刻t＝0
s开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：
(1)在t＝4
s时的位置；
(2)在t＝4
s时运动的路程．
解：(1)在时刻t＝4
s时该点的位置为：
(t2－4t＋3)dt＝|＝(m)，
即在t＝4
s时该点距离出发点
m.
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0,1]和[3,4]上v(t)≥0，在区间[1,3]上v(t)≤0，
所以在t＝4
s时运动的路程为：
1．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( B )
A．1＋e B．e C. D．e－1
解析：所做的功W＝F(x)dx＝
(1＋ex)dx＝(x＋ex)|＝e.
2．物体以速度v(t)＝2－t做直线运动，则它在t＝1到t＝3这段时间的路程为( B )
A．0
B．1
C.
D.
解析：当t∈[1,2]时，v(t)≥0，t∈[2,3]时，v(t)≤0，故路程为.
3．如果1
N力能拉长弹簧1
cm，为了将弹簧拉长6
cm，所耗费的功为0.18_J.
解析：设F(x)＝kx，当F＝1
N时，x＝0.01
m，∴k＝＝100，即F(x)＝100x，于是拉长6
cm所耗费的功为
W＝F(x)dx＝100xdx＝50x2＝0.18(J)．
4．质点做直线运动，其速度v(t)＝t2－2t＋1(单位：m/s)，则它在第2秒内所走的路程为
m.
解析：由于v(t)＝t2－2t＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为
s＝＝(m)．
5．以初速度40
m/s竖直向上抛一物体，t
s时刻的速度v＝40－10t2，求此物体达到最高时的高度．
解：由v＝40－10t2＝0，得物体达到最高时t＝2(s)．
所以物体达到最高时的高度为
h＝
(40－10t2)dt＝(40t－t3)|＝(m)．
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1
-第一章
本章小结
一、求函数的导数及导数的几何意义
利用导数求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应注意：
(1)判断点P(x0，y0)是否在曲线y＝f(x)上；
(2)1°若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2°若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①
又y1＝f(x1)，②
由①②求出x1，y1的值．
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
【例1】 求函数y＝ln的导数．
【分析】 采用先化简后求导的方法来求解．
【解】 ∵y＝[ln(1－sinx)－ln(1＋sinx)]，
∴y′＝
＝
＝·＝－secx.
【例2】 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，和直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．
【分析】 直线y＝kx＋9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线y＝f(x)的切线．
【解】 (1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，又f′(－1)＝0，
∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．因为直线m恒过定点(0,9)，先求过点(0,9)与曲线y＝g(x)相切的直线方程．
设切点为(x0,3x＋6x0＋12)，又g′(x0)＝6x0＋6.
∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将点(0,9)代入得9－3x－6x0－12＝－6x－6x0，
∴3x－3＝0，∴x0＝±1，
当x0＝1时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)，
所以切线方程为y＝12x＋9；
当x0＝－1时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)，
所以切线方程为y＝9.
下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：
由(1)得f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
∴f′(x)＝－6x2＋6x＋12.
由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，
∴x＝0或x＝1，
当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；
当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.
所以y＝12x＋9不是公切线．
由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，
即有x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；
当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9.
所以y＝9是公切线．
综上所述当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．
二、函数的单调性
利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．
【例3】 已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
(1)求a；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．
【解】 (1)因为f′(x)＝＋2x－10，x＝3是极值点，
所以f′(3)＝＋6－10＝0，因此a＝16.
(2)由(1)知，f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)，f′(x)＝，
当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(1,3)时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(1,3)．
(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)内单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21，
因此f(16)＝16ln17＋162－10×16>16ln2－9＝f(1)，
f(e－2－1)<－32＋11＝－21所以在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y＝b和y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)三、函数的极值与最值
1．利用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；
②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
【例4】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
【解】 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
3t2－6t
f(x)
2
?
－2
?
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2.f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)时，g′(x)<0；在x∈(2,3]时，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则，解得－2四、微积分的应用
【例5】 求定积分．
【例6】 某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足函数关系式
v(t)＝，某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1
min行驶的路程超过7
673
m，则这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？
【解】 不能．由已知可得
s＝t2dt＋(4t＋60)dt＋140dt
＝t3|＋(2t2＋60t)|＋140t|
＝7
133(m)<7
673(m)，
∴这家生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．
【评析】 物体做变速直线运动经过的路程s等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.
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