3.1.1 空间向量及其加减运算
[目标]
1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．
[重点]
空间向量加减运算及其几何意义．
[难点]
向量加减运算由平面向空间的推广．
知识点一 空间向量的有关概念
[填一填]
1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．
4．几类特殊向量
[答一答]
1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？
提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．
2．如何理解零向量的方向？
提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．
3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？
提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．
(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．
知识点二 空间向量的加减运算
[填一填]
[答一答]
4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？
提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．
5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？
提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．
1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．
2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．
3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．
类型一 空间向量的有关概念
【例1】 给出以下命题：
①若a，b是空间向量，则|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤在正方体ABCD?A1B1C1D1中，必有＝；
⑥空间中任意两个单位向量必相等．
其中，正确的命题序号是________．
【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．
【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．
【答案】 ①②④⑤
与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.
(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )
A．一个圆
B．两个孤立的点
C．一个球面
D．以上均不正确
(2)下列命题中正确的个数是( C )
①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；
③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．
(2)对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．
类型二 空间向量的加减运算
【例2】 如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x、y、z的值．
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z.
【解】 (1)∵＝＋＝＋＋＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，∴x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)∵＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝，y＝，z＝1.
灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路?即沿几何体的边选择途径?，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.
如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有( D )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
所以，所给4个式子的运算结果都是.故选D.
类型三 有关向量的证明问题
【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分．
【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量＝＋＋.
【证明】 如下图，平行六面体ABCD?A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，则＝＝(＋＋)．设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．
则＝＋＝＋＝＋(＋＋)
＝＋(－＋＋)＝(＋＋)．
同理可证：＝(＋＋)，
＝(＋＋)．由此可知O、P、M、N四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．
利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.
如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：＝(＋＋)．
解：如图，连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知＝.
∵E为CD的中点，
∴＝＋.
∴＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝(＋＋).
1．判断下列命题中为真命题的是( A )
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
解析：||＝||，故选项A对；选项B应为球面；选项C，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D，向量不相等有可能模相等．
2．设A、B、C为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C )
A.＋＝
B.＋＋＝0
C.－＝
D.＝－
3．如右图，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，则＝b－a＋c，＝a＋b－c.
解析：＝＋＝－＋＝b－a＋c，
＝＋＝＋＋＝a＋b－c.
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，化简－＋－的结果是2.
5．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，E、F、G分别是BC、CD、DB的中点，请化简(1)＋＋；(2)＋＋，并标出化简结果的向量．
解：(1)＋＋＝＋＝，如图中向量；
(2)∵E、F、G分别为BC、CD、DB的中点，∴＝，＝＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
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-3.1.2 空间向量的数乘运算
[目标]
1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．
[重点]
应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．
[难点]
证明线面平行与面面平行．
知识点一 空间向量的数乘运算
[填一填]
[答一答]
1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？
提示：相同．
2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？
提示：正确．类比平面向量的运算律可知．
知识点二 共线、共面定理
[填一填]
[答一答]
3．a＝λb是向量a与b共线的充要条件吗？
提示：不是．由a＝λb可得出a，b共线，而由a，b共线不一定能得出a＝λb，如当b＝0，a≠0时．
4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？
提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面．
5．共面向量定理中为什么要求a，b不共线？
提示：如果a，b共线，则p一定与向量a，b共面，却不一定存在实数组(x，y)，使p＝xa＋yb，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a，b共线的情况．
6．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C是否共面？
提示：四点共面．∵x＋y＋z＝1，∴x＝1－y－z，
又∵＝x＋y＋z
∴＝(1－y－z)＋y＋z
∴－＝y(－)＋z(－)
∴＝y＋z，
∴点P与点A，B，C共面．
1．共线向量、共面向量不具有传递性．
2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a≠0不可遗漏．
3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面．
5．向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．
类型一 空间向量的数乘运算
【例1】 设O为?ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，试用向量，，表示.
【分析】 将向量分解成，，的线性组合的形式．
【解】 由题意，可以作出如下图所示的几何图形．
在封闭图形ADOE中，有：＝＋＋， ①
在△AOD中，＝－. ②
在△BOC中，＝－，
∵＝，∴＝＋＝－＋.
又∵＝，∴＝(－＋)
＝－＋＋. ③
又＝－， ④
将②、③、④代入①可得：
＝(－)－＋
＝－＋＋，
∴＝－＋＋.
寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.
如下图所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，设＝a，＝b,
＝c，E和F分别是AD′和BD的中点，用向量a，b，c表示，.
解：＝＋＋＝－b＋a－c.
＝＋＋＝＋a＋＝(－b－c)＋a＋(－a＋b)＝(a－c)．
类型二 空间向量的共线问题
【例2】 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
【解】 因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，
所以＝＋＋＝＋＋.
又因为＝＋＋＋＝－＋－－，以上两式相加得＝2，所以∥，即与共线．
判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b.
如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
证明：设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，
＝(－)＝
(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，∴＝，所以E，F，B三点共线．
类型三 空间向量的共面问题
【例3】 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
【解】 (1)∵＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)＝＋，∴＝＋＝－－，∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
?1?证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.
?2?向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面?向量的起点、终点共面?.
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面．
(2)BD∥平面EFGH.
证明：如下图，连接EG，BG.
(1)因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
1．下列命题中正确的是( C )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
解析：A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.
2．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是( A )
A．共面
B．不共面
C．共线
D．无法确定
解析：a＋b与a－b不共线，则它们共面．
3．设O?ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( A )
A．(，，)
B．(，，)
C．(，，)
D．(，，)
解析：因为＝＝(＋)＝＋×[(＋)]＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，而＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝.
4．已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由＝
－2＋＋λ确定的点M与A、B、C共面，则λ＝2.
解析：M与A、B、C共面，则＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.
5．如下图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．
证明：＝＋＋＝－＋＝(＋)－＝－.
由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．
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-3.1.3 空间向量的数量积运算
[目标]
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．
[重点]
空间向量的数量积运算．
[难点]
利用空间向量解决夹角、距离等问题．
知识点一 空间向量的夹角
[填一填]
1．定义：
(1)条件：a，b是空间的两个非零向量．
(2)作法：在空间任取一点O，作＝a，＝b.
(3)结论：∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作?a，b?．
2．范围：
?a，b?∈[0，π]，其中，
(1)当?a，b?＝0时，a与b的方向相同．
(2)当?a，b?＝π时，a与b的方向相反．
(3)当?a，b?＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
[答一答]
1．若a，b是空间的两个非零向量，则?－a，b?＝?a，－b?＝?a，b?，对吗？
提示：不对．∵－a与a，－b与b分别是互为相反向量，
∴?－a，b?＝?a，－b?＝π－?a，b?．
知识点二 空间向量的数量积
[填一填]
1．空间向量的数量积
(1)定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos?a，b?叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos?a，b?．
(2)运算律：
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2．空间向量数量积的性质
[答一答]
2．类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？
提示：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积．
3．对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？
提示：不能，若a，b，c是非零向量，则a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0，即可能有a⊥(b－c)成立．
4．对于向量a，b，若a·b＝k，能不能写成a＝？
提示：不能，向量没有除法，无意义．
5．为什么(a·b)c＝a(b·c)不一定成立？
提示：由定义得(a·b)c＝(|a||b|cos?a，b?)c，即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cos?b，c?)，即a(b·c)＝λ2a，
因此，(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．
1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．
2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．
类型一 空间向量的数量积运算
【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A?BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点．求下列向量的数量积．
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
【解】 (1)由题知||＝||＝a，且〈，〉＝60°，
∴·＝a·a·cos60°＝a2.
(2)||＝a，||＝a，且〈，〉＝60°.
∴·＝a·a·cos60°＝a2.
(3)||＝a，||＝a，又∥，∴〈，〉＝180°.∴·＝a·a·cos180°＝－a2.
(4)||＝a，||＝a，又∥，
∴〈，〉＝〈，〉＝60°.
∴·＝a·a·cos60°＝a2.
在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.
已知正四面体OABC的棱长为1.
求：(1)·；(2)(＋)·(＋)．
解：如图所示，
(1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos60°＝；
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.
类型二 利用数量积求夹角
【例2】 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
【分析】 求异面直线BA1与AC所成的角，可转化为求向量与所成的角，因此可先求·，再求||，||，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．
【解】 因为＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，
所以·＝(＋)·(－)
＝·－2＋·－·＝－1.
又||＝，||＝＝.
所以cos〈，〉＝＝＝－.
则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
解：不妨设正方体的棱长为1，
设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，＝a－c，＝a＋b.
∴·＝(a－c)·(a＋b)
＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1.
而||＝||＝，
∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝60°.
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
类型三 利用数量积求距离
【例3】 在正四面体ABCD中，棱长为a.M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.
【分析】 转化为求向量的模，然后将向量分解，再根据数量积运算性质进行求解．
【解】 因为＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋，
所以·＝·
＝2－·－·＋·＋2＋2
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.
所以|MN|＝a.
求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2＝a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求距离.
如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使直线AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
解：∵∠ACD＝90°，
∴·＝0，同理·＝0.
∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝2＋2＋2＋2·
＝3＋2·1·1·cos〈，〉
＝
∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.
类型四 利用数量积证明垂直问题
【例4】 如下图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.
【分析】 本题考查利用a⊥b?a·b＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC中找出两相交向量与向量垂直．
【证明】 不妨设正方体的棱长为1，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c＝0.
由题图得：＝＋＝－－＝－b－c，＝＋＝－＋＝a－c，
＝＋＝－c＋(－a＋b)＝－a＋b－c.
∵·＝·
＝a·b－b2＋b·c＋a·c－b·c＋c2，
·＝·
＝－a2＋a·b－a·c＋a·c－b·c＋c2，
又∵|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝0，
∴·＝0，·＝0.∴⊥，⊥.
∴PA⊥B1O，PC⊥B1O.
又∵PA∩PC＝P，∴B1O⊥平面PAC.
用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.
已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
证明：如图．方法一：∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0.
·＝(＋)·(－)
＝·＋·－2－·
＝·－2－·
＝·(－－)＝·＝0.
∴⊥，从而AD⊥BC.
方法二：设＝a，＝b，＝c，
∵AB⊥CD，∴·＝0，
即·(－)＝0，a·(c－b)＝0，即a·c＝b·a.
∵AC⊥BD，∴·＝0，
即·(－)＝0，b·(c－a)＝0，
即b·c＝b·a.
∴a·c＝b·c，c·(b－a)＝0，
即·(－)＝0，·＝0.
∴⊥，从而AD⊥BC.
1．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有( C )
A.·＝2a2
B.·＝a2
C.·＝a2
D.·＝a2
解析：∵·＝·＝·(＋＋)
＝(2＋·＋·)＝2＝||2＝a2.
2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝( B )
A．14 B.
C．4 D．2
解析：|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，∴|a－2b＋3c|＝.
3．已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于－2.
解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
4．已知向量a、b、c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则
|a－b＋2c|等于.
解析：(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a－b＋2c|＝.
5．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
求证：BD⊥平面ADC.
证明：不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.
·＝(－)·＝·－·，
由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos60°＝××＝1.
∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，
∴BD⊥平面ADC.
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-3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
[目标]
1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
[重点]
空间向量基本定理的应用．
[难点]
应用空间向量基本定理解决问题．
知识点一 空间向量基本定理
[填一填]
1．定理：
条件：三个向量a，b，c不共面．
结论：对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底：空间中任何不共面的三个向量a，b，c都可以构成空间的一个基底，即{a，b，c}．
3．基向量：空间的一个基底{a，b，c}中的向量a，b，c都叫做基向量．
[答一答]
1．(1)空间中怎样的向量能构成基底？
(2)基底与基向量的概念有什么不同？
提示：(1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
2．空间的基底唯一吗？
提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底．
3．为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？
提示：平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．
知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示
[填一填]
1．单位正交基底：
有公共起点O的三个两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
2．空间直角坐标系：
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
3．空间向量的坐标表示：
对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．
[答一答]
4．与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？
提示：xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0，y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0，z)．另外还要注意向量的坐标与点P的坐标相同．
5．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标唯一吗？
提示：唯一．在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变．
1．空间向量基本定理注意点
空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．我们在用选定的基向量表示指定的向量时．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．
2．空间向量与平面向量的坐标运算的联系
类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．
类型一 空间向量基本定理的理解
【例1】 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？
【分析】 利用共面定理判断，，是否共面．
【解】 假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，
即不存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴，，不共面．故{，，}能作为空间的一个基底．
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.
已知a、b、c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是( C )
A．2a，a－b，a＋2b
B．2b，b－a，b＋2a
C．a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：因为a，b，c不共面，易知a,2b，b－c不共面．故应选C.
类型二 用基底表示向量
【例2】 如图所示，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.
【分析】 要证明四点共面只需证明可用，表示即可；第(2)问中求x＋y＋z只需先把用，，表示出来，求出x，y，z，再求x＋y＋z.
【解】 (1)证明：∵＝＋，
又＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝＋，
∴＝，∴＝＋，∴A，E，C1，F四点共面．
(2)解：∵＝－＝＋－(＋)
＝＋－－＝－＋＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝.
在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确?如夹角或线段长度?的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题.
已知平行六面体OABC?O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线交点，则( D )
A.＝－a＋b＋c
B.＝－b－a－c
C.＝a－b－c
D.＝a－b＋c
解析：＝＋＝＋＋
＝－b＋a＋c.
类型三 求向量的坐标
【例3】 如图所示，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，
且PA＝AD，求向量的坐标．
【分析】 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向量的坐标．
【解】 设正方形的边长为a，∵PA＝AD＝AB，
且PA，AD，AB两两互相垂直，
故可设＝ai，＝aj，＝ak.
以i，j，k为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．
方法一：
∵＝＋＋＝－＋＋
＝－＋＋(＋－)
＝－aj＋ak＋(－ai＋aj－ak)＝－ai＋ak，
∴＝(－a,0，a)．
方法二：
∵P(0,0，a)，C(－a，a,0)，
∴N点的坐标为(－a，a，a)．
∵M点的坐标为(0，a,0)，
∴＝(－a,0，a)．
用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来.这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标.
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝1，CC1＝2，M为A1B1的中点．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则的坐标为(－1,1,2)，的坐标为(－，，－2)．
解析：A(1,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,2)，M(，，2)，＝－＝(－1,1,2)，＝(－，，－2).
1．设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D )
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．
3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是(3,2，－1)，(－2,4,2)．
解析：∵i，j，k是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a＝(3,2，－1)，b＝(－2,4,2)．
4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若＋＋＝λ，则λ的值是3.
解析：如图，G为△ABC重心，E为AB中点，∴＝(＋)，
＝＝(－)，
∴＝＋＝＋(－)＝(＋＋)，∴λ＝3.
5．如图，四棱锥P?OABC的底面为一矩形，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示、、、.
解：＝＝(＋)
＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
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-3.1.5 空间向量运算的坐标表示
[目标]
1.掌握空间向量的坐标运算.2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.3.掌握向量长度，两向量夹角和两点间距离公式．
[重点]
利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题．
[难点]
立体几何问题坐标化、代数化．
知识点一 空间向量的加减和数量积运算的坐标表示
[填一填]
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．
(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．
(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)．
(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
[答一答]
1．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？
提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．
知识点二 夹角与距离公式
[填一填]
在空间直角坐标系中，设A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则
(1)模：|a|＝＝
.
(2)夹角：cos?a，b?＝
＝.
(3)垂直：若a⊥b，则有a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(4)平行：若b≠0，则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．
(5)＝(b1－a1，b2－a2，b3－a3)．
(6)dAB＝||＝.
[答一答]
2．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝对吗？
提示：不一定正确，因为b1，b2，b3可能为0，只有b1≠0，b2≠0，b3≠0时才有＝＝成立．
3．空间向量的夹角与距离公式与平面向量的夹角与距离公式有什么不同？
提示：空间向量的夹角公式及空间向量长度的坐标计算公式分别类似于平面向量的夹角公式及平面向量长度的坐标计算公式，只是都多了一个竖坐标．
1．应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．
2．判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
3．用向量法求两异面直线所成角时，首先依据题设取异面直线上的方向向量，然后求出两向量的夹角，若夹角为锐角则该角就是两异面直线的夹角，若向量夹角为钝角，则该角的补角就是两异面直线所成的角．
4．用向量法求空间两点间的距离时，首先依据题意求出由两点组成的向量的坐标，再利用|a|＝求出两点间的距离．
类型一 空间向量的坐标运算
【例1】 在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)．
(1)求顶点B，C的坐标；
(2)求·；
(3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标．
【解】 (1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为＝(4,1,2)，所以解得
所以点B的坐标为(6，－4,5)．
因为＝(3，－2,5)，
所以解得
所以点C的坐标为(9，－6,10)．
(2)因为＝(－7,1，－7)，＝(3，－2,5)，
所以·＝－21－2－35＝－58.
(3)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(9－x，－6－y,10－z)，
于是有(x－2，y＋5，z－3)＝(9－x，－6－y,10－z)，
所以解得
故点P的坐标为.
向量的坐标即终点坐标减去起点的对应坐标.反之求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点.在原点时，向量的坐标与原坐标相同.不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.
已知向量a＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的向量x.
①a·x＝0；②|x|＝10；③x与向量b＝(1,0,0)垂直．
解：设x＝(x，y，z)，由三个条件知
∴或，
∴x＝(0,4，2)或(0，－4，－2)．
类型二 坐标形式下的平行与垂直
【例2】 (1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x、y的值．
(2)已知：a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，求x＋y的值．
【分析】 (1)∵a∥b，∴a＝λb，λ一定存在，故可设λ.
(2)a⊥b，∴a·b＝0，再加上条件|a|＝6，可求x、y的值．
【解】 (1)∵a∥b，∴a＝λb.
即∴
即x＝6，y＝.
(2)∵a⊥b且|a|＝6，
即
∴或∴x＋y＝1或－3.
?1?要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算.
?2?在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件.在条件不明确时，要分类讨论.
如图所示，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．
解：解法一：设M(x，y，z)，由题图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．
∵BM⊥AC1，∴·＝0，
∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，
即x－y－z＝0.①
又∵∥，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，
即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②
由①②得x＝，y＝，z＝.∴M.
解法二：设＝λ＝(－aλ，aλ，aλ)，
∴＝＋＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)
＝(－aλ，aλ－a，aλ)．
∵BM⊥AC1，∴·＝0，
即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝，
∴＝，
＝＋＝.
∴M点坐标.
类型三 坐标形式下的夹角与距离
【例3】 在长方体AC1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于N，BC1与B1C交于点M，且⊥，建立空间直角坐标系．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉．
【分析】 关键是建立合适的直角坐标系，先求出的长，然后运用夹角公式求解．
【解】 (1)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，
则B(4,4,0)，N(2,2，a)，
A(4,0,0)，M(2,4，)，
∴＝(－2，－2，a)，
＝(－2,4，)，由⊥得·＝0，
∴4－8＋＝0，a＝2，∴的长为2，
(2)由(1)可得＝(－2，－2,2)，
＝(－4,0,2)，
∴cos〈，〉＝＝.
利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：
?1?根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
?2?利用题设条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
?3?利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角.要注意两角范围不一致，若异面直线AB、CD所成角为α，则cosα＝|cos|.
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉的值．
解：以C为原点，以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)．
∴||＝＝.
(2)依题意，
得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝3.||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
类型四 素养提升
构建空间直角坐标系的策略
坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．
抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)是我们构建空间直角坐标系时的重要依据．常见的建系策略有：
(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系；
(2)利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系；
(3)利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系．
【例4】 如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
求证：FH∥平面EDB.
【证明】 ∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC.
又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FC，AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，
∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.
以H为坐标原点，为x轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示的坐标系．
设BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)．
设AC与BD的交点为G，连接GE，GH，
则G(0，－1,0)，∴＝(0,0,1)．
又＝(0,0,1)，∴∥.
又GE?平面EDB，HF?平面EDB，
∴FH∥平面EBD.
【解后反思】 利用向量法解此类问题的关键是建立适当的坐标系，求出直线的方向向量，要证线面平行可证明直线的方向向量与平面内的一个向量共线．
如右图所示，已知三棱锥P?ABC中，PA＝PC，∠APC＝∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，且平面PAC⊥平面ABC，求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝PC＝2a，则P(0,0，a)，C(0，a,0)，A(0，－a,0)，D(a,0,0)，B，
所以＝(0，a，a)，＝(0，a，－a)，
＝，
所以·＝0，·＝0，
所以AP⊥PC，AP⊥BC，
又PC∩BC＝C，所以AP⊥平面PBC.
因为AP?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.
1．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则点C的坐标是( A )
A．(－，－，－)
B．(，－，－)
C．(－，－，)
D．(，，)
解析：∵＝(－3，－2，－4)，
∴＝(－，－，－)．
设C点坐标为(x，y，z)，
则＝(x，y，z)＝＝(－，－，－)．故选A.
2．与向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为( C )
A．(1,7,5)
B．(1，－7,5)
C．(－1，－7,5)
D．(1，－7，－5)
解析：利用数量积为零逐一验证可求得．
3．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( C )
A．(，1,1)
B．(－1，－3,2)
C．(－，，－1)
D．(，－3，－2)
解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式，即b≠0，a∥b?a＝λb，观察选项，只有C符合．
4．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为6.
解析：∵a·b＝－4，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝－，∴sin〈a，b〉＝，
∴S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝××＝6.
5．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(，1,2)．
(1)求线段AB中点D的坐标；
(2)证明：CD⊥AB，且|AC|＝|BC|.
解：(1)设AB的中点D的坐标为(x，y，z)，则＝(＋)＝[(3,3,1)＋(1,0,5)]＝(2，，3)，∴点D的坐标为(2，，3)．
(2)证明：＝－＝(2，，3)－(，1,2)＝(，，1)，
＝－＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)，
∴·＝(，，1)·(－2，－3,4)＝×(－2)＋×(－3)＋1×4＝－－＋4＝0.
∴⊥，即CD⊥AB.
|AC|＝||＝
＝＝，
|BC|＝||＝
＝＝.
∴|AC|＝|BC|.
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-3.2.1 空间向量与平行关系
[目标]
1.理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．
[重点]
利用向量的方法解决线线、线面、面面的平行关系．
[难点]
利用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面平行．
知识点一 平面的法向量
[填一填]
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．
2．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
[答一答]
1．如何确定直线的方向向量？
提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，都是直线的方向向量．一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给坐标赋特殊值．
2．如何求平面的法向量？平面的法向量唯一吗？
提示：在平面内找两个不共线向量a，b，设出平面的一个法向量n＝(x，y，z)，列方程组，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个赋特殊值，即可求出平面的一个法向量．由于赋值法不唯一，所以求出的法向量也不唯一，但所有的法向量均平行．
知识点二 空间平行关系的向量表示
[填一填]
1．线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?a＝λb?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
2．线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
3．面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v?u＝λv?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
[答一答]
3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，当a∥u时，l与α有什么关系？若a⊥u呢？
提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l?α.
4．若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v，u⊥v时，α，β是什么位置关系？
提示：u∥v时，α∥β；u⊥v时，α⊥β.
1．对平面的法向量的理解
所谓平面的法向量，就是指与平面垂直的直线的方向向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．在实际应用中，根据题意可以选取单位向量或各坐标为整数的向量作为法向量．
在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的．
2．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
(1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共线．
(2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是否共面．
(3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共线．
类型一 平面的法向量
【例1】 已知平面α经过三点A(1,2,3)、B(2,0，－1)、C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．
【解】 ∵A(1,2,3)、B(2,0，－1)、C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，
依题意，应有n·＝0且n·＝0，即
解得z＝0且x＝2y，令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
求平面法向量的方法与步骤：
?1?选向量：求平面的法向量时，要选取两相交向量.
?2?设坐标：设平面法向量的坐标为n＝?x，y，z?.
?3?解方程组：联立方程组
并解答.
?4?定结论：求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标?非零常数?.
如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，分别求平面SAB和平面SCD的法向量．
解：∵AD、AB、AS是两两垂直的线段，
∴以A为原点，以射线AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，
则A(0,0,0)、D(，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)，
∵AS⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面SAB，即
＝(，0,0)是平面SAB的法向量，
设平面SCD的一个法向量为n＝(1，λ，u)，
则n·＝(1，λ，u)·(，1,0)＝＋λ＝0，
∴λ＝－，n·＝(1，λ，u)·(－，0,1)＝－＋u＝0，∴u＝，∴n＝(1，－，)．
类型二 证明线面平行关系
【例2】 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．
求证：MN∥平面A1BD.
【分析】 要证MN∥平面A1BD，可考虑以下思路：(1)通过建立坐标系，证明与平面A1BD的法向量垂直；(2)证明与平面A1BD内的某一向量共线；(3)证明可用平面A1BD内的一组基底表示．
【证明】 法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得
M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是＝(，0，)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
法二：∵＝－＝－
＝(－)＝，
∴∥，而MN?平面A1BD，DA1?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.
已知在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.
证明：以D为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E.
因为M，N分别为AE，CD1的中点，
所以M，N.
所以＝.
设平面ADD1A1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
则·＝0.所以n⊥.
又因为MN?平面ADD1A1，故MN∥平面ADD1A1.
类型三 证明面面平行关系
【例3】 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
【分析】 建立空间直角坐标系，设出点Q的坐标，然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明．
【解】 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，则O，P，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，设Q(0,1，m)．
方法一：因为＝，＝(－1，－1,1)，所以∥，于是OP∥BD1.
＝，＝(－1,0，m)，当m＝时，＝，即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
方法二：＝，＝.
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则有n1⊥，n1⊥，因此
取x＝1，则n1＝(1,1,2)．
又因为＝(－1，－1,1)，＝(0，－1,1－m)．
设平面D1BQ的法向量为n2＝(x，y，z)，
则有n2⊥，n2⊥，因此
取z＝1，则n2＝(m,1－m,1)．
要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，因此＝＝，解得m＝，这时Q.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
利用空间向量证明两个平面平行的思路方法
?1?直接证明法：建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，证明两个法向量平行.
?2?间接证明法：根据两个平面平行的判定定理，把证明两个平面平行转化为证明线面平行或线线平行，再利用空间向量证明.
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFBD.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N，E，F(1,3,4)．
∴＝，＝，＝(－1,0,4)，＝(－1,0,4)．
∴＝，＝.∴MN∥EF，AM∥BF.
∵EF∩BF＝F，∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.
又MN∩AM＝M，∴平面AMN∥平面EFBD.
类型四 素养提升
平行关系中的存在性问题
【例4】 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
【思路分析】 建立空间直角坐标系，(1)依据·＝0得到B1E⊥AD1；(2)设出点P的坐标，利用与平面B1AE的法向量的数量积为0求解．
【精解详析】 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AB＝a，则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，
B1(a,0,1)，所以＝(0,1,1)，＝(－，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)．
(1)因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以⊥，所以B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，t)(0≤t≤1)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，t)．
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
由，得.
取x＝1，可得平面B1AE的一个法向量为n＝(1，－，－a)．
要使DP∥平面B1AE，只需n⊥，即n·＝0，即－at＝0，解得t＝.
又DP?平面B1AE，所以存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝.
【解后反思】 有关是否存在一点使得直线与平面之间满足垂直或平行的探索性问题，解答时，先建立空间直角坐标系，再假设存在这样的点，设出该点的坐标，将直线与平面的垂直、平行关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程，若方程有解，则点存在；否则，点不存在．
如图，已知在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA＝AB＝2，∠ABC＝60°，BC，PD的中点分别为E，F.在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给出证明；若不存在，请说明理由．
解：存在点G，点G为线段AB中点．
证明：由题意知PA⊥平面ABCD，又因为底面ABCD是菱形，得AB＝BC且∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，连接AE，又E是BC的中点，∴BC⊥AE，故AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2，故A(0,0,0)，B(，－1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，C(，1,0)，
∴＝(0,0，－2)，＝(，1，－2)，＝(0,1,1)．
假设在线段AB上存在点G，使得AF∥平面PCG，
则＝λ(0≤λ≤1)，
∵＝(，－1,0)，∴＝λ＝(λ，－λ，0)．
∴＝＋＝(λ，－λ，－2)，
设平面PCG的法向量为n＝(x，y，z)，
由即令y＝1，
得n＝(，1，)．
∵AF∥平面PCG，∴·n＝0，解得λ＝，
故在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG.
1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( D )
A．(1,1，－1)
B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1)
D．(－1，－1，－1)
解析：＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，
－4，k)，若α∥β，则k等于( C )
A．2
B．－4
C．4
D．－2
解析：∵α∥β，∴＝＝.∴k＝4.
3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝－14，y＝6.
解析：∵l1∥l2，∴＝＝，∴x＝－14，y＝6.
4．已知直线l的方向向量u＝(2,0，－1)，平面α的法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为l?α或l∥α.
解析：u·v＝0，则l?α或l∥α.
5．在正方体AC1中，O1为B1D1的中点，求证BO1∥平面ACD1.
证明：方法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，O1(1,1,2)，
∴＝(－2,0,2)，＝(0，－2，2)，＝(－1，－1,2)，
∴＝＋，∴与、共面，
∴∥平面ACD1.又BO1?平面ACD1，
∴BO1∥平面ACD1.
方法二：在证法一建立的空间直角坐标系下，取AC的中点O，连接D1O，则O(1,1,0)，∴＝(1,1，－2)．
又＝(－1，－1,2)，
∴＝－，∴∥.
又∵与不共线，∴D1O∥BO1.
又BO1?平面ACD1，D1O?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1
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-3.2.2 空间向量与垂直关系
[目标]
1.理解线面的位置关系与向量的联系.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系．
[重点]
用向量的方法解决线线、线面、面面的垂直关系．
[难点]
用线面垂直的判定定理与向量相结合解决垂直问题．
知识点 空间中直线、平面垂直关系的向量表示
[填一填]
1．两直线垂直的关系：设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a⊥b?a·b＝0?.
2．直线与平面的垂直关系：设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝ku.
3．两个平面的垂直关系：若平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?u⊥v?u·v＝0.
[答一答]
1．直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？
提示：垂直．
2．若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？
提示：垂直．
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
1．线线垂直
设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1⊥l2，只需证明a⊥b，即a·b＝0.
2．线面垂直
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证l⊥α，只需证明a∥u.
(2)根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．即：
设a、b在平面α内(或与平面α平行)，且a与b不共线，直线l的方向向量为c，则l⊥α?c⊥a且c⊥b?a·c＝b·c＝0.
3．面面垂直
(1)根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
(2)证明两个平面的法向量互相垂直．
类型一 利用空间向量证明线线垂直
【例1】 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
【分析】 只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可．
【证明】 方法一：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝a，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)，于是F.
∵E为BC上，∴设E(m,1,0)，
∴＝(m,1，－1)，＝.
∵·＝0，∴PE⊥AF.
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF.
方法二：因为点E在边BC上，可设＝λ，
于是·＝(＋＋)·(＋)
＝(＋＋λ)·(＋)
＝(·＋·＋·＋·＋λ·＋λ·)＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0，
因此⊥.
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，可以选择基向量法也可用坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键.
已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长都为1，若侧棱C1C的中点为D，求证：AB1⊥A1D.
证明：设AB中点为O，作OO1∥AA1，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
A1(－，0,1)，C1(0，，1)，
A(－，0,0)，B1(，0,1)，D(0，，)，
∴＝(，，－)，＝(1,0,1)，
∴·＝＋0－＝0，
∴⊥，即AB1⊥A1D.
类型二 利用空间向量证明线面垂直
【例2】 如下图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点．
求证：EF⊥平面B1AC.
【分析】 利用线面垂直的判定定理，即只需证EF垂直于平面B1AC中的两条相交直线，也可以利用直线EF的方向向量与平面B1AC的法向量平行．
【证明】 法一：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，
＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，
＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.
·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
∴⊥，⊥，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，
∴EF⊥平面B1AC.
法二：同法一得＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)，
＝(－1，－1,1)．
设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，
则·n＝0，·n＝0，
即取x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴n＝(1,1，－1)，∵＝－n，
∴∥n，∴EF⊥平面B1AC.
利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行.
如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4，AD＝2，CD＝2，AP⊥平面ABCD，PA＝4.求证：BD⊥平面PAC.
证明：因为AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
则B(4,0,0)，P(0,0,4)，D(0,2，0)，C(2,2，0)，
所以＝(－4,2，0)，＝(2，2，0)，＝(0,0,4)．
所以·＝(－4)×2＋2×2＋0×0＝0，
·＝(－4)×0＋2×0＋0×4＝0，
所以BD⊥AC，BD⊥AP.
因为AP∩AC＝A，AC?平面PAC，AP?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
类型三 利用空间向量证明面面垂直
【例3】 如右图，在四棱锥E?ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.
求证：平面ADE⊥平面ABE.
【证明】 取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又AB⊥平面BCE，
∴以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.如图所示．
则由已知条件有C(1,0,0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1,0,1)，A(0，，2)．
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·＝(a，b，c)·(0,2，2)＝2b＋2c＝0，n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0.
令b＝1，则a＝0，c＝－，∴n＝(0,1，－)，
又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，∴OC⊥平面ABE，
∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．
∵n·m＝(0,1，－)·(1,0,0)＝0，
∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.
利用空间向量证明面面垂直的方法
?1?利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题.
?2?直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.
在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明：由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，
C1(0,2,1)，E(0,0，)，
∴＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，
＝(－2,2,1)，＝(－2,0，)．
设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，
则∴
令x＝1，得y＝1，∴n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，
则∴
令c＝4，得a＝1，b＝－1，∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
类型四 素养提升
空间垂直关系的探索性问题
【例4】 如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
【思路分析】 证明线线垂直问题，可以利用线线垂直的判定定理，或者证明这两条直线的方向向量的数量积为零．
【精解详析】 (1)以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F，
∴·＝·(0，a,0)＝0，∴EF⊥DC.
(2)设G(x,0，z)满足条件，则G∈平面PAD.
＝，
由·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝，
由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0，
∴G点坐标为，即G点为AD的中点．
【解后反思】 本题是一道开放型的综合题目，以四棱锥为载体，考查线线垂直、线面垂直关系．对于此类问题，要掌握柱体与锥体特有的性质、关系，在解题时要充分利用，从而找出隐含条件，使问题得到解决．
如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．
(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
解：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)．
＝(－2,0,2)，＝(－1,0，λ)，＝(1,1,0)．
(1)证明：当λ＝1时，＝(－1，0,1)，
因为＝(－2,0,2)，所以＝2，即BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)存在．
设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
由可得
于是可取n＝(λ，－λ，1)．
同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1)．
若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.
故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.
1．设直线a与b的一个方向向量分别为a＝(1，－，3)，b＝(x,1，－2)，若a⊥b，则x的值为( D )
A．－2
B．－
C．－
D.
解析：a·b＝x＋(－)×1＋3×(－2)＝0，x＝.
2．设直线l的一个方向向量为a＝(1，，－)，平面α的法向量为n＝(，，－)，则( B )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l与α斜交
D．无法判定
解析：n＝a，n∥a，∴l⊥α.
3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于( B )
A.
B.
C.
D.
解析：由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，
∴即
解得
4．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则＝.
解析：由已知，得＝(－1，－1,1)，＝(－x,1，－z)，＝(2,0,1)，由·＝x－1－z＝0，·＝－2x－z＝0，解得所以＝.
5．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量；
(2)若∠PDA＝45°，求证为平面PCD的一个法向量．
解：(1)∵PA⊥矩形ABCD所在平面
∴以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设AB＝a，AD＝b，AP＝c.则B(a,0,0)，D(0，b,0)，C(a，b,0)，P(0,0，c)，M，N.设以点E为终点，A为起点的向量＝，即为直线MN的方向向量，
∴＝＝，即点E坐标为.
∵＝＝(0，b，－c)＝.
∴E为PD中点，∴以A为起点，PD中点E为终点的向量为直线MN的一个方向向量．
(2)∵＝，＝(0，b，－c)，＝(a,0,0)
∴·＝－＝，·＝0.∴MN⊥DC.
∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AD＝AP，即b＝c，
∴＝0，∴MN⊥PD.∵PD∩DC＝D，
∵MN⊥平面PCD，∴为平面PCD的一个法向量．
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-3.2.3 空间向量与空间角
[目标]
1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的问题.2.了解向量方法在研究几何问题中的作用．
[重点]
用向量的方法求解空间角．
[难点]
直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角的关系．
知识点一 异面直线所成的角
[填一填]
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝.
[答一答]
1．两直线夹角的公式为什么不是cosθ＝？
提示：由于两直线夹角的范围为[0，]，两向量夹角的范围为[0，π]，因此，两直线夹角的公式为cosθ＝||，而不能直接用向量夹角公式求两直线的夹角．
知识点二 直线与平面所成的角
[填一填]
设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n.
则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.
[答一答]
2．设平面α的斜线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l与α所成的角的公式为什么不是cosθ＝？
提示：(1)当a，n与α，l的关系如下图所示时，
l与α所成的角与a，n所成的角互余．即sinθ＝cos?a，n?．
(2)当a，n与α，l的关系如下图所示时，
l与α所成的角与两向量所成的角的补角互余．
此时，sinθ＝|cos?a，n?|.总之，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量所成的角为φ，则有sinθ＝|cosφ|.若直线的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝.
知识点三 二面角
[填一填]
1．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝.
2．二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角．在两个半平面内，各取一直线与棱垂直，当直线的方向向量的起点在棱上时，两方向向量的夹角即为二面角的平面角．
[答一答]
3．两平面法向量的夹角就是两平面的夹角吗？
提示：不一定．两平面法向量的夹角可能等于两平面的夹角(当0≤?n1，n2?≤时)，也有可能与两平面的夹角互为补角(当1．求两异面直线所成的角时，要注意其范围是(0，]．
2．求线面角的大小时，要注意所求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值才是线面角的正弦值．
3．求二面角的大小要特别注意需根据具体的图形来判断该二面角是锐角还是钝角．
另外注意
利用向量法求二面角有以下两种方法
(1)若AB、CD分别是两个平面α、β内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角．如图①.
(2)法向量法，如图②，n1，n2分别是平面α与β的法向量．二面角α为?n1，n2?或π－?n1，n2?．
类型一 求异面直线所成的角
【例1】 如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．
【分析】 要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．
【解】 以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．
又∵∠PDA＝30°，
∴AP＝AD·tan30°＝2a·＝a，
AE＝AD·sin30°＝2a·＝a.
过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a.
∴P，E.
(1)证明：∵＝，
＝，
∴·＝0＋a2－a2＝0.∴⊥，∴BE⊥PD.
(2)＝，＝(－a，a,0)．
则cos?，?＝＝＝，
则AE与CD的夹角的余弦值为.
如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
(2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值．
解：(1)如图建立空间直角坐标系，
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
在Rt△PAD中，由AD＝2，∠PAD＝60°得PD＝2，∴P(0,0,2)．
(2)由(1)得＝(2,0，－2)，＝(－2，－3,0)，
∴cos?，?＝
＝＝－.
故异面直线PA与BC夹角的余弦值为.
类型二 求直线与平面所成的角
【例2】 如图，在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，
AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：易知AB，AD，AA1两两垂直．如下图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设AB＝t，则有A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)，
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，
所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)由(1)知＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，
则，即.令x＝1，
可得平面ACD1的一个法向量为n＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sinθ＝|cos?n，?|＝＝＝.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
求线面角的两种思路
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用线与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．如图所示，PO⊥α，则θ＝?，?．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．
如图，已知三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN的夹角．
解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
M，N，S.
(1)证明：＝，＝，
因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.
(2)＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则a·＝0，a·＝0，
即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因为|cos?a，?|＝＝，
所以SN与平面CMN的夹角为45°.
类型三 求二面角
【例3】 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.求二面角D?A1C?E的正弦值．
【解】 由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.
以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设AC＝2，则C(0,0,0)，D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，
∴＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则
，即，
取x1＝1，可得平面A1CD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
同理可得，平面A1CE的一个法向量为m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.
即二面角D?A1C?E的正弦值为.
二面角的求法有两种：
?1?几何法：先作出二面角的平面角，再求，即：作→证→求，这是立体几何中的一大难点.
?2?向量法：先求出平面α、β的法向量n1，n2，设二面角α?l?β为θ，则|cosθ|＝|cos?n1，n2?|，再根据图形判断θ为锐角还是钝角，从而求出θ.
如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E、F分别是AD、PC的中点．
(1)证明：PC⊥平面BEF.
(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．
解：(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵AP＝AB＝2，BC＝2，四边形ABCD是矩形，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，
C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．
又E、F分别是AD、PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1)．∴＝(2,2，－2)，
＝(－1，，1)，＝(1,0,1)，
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0，
∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF，
又BF∩EF＝F，则PC⊥平面BEF.
(2)由(1)知平面BEF的法向量n1＝＝(2,2，－2)，平面BAP的法向量n2＝＝(0,2，0)，
设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，则
cosθ＝|cos?n1，n2?|＝＝＝.
∴θ＝45°，
即平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
类型四 素养提升
混淆向量夹角与二面角的关系致误
用向量的坐标运算求二面角时，求出两平面的法向量的夹角后，应注意法向量的方向与二面角的关系，若不注意判断，易出现错误．
【例4】 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求二面角A?BD1?C的大小．
【错解】 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接DA1，DC1.
设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
是平面ABD1的一个法向量，＝(1,0,1)，
是平面BCD1的一个法向量，＝(0,1,1)，
所以cos?，?＝＝.所以?，?＝60°.所以二面角A?BD1?C的大小为60°.
【错因分析】 用法向量求二面角的大小时，要注意?n1，n2?与二面角的平面角的关系是相等的还是互补的．
【正解】 以D为原点，建立如答图所示的空间直角坐标系，连接DA1，DC1.
设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量，
所以cos?，?＝＝.所以?，?＝60°.所以二面角A?BD1?C的大小为120°.
如图，在四棱锥E?ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE＝DE＝2，F为线段DE的中点．
(1)求证：BE∥平面ACF；
(2)求二面角C?BF?E的平面角的余弦值．
解：(1)证明：如图，连接BD和AC交于点O，连接OF，
∵ABCD为正方形，∴O为BD中点．
∵F为DE中点，∴OF∥BE.
∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴BE∥平面ACF.
(2)∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD.
∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
∵AE∩AD＝A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE.
∵DE?平面DAE，∴CD⊥DE.
∴以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，则E(2,0,0)，F(1,0,0)，A(2,0,2)，D(0,0,0)，
∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，∴AE⊥DE.
∵AE＝DE＝2，
∴AD＝2.
∵ABCD为正方形，
∴CD＝2.
∴C(0,2，0)．
由ABCD为正方形可得＝＋＝(2,2，2)．
∴B点的坐标为(2,2，2)．
设平面BEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则＝(0，－2，－2)，＝(1,0,0)，
由?
令y1＝1，则z1＝－，∴n1＝(0,1，－)．
设平面BCF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则＝(－2,0，－2)，＝(1，－2，0)，
由?
令y2＝1，则x2＝2，z2＝－2，
∴n2＝(2，1，－2)．
设二面角C?BF?E的平面角的大小为θ，
则cosθ＝cos(π－?n1，n2?)＝－cos?n1，n2?
＝－＝－＝－.
∴二面角C?BF?E的平面角的余弦值为－.
1．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．
cos?，?＝＝＝.
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：建系如图所示，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(1,1，)，
∴＝(1,0,1)，＝(1,1，)．
设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，
即
令x＝1，得y＝－，z＝－1.∴n＝(1，－，－1)．
又平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)，
∴cos〈n，〉＝＝－.
∴平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.
3．在正四棱锥P?ABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC中点，则异面直线PE与DB所成的角为.
解析：建系如下图所示，则B(1,1,0)，D(－1，－1,0)，E(0,1,0)，P(0,0,1)，
∴＝(2,2,0)，＝(0,1，－1)．
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴〈，〉＝.∴PE与DB所成的角为.
4．如下图所示，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小．
解：∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC.
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC.
以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设EA＝AC＝BC＝2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M(0,1,1)．
(1)证明：∵＝(0,1,1)，＝(0,2，－2)，＝(2,0,0)，∴·＝0，·＝0.∴AM⊥EC，AM⊥CB.
又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)由(1)知AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量．∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，
∴cos?，?＝＝.
∴?，?＝60°.
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.
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-第三章
本章小结
专题一 空间向量的线性运算
选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需的向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求．
[例1] 如图所示，平行六面体A1B1C1D1?ABCD，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示.
【分析】 要用a、b、c表示，只需结合图形，充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律即可．
【解】 如上图，连接AN，则＝＋，由已知四边形ABCD是平行四边形，
故＝＋＝a＋b，又＝－＝－(a＋b)．
由已知，N分成的比为2，故＝＋
＝－＝－＝(c＋2b)．
于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)
＝(－a＋b＋c)．
【点评】 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
专题二 空间向量与线面位置关系
证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明．
证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效的方法．
【例2】 如图，在矩形ABCD中AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.
(1)求证：AQ∥平面CEP；
(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.
【分析】 证明线面平行问题，可以利用与平面内的直线平行进行判定，也可以利用直线与平面的法向量垂直，也可用传统方法求证．面面垂直可以利用面面垂直的判定定理求证，也可用向量法求证．同时，也可用两平面的法向量垂直求证．
【证法一】 (1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB，DC的中点，∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE分别为x轴，y轴，z轴建系如右图所示．令AB＝2，PE＝a，则
A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a)，
C(－1,1,0)．
∴＝(－1,1,0)，＝(－1,1,0)，
∴＝，∴∥，∴AQ∥PC.
∵AQ?平面EPC，PC?平面EPC，∴AQ∥平面EPC.
(2)∵D(1,1,0)，E(0,0，a)
∴＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，
∴·＝(－1,1,0)·(1,1,0)＝－1＋1＝0，
·＝(－1,1,0)·(0,0，a)＝0.
∴⊥，⊥，即AQ⊥PD，AQ⊥PE，
∴AQ⊥平面EPD，∵AQ?平面AEQ，
∴平面AEQ⊥平面DEP.
【证法二】 传统法．
(1)在矩形ABCD中，AP＝PB，DQ＝QC，∴AP綊QC，
∴四边形AQCP为平行四边形，∴CP∥AQ.
∵CP?平面CEP，AQ?平面CEP，∴AQ∥平面CEP.
(2)∵EP⊥平面ABCD，AQ?平面ABCD，∴AQ⊥EP.
∵AB＝2BC，P为AB中点，∴AP＝AD.
连接PQ，则ADQP为正方形，∴AQ⊥DP.
∵EP∩DP＝P，∴AQ⊥平面DEP.
∵AQ?平面AEQ，∴平面AEQ⊥平面DEP.
专题三 空间向量与空间角
1．纵观近几年高考发现，对于空间角的考查，每年都有．不论在选择，还是填空中均有考查，而解答题中更是考查重点，因此空间角必是高考的一个生长点．
2.对于空间角中线线角、线面角及二面角，一是利用传统解法，如平移法，利用定义求解等，但向量法求解更能体现解题的优越性．
【例3】 如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
(1)求cos〈，〉；
(2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值．
【解】 (1)建立空间直角坐标系(如右图)．∵＝(5,2,4)，＝(0,8，－4)．
∴·＝0＋16－16＝0，
∴⊥.
∴cos〈，〉＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，∴A1D⊥平面AMN，
∴＝(0,8，－4)是平面ANM的一个法向量．
又＝(0,8,0)，
||＝4，||＝8，·＝64，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AD与平面AMN所成角的正弦值为.
【例4】 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1.
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1?BC?A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．
【解】 (1)如下图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.又BC?平面A1BC，∴AD⊥BC.
∵三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，
∴AA1⊥BC.又AA1∩AD＝A，从而BC⊥侧面A1ABB1.
又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC.
(2)由(1)知，AB⊥BC.
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
BB1⊥平面ABC，BA，BC?平面ABC，
∴BB1⊥BA，BB1⊥BC.
以点B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，设AA1＝a，AC＝b，AB＝c，则B(0,0,0)，A(0，c,0)，C(，0,0)，A1(0，c，a)，B1(0,0，a)，于是＝(，0,0)，＝(0，－c，a)，＝(，－c,0)，＝(0,0，a)．
设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
可取n＝(0，－a，c)，于是n·＝ac>0，则与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角，
∴sinθ＝cosβ＝＝.
∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，又BC⊥AB，
∴∠A1BA即为二面角A1?BC?A的平面角，即∠A1BA＝φ.
∴cosφ＝＝，∴sinφ＝
.
∵c即sinθ【点评】 要建立空间直角坐标系，先要有三条互相垂直且交于一点的直线．
专题四 利用空间向量解决探索存在性问题
存在性问题要在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推导出合理的结论，则存在性也随之解决；若推导出矛盾，则否定了存在性．
【例5】 如图，四棱锥P?ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC.
(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解】 (1)证明：因为四边形ABCD为直角梯形，
且AB∥DC，AB＝AD＝2，∠ADC＝，
所以BD＝2，又因为CD＝4，∠BDC＝.
根据余弦定理得BC＝2，
所以CD2＝BD2＋BC2，故BC⊥BD.
又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，且BD，PD?平面PBD，
所以BC⊥平面PBD，
又因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD.
(2)由(1)得平面ABCD⊥平面PBD，
设E为BD的中点，连接PE，因为PB＝PD＝，
所以PE⊥BD，PE＝2，又平面ABCD⊥平面PBD，
平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD.
如图，以A为原点分别以，和垂直平面ABCD的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1,2)，
假设存在M(a，b，c)满足要求，设＝λ(0≤λ≤1)，即＝λ，所以M(2－λ，4－3λ，2λ)，
易得平面PBD的一个法向量为＝(2,2,0)．
设＝(x，y，z)为平面ABM的一个法向量，＝(0,2,0)，＝(2－λ，4－3λ，2λ)．
由得，
不妨取＝(2λ，0，λ－2)．
因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，
所以＝，
解得λ＝，λ＝－2(不合题意舍去)．
故存在M点满足条件，且＝.
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